【解题模型】专题34带电粒子在复合场中的模型-2026高考物理

专题34带电粒子在复合场中的模型 模型总结 模型1带电粒子在组合场中的运动 模型2带电粒子在叠加场中的运动… .20 模型3带电粒子在交变电磁场中的运动… 38 模型1带电粒子在组合场中的运动 1.带电粒子在组合场中的运动 模型 运动情景 图示 带电粒子先在电场中做匀加速 先电场 直线运动，然后垂直进入磁场 q m 后磁场 做圆周运动 带电粒子先在电场中做类平抛 先电场 运动，然后垂直进入磁场做圆 后磁场 周运动 B 带电粒子先在磁场中做圆周运 先磁场 动，然后垂直进入电场做类平 后电场 抛运动 带电粒子先在磁场I中做圆周 两个磁 运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做 场 圆周运动 (2025·贵州贵阳·模拟预测)如图，平行于y轴的MW是平面直角坐标系Oxy第四象限内 的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度 大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I,第三象限存在方向平行纸 面的匀强电场Ⅱ（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面 第1页共22页 进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MW进入电场I,从y轴上的 P点以2v的速度进入电场Ⅱ，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场 Ⅱ，并沿直线回到S点。已知OS-3L,OP=L,不计粒子的重力。求 309 S ● ● 960 ● ● ● M (1)粒子的电荷量： (2)第四象限中电场I的电场强度大小： (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 2.(2025·云南大理一模)如图所示，平面内一电荷量为9、质量为m的带正电粒子（不计 重力)从P点(-，0)垂直于x轴发射，发射速度为。平面内第二象限存在水平向右的匀强 电场（场强大小E未知），第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场。粒子发射后第一次经过y 轴时的坐标为0,2)，粒子第一次在匀强磁场中运动时恰好不从x轴射出磁场。求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度'的大小及方向； (2)磁感应强度B的大小： (3)粒子第三次经过y轴时的位置与第二次经过y轴时的位置之间的距离： (4)粒子第五次经过y轴时的位置的纵坐标。 3.(2025·广东中山·模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系xO少的第一象限内存在垂直纸 第2页共22页 面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸 面向里的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以初速度'%自x轴上的p点射入 电场，初速度方向与x轴正方向的夹角0=53°，之后粒子经y轴上的M点进入第一象限， 再经x轴上的点进入第四象限，经过N点时粒子的速度方向与初速度%的方向相反。粒 子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知P点到O点的距离为L,电场强度大小为 E=12m 不计粒子重力， 。求： 25gL sin53°=0.8c0s53°=0.6 y B M· ● XB2×X X X (1)粒子自M点进入第一象限匀强磁场时速度与y轴正方向的夹角： B (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值B,: (3)粒子自第1次经过x轴(P点)到第3次经过x轴的时间t总。 4.(25-26高二上·浙江·期中)在未来的深空探测任务中，我国自主研发的空间粒子调控系 统正在测试一种新型带电粒子轨迹引导技术。该系统通过精确控制电磁场，实现对高能带电 粒子束的聚焦、偏转与定向释放，旨在应用于太空辐射防护、粒子推进引擎以及空间站能源 传输等前沿领域。如图所示，在某次地面模拟实验中，平面直角坐标系x0y的第一象限内存 在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B(未知)的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向 的匀强电场E(未知)。一带电量为q(q>0),质量为m的粒子从x轴上的点A(-L,0)沿 y轴正方向以初速度v进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的点M(0,2L)进入第一象限， 并在磁场中做圆周运动，恰好经过点P(2L,0)。不计粒子重力，求： 第3页共22页 Mi0,2 ● B P2L,0)3L,0)x (1)匀强电场的场强大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若撤去第一象限的全域磁场，仅在某一矩形区域内加一个方向不变、磁感应强度为4B的 匀强磁场，使粒子沿与x轴正方向成45°角斜向下穿过x轴并能通过点N（3L,0),求该矩 形区域的最小面积及带电粒子进入该矩形磁场初始位置坐标。 5.(2025·浙江·一模)利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区 组成。发射区由正负离子源SS2和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成：建立以S,为坐 标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于(r,0)和(3r,0)处，S2位于 (4r,0)处：离子源S、S2单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为o、数量均 为N、带电量分别为+9和一9的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离 子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强 电场组成，电场上下边界的距离为L,大小为E=4心 发电区由两足够长的平行金属板 gL M、N构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R,两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁 场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。 第4页共22页 发射 0B. B。 B 加 E 区 发电 (1)求磁感应强度大小B: (2)从S发出的离子沿着与x轴夹角为O的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位 置坐标(x,): (3)断开开关S,求两板间的最大电压Um: (④)闭合开关S,调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压U=1山m 求此时负载消耗 的电功率P。 6.(2025·湖南·一模)带电粒子沿金属板A、B的中心轴线进入偏转电压为U(大小未知) 的偏转电场，偏转电场可看作匀强电场。以金属板A、B的中心轴线为x轴，金属板A、B的 右边界为y轴建立平面直角坐标系，在第一象限内存在磁场为非匀强磁场，方向垂直纸面向 里，磁感应强度大小随y轴方向均匀增大，关系为B= y,速度为的带电粒子恰好从金 2d 属板的右边缘P点射入磁场。已知金属板A、B间的距离为2d、长度为V3d,带电粒子质量 为m、电荷量为-9，不计带电粒子的重力。 第5页共22页 ××××B + × P× × + ×××× B (1)求偏转电压U的大小： 2)若粒子以大小为v=9B。 m 的速度从P点与y轴成。=30方向射入磁场，求粒子从P点运 动到速度与竖直方向成60°的过程中运动轨迹与x轴围成的面积S。 7.(2025河南南阳·模拟预测)如图，竖直虚线左方区域有水平向右的匀强电场，虚线右方 区域有垂直于纸面向里的匀强磁场。距离虚线左侧d处有A、B两点，一质量为m、带电量为 q(q>0)的粒子从A点以初速度Vo竖直向上飞出，进出磁场后，又竖直向上通过B点，该 过程中的竖直速度V,,和水平速度V,的变化关系如图2所示，该图像包括一条直线和一段圆 心在O点的圆弧，图像与y轴的交点为Y,和V2y。,已知A、B两点间距为h=5d。不计空气 阻力及粒子重力。 √2v X → d 甲 乙 (1)求电场强度的大小： (2)求磁感应强度的大小； (3)若该粒子从A点以速度竖直向下飞出，长时间来看，粒子将向下或向上漂移，求漂移速 度大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）。 8.(2025·四川巴中·模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系O少y的第二象限内，存在竖直 第6页共22页 向下的匀强电场，在y轴与P之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，x轴上方的 磁场垂直纸面向外，x轴下方的磁场垂直纸面向里，PQ过点G(2d,0)且与y轴平行。一质 量为m,电荷量为+qg>0)的带电粒子以初速度从点M(-2d,d)沿平行于x轴方向射入 电场，一段时间后从坐标原点O进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。（不计 粒子重力) ●● ● B E 0 G ×××× B ×××× (1)求电场强度的大小E; (2)若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直GQ边界离开磁场区域，求磁感应强度的 大小B: (3)若B=4m% 9d，求带电粒子从M点进入电场到离开磁场经历的时间，。 9.(2025·湖南·一模)如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀 强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴， M、N两点的坐标分别为(L,0)、(0,-V3L)。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带 电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度%射出，A点坐标为(-2L,√3L)，粒子 恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MW上的P点（图中未标出）进入磁场，经磁 场偏转后从x轴上的Q点（图中未标出）垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： 第7页共22页 3L M -21 V3LN×××× ()匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 10.(25-26高三上·河南·开学考试)如图所示的坐标系xO少，x、y轴分别水平向右、竖直 向上，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。A点是 y轴上与O点相距为L的点，图中的虚线是过A点与x轴平行的虚线。现让一质量为m、电 荷量为+9的带电粒子（不计重力）从A点以水平向右的速度射入电场，粒子经过x轴上 的B点再运动到x轴上C点，然后运动到虚线上的D点，至此完成一个周期性运动，接着粒 子完成下一个周期性运动再次回到虚线上。已知粒子在B点的速度与x轴的夹角为45°，O、 B两点间距离与B、C两点间距离相等。 ↓B Ox X XX X XX XX (1)求匀强电场的电场强度大小以及匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从A点到C点，求对时间而言所受的平均作用力的大小（力在一段时间上的等效恒力 为平均作用力)： (3)长时间看，粒子向右漂移，求粒子漂移速度的大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值 为漂移速度)。 第8页共22页 模型2带电粒子在叠加场中的运动 带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 粒子所受的合力为0 平衡条件 线运动 匀速圆 除洛伦兹力提供向心力外，另外两力的合 牛顿第二定律、圆周运动的规 周运动 力为零，即gE=mg 律 较复杂的 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零， 动能定理、能量守恒定律 曲线运动 也不与洛伦兹力等大反向 11.(25-26高二上·浙江杭州·期中)据报道，我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态 和修正轨道。图甲为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意 图。为了粗略了解离子在放电室里的运动情况，小明将“放电室”简化为：在长为L的圆筒 区域内，存在水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图乙所示），电场强度大小为E,磁感应 强度大小为B。某质量为m,电荷量为9的正离子从圆筒中心轴线的O点进入圆筒区域，其 速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为2，圆筒半径R足够大， 不计离子重力，则() 阳极9 。阴极 B →B 轴 0 E B 甲 乙 2mL A.若y=0',=0:离子在圆简里运动的时问为1 Eg B.若=0，V2=,离子在圆筒里运动加速度大小不变 C.若y=,y2=,离子在圆筒里运动洛伦兹力大小为V2Bq πmyo D.若y='y=,离子从0，点穿出圆简，L至少为B叫 12.(2025·湖南长沙·模拟预测)如图所示，平面直角坐标系xOy的x>0区域被平行于y轴的 第9页共22页 场边界M、N分成I、Ⅱ、三个区域，区域I、Ⅱ的宽度均为d,在区域I、IⅡ内有沿y轴 负方向的匀强电场，在区域Ⅱ内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅲ内有垂直于坐标 平面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等，在坐标原点O沿与x轴正方向成45°角 在坐标平面内向第一象限射出一个质量为m、电荷量为？的带正电的粒子，粒子的初速度大 小为，，粒子在区域I内运动后以垂直于M的方向进入区域Ⅱ，粒子在区域Ⅱ内做直线运动， 不计粒子的重力，求： M 。I。 Vo (1)匀强电场电场强度的大小： (2)匀强磁场的磁感应强度大小： (3)当粒子第二次在区域Ⅱ中运动的速度沿y轴负方向时的位置离x轴的距离。 13.(2025·湖南湘潭·模拟预测)我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所 示，在三维坐标系O-灯2中，x<0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场：x>0的区域存 在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B,两匀强电场的电场强度大小 相等。一质量为m、电荷量为+q9>0)的粒子，从点P(-2d,d,0)以初速度沿x轴正方向 射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： E (1)匀强电场的电场强度大小： (2)粒子在x<0区域运动的轨迹方程： (3)粒子进入x>0区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 第10页共22页 专题34带电粒子在复合场中的模型 模型总结 模型1 带电粒子在组合场中的运动 1 模型2 带电粒子在叠加场中的运动 20 模型3 带电粒子在交变电磁场中的运动 38 模型1 带电粒子在组合场中的运动 1．带电粒子在组合场中的运动 模型 运动情景 图示 先电场后磁场 带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动 先电场后磁场 带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动 先磁场后电场 带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动 两个磁场 带电粒子先在磁场Ⅰ中做圆周运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做圆周运动 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，平行于y轴的MN是平面直角坐标系Oxy第四象限内的分界线，第一象限和第四象限内MN的右侧均存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。MN与y轴负半轴之间存在沿x轴负方向的匀强电场I，第三象限存在方向平行纸面的匀强电场II（图中未画出）。一质量为m的带正电的粒子从y轴上的S点以速度v沿纸面进入磁场，v与y轴正方向的夹角为30°。粒子经磁场偏转后垂直MN进入电场I，从y轴上的P点以2v的速度进入电场II，最终从x轴上的Q点以与x轴正方向成60°角的速度离开电场II，并沿直线回到S点。已知OS=3L，OP=L，不计粒子的重力。求 (1)粒子的电荷量； (2)第四象限中电场I的电场强度大小； (3)粒子从P点运动到Q点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由几何关系可得： 由 解得 （2）粒子从MN边界进入第四象限的电场做匀加速直线运动至P点，设其运动的位移为SOM，根据动能定理有， 解得 （3）以PQ方向和垂直于PQ方向建立坐标系，则在PQ方向，粒子做匀减速直线运动，且初速度为v1，末速度为0。根据运动学规律有，， 解得 2．（2025·云南大理·一模）如图所示，平面内一电荷量为、质量为的带正电粒子（不计重力）从P点垂直于轴发射，发射速度为。平面内第二象限存在水平向右的匀强电场（场强大小未知），第一象限有垂直纸面向外的匀强磁场。粒子发射后第一次经过轴时的坐标为，粒子第一次在匀强磁场中运动时恰好不从轴射出磁场。求： (1)粒子第一次进入磁场时的速度的大小及方向； (2)磁感应强度的大小； (3)粒子第三次经过轴时的位置与第二次经过轴时的位置之间的距离； (4)粒子第五次经过轴时的位置的纵坐标。 【答案】(1)，与轴正方向成45° (2) (3) (4) 【详解】（1）第一次在电场中： 合速度 合速度与轴正方向所成角 联立解得   ，即速度与轴正方向成45° 解法2：合速度与轴正方向所成角 位移与轴正方向所成角 类平抛   合速度 联立解得 ，即速度与轴正方向成45° （2）在匀强磁场中 几何关系 联立解得 （3）第二次在电场中运动时间   竖直方向 联立解得 （4）此后粒子每在匀强磁场中运动一次，在轴出磁场的位置都会比进磁场的位置下移，每在电场中运动一次，在轴出电场的位置都会比进电场的位置上移，故 联立解得 3．（2025·广东中山·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第二、三象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电粒子以初速度自轴上的点射入电场，初速度方向与轴正方向的夹角，之后粒子经轴上的点进入第一象限，再经轴上的点进入第四象限，经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反。粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场。已知点到点的距离为，电场强度大小为，不计粒子重力，，。求： (1)粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角； (2)第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小的比值； (3)粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间。 【答案】(1) (2)4:1 (3) 【详解】（1）粒子在第二象限运动只受电场作用，沿x方向做匀速运动，其速度 沿y方向做匀减速运动，其初速度，其加速度 设粒子从P点运动到M点所需时间为t1，则 解得 则粒子运动到M点时延y方向的速度 所以粒子自点进入第一象限匀强磁场时速度与轴正方向的夹角 （2）由（1）可知，粒子进入第一象限的速度 OM的距离 设粒子在第一、四象限中的运动轨迹半径分别为r1、r2，粒子经过点时粒子的速度方向与初速度的方向相反，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 粒子进入第四象限后，恰好未返回匀强电场，根据几何关系有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 所以 （3）粒子从M点运动到N点所需时间为 粒子从N点到第3次经过轴所需时间为 所以粒子自第1次经过轴（点）到第3次经过轴的时间 解得 4．（25-26高二上·浙江·期中）在未来的深空探测任务中，我国自主研发的空间粒子调控系统正在测试一种新型带电粒子轨迹引导技术。该系统通过精确控制电磁场，实现对高能带电粒子束的聚焦、偏转与定向释放，旨在应用于太空辐射防护、粒子推进引擎以及空间站能源传输等前沿领域。如图所示，在某次地面模拟实验中，平面直角坐标系xoy的第一象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B（未知）的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场E（未知）。一带电量为q（q>0），质量为m的粒子从x轴上的点A（-L，0）沿y轴正方向以初速度v0进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的点M（0，2L）进入第一象限，并在磁场中做圆周运动，恰好经过点P（2L，0）。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的场强大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)若撤去第一象限的全域磁场，仅在某一矩形区域内加一个方向不变、磁感应强度为4B的匀强磁场，使粒子沿与x轴正方向成角斜向下穿过x轴并能通过点N（3L，0），求该矩形区域的最小面积及带电粒子进入该矩形磁场初始位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子在第二象限做类平抛运动，有 解得 （2）粒子进入第一象限时速度大小为，方向与y轴的夹角为，有 解得 由几何关系可知粒子在第二象限做匀速圆周运动的半径为 由 解得 （3）若磁场磁感应强度为4B，则粒子做匀速圆周运动的半径为 若使粒子沿与x轴正方向成角斜向下穿过x轴，则所加磁场使粒子速度偏转90°，沿y轴方向运动的位移为0，沿x轴正方向向右运动距离为 则该矩形区域的位置及大小如图，矩形区域的长边为，短边为 该矩形区域的最小面积为 设粒子进入该矩形磁场初始位置坐标为，则出磁场位置坐标为，由几何关系可知 解得 带电粒子进入该矩形磁场初始位置坐标为 【点睛】 5．（2025·浙江·一模）利用正、负离子发电的装置如图所示，它由发射区、加速区和发电区组成。发射区由正负离子源和半径均为r的两个圆形边界的磁场组成；建立以为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向下为y轴，则两圆心分别位于和处，位于处；离子源单位时间内分别向圆形磁场发射质量均为m、速度均为、数量均为N、带电量分别为和的离子，且沿各方向均匀分布，其中沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出。加速区由两个有理想边界且场强大小相等、方向相反、平行y轴的匀强电场组成，电场上下边界的距离为L，大小为。发电区由两足够长的平行金属板构成，其外侧接有阻值可调的负载电阻R，两极板间存在匀强磁场，其大小与圆形磁场区域的大小相同，方向均垂直纸面向外。不考虑离子的重力和离子间的相互作用力。 (1)求磁感应强度大小B； (2)从发出的离子沿着与x轴夹角为的斜向下方向射入磁场，求其射出圆形磁场边界的位置坐标； (3)断开开关S，求两板间的最大电压； (4)闭合开关S，调节负载R阻值，待电路稳定后，两板间电压，求此时负载消耗的电功率P。 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）根据洛伦兹力提供向心力可得 解得磁感应强度大小 （2）如图所示 沿x轴方向射入磁场的离子沿y轴方向射出，可知离子回旋半径等于磁场区域半径，故离子经过圆形磁场后均沿y轴方向射出，根据几何关系有粒子射出圆形磁场边界的横坐标 纵坐标 （3）由动能定理，有 离子进入极板时的速度 S断开时，离子在两板间匀速运动 电压的最大值为 （4）当极板间电压为U时，用以补偿电场力的洛伦兹力所需的速度满足 即 离子做圆周运动的速度分量 其半径 即位置坐标的离子能打到极板形成电流 由式②知，其对应的角度即以及向x轴上方发射的离子均打不到极板 负载R的电流 负载消耗的电功率 6．（2025·湖南·一模）带电粒子沿金属板A、B的中心轴线进入偏转电压为U（大小未知）的偏转电场，偏转电场可看作匀强电场。以金属板A、B的中心轴线为x轴，金属板A、B的右边界为y轴建立平面直角坐标系，在第一象限内存在磁场为非匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随y轴方向均匀增大，关系为，速度为的带电粒子恰好从金属板的右边缘P点射入磁场。已知金属板A、B间的距离为2d、长度为，带电粒子质量为m、电荷量为-q，不计带电粒子的重力。 (1)求偏转电压U的大小； (2)若粒子以大小为的速度从P点与y轴成方向射入磁场，求粒子从P点运动到速度与竖直方向成的过程中运动轨迹与x轴围成的面积 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在偏转电场中做类平抛运动，沿x轴方向做匀速直线运动，其运动时间 已知金属板长度，所以 沿y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度 又因为 所以 粒子在y轴方向的位移 根据 可得 进行化简 （2）设粒子在x轴方向上的分速度为，在y轴方向上以向上为正方向，根据动量定理有 整理可得 其中 并代入磁感应强度的值，即 又运动轨迹与x轴围成的面积S为 联立解得。 7．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，竖直虚线左方区域有水平向右的匀强电场，虚线右方区域有垂直于纸面向里的匀强磁场。距离虚线左侧d处有A、B两点，一质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子从A点以初速度竖直向上飞出，进出磁场后，又竖直向上通过B点，该过程中的竖直速度，和水平速度的变化关系如图2所示，该图像包括一条直线和一段圆心在O点的圆弧，图像与y轴的交点为和，已知A、B两点间距为h＝5d。不计空气阻力及粒子重力。 (1)求电场强度的大小； (2)求磁感应强度的大小； (3)若该粒子从A点以速度竖直向下飞出，长时间来看，粒子将向下或向上漂移，求漂移速度大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从A点飞出后在电场中受到水平向右的电场力，则粒子在电场中做类平抛运动。由题图2可知，粒子进入磁场后，沿x轴方向的速度逐渐减小，且粒子在磁场中沿y轴方向速度为时，沿x轴方向的速度为0，即粒子进入磁场时的速度为，沿y轴方向速度为。由勾股定理可知粒子进磁场时x轴方向速度 即 则水平方向由运动学公式知 粒子在电场中由牛顿第二定律知 解得 （2）设粒子从A点射出到进入磁场的过程竖直位移为，粒子进入磁场时其速度与竖直方向夹角为，则有 可得 设位移与竖直方向的夹角为，由平抛运动规律可知 可得 设在磁场中的运动轨迹半径为R，由对称性可知其在磁场中的竖直位移为 由几何关系知 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）若该粒子以速度竖直向下飞出，由几何关系知粒子在一个周期内竖直方向的位移大小为 粒子在电磁组合场中运动的周期为 则粒子的漂移速度 8．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二象限内，存在竖直向下的匀强电场，在轴与之间的区域存在大小相等、方向相反的匀强磁场，轴上方的磁场垂直纸面向外，轴下方的磁场垂直纸面向里，过点且与轴平行。一质量为，电荷量为的带电粒子以初速度从点沿平行于轴方向射入电场，一段时间后从坐标原点进入第四象限的磁场，假设电场与磁场有理想边界。（不计粒子重力） (1)求电场强度的大小； (2)若带电粒子只在第四象限运动一段时间后，垂直GQ边界离开磁场区域，求磁感应强度的大小； (3)若，求带电粒子从点进入电场到离开磁场经历的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带正电粒子从沿轴正方向射入电场区域： 水平方向做匀速直线运动  则 竖直方向做匀加速直线运动 在电场运动 联立解得 （2）带电粒子进入磁场的速度大小 与水平方向的夹角 若带电粒子垂直GQ边界离开磁场区域 在磁场中运动时 联立解得 （3）当时，带电粒子进入磁场速度不变，则由 解得带电粒子在磁场中的半径 当带电粒子穿过磁场时 解得 则带电粒子在磁场中运动的时间 解得时间 9．（2025·湖南·一模）如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为（L，0）、（0，）。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为（，），粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点（图中未标出）进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点（图中未标出）垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B。 (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）粒子的轨迹如图所示，在电场中做类平抛运动 则有， 又 联立解得，， 粒子运动到O点速度与x轴正方向的夹角正切，即 粒子运动到O点的速度 在磁场区域，根据几何关系可得 又洛伦兹力提供向心力，有 解得 （2）由几何关系可知，从O点到磁场之间，粒子运动的位移为L，则运动的时间 在磁场中，粒子运动的周期 则运动的时间 粒子从A点运动到Q点所用的时间 10．（25-26高三上·河南·开学考试）如图所示的坐标系，、轴分别水平向右、竖直向上，第一象限存在竖直向下的匀强电场，第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场。A点是轴上与点相距为的点，图中的虚线是过A点与轴平行的虚线。现让一质量为、电荷量为的带电粒子（不计重力）从A点以水平向右的速度射入电场，粒子经过轴上的点再运动到轴上点，然后运动到虚线上的点，至此完成一个周期性运动，接着粒子完成下一个周期性运动再次回到虚线上。已知粒子在点的速度与轴的夹角为，、两点间距离与、两点间距离相等。 (1)求匀强电场的电场强度大小以及匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子从A点到点，求对时间而言所受的平均作用力的大小（力在一段时间上的等效恒力为平均作用力）； (3)长时间看，粒子向右漂移，求粒子漂移速度的大小（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度）。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）把粒子在点的速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，则有 解得， 粒子从A到由动能定理可得 联立解得 设、两点间距离与、两点间距离均为，由类平抛运动在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动的规律可得 水平方向做匀速运动的规律可得 过、两点做粒子速度的垂线，设圆周运动的半径为，由几何关系可得 解得，， 由洛伦兹力充当向心力可得 联立解得 （2）粒子从到的运动时间为 粒子从A到由动量定理可得 根据对称性在两点上有，故速度的变化量 又 联立解得 （3）根据对称性粒子在A、两点间的距离即漂移的距离 粒子从A到的运动时间即漂移的周期 漂移速度 联立解得 模型2 带电粒子在叠加场中的运动 带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直 线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件 匀速圆 周运动 除洛伦兹力提供向心力外，另外两力的合力为零，即qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 11．（25-26高二上·浙江杭州·期中）据报道，我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态和修正轨道。图甲为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意图。为了粗略了解离子在放电室里的运动情况，小明将“放电室”简化为：在长为的圆筒区域内，存在水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图乙所示），电场强度大小为，磁感应强度大小为。某质量为，电荷量为的正离子从圆筒中心轴线的点进入圆筒区域，其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，圆筒半径足够大，不计离子重力，则（    ） A．若，，离子在圆筒里运动的时间为 B．若，，离子在圆筒里运动加速度大小不变 C．若，，离子在圆筒里运动洛伦兹力大小为 D．若，，离子从点穿出圆筒，至少为 【答案】AB 【详解】A．若，，离子在电场力作用下沿水平方向做加速运动，由于速度方向与磁场方向平行，不受洛仑兹力，故水平方向做匀加速直线运动，加速度为 又 联立解得，故A正确； BCD．由于水平方向的分速度与磁场方向平行，不受洛仑兹力，离子水平方向在电场力作用下做匀加速直线运动，径向速度方向跟电场力垂直，不受电场影响，同时跟磁垂直，受洛仑兹力，做匀速圆周运动，故其合运动为螺旋线，水平方向分加速度为 径向方向分加速度为 其中 故合加速度大小恒定，故B正确； ，离子在圆筒里运动洛伦兹力大小,故C错误； 若，，离子从点穿出圆筒，则离子径向至少转一圈运动时长 水平方向，故D错误； 故选AB。 12．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，平面直角坐标系xOy的x>0区域被平行于y轴的场边界M、N分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，区域Ⅰ、Ⅱ的宽度均为d，在区域Ⅰ、Ⅱ内有沿y轴负方向的匀强电场，在区域Ⅱ内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，区域Ⅲ内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等，在坐标原点O沿与x轴正方向成45°角在坐标平面内向第一象限射出一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子的初速度大小为，粒子在区域Ⅰ内运动后以垂直于M的方向进入区域Ⅱ，粒子在区域Ⅱ内做直线运动，不计粒子的重力，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)当粒子第二次在区域Ⅱ中运动的速度沿y轴负方向时的位置离x轴的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域I内运动过程中，根据运动的分解，竖直方向上粒子做匀减速运动，则有 根据牛顿第二定律可得 水平方向粒子做匀速直线运动，则有 联立解得 （2）粒子进入区域Ⅱ的速度大小 粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，根据力的平衡 解得 （3）设粒子第一次区域Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律 解得 设粒子第一次进区域Ⅲ时的位置坐标为，则 设粒子第二次进区域Ⅱ时的位置坐标为，则 将粒子在区域Ⅱ中的运动分解为两个分运动，一个是速度大小为且沿x轴正向的匀速直线运动，另一个初速度大小为且初速度方向沿x轴负方向的匀速圆周运动。当匀速圆周运动的分运动速度与x轴负方向成60°时，合速度方向竖直向下。设做匀速圆周运动分运动的半径为R，则有 解得 此时粒子离x轴的距离 13．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国许多科学装置利用电磁场控制和加速带电粒子如图所示，在三维坐标系中，的区域存在沿y轴负方向的匀强电场；的区域存在沿x轴正方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为B，两匀强电场的电场强度大小相等。一质量为m、电荷量为的粒子，从点以初速度沿x轴正方向射入，恰好经过坐标原点O。不计粒子重力，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子在区域运动的轨迹方程； (3)粒子进入区域后，距xOy平面最远位置的空间坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在区域仅受电场力作用，做类平抛运动，在x方向，有 在y方向，有 联立解得 （2）在区域，粒子在xOy平面内运动，有 将代入并消去时间t，得 （3）粒子在的区域同时参与两种运动：①沿x轴方向做匀加速直线运动；②在yOz平面内做匀速圆周运动。粒子到达坐标原点O时，沿y轴负方向的分速度为 联立解得 在垂直x轴的yOz平面，粒子做匀速圆周运动，有 联立解得 粒子距xOy平面距离最远时，y坐标和z坐标分别为， 从粒子经过坐标原点O开始计时，粒子距xOy平面距离最远所需时间为 其x坐标为 联立解得 因此，距xOy平面最远位置的坐标为 14．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系xOy，其第二象限内有一沿y轴负方向的有界匀强电场，上边界y＝0.25m，下边界如图中虚线所示，电场强度大小E＝4V/m；第四象限同时存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于纸面向里的磁场，电场强度大小也为E，磁感应强度大小为，其中k＝4T/m。在P（-1m，0）处有一粒子源，以v0=4m/s速度均匀地向x轴上方各个方向发射粒子，粒子电荷量q＝+8×10-6C，质量m＝1×10-6 kg。过P点有一圆形匀强磁场区域，能使占比粒子平行于x轴射入电场，经电场偏转后，全部通过原点O进入第四象限。不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求： (1)写出匀强电场边界段的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系式）； (2)圆形磁场的半径和磁场强度大小； (3)粒子从O点进入第四象限时，其速度方向与x轴正方向所成夹角的范围；粒子在第四象限运动的过程最大速率。 【答案】(1)y＝x2 （y≤0.25） (2)R=m，B1=3T (3)0°~ 45°，vm＝ 8m/s 【详解】（1）粒子在电场中的加速度m/s2 x方向﹣x＝v0t y方向y＝ 解得 y＝ （y≤0.25） （2）由几何关系可知 可得 由 解得 （3）从Q点射入电场的粒子，到达O点时＝ ＝ 得 ， 速度与x轴夹角在0°~ 45° 水平方向动量定理 即 由动能定理 得ym=0.5m，vm=8m/s 15．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与光滑半圆轨道DF相切。半圆轨道的半径，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场，电场强度，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上），磁感应强度。一质量为0.2kg的带电小球沿轨道AC下滑至C点，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，且能沿半圆轨道通过F点，不计空气阻力，，。求： (1)小球电性和电荷量q； (2)小球通过F点时对轨道的压力大小。 【答案】(1)带正电， (2) 【详解】（1）在段做直线运动，分析可知，段受力平衡，故有 解得 根据平衡可知小球带正电。 （2）设小球在段运动的速度为，段受力平衡，有 解得 小球从运动到，根据动能定理得 解得 小球通过点时受到轨道的弹力为，则 解得 由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小 16．（2025·安徽·模拟预测）如图，在坐标平面的第二象限内有平行于坐标平面的匀强电场，电场强度大小为（未知）。在第一象限内方程为的虚线将区域分为区域和区域，区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。区域II存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场及沿轴负方向、电场强度大小为的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子从点以初速度沿轴正方向进入电场，由点以大小为的速度垂直于轴进入区域，后经虚线上的点（图中未画出）垂直虚线进入区域II，不计粒子重力及电磁场的边界效应。求： (1)两点间的电势差和匀强电场电场强度的大小； (2)粒子由点到点的时间； (3)粒子在区域II中运动时，第1次和第5次经过轴的位置之间的距离。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）从到，根据动能定理可得 解得 把电场沿x轴和轴分解，由题意可得水平方向 竖直方向 电场强度 联立解得 （2）粒子在电场中运动，沿x方向做匀变速直线运动，有 由题意可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为 粒子在区域中转过的圆心角为 则粒子在区域中运动的时间为，其中 粒子由P点到A点的时间为 联立解得 （3）在区域中，洛伦兹力提供向心力 在点，对粒子用配速法，设沿x轴正方向，对应的洛伦兹力与静电力平衡，与等大反向的与的合速度对应洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，这样粒子进入区域II中的运动分解为以的匀速直线运动和以的匀速圆周运动，则有， 联立解得，沿轴负方向， 设对应的匀速圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力有 解得 其运动轨迹如图所示 粒子从第1次到第5次经过x轴，共运动了2个周期，粒子运动时间为 其中 粒子在第1次和第5次经过轴的位置之间的距离 17．（2025·广东·模拟预测）两个小球发生碰撞，如果两球的初速度不在同一直线上，叫做斜碰或者二维碰撞，如果没有外力或者忽略外力作用，则斜碰也符合动量守恒定律，只是计算总动量的时候，用矢量求和（符合平行四边形定则）。如图，真空中的竖直平面内建立xOy坐标系，x轴沿水平方向，y轴竖直向上。第一象限内有指向-x方向的匀强电场，第二象限内有竖直向上的匀强电场，以及垂直于纸面向内的匀强磁场，第一和第二象限内的电场强度大小相同。第二象限有一个油滴a，初位置在P点，坐标是（－L，L），其质量为3m，带电量为+3q，某时刻朝着x轴正方向以某一初速度开始做匀速圆周运动，x轴上的Q点（2L，0）有另一个油滴b，质量为2m，带电量为+2q，另一时刻朝着y轴正方向开始运动，初速度大小是a初速度大小的2倍，经过一段时间后，两个油滴第一次到达y轴上的M（0，2L）点发生碰撞并且迅速粘合成为一个油滴c，粘合过程中，油滴的质量和电荷量没有损失。已知重力加速度为g，不考虑两个油滴碰撞前的相互作用力， (1)求第一和第二象限的电场强度大小，以及a油滴出发的初速度v0大小 (2)求第二象限磁场的磁感强度大小，以及两个油滴出发的时间间隔 (3)求油滴c从M点出发后，第一次回到y轴的N点（图中未画出）坐标 【答案】(1)， (2)； (3) 【详解】（1）油滴a在第二象限受到重力、电场力、洛伦兹力，做匀速圆周运动，则其所受重力和电场力平衡，3qE=3mg 得 b油滴在第一象限运动，水平方向：2qE=2max 得ax=g， 竖直方向：竖直上抛运动， 得， （2）如图，由几何关系，油滴a从P到M划过圆弧轨迹，则R=L 得 周期 粒子从到的时间 得 则两粒子出发的时间间隔为 （3）油滴到达点时的水平分速度 竖直分速度 则到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 到达点时的速度为，方向朝着方向，动量为 画平行四边形，如图，合动量为 而c的质量为，则c的速度为； 与水平方向夹角， 油滴c的质量为5m，电荷量为，其重力与电场力平衡，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 得 则点的纵坐标为 点坐标 18．（2025·宁夏吴忠·一模）如图所示，在平面直角坐标系的区域内，轴两侧存在两边长为的正方形匀强磁场区域，其直线边界与轴平行，磁场方向垂直于纸面向里。在第一、二象限存在沿方向的匀强电场，电场强度大小为。一带负电粒子质量为，电荷量为，从点以速度沿方向射入电磁场区域，已知粒子正好能沿直线匀速穿过矩形区域，不计粒子重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)若撤去电场并改变粒子入射速度的大小，粒子能够到达轴上与点距离为的点，求粒子的入射速度大小； (3)保持电磁场不变，仅使粒子的入射速度大小改为，粒子恰以与轴成角方向离开磁场。若，求粒子在电磁场中运动的整个过程中粒子到轴的最远距离，以及粒子在磁场中运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据题意可知，由于带负电粒子能沿直线匀速穿过矩形区域，由平衡条件有 解得 （2）根据题意，撤去电场，粒子在磁场力的作用下做圆周运动，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得 解得 洛伦兹力提供向心力 解得 （3）增大粒子的入射速度粒子将做轮摆线运动，将速度分解为，那么洛伦兹力一个用来平衡电场力向上做匀速直线运动，另外一个洛伦兹力使粒子做顺时针的匀速圆周运动，粒子的实际运动为这两个运动的合运动。粒子运动过程中到轴的最远距离 则粒子从磁场上侧以与轴正方向成角离开磁场，在复合场中的运动的时间必为个周期，粒子圆周运动的周期 根据几何关系，有 解得 故粒子在电磁场中运动的时间 19．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图所示，整个平面内存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿轴负方向的匀强电场，匀强磁场的磁感应强度大小为，电场强度大小为，一些质量为，电荷量为的带正电粒子从原点点出发沿轴正方向以某初速度射入场区，不计粒子重力，求： (1)粒子初速度多大时，粒子沿轴做直线运动？ (2)粒子初速度多大时，粒子运动到最高点时速度刚好为0？ (3)若粒子一个周期内的运动轨迹与直线只有一个交点，求粒子初速度和运动过程中经过轴时的坐标。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子沿轴做直线运动，有 解得 （2）假设最高点离轴的距离为，由动能定理 水平方向动量定理 联立两式，解得 （3）设粒子的初速度大小为，粒子的运动轨迹与直线只有一个交点，则粒子在最低点与直线相切。 配速法：将粒子的初速度用两个速度替代，即，其中，将电场力抵消，另一分速度受到洛伦兹力提供向心力，粒子的实际运动可看做以为线速度做匀速圆周运动和以做匀速直线运动的合运动，洛伦兹力提供向心力，有 得轨道半径 由几何关系得 解得 粒子做匀速圆周运动的周期为 粒子运动过程中经过轴时的坐标为 解得 20．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，空间某区域存在的竖直向下的匀强电场，电场强度E=0.1V/m，在电场中还存在4个匀强磁场区域，磁感应强度B=0.1T，方向垂直于纸面向里。一带负电的小球（可视作质点）从离磁场1上边界h=0.45m的A处自由下落，带电小球在这个有电场和磁场的区域运动。已知每个磁场宽度均为d=0.1m，两个磁场相距也为d=0.1m，带电小球质量为，小球带有的电荷量为，g取，不计空气阻力。求： (1)小球刚进入磁场1时的速度大小及小球第一次离开磁场1时的速度大小； (2)小球第一次穿出磁场1时速度与竖直方向夹角的正弦值； (3)带电小球能回到与A同一高度处吗？如不能回到同一高度，请你通过计算加以说明；如能够回到同一高度，请求出从A处出发到第一次回到同一高度所通过的总路程（假设磁场和电场区域足够长，计算结果可以用带根号的式子表示）。 【答案】(1)， (2) (3)能， 【详解】（1）小球进入电场和磁场前做自由落体运动，根据动能定理有 解得 方向竖直向下。小球进入磁场1区域，由于mg=Eq 重力和电场力平衡，故小球做匀速圆周运动，速度大小不变，仍然为3m/s。 （2）结合上述，小球在磁场中做匀速圆周运动，则有 解得 设小球在磁场1中做圆周运动的圆心角为，其等于第一次穿出磁场1时速度与竖直方向夹角，则有 （3）小球在磁场之间做匀速直线运动，则磁场1、磁场2和磁场3中做圆周运动的半径相等，令前两段圆弧对接后所对的圆心角为，则有 三段圆弧对接后所对的圆心角为，则有 解得 故小球可以回到与A等高的位置。在三个磁场中运动的总路程为半个圆周长 小球在磁场1上边界的上方区域运动的总路程为 小球在磁场1和磁场2间的电场中做匀速直线运动，运动路程 同理得小球在磁场2和磁场3间的电场中的运动路程 则小球从A处出发到第一次回到同一高度所通过的总路程 模型3 带电粒子在交变电磁场中的运动 带电粒子在交变电、磁场中的运动 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 21．（2025·陕西渭南·模拟预测）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。 (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反大小相等并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)在（2）条件下，电子以速度沿方向进入磁场，经过第个区域磁场用时多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。以洛伦兹力为向心力做圆周运动 根据 解得 根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切 解得 （3）电子在I磁场中运动时，由于   而 电子在I磁场中偏转弧度，则    电子在I磁场中运动用时 同理在II磁场中用时 则每个磁场中用时 经过个磁场区域用时 22．（2025·山东日照·三模）如图甲所示，足够大的两平行板P、Q水平固定，间距为d，板间有可独立控制的周期性变化的电场和磁场。电场和磁场都取垂直纸面向里为正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示，电场强度随时间的变化规律如图丙所示。t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力），以初速度v0由Q板左端靠近板面的位置水平向右射入两板间。当B0、TB、TE取某些特定值时，可使粒子经一段时间垂直打在P板上（不考虑粒子反弹）。上述m、q、E0、v0、d为已知量。 (1)若只加磁场且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的时间以及水平位移； (2)若同时加电场和磁场，且磁感应强度，粒子垂直打在P板上，求粒子在板间运动的位移大小。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）若只加磁场且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 由图可知 解得 水平距离 圆周运动的周期 运动时间 （2）若同时加电场和磁场，且磁感应强度，根据洛伦兹力提供向心力 解得 粒子在磁场中的轨迹如图 圆周运动的周期 粒子在一个电场周期内，沿电场方向的速度变化为零，要使粒子垂直打到P板上，有 解得 粒子沿电场方向的位移大小 在磁场中的位移 粒子在板间运动的位移大小 23．（2025·河北·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy内，以O1（0，R）为圆心、半径为R的区域Ⅰ内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。第二象限有一平行于y轴、宽度为2R的线状电子源，电子源中心与O₁等高。在x轴上放置一定长度的薄收集板，收集板左端置于原点O处。x轴下方区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。电子源沿x轴正方向均匀发射质量为m、电荷量为e、速度相同的电子，射入圆形磁场区域后经O点全部进入区域Ⅱ（收集板左端不会挡住经过O点的电子），只有一半数量的电子打到收集板上并被吸收。忽略电子重力和电子间相互作用。 (1)求电子源发射电子的初速度v的大小； (2)求该收集板的长度； (3)现撤去区域Ⅱ的磁场，然后在x≥0且y≤0区域加垂直纸面方向的磁场，磁感应强度B'随x轴坐标变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。电子源正对O1点以原初速度射向区域Ⅰ的电子运动轨迹经过点（R，-kR），其中k>0且为已知量。求该电子轨迹上横坐标为4R的点的纵坐标。 【答案】(1) (2) (3)-4kR 【详解】（1）电子在区域I内做圆周运动，设轨道半径为R₁，根据牛顿运动定律 电子运动的轨道半径等于圆形磁场的半径：R1=R 解得 （2）做出电子在磁场中运动的轨迹如图，距离电子源中心位置的粒子打在O点时，速度方向分布在y轴左右两侧，与y轴夹角均为30°。由题意可知，距离电子源中心位置大于的区域粒子直接打到收集板上，其它电子均不能打到收集板上。   做出速度方向与y轴左右两侧夹角均为30°角的电子在区域II运动的轨迹，两电子在区域II内运动的轨迹圆心角为120°和240°；设收集板的长度为l，根据几何关系得 因为区域Ⅱ磁场磁感应强度也为B，故r=R 解得 （3）正对O1点射向区域Ⅰ的电子在区域I内做圆周运动，运动的轨道半径等于圆形磁场的半径R，电子从O点沿y轴负方向射出，速度大小为v，运动轨迹如下图。设y轴正向为正，经时间△t，由动量定理得： 所以 设题中乙图图像与x轴围成的面积为S，则 在0~R间，   解得电子经过点（R，-kR）时沿y轴负方向分速度 0~R全程洛伦兹力不做功，速率不变。可知电子经过点（R，-kR）时沿x方向分速度 在R~2R间，电子沿y轴负方向分速度由0增大到v，沿x方向分速度由v减小到0，电子在轴负方向的位移与0~R间的相同，之后重复运动，故该电子轨迹上横坐标为4R的点的纵坐标为-4kR。 24．（2025·广东·一模）上海光源是我国的重大科学装置。该装置中，电子经电场加速，进入波荡器做“蛇形”运动，产生辐射光。电子的电荷量、质量、初速度均已知，不计相对论效应及辐射带来的动能损失，忽略电子所受的重力。    (1)图甲为直线加速器简化模型，两加速电极中心有正对的小孔。为了使电子从右侧出射时动能为，求极板间的加速电压大小。 (2)图乙是波荡器简化模型，匀强磁场均匀分布在多个区域，水平面内沿轴线方向每一区域宽，纵向尺寸足够大。各相邻区域内磁场方向相反并垂直于所示平面。在点放置一电子发射装置，使电子以速率，在所示平面内与轴线成的范围内均匀发散射出。若恰有75%的电子能从I区域右边界射出。求I区域磁感应强度大小。 (3)如图丙，电子在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，其轨迹上任意两点间存在规律：。其中、为速度方向角，为两点沿轴线方向的位移。图丁为更接近波荡器真实情况的磁场（沿轴线水平向右为轴正方向，垂直纸面向里为磁场正方向），若电子从A点沿轴线向右射入，求处电子速度方向。 【答案】(1) (2) (3)速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下 【详解】（1）根据动能定理 解得 （2）根据左手定则，电子受到洛伦兹力在I区域向下偏转。洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 解得    根据题干条件，电子在角度范围内分布均匀，可知在入射角度相对轴线偏下的电子刚好无法进入II区域。由几何关系可知，若电子刚好无法从右侧射出，电子轨迹与区域I右边缘相切 联立解得 （3）将空间沿轴线方向分割成微元，经过任何一个微元，电子速度方位角的正弦值变化量近似为，其中为该微元处的平均磁感应强度。无限细分之后求和可知，速度偏向角的正弦值变化量为，其中为图线所围的面积。类比图，横轴下方面积为“负”。故有 沿轴线入射，因此，根据规律则有 解得 因此处，，即速度方向与轴线夹角45度，方向向右偏下。 25．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）如图所示，区域ABCD内存在宽度均为8a，高度均为的四个矩形匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，四个区域内匀强磁场的磁感应强度大小均相等，方向均垂直于ABCD平面。一电子枪可将电子由静止经加速电场加速后以速率从枪口射出。现将该电子枪的枪口置于AD边的中点O且枪口方向与AD边垂直，电子枪开始连续射出电子的同时，以枪口为转轴，使枪身在ABCD平面内顺时针匀速转过。已知电子的质量为m，电荷量为e，垂直AD边射入磁场区域的电子恰好从B点射出，电子在磁场中运动时速度方向始终与磁场垂直，在相等的时间内电子枪射出的电子数相等，不计电子间的相互作用。求 (1)电子枪中的加速电压U； (2)磁场区域内磁感应强度的大小； (3)从BC边射出的电子数与从CD边射出的电子数之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在加速电场中加速，由动能定理     解得 （2）由题意可得，电子每经过一个磁场区域，水平方向上的位移均为a，电子在Ⅰ区域运动轨迹如图所示 由几何关系，得     解得     由牛顿第二定律得 解得 （3）从B、C点射出的电子轨迹如图所示 设从B点射出的电子在O点速度方向和OB连线的夹角为（弦切角），由几何关系得     解得     电子枪旋转过程中，使电子从B点射出到从C点射出，该过程电子在各磁场区域中运动轨迹的弦OB绕O点顺时针旋转至OC位置，弦OB旋转的角为，弦OB旋转过的角度与电子枪旋转过的角度相同，所以 电子枪旋转过程中从某边射出的电子数与电子枪旋转过的角度成正比，则从BC边射出的电子数与从CD边射出的电子数之比为 解得 26．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为，电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 由于电子运动时间速度偏转打到边界上，可知电子轨道半径r与磁场圆半径R相等，即 又因为电子在磁场中 联立以上解得 （2）为使电子能击中磁场边界上的点，且当时，电子需运动个整周期才能回到虚线，故 因为电子在磁场中 电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 （3）经过一个周期后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示 由图可知ΔABC为等边三角形，故 且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有 且 又因为， 联立解得 27．（2025·广东惠州·模拟预测）如图（a）所示，在空间有一圆形区域磁场，磁感应强度为，方向垂直纸面向外，圆与轴相切于原点，平行于轴且与圆相切于点的电场边界MN下方有沿轴正方向的匀强电场，在空间有垂直纸面的随时间周期性变化的磁场随时间变化如图（b）所示，其中已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的挡板PQ垂直于轴放置，挡板可沿轴左右平移。质量为，电荷量为）的粒子从电场中的点以速度沿轴正方向进入匀强电场，并从点进入圆形区域磁场，接着从原点进入第一象限（此时）。已知两点沿轴方向的距离为，沿轴方向的距离为，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求： (1)匀强电场的电场强度； (2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间； (3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离轴的距离应满足的关系。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有① 水平方向，有② 竖直方向，有③ 联立解得 （2）粒子从到过程，由动能定理，有④ 解得粒子在点的速度 粒子在点时，速度与轴正方向的夹角满足⑤ 故 粒子从点运动到点，如图所示，根据几何关系可知粒子在圆形磁场内运动的圆弧轨迹所对圆心角为 粒子做圆周运动，有 ⑦ ⑧ 联立解得粒子在圆形磁场运动的时间 （3）粒子到达点时速度大小为，与轴正方向夹角，在第1、4象限内，磁感应强度为和时粒子做圆周运动的半径为和，周期为和，则 ⑨ ⑩ 联立解得 通过计算和对比图像可以发现，粒子运动轨迹为圆心角、半径和的圆弧交替变化的周期性运动，如图所示。由几何关系可知，若要粒子能够垂直击中挡板，则 ⑪ 或者 联立解得 或者 28．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 29．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，磁感应强度，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n为正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点以相同速度v0沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。 (1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值； (2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值； (3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足（n为正整数），且。将能打入条形磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m的值。 【答案】(1)， (2)， (3)5 【详解】（1）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，则 粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，t=0时刻打入的粒子在该方向v-t图像如图所示 图像面积即为0.5d，则 联立可得 （2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为 由磁汇聚可知粒子均汇聚到C点，沿x轴正向射出磁场的粒子，则必沿y轴正向射入磁场，即粒子在电场中的侧移距离为零，t时刻打入电场的粒子沿x方向的v-t图像如图所示，因其侧移距离为零，由对称性易知 或 （3）设粒子打入第n个磁场时速度与水平方向的夹角为，在该磁场中粒子圆周运动半径为粒子到达的最远磁场为第n个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示 由图可得 则 前n-1个式相加有 因 代入解得 前n个式相加有 故当，即粒子从C沿x轴正方向时取 同理，当，即打入电场的粒子时取 故 30．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy平面内y轴的左侧有宽为L的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），从x轴的P点（-L，0）进入电场区域，粒子进入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y轴平行的交变电场，（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经过交变电场后从y轴上的Q点（0，L）沿着x轴的正方向进入第一象限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求： (1)经过P点时的速度v0； (2)交变电场的场强大小E0； (3)圆形磁场区域的最小面积S。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）粒子从A点到P点，由动能定理有 解得 （2）粒子进入偏转电场中有 （n=1，2，3……） （n=1，2，3……） 联立解得 （n=1，2，3……） （3）粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，则 圆形磁场的最小半径 最小面积 解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $