精品解析：河南省洛阳市伊滨区2025-2026学年九年级上学期数学第二次月考试题

2025-2026学年九年级第二次质监数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 5. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 8. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 9. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 12. 若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 __． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 14. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 15. 如图，已知在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最大值是 _________，的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， 的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为． （1）画出，使与关于原点O 成中心对称； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后对应的； （3）在旋转到的过程中，线段扫过的面积是______．（结果保留） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根： （2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． 19. 下面是小林设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点 P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点 B． 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点Q； ②以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点 B； ③作直线 和直线． 所以直线 和就是所求作的直线． 根据小林设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）结合作图，求证：，是的切线． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点到车轮与地面的接触点之间的距离米，的长为3米，求车轮的半径． 22. 郑州市某公园计划要建造一个直径为的圆形喷水池，在喷水池的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多高？ （3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为，若（1）中抛物线表达式为，则________________（填“>”“<”或“=”）． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第二次质监数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 3. 将抛物线向下平移3个单位，再向右平移3个单位后的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，根据函数图像的平移规律求解即可． 【详解】解：向下平移3个单位后可得即，再向右平移3个单位后可得即， 故选：C． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 【解析】 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意得： ， 故选：C． 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 7. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（ ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C． 【详解】解： ∠BOD＝100°， ， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ． 故答案为：D． 8. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答． 【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径， ∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°， ∴△OAP≌△OBP， ∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1， ∴AP=, ∴AB=2． 故选A． 【点睛】本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答． 9. 如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解. 【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误； 函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误； 观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误； 根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，， x＝3即为函数对称轴，D选项正确； 故选D 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知，，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作轴于点E，连接，求出点C坐标，矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，，得到每循环4次与原图形重合，根据，得到第2025旋转结束时，点C的坐标与第1旋转结束时点C的坐标相同．根据矩形绕点O逆时针旋转1，即线段绕点O逆时针旋转，得到线段，其中点落在第二象限．求出点的坐标，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． ∵矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，， ∴每循环4次与原图形重合， ∵， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标与第1次旋转结束时点C的坐标相同， 即第2025次旋转结束时，点C落在第二象限， 如图，过点作轴于点， 则，， ，， ， ，， ， ∴第2025次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查坐标系下图形的旋转，点的规律探究，勾股定理，等角对等边，全等三角形的判定及性质．解题的关键是确定旋转过程中点的坐标规律． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称，则横纵坐标变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于原点对称的性质，理解和掌握点的对称是解题的关键． 12. 若点、、为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 __． 【答案】 【解析】 【分析】将A，B，C三点的坐标分别代入解析式，即可求出y1，y2，y3的值，再进行比较即可． 【详解】解：把代入得， 把代入得， 把代入得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y＞0时，x的取值范围为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大． 14. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 （cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 15. 如图，已知在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最大值是 _________，的最小值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、勾股定理，熟练掌握其性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 连接、，根据圆的切线的性质可得，由勾股定理可得及，当时，最小，即最小，利用三角形面积公式列方程，求解的最小值，当点与点重合时，最大，即最大，此时，据此求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：连接、，如图： 在中，，，， 由勾股定理得， 是的切线， ， ， ， 当时，最小，即最小， ， 解得， ， 即的最小值为； 当点与点重合时，最大，即最大， ， ， 即的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用十字相乘法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出的值，再代入公式求出即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度， 的顶点均在格点（网格线的交点）上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为． （1）画出，使与关于原点O 成中心对称； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后对应的； （3）在旋转到的过程中，线段扫过的面积是______．（结果保留） 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形、旋转的性质、勾股定理、扇形的面积公式，熟练掌握相关性质定理及扇形的面积公式是解题的关键． （1）由图得到点、、的坐标，根据关于原点成中心对称的性质得到点、、的坐标，顺次连接得到； （2）根据（1）中的图形得到点、的坐标，进而得到， （3）线段扫过的图形是扇形，根据勾股定理得到的长，利用扇形面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：根据勾股定理，得， 则线段扫过的面积为 ． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根： （2）若此方程的一根是1，求另一个根及m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∵， ∴． ∴方程恒有两个不相等的实数根． （2），m=2 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式，判断根的情况即可； （2）把x=1代入方程，即可求出m的值，然后利用根与系数的关系即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把x=1代入原方程得：，解得：m=2 ∴原方程为： 原方程为：x2-4x+3=0，即(x-3)(x-1)=0，解得：x1=3，x2=1． ∴，另一个根为． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握常见解一元二次方程的方法以及用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键． 19. 下面是小林设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及外一点 P． 求作：直线和直线，使得切于点A，切于点 B． 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点Q； ②以点Q为圆心，的长为半径作圆，交于点A和点 B； ③作直线 和直线． 所以直线 和就是所求作的直线． 根据小林设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）结合作图，求证：，是的切线． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：连接、， 是的直径 ， ， 、， 、是的半径， ，是的切线． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、圆周角定理、圆的切线定义，熟练掌握尺规作图的作法和圆的切线定义是解题的关键． （1）根据题干给出的作法进行尺规作图即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而得到、，根据圆的切线的定义，得到结论即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 20. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 21. 老舍先生作品《骆驼祥子》的主人翁是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人折服，如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，． （1）小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． （2）若车架端点到车轮与地面的接触点之间的距离米，的长为3米，求车轮的半径． 【答案】（1）小明的猜想正确， 理由如下： 连接， 与相切， ，即， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）车轮的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设车轮的半径为，则， ， 解得． 答：车轮的半径为米． 22. 郑州市某公园计划要建造一个直径为的圆形喷水池，在喷水池的周边安装一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形状，且喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为轴，喷水池的中心为原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各个方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多高？ （3）由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心处达到最高，且高度不变，此时，抛物线的表达式为，若（1）中抛物线表达式为，则________________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】（1） （2）米 （3）；； 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入求出的值即可； （2）将代入，求出的值即可； （3）先确定，，，设减小后的圆形喷水池的直径为，此时抛物线的表达式为，得，，将代入，推出；然后由，得；由得 ；可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得：， ∴． ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 令，， ∴这个装饰物的设计高度为米； 【小问3详解】 ∵（1）抛物线的表达式为， ∴，，， ∵由于场地受限，需减小圆形喷水池的直径，但为了美观，仍需使喷出的水柱距池中心处达到最高，且高度不变， 设此时圆形喷水池的直径为，此时抛物线的表达式为， ∴，， 将代入， 得：， ∴， ∴， ∴，即； 由，得：， 即； 由，得：， ∴， 即； 故答案为：；；． 【点睛】本题是二次函数的应用，考查了确定二次函数的解析式，确定二次函数的图象与的交点坐标，二次函数的顶点坐标公式等知识点．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D在运动过程中，的周长最小值=__________（直接写答案） 【答案】（1） ， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $