精品解析：上海市第八初级中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷

2025学年第一学期八年级数学第二次掌情评估卷 一、单选题（每题2分，共12分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个条件进行判断，即可得出结论． 【详解】A、，不是最简二次根式，错误； B、，不是最简二次根式，错误； C、=3，不是最简二次根式，错误； D、是最简二次根式，正确； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A-∠B＝∠C B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C. （b＋c）（b-c）＝a2 D. a＝7，b＝24，c＝25 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故ABC为直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故ABC是锐角三角形，不是直角三角形； C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故ABC为直角三角形； D、∵72+242＝252，∴ABC为直角三角形； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 3. 若和，都是二次根式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义进而得出答案． 【详解】解：∵和都是二次根式， ∴，， ∴，， 故选C. 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确得出关于x，y的不等关系是解题关键． 4. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质并利用SAS可证明△BAE≌△ADF，于是可得∠ABE＝∠DAF，进而可得△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF（SAS）， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠ABE+∠BEA＝90°， ∴∠DAF+∠BEA＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴∠BGF＝90°， ∵点H为BF的中点， ∴GH＝BF， 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°， ∴CF＝3， ∴BF＝＝＝， ∴GH＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，明确题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 二、填空题（每题2分，共24分) 7. 关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义ax2+bx+c=0(a≠0),列含m的不等式求解即可. 【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程， ∴m-2≠0, ∴m≠2. 故答案为：m≠2. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，满足二次项系数不为0是解答此题的关键. 8. 如果一个正数的两个平方根分别为2m-1和2-m，则这个数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平方根的定义及性质, 可知2m-1与2-m互为相反数, 而一对相反数的和是0, 据此列出关于m的方程, 解方程求出m的值, 进而得出结果. 【详解】解:一正数的两个平方根分别是2m-1和2-m, (2m-1)+(2-m)=0, 解得m=-1. 2-m=2+1=3, 这个正数为3=9 故答案为:9. 【点睛】本题考查了平方根的定义及性质. 如果一个数的平方等于a, 这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 一个正数有两个平方根, 这两个平方根互为相反数. 9. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】k＞且k≠1. 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故答案为k＞且k≠1． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义. 11. 若y=+3，则x+y=_____． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 由题意得，x﹣5≥0，5﹣x≥0， 解得，x=5， 则y=3， x+5=8 考点：二次根式有意义的条件． 12. 在实数范围内因式分解：x2﹣6x+1＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】将该多项式拆项为，然后用平方差公式进行因式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 13. 关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，则k的值为_________________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据韦达定理，得到，，代入x1+x2=1﹣x1x2，解出k的值后代入方程验证即可． 【详解】∵x1、x2为方程x2﹣2(k﹣1)x+k2=0的两个实数根， ∴，． ∵x1+x2=1﹣x1x2， ∴， ∴， 解得：k=－3或k=1． ①当k=1时，原方程为x2+1=0， ∴△=02﹣4×1×1=﹣4＜0， ∴k=1不符合题意，舍去； ②当k=﹣3时，原方程为x2+8x+9=0， ∴△=82﹣4×1×9=28＞0， ∴k=﹣3符合题意． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，需要注意应用定理的前提条件是△≥0． 14. 如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为__ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 连接，根据三线合一得出是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中点， ∴， 即是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 15. 一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是_________ 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，分两种情况讨论：已知两边可能均为直角边或其中一边为斜边，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当3和4均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：斜边， 当4为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：直角边， 综上：第三边的长是5或． 故答案为：5或． 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解． 【详解】解 （x-3m）（x-m）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 解得x1=3m,x2=m， ∴3m-m=2 解得m=1 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 17. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 18. 在中，若，，，则的面积是______． 【答案】75或25 【解析】 【分析】过点作于点，通过解直角三角形及勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示． 在中，，； 在中，，， ∴， ∴或， ∴或25． 故答案为75或25． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长度是解题的关键． 三、解答题（19题-23 题每题6分，共30分；24题-26题每题8分，共24分;27题10分) 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】分别将每项计算出来，再化简． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用公式法解答即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再利用因式分解法解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， ∴原方程的解为． 22. 已知，求的值 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 23. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边长，若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 是直角三角形，理由如下： ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ， ∴， ∴是直角三角形； 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得出，即可得出，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】略 【点睛】此题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 24. 如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． （1）求两村的距离； （2）为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 【答案】（1）米 （2） 解：没有危险不需要封锁， 理由如下： 过点作，如图所示： 利用面积相等得到，即，解得， 爆破点 周围半径750米范围内不得进入，， 在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键． （1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案； （2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且， ， 答：两村的距离为米； 【小问2详解】 略 25. 如图，∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F．若 AB=10，AC=8，求 BE 长． 【答案】BE=1 【解析】 【分析】先根据角平分线性质定理得到DF=DE，再利用中垂线性质得到CD=BD．进而证明Rt△CDF≌Rt△BDE，通过线段之间的数量关系即可求解． 【详解】解：如图，连接 CD，BD， ∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG 是 BC 的垂直平分线， ∴CD=BD， 在 Rt△CDF 和 Rt△BDE 中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=10，AC=8， ∴BE=1． 【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键． 26. 某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】（1）平均每次下调的百分率是；（2）超市采购员选择方案一购买更优惠． 【解析】 【分析】设出平均每次下调的百分率，根据从10元下调到列出一元二次方程求解即可； 根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【详解】解： 设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得． 解这个方程，得，不符合题意， 符合题目要求的是． 答：平均每次下调的百分率是． 超市采购员方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：元， 方案二所需费用为：元． ， 超市采购员选择方案一购买更优惠． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出第2次下调后价格是解题关键． 27. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形中，，，． （1）如图1，若O为的中点，求证：直线是的等腰分割线． （2）如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． （3）如图3，在，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵，O为中点， 在中，， ∴、均为等腰三角形， 则直线是的等腰分割线． （2） （3）的长度为1、、3、 【解析】 【分析】(1)利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，证出两个等腰三角形，从而说明是等腰分割线； (2)设，表示出，在中用勾股定理列方程，求解得； (3)分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类，每种情况再分“哪两边相等”的子情况，结合勾股定理、面积法计算，舍去不符合线段位置的情况． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， 在中，由勾股定理：， 即， 展开得：， 化简得：，解得， 故． 【小问3详解】 分“为等腰三角形”“为等腰三角形”两类讨论： ① 若为等腰三角形 当时，，则； 当时，Q为中点，； 当时，Q不在线段上，舍去． ② 若为等腰三角形 先求边上的高：由，得． 当时，过C作于M，M为中点． 在中，， 故； 当时，； 当时，Q为中点，． 综上，的长度为1、、3、． 【点睛】知识点：直角三角形斜边中线性质、勾股定理、等腰三角形的判定、三角形面积公式．方法：利用直角三角形性质证等腰；通过设未知数+勾股定理列方程求线段；分类讨论等腰三角形的不同情况（边相等的组合），结合面积法、勾股定理计算．关键：分类讨论等腰三角形的所有可能（哪两边相等），结合图形位置判断是否符合题意．易错点：遗漏等腰三角形的边相等情况；忽略点在线段上的位置限制（如舍去不在线段上的情况）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学第二次掌情评估卷 一、单选题（每题2分，共12分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A-∠B＝∠C B. ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 C. （b＋c）（b-c）＝a2 D. a＝7，b＝24，c＝25 3. 若和，都是二次根式，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 二、填空题（每题2分，共24分) 7. 关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则m满足的条件是_____. 8. 如果一个正数的两个平方根分别为2m-1和2-m，则这个数是______． 9. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 10. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 11. 若y=+3，则x+y=_____． 12. 在实数范围内因式分解：x2﹣6x+1＝_____． 13. 关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝1﹣x1x2，则k的值为_________________． 14. 如图，在中，D是边上的一点，，E，F分别是的中点．若，则的长为__ ． 15. 一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是_________ 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____． 17. 如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为_________． 18. 在中，若，，，则的面积是______． 三、解答题（19题-23 题每题6分，共30分；24题-26题每题8分，共24分;27题10分) 19. 化简： 20. 解方程： 21. 解方程： 22. 已知，求的值 23. 已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边长，若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由． 24. 如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且． （1）求两村的距离； （2）为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由． 25. 如图，∠BAC 的角平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F．若 AB=10，AC=8，求 BE 长． 26. 某市某水果批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种水果．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该水果，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 27. 用一条直线分割一个三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就称这条直线为该三角形的一条等腰分割线，在直角三角形中，，，． （1）如图1，若O为的中点，求证：直线是的等腰分割线． （2）如图2，已知的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度． （3）如图3，在，点Q是边上的一点，如果直线是的等腰分割线，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $