第03讲 等边三角形的性质与判定（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第03讲 等边三角形的性质与判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点2：等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点3：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 【题型1 利用等边三角形的性质求角】 例1．（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在正方形的外侧，作等边，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正方形和等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是关键．根据正方形和等边三角形的性质得到，，得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 例2．（25-26八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，在中，，，连接交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据等边三角形的性质得，，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在△中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 【题型2利用等边三角形的性质求边】 例3．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图所示，在等边中，，，则的度数为 ， ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了等边三角形三线合一的性质，难度适中．根据等边三角形角平分线与垂直平分线合一的性质即可得出的度数，再根据等边三角形三边相等的性质即可得出的长． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：，6． 例4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 变式1．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在等边三角形中，D是的中点，于点E，于点F，若，则 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后利用垂直定义可得，从而可得，最后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则 ，的长为 ． 【答案】 9或1 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：是等边三角形，点D是的中点， ，，， ，， ， ， ， ； 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交AC于点M， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或 故答案为：，9或 【题型3 利用等边三角形的性质求动点问题】 例5．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，，动点从点出发以的速度向点运动；动点同时从点出发以的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，设运动时间为秒（）．当为等边三角形时，为 秒． 【答案】2 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质列出方程求出的值． 【详解】解：根据题意可得，，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：2． 例6．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为 秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 变式1．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，点的运动速度是，点运动速度是，当点到达点时，、两点停止运动．设点运动的时间为．当是直角三角形时，的值是 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了等边三角形的性质与直角三角形的判定，解题的关键是分两种情况讨论为直角三角形的情形，利用含角的直角三角形性质列方程． 【详解】解：由题意得，，，， 分两种情况： 当时，，则，即，解得； 当时，，则，即，解得． 故答案为：或． 变式2．（25-26八年级上·天津·期中）如图，是边长为6的等边三角形，是边上一动点，由点向点运动（与，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． （1）若设，则 ；（用含的式子表示） （2）当时，求 ； （3）在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 【答案】 不变， 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角直角三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意得，然后得到，； （2）在中利用角直角三角形的性质列方程求解，根据即可求解； （3）过点作的平行线交于点，首先证明出是等边三角形，然后得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． （3）当点、运动时，线段的长度不会改变，， 理由如下： 如图：过点作的平行线交于点，   ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 故答案为：不变，． 【题型4 利用等边三角形的性质证明】 例7．（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，和都是等边三角形，点、、在同一直线上，连接 (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的边和角的特征，以及利用判定三角形全等是解题的关键． （1）通过等边三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，再推导出差角相等，利用证明三角形全等； （2）借助全等三角形的性质得到对应边相等，结合等边三角形的边长关系，计算得出的长度． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在与中，   ， （）； （2）解：由（1）， ． 是等边三角形， ． ． 例8．（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，为等边三角形，D、E分别是、上的点，且，与相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作于点H，若，，求的长度． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明≌，得到，进而解题； （2）证明，进而结合全等三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质解题． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵≌， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变式1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知是等边三角形，点是的中点，，两边分别交直线、于点、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当的两边分别交线段、延长线于点、时，作垂直于，求证： (3)如图3，当的两边分别交线段、延长线于点、时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）取的中点，连接，可得是等边三角形，进而证明，即可得证； （2）取的中点，连接，同理可得，则，即可得证； （3）取的中点，连接，得出，设，则，，，得出，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，取的中点，连接， 同（1）可得是等边三角形， ∵ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ （3）解：如图，取的中点，连接， 同理可得， ∴， ∵，， 设，则，，， ∴ ∴ 解得： ∴ 变式2．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且．若的边长为3，，求的长．（利用备用图探究） 【答案】(1)= (2)，理由见详解 (3)7或1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证明，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证明为等边三角形，得，再证明，得，即可得出结论； （3）①过点E作，交于点F，同（2）得为等边三角形，，则，，即可得出答案； ②过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， 利用平行线的性质得到，随即证得为等边三角形，通过等腰三角形三线合一定理得出对应边的长度，再通过线段间的等量关系计算得出答案． 【详解】（1）解：∵在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：， 理由：如图，过点E作，交于点F， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，交的延长线于点F， 同（2）得，为等边三角形，， ∴， ∴， ∵的边长为3， ∴， ∴． ②如图，在等边中，点E在直线上，延长线段至D，且．过点E作，延长交于点G，过点E作交于点F， ∵为等边三角形 ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴，即等边的边长为7， ∵， ∴根据等腰三角形三线合一定理，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 同理可得：， ∴． 【题型5含30°角的直角三角形】 例9．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：4 ． 例10．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，，于，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30 度角的直角三角形的性质，推出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式1．（24-25八年级上·重庆綦江·期中）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 变式2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种， 完成证明． 已知：如图1，在中，．求证：， 方法一：如图2，延长到点D，使得，连接． 方法二：如图3，在线段上取一点D，使 得，连接． 【答案】见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，再利用平角定义求出，从而可得，然后利用证明，从而可得，进而可得是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答； 若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：选择方法一： 如图：延长到点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 选择方法二： 如图，在线段上取一点D，使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【题型6 等边三角形的判定】 例11．（24-25八年级上·陕西延安·期中）如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形． 例12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定、全等三角形的性质 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 变式1．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 变式2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，点O是等边内一点，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，α为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记等边三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质、等边三角形的性质求出，根据等边三角形的判定推出即可； （2）根据全等三角形的性质及等边三角形的性质求出，，则，，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【题型7 等边三角形的性质和判定多结论题】 例13．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，、相交于点O，交于点M，交于点N，连接，则下列结论不一定成立的（   ） A． B． C．是等边三角形 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，先根据等边三角形的性质得到，判断A；然后根据全等三角形的性质判断D；再根据三角形的内角和定理判断B；然后根据的情况判断C即可解题． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故D正确，不符合题意； ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵不一定是， ∴不一定是等边三角形，故C错误，符合题意； 故选：C． 例14．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，在等边三角形内有一点D，连接、，以为边做一个等边三角形，连接，下列结论：①；②；③若，则；④若B、D、C三点共线，则，其中正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得到，，判断①②，结合等边三角形的性质判断③④，即可得出结论． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，故①②正确； 若，则：， ∴， ∴，故③正确； 当B、D、C三点共线时，则点D在线段上，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故不可能等于，故④错误； 综上：正确的有3个； 故选：C． 变式1．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，等腰，，，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】①利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ，， ，， ， ， ， ，， ；故①正确； ②由①知：，， 点是线段上一点， 与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选：A． 变式2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】通过证明，可判断①正确；通过证明，推出，，可判断③正确；通过证明为等边三角形，可判断②正确；通过，可判断④错误；在上取点H，令，构造等边三角形，证明，推出，可判断⑤正确． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，，， ， ， 又，， ， ，故①正确； ， ，即， 又，， ， ，，故③正确； ，， 为等边三角形， ， ，故②正确； ， ， ， ， ，故④错误； 如图，在上取点H，令， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， 又，， ， ， ， 故⑤正确， 综上可知，正确的有①②③⑤， 故选C． 【题型8等边三角形的性质和判定综合题】 例15．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，，相交于点．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握并应用相关性质及判定定理． （1）根据等边三角形的性质和题意，证明，可得，从而进一步得出结论； （2）利用（2）中的结论，根据全等三角形的判定可得，进一步根据全等三角形的性质得证，从而根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， 即， ， ； （2）证明：由知，≌， 则， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 是等边三角形 例16．（24-25八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（）由角所对直角边是斜边的一半得，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，则，最后等边三角形的判定即可求证； （）由是等边三角形，则，从而得出，，由角所对直角边是斜边的一半得，然后根据等腰三角形的判定得，则，再由是等腰直角三角形，且，则，求出即可； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，比较基础，难度不大． （1）根据是等边三角形和平行线的性质，可证，再根据三角形内角和为，即可求得． （2）根据题意易证，从而可得到，故此可证为等腰三角形． （3）根据等边三角形的性质可得，再根据，可得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （3）解：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴， ∴． 变式2．（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在等边中，点D，E分别是上的动点，且，交于点F． (1)如图1，填空：D，E在运动过程中，与的数量关系为：______；的度数为______； (2)如图2，过C作于P，； ①求之长； ②若，求之长； (3)如图3，于P，连接，若，求证：． 【答案】(1)相等， (2)①；② (3)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）证即可求解； （2）①由（1）可得，即可求解；②由题意得，进一步推出，求得，即可求解； （3）作，交的延长线于点，连接，证得，再证得，推出是等边三角形，证，即可求证； 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：相等， （2）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 由①可求得：， ∴， ∴ （3）证明：作，交的延长线于点，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握这一性质是关键；由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在等边中，点是边的中点， ∴，平分， ∴； 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．取中点E，连接．先证明，得到，即可得到当时，的值最小，在中，求出，即可得到线段长的最小值是2． 【详解】解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，为线段上一动点．（不与重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，则有以下五个结论：；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③错误；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ， ∴，故③错误； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，是等边三角形，D为的中点，于E，若，则的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余．根据等边三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求得即可，进而求得三角形的边长． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，则， ∵为的中点， ∴． 故答案为：4． 7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）已知、、 为的三边长，、 满足，且a为方程的解，则的形状为 三角形． 【答案】等边 【分析】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质，准确求解题中的式子是解题的关键． 根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵a，b，c为的三边长， ∴，即 ∵a是方程的解 ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 8．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得，根据是等边三角形，得到即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 9．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，点D是边上一点，过点D分别作，交于点E，交于点F，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含角直角三角形的性质，等边三角形的性质．解题的关键是证明是含角直角三角形．由，，可得是含角直角三角形．可求的长，可知的长，再由是等边三角形，则可得的长． 【详解】解：， ． ， ． 是含角直角三角形． ． ． ， ． 是等边三角形． ． 故答案为：6． 10．（2025·新疆伊犁·模拟预测）如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)30° (2)4 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，含有角的直角三角形的性质是解决问题的关键； （1）根据等边三角形性质得，再根据得，然后根据即可得出的度数， （2）证明△是等边三角形得，再根据含有角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】（1）解：△是等边三角形， ， ， ， ， △是直角三角形， 在中，， （2）解：，， △是等边三角形， ， 在中，， ． 12．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 13．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图， 在中，，，交于点G，，，点E，F分别在边，上， 连接，，． (1)求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)8 (2)证明见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解含的直角三角形，等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质． （1）先利用等腰三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质并通过解直角三角形得到的值，根据已知条件证得是等边三角形，进而求得结果； （2）先根据已知条件并利用角度的和差关系得出，证明得到，再利用等边三角形的性质及线段的等量关系求得相关证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即． 14．（吉林省长春市四校2025~2026学年上学期综合练习（期中）八年级数学）如图，在等边中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边方向匀速运动，点停止运动时，点也停止运动．分别连接，，设运动时间为秒． (1)当平分时，求的值． (2)当时，求的值． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)x的值为或3 【分析】本题考查了等边三角形的性质、一元一次方程的应用和含直角三角形的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，由题意得，进而即可求解； （2）证明是等边三角形，由题意得，，进而即可求解； （3）分两种情况：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图①，是等边三角形， ， 平分， ， 由题意得，， ， 解得， 即的值为； （2）解：如图②，是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 解得， 即的值为2； （3）解：由题意得，在中，， ∴直角只能是或，分两种情况： 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 当时：， ∴， ∵，， ∴， 解得， 综上所述，x的值为或3． 15．（25-26八年级上·云南昭通·月考）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． (1)当是等腰三角形时，求出的度数； (2)求证：； (3)当是等腰三角形时，求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的大小为或或 【分析】本题主要考查了等边三角形和全等三角形． （1）根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． （2）根据等边三角形性质得，，，得． （3）根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 【详解】（1）解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． （2）证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和中， ； （3）解：的大小为或或； 理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ， ， 时， 则， ， 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 16．（25-26八年级上·全国·期末）已知，是一个等边三角形，点E为射线上一动点（点E不与点B，C重合），连接，过点A作线段，使得，且点F在直线的上方． (1)当点E在边上运动时， ①如图1，过点F作交直线于点D，设的度数为，则的度数为 °（用含的式子表示），请直接写出线段和的数量关系： ； ②如图2，若点E为边上的中点，连接交边于点G，求证：； (2)当点E在射线上运动时，直线与直线交于点G，如果，请求出的值． 【答案】(1)，；见解析 (2)或5 【分析】（1）根据等边三角形性质得，，则，再根据可得出；根据得，由三角形内角和定理得，进而得，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出线段和的数量关系；过点F作交延长线于M，连接，则，由等腰三角形性质得，，由（1）可知，则，由此依据“”判定得，由此可判定，然后再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据，设，，则，再分两种情况讨论如下：①当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，设，则，同（1）证明，得，，再根据得，由此解出解得得，据此可得；②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，则，进而得，再证明，则可依据“”判定得，，继而得，然后证明得，则，据此可得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示： 是等边三角形， ，． ． ，且点F在直线的上方，的度数为，， ． ． 线段和的数量关系是：，理由如下： ， ． 在中，，的度数为， ． ． 在和中， ． ． 故答案为：；； 证明：过点F作交的延长线于点M，连接，如图2所示： 是等边三角形，点E为边上的中点时，，， 即． 由可知：． ． 在和中， ． ． ， ． 在和中， ， ． ． 即； （2）解：， ∴设，， ， ∵点E在射线上运动， ∴有以下两种情况： 当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点M，如图3①所示： 设，则， 同（1）证明：，， ，． ， ． 解得：， ． ． ②当点E在的延长线时，过点F作交于点H，如图3②所示： ． ． ， ． ，， ． 在中，， ． 在和中， ． ，． ． 在和中， ． ． ． ． 综上所述：的值为或5． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第03讲等边三角形的性质与判定 Q风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 【注意】 (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴： (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. ☑知识点2：等边三角形的判定 (1)定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ☑知识点3：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【注意】 (1)该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不 能应用。 (2)这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系， (3)该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切. (4)在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的 角转化后，再利用这个性质解决问题 02 练题型强知识 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型1利用等边三角形的性质求角】 例1.(25-26七年级上黑龙江大庆·月考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边ADE,则 ∠AEB= B E D 例2.(25-26八年级上·天津期末)如图，已知ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E在边AC上， 且AE=AD,则∠EDC的大小为度. E B 变式1.(25-26八年级上·湖北武汉·期中)如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线 上一点，且DB=DE,则∠E为 A 变式2.(25-26八年级上浙江温州期中)如图，ABC是等边三角形，在aACD中，AC=CD, ∠ACD=90°，连接BD交AC于点E,则∠BEC的度数为一 A B E D 【题型2利用等边三角形的性质求边】 例3.(25-26八年级上广西崇左·月考)如图所示，在等边ABC中，AD⊥BC,BD=3,则∠1的度数为 ,AB=—· 2/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 例4.(25-26八年级上辽宁葫芦岛期中)如图，点D为等边ABC中边AB上一点，DE⊥BC于点E, BD=10,EC=8,求AD的长为 D B E 变式1.(25-26八年级上吉林期中)如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E, EF⊥BC于点F,若AB=I2cm,则BF=Cm· 变式2.(25-26八年级上·浙江衢州·期中)己知在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E在AB的延 长线上，且CD=BE,连接AD,DE.AB=I0时，P,Q分别为射线AB、射线CA上的动点，且 ∠PD0=120若A0=4,则∠ADE=一，BP的长为一· D E 【题型3利用等边三角形的性质求动点间题】 例5.(25-26八年级上山东日照期中)如图，在ABC中，∠A=90°，∠BCA=60°，AC=6Cm,动点D从 点A出发以1cm/s的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，当一个点停止 运动时，另一个点也停止运动.连接DE,设运动时间为t秒(0<t<6).当△DEC为等边三角形时，t为_ 秒. 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个 D 例6.(25-26八年级上福建南平.期中)如图，在ABC中，AB=20cm,AC=12cm,∠A=60°，点P以 2cm/s的速度从B处向A处运动，同时点Q以1cm/s的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后， 另一个点停止运动，当运动时间为秒，△APQ是等边三角形. 变式1.(25-26八年级上·湖北襄阳期中)ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两 点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的运动速度是2cm/s,点Q运动速度是1cm/s,当点P到达 点B时，P、Q两点停止运动.设点P运动的时间为t(s).当△PBQ是直角三角形时，t的值是 B 变式2.(25-26八年级上·天津期中)如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点 A向点C运动（与A,C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方 向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E,连接PQ交AB于点D (1)若设AP=x,则PC ；(用含x的式子表示) (2)当∠BD=30°时，求CQ= (3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理 由 B 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【题型4利用等边三角形的性质证明】 例7.(25-26八年级上·河南安阳·月考)如图，△ACB和aECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线 上，连接BE B (I)求证：ACD≌BCE (2)若CE=6,BE=7,求AE的长. 例8.(25-26八年级上广东汕头·月考)如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且 AD=BE,AE与CD相交于点F. DF E E 图1 图2 (1)如图1，求∠CFE的度数： (②)如图2，过点C作CH⊥AE于点H,若AE=5,HF=2,求DF的长度. 变式1.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期中)己知△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∠EDF=120°，∠EDF两边分别交直线AB、AC于点E、F. B B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：DE=DF; (2)如图2，当∠EDF的两边分别交线段AB、AC延长线于点E、F时，作DH垂直AB于H,求证： AF-AE=2EH (3)如图3，当∠EDF的两边分别交线段BA、AC延长线于点E、F时，AE=1,AF=7,求线段AB的长. 变式2.(25-26八年级上广东汕头期中)己知在等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC. 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E D B D B B 图1 图2 备用图 (I)【特殊情况，探索结论】如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出 结论：AE DB（填“>“<”或“=”)： (2)【特例启发，解答题目】如图2，当E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请判断 AE和DB的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作EF∥BC,交AC于点F) (3)【拓展结论，设计新题】在等边ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC .若ABC的边长为3，AE=4,求CD的长.（利用备用图探究） 【题型5含30°角的直角三角形】 例9.(2425八年级上山西朔州期中)如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8 米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h=米 D 150 B 例10.(24-25八年级上·上海普陀阶段练习)如图，在ABC中，∠ACB=90°，LA=30°，CD⊥AB于 D,AB=4cm,则BD= B 变式1.(24-25八年级上·重庆綦江期中)如图，OP平分∠A0B,∠A0P=15°，PC∥0A,PD10A于 点D,PC=5,则aOPC的面积是= B 159 D 变式2.(24-25八年级上河南新乡·期中)已知定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半，”下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完 成证明. 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 已知：如图1，在ABC中，∠C=90,∠A=30°.求证：BC=AB, 方法一：如图2，延长BC到点D,使得CD=BC,连接AD 方法二：如图3，在线段AB上取一点D,使得BD=BC,连接CD. B B B D 图1 图2 图3 【题型6等边三角形的判定】 例11.(24-25八年级上陕西延安期中)如图，在ABC中，D是AB上一点，DE1AC于点E,ED的延 长线与CB的延长线交于点F,BD=BF,∠ABC=∠A,试判断ABC的形状，并说明理由. A E B 例12.(24-25八年级上安徽合肥期中)如图，已知ABC和ADE,点C在线段AD上， AB=AD,∠B=∠D,BC=DE, D (1)求证△ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°，连接CE,求证△ACE是等边三角形. 变式1.(24-25八年级上辽宁抚顺期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC交BC于 点G,且AD=AB,∠EDF=60°，其两边分别交边AB,AC于点E,F. 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (1)求证：△ABD是等边三角形； (2)若GD=3,DE=5,求四边形AEDF的周长. 变式2.(24-25八年级上江苏南京·期中)如图，点O是等边ABC内一点，∠A0B=110,∠B0C=, ADC≌BOC,连接OD. 110° (1)求证：△C0D是等边三角形； (2)当A0=AD时，a为多少度？ 【题型7等边三角形的性质和判定多结论题】 例13.(24-25八年级上河北保定·期中)如图，ABC和aCDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O, BE交AC于点M,AD交CE于点N,连接MN,则下列结论不一定成立的() 4 M A.ACD≌BCE B.∠A0B=60 C.△CMN是等边三角形 D.AD=BE 例14.(24-25八年级上山东德州·期中)如图所示，在等边三角形ABC内有一点D,连接AD、BD,以 AD为边做一个等边三角形ADE,连接CE,下列结论：①LABD=LACE;②BD=EC;③若LADB=150° ,则DE⊥EC;④若B、D、C三点共线，则LDEC=∠CAD,其中正确的有() 8/15 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式1.(24-25八年级上山东济南阶段练习)如图，等腰ABC,AB=AC,LBAC=120°，AD⊥BC于 点D.点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC,下面的结论：①LAP0+LDC0=30°； ②∠AP0=∠DC0;③△OPC是等边三角形；④AB=A0+AP;其中正确的是() A D A.①③④ B.①③ C.②④ D.①②③④ 变式2.(24-25八年级上·贵州铜仁期中)如图，C为线段AE上一动点（不与A,E重合），在AE同侧分别 作等边ABC和等边△ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO,则 有以下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤OA=OB+OC.其中正确的有 () B E A.①③⑤ B.①③④⑤ c.①②③⑤ D.①②③④⑤ 【题型8等边三角形的性质和判定综合题】 例15.(24-25八年级上·全国期末)已知：如图，ABC和aDEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点， AD与BE相交于点P,AC、BE相交于点M,AD,CE相交于点N,求证： M D (1)∠APM=60°； 9/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)aCMN是等边三角形. 例16.(24-25八年级上四川泸州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D是边AB的中 点，以点D为直角顶点向AB上方作等腰直角三角形DEF,边DE经过点C,DF与BC交于点G. D (1)求证：△ACD是等边三角形； (2)若DE=4,G为DF的中点，求BC的长， 变式1.(24-25八年级上浙江湖州期中)如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且 DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. A D (1)求∠F的度数； (2)求证：△CEF是等腰三角形； (3)若CD=6,求DF的长 变式2.(24-25九年级上湖北阶段练习)在等边ABC中，点D,E分别是BC,AB上的动点，且 AE=BD,AD交CE于点F E E E B D C B 图1 图2 图3 (1)如图1，填空：D,E在运动过程中，AD与CE的数量关系为： 一；∠CFD的度数为 (2)如图2，过C作CP⊥AD于P,PF=1: ①求CF之长： ②若LCEB=75°，求AB之长； (B)如图3，CP⊥AD于P,连接BF,若BF⊥CF,求证：PF=AF· 10/15