第05讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用（2知识点+6大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第05讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点2：完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 【题型1 平方差公式中项的位置变换】 例1．计算 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式．利用平方差公式计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 例2．计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．计算： 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据多项式乘以多项式运算法则及平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 变式2．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，先前面两个括号利用平方差公式计算，结果再和后面的括号利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【题型2 平方差公式中连续相乘应用】 例3．计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 先对原式进行变形，然后利用平方差公式依次计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 例4．计算： ． 【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用．在原式的前面添上，即可连续运用平方差公式进行计算，进而得出计算结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 变式1．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，首先根据平方差公式计算，然后计算乘法即可． 【详解】解： ． 变式2．（1）计算： ； ； （2）利用平方差公式进行计算： （3）计算：= ；并直接写出上面结果的个位数字是 ； （4）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果．根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中，任选一个题进行计算．（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算： ②计算： 【答案】（1），  （2）9996    （3）22048 ；6  （4）①2049300   ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、数字类规律探索 【分析】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将写成，利用平方差公式进行计算即可； （3）将原式形成，连续利用平方差公式得到结果为，再根据底数为2的幂的个位数字所呈现的规律得出答案； （4）①将相邻两项结合，再逆用平方差公式变形求解即可； ②逆用平方差公式将原式变形，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）， 原式 ， 故答案为：，； （2）原式 ； （3）原式 ； ∵，，，，，，……， 而， ∴的个位数字是6， 故答案为：，6； （4）①原式 ； ②原式 【题型3 乘法公式中简便运算变换】 例5．简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） 例6．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式及完全平方公式的应用，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式及完全平方公式． （1）把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式计算即可． （2）把原式化为完全平方公式的形式，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 变式1．简便运算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（）利用平方差公式进行运算即可； （）根据完全平方公式的逆用即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式2．用简便算法计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，含乘方的有理数混合运算等知识点，能灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算是解题的关键． （1）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （2）先变形，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 乘法公式中项数的变换】 例7．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为，再运用平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答． 【详解】 例8．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 ． 变式1．计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 变式2．计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的运用，首先将原式进行适当变形，然后应用平方差公式，再应用完全平方公式进行展开和化简． 【详解】解： ． 【题型5 乘法公式中整体代换应用】 例9．已知：，，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 根据完全平分公式的变形即可求解 【详解】（1）解：， ； （2） ． 例10．同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：求的值； （2）已知：求的值． 【答案】[基础公式] [公式变形] [应用]（1） （2） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴原式． 变式1．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 变式2．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②直接写出三个代数式、、之间的等量关系______； (2)请运用（1）中的关系式计算：若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键． （1）由题意可知，图②中的四个长方形面积和为，再根据大正方形面积减四个长方形面积等于中间小正方形面积列式，即可得到答案； （2）由（1）所得等式可知，，再根据已知条件得出，再开平方即可求解； （3）令，，则，由已知可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，， 故答案为： （2）解：由（1）所得等式可知，， ，， ， ； （3）解：令，， ， ， ， ， ， 【题型6 乘法公式中几何图形的应用】 例11．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 例12．如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据正方形和长方形的面积可直接进行求解； （2）根据图形可得结论； （3）根据（2）中的结论可得，进而利用结论进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 变式1．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示长方形． (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式________（用字母a，b表示） (2)运用以上等式计算： (3)如图3，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100，向里依次为99，98，…，1，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键； （1）根据图1和图2图形的面积相等列出等式即可； （2）利用平方差公式整理成即可求解； （3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可． 【详解】（1）解：解：①根据图1和图2阴影部分面积相等可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， 答：阴影部分的面积为． 变式2．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）利用乘法公式计算，下列方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃定西·月考）为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列变形中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据平方差公式的结构特征，需将原式变形为相同两项的和与差相乘的形式，即，从而判断正确选项． 【详解】解：∵ 平方差公式要求形式为，   ∴． 故选：D． 4．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，正确原式乘以构造平方差公式是解题的关键． 将原式乘以，即可利用平方差公式进行求解． 【详解】解： ， 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形A和两个正方形B，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用．设正方形，正方形的边长分别为，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：， 由乙得：， ，． 由丙得知：． 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海金山·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将原式变形为适合平方差公式的形式后进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式运用，利用完全平方公式解答即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算：的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为 （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】14 【分析】设，，利用正方形的性质，完全平方公式变形计算即可． 本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． 【详解】解：设，， 四边形和四边形都为正方形，且面积的和为36，， ，，，， ， ， ， 解得：， ， 故答案为： 三、解答题 11．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算－化简求值，完全平方公式，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，， ； （2）解∶ ，， ， 12．（25-26八年级上·天津·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 13．（25-26八年级上·山东日照·月考）用乘法公式计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了乘法公式在计算中的应用，熟练掌握公式和灵活变形是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）变形后利用平方差公式计算即可； （4）变形后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（25-26八年级上·重庆璧山·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 风内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 0 析教材学知识 ☑知识点1：平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=2-b2 公式的几种变化： ①位置变化：(bta)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2; (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a ②系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2 ③指数变化：(d+)(ad2-b)=(a2)2-(b)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2 ⑤连用公式变化：(a+b)(a-b)(a2+b)=(a2-b)(a+b)=(a2)2-(b)2=a-b ⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b) ☑知识点2：完全平方公式 完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍. 即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2;完全平方差(a-b)2=d2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab:③(a+b)2=(a-b)2+4ab:④(a b)2=(a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。 02 练题型强知识 【题型1平方差公式中项的位置变换】 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.计算(-2b-5(2h-5)=一 例2.计算：（-2x+3y)(3y+2x)= 变式1.计算：(2x-3y)3x+2y)-(2x-y)y+2x) 变式2.计算： 3*-*(y2- 【题型2平方差公式中连续相乘应用】 例3.计算228-3×5×24+12+124+1的结果是 例4.计算： 0 变式1.计算： (0101-9-（o4) 变式2.(1)计算：(a+bj(a-b)=；(a-l(a+l(a2+1=_: (2)利用平方差公式进行计算：98×102 (3)计算：(2+1×22+1×2+×2+1刂××(24+刂+1=：并直接写出上面结果的个位数字是： (4)数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果.根据上面用到的数学公式，从下面的两个题中， 任选一个题进行计算.（若两个题都进行计算，只第一个题得分） ①计算：20242-20232+20222-20212+…+22-12 ②计算： 〔1-xf11-41-2023-2024 【题型3乘法公式中简便运算变换】 例5.简便运算 (1)20212-2022×2020: 2202x19} 3 3 例6.简便计算： 030号x29 3 (2)972 变式1.简便运算 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)20242-2023×2025: (2)186.72-2×186.7×86.7+86.72 变式2.用简便算法计算. (1)20242-2025×2023: (2)4+4×196+982. 【题型4乘法公式中项数的变换】 例7.计算：(5a+3b-2c(5a-3b+6c 例8.计算：(2a-b+5)(2a+b-5). 变式1.计算：(3a-b+2(3a+b-2」 变式2.计算：(2x+y-3)(2x-y+3) 【题型5乘法公式中整体代换应用】 例9.已知：a-b=3,ab=1,试求： (1)a2+3ab+b2的值： (2)(a+b)的值. 例10.同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式一一完全平方 公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式(a+b)=一： 【公式变形】公式可以变形为a2+b=: 【应用】 (1)已知：a+b=8,ab=15,求a2+b2的值； (2》已知：a+。3求口+京的值. 1 d 变式1.阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配 方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：-+3”：+2x兮-2+是y-2x+4的三种不同形式的呢方。 4 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将x2-6x+4按三种不同的形式配方： 3/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)将a2+ab+b2配方（至少两种形式)： (3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b-c的值. 变式2.图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图② 的形状拼成一个正方形. m n m m n m m m ① ② (1)观察图②直接写出三个代数式(m+m)'、(m-n)'、4mn之间的等量关系： (2)请运用(1)中的关系式计算：若x+y=-3,y=2,求x-y的值： (3)若(2024-a+a-2023)2=7,求(2024-a(a-2023)的值. 【题型6乘法公式中几何图形的应用】 ab 例11.定义：对于任意四个有理数a、b、c、d,定义一种新运算： =a2+d2+bc -1-2 034: m-n m-n 2lkm2n:若km2 是完全平方式，则k= m+4n-4 (3)若有理数m、n满 m+3n=5'且4m'+2nr4m- 13 ①求mn的值； ②如图，四边形ABCD是长方形，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，连接EG、FH交于点 P,且EG、FH将长方形ABCD分割成四个小长方形，若AB=9n,BF=3n,CF=3m,DG=m,在①的 条件下，求图中阴影部分的面积. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D 例12.如图1是一张边长为α的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余 部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）· 图1 图2 (1)将图1阴影部分的面积记为S,图2的面积记为S2,若用含a、b的代数式表示S和S2,则S=_,S,= ； (2)请你判断S与S2之间的大小关系：S_S2(填“>”、“<”或“=”)； (3)利用(2)中的结论，求20242-2022的值， 变式1.如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2所示 长方形 -1- 图1 图2 图3 (1)根据图1和图2的阴影部分的面积关系，可得等式 (用字母a,b表示) (2)运用以上等式计算： 〔-0----002 (3)如图3,100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100cm,向里依次为 99cm,98cm,…,1cm,那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留π） 变式2.【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1 中阴影部分的面积可表示为：a2-b2,图2中阴影部分的面积可表示为：(a+b)(a-b),因为两个图中的 阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)川a-b) b b 6 图1 图2 图3 图4 G 图5 【结论探究】 图3是一个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成 一个大正方形 (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于(a+b)2,(a-b)2,ab的等式是_ 一 (2)若a+b=7,ab=5,求(a-b的值. 【类比迁移】 (3)如图5，点C是线段BG上的一点，以BC,CG为边向上下两侧作正方形ABCD,正方形CEFG,两正 方形的面积分别记为S,和S2,若BG=9,两正方形的面积和S+S2=47,求图中阴影部分的面积. 03 串知识识框架 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 知识点1：平方差公式 乘法公式的 灵活运用 两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍 知识点2：完全平方公式 04过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上·云南昭通·月考)下列各式中，能用平方差公式计算的是() A.(a+b)(-a-b)B.(a-b)(-a+b)C.(a+b)(a-b) D.（a+b)(a+b) 2.(25-26八年级上·广东广州期中)利用乘法公式计算982，下列方法正确的是() A.982=1002-22 B.982=1002-2×100×2+22 C.982=1002-100×2+22 D.982=1002-2×100×2-22 3.(25-26八年级上甘肃定西月考)为了应用平方差公式计算(a-b+ca+b-c),必须先适当变形，下 列变形中正确的是() A.[(a+c)-b][(a-c)+b] B.[a-b)+c][(a+b-c] c.[a-(b-c][(a-c+b] D.[a-(b-c][a+(b-c] 4.(25-26八年级上四川内江期中)计算(2+(2+1(2+12+1得() A.22-1 B.26-1 C.20-1 D.28-1 5.(25-26八年级上·全国·期末)有两个正方形A、B,现将B放在A的内部得图甲，将A,B重新放置后， 构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形 B,按如图丙摆放，则阴影部分的面积为( ) B 甲 丙 A.94 B.77 C.78 D.79 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(25-26七年级上·上海金山期中)计算：(3a-5b(-3a-5b)=一· 7.(25-26八年级上山东威海期中)计算：2022+404×198+1982=一 8.(25-26八年级上·山东威海期中)计算： (2-1(32-川4-小10-的值为一 12×22×32.…×102 9.(2025江苏连云港·模拟预测)新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的 平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”.例如：8=32-1？， 且3+1=4=2，所以8是“差方数”.则第50个“差方数”是一 10.(25-26八年级上·北京·期中)如图，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,BE=8.当 四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形，且面积的和为36时，直接写出阴影部分的面积为一（提 示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°) G 三、解答题 11.(25-26七年级上·上海普陀期中)已知ab=2,a+b=5,求： 1)(a-b)2: (2a2-1(b2-1. 12.(25-26八年级上·天津·月考)计算： (0(3x+2(3x-2-5x(x-1-(x-1)2 (2(a-2b+c (3)(a+b-2c)(a-b-2c) 13.(25-26八年级上山东日照月考)用乘法公式计算： (1)3a-b)-(a-3b)(a+3b (2)(a-2b+1)(a+2b+1 (3)51×49 (4)1012 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上·重庆璧山期中)己知，如图1所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两 个图形.请仔细观察，解决下列问题： a-b 图1 图2 图3 (1)比较图2和图3的阴影部分的面积可以得到的等式是 (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：20242-2020×2028； ②求(2+1)(2+1(24+1(2+1…24+1+1的结果的个位数字. 15.(25-26八年级上安徽阜阳月考)通过第十六章的学习，如图1可以得到：(a+b2=a2+2ab+b2: 如图2可以得到：(a-b)=a2-2ab+b2.现有长与宽分别为a,b的小长方形若干个，用四个相同的小长 方形拼成图3的图形，请认真观察图形. D H A B e F G 图1 图2 图3 图4 ①)在图3中，根据图中条件，猜想并验证(a+b)2与(a-b之间的关系： (用含a,b的代数式 表示出来)； 【解决问题】 (2)①若y=12,x2+y2=40,求x+y的值： ②当(x-300)(200-x)=2025时，求(2x-500)的值： 【拓展提升】 (3)如图4，点C是线段AB上的一点，以AC,BC为边向两边作正方形ACDE和正方形BCFG,延长GB 和ED交于点H,那么四边形BCDH为长方形.已知AB=11,图中阴影部分的面积为28，求两个正方形 的面积之和：S,+S2. 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10/10