专题03 一元一次方程（3大知识点+10大考点+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01一元一次方程的概念 知识点02等式的基本性质 知识点 知识点03一元一次方程的解法 【考点1一元一次方程的定义】 一元一次方程 【考点2利用一元一次方程的定义求参数】 【考点3已知方程的解求字母或代数式的值】 【考点4等式的基本性质】 【考点5解一元一次方程】 分支主题3 【考点6解一元一次方程错解复原】 【考点7已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【考点8已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【考点9一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 【考点10解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 》重点速记 局知识点01一元一次方程的概念 1/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.方程：含有未知数的等式叫作方程， 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次 方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 属知识点02等式的基本性质 等式的性质1等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：如果a=b,那么ac=bc,或0=b(c≠0). CC 等式的传递性如果a=b、b=c,那么a=c。 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同知识点03一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数. (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为=b(a≠0)的形式. (5⑤)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=-b(a≠0). (⑥)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相篷，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等， 则不是方程的解。 核心考点举一反三 【考点1一元一次方程的定义】 【例1】(24-25七年级上·吉林白城期末)下列式子是一元一次方程的是（) A.x-3>2x-3B.x2+x=1 C.2x-3=2 D.x-2y=0 【变式1】(24-25七年级上·全国期末)下列方程是一元一次方程的是() A.5x+1 B.3x-2y=0 C.x=4 D. 25=0 【变式2】(24-25七年级下·吉林长春·期末)下列选项中是一元一次方程的是() A.2x+3 B.2+3=5 C.2x+3>7 D.2x+3=9 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州期末)下列式子，是一元一次方程的是() A.2x-3 B.4x=3 C.2x<1 D.2x=1+y 【考点2利用一元一次方程的定义求参数】 【例2】(24-25七年级上·全国·期末)已知3x2m*+9=0是关于x的一元一次方程，则m,n应满足的条件 为m，n一 【变式1】(24-25七年级上·甘肃定西·期末)已知方程(m+1)xm+3=0是关于x的一元一次方程，则m的 值是 【变式2】(24-25七年级上辽宁铁岭期末)已知方程(a+3)x-2+4=0是关于x的一元一次方程，则 Q= 【变式3】(24-25七年级上·甘肃张掖期末)已知(k-1)x2-+5=0是关于x的一元一次方程，则 k= 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点3己知方程的解求字母或代数式的值】 【例3】(23-24七年级上北京石景山期末)若x=2是关于x的一元一次方程2x-m=5的解，则m的值 为 【变式1】(24-25七年级上：广东深圳期末)若x=5是关于x的方程ax-8=20+a的解，则a的值为 【变式2】(25-26七年级上·全国期末)已知x=1是关于x的一元一次方程ax+b=1的解，则a+b+2025的 值为 【变式3】(24-25七年级上甘肃兰州期末)已知方程ax+b-1=-4的解为x=1.则代数式 (a+b-1)(1-a-b)的值为 【考点4等式的基本性质】 【例4】(25-26七年级上广东东莞期末)根据等式的性质，下列变形正确的是() A.如果2x=1,那么2r=1 B.如果x=y,那么x-5=5-y mm C.如果x=y,那么-2x=-2y D、如果=6，那么：=) 【变式1】(25-26七年级上·全国期末)下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是() A.若a=b,则a-c=b-c B.若a=b,则ac=bc C.若a=b,则9=b D.若ac=bc,则a=b π元 【变式2】(24-25七年级上辽宁抚顺期末)运用等式性质进行的变形，正确的是() A.如果a=b,那么a-2=b+2 B.如果a=b,那么a2=2b C.如果a=b,那么=b D.如果a=b,那么a+c=b+c cC 【变式3】(24-25七年级上·甘肃武威期末)下列各式中，不正确的是() A.若a=b,则ab=b B.若a=b,则0=b c2+1c2+1 C.若ab=b,则a=b D.若a+b=2b,则a=b 【考点5解一元一次方程】 【例5】(25-26七年级上浙江宁波期末)解方程： (1)9-3x=5x+5; o2571. 6 【变式1】(24-25七年级上·河南三门峡期末)解方程： (1)3(x+1)=5x-1 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 22x+12x-1-1 6 3 【变式2】(24-25七年级上河南商丘·期末)解方程： (1)1-2(x-5=3x-4; 21 6 3 【变式2】(24-25七年级上·浙江台州期末)解方程： (1)2x-1=3; 2-3x+4-1. 52 【考点6解一元一次方程错解复原】 【例6】(25-26七年级上·全国·期末)本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 2x-0.3_x+0.4=1 0.5 0.3 解：原方程可化为： 20x-3_10x+4-1.第①步 5 3 方程两边同时乘以15，去分母，得： 320x-3)-510x+4=15..第②步 去括号，得：60x-9-50x+20=15..第③步 移项，得：60x-50x=15+9-20.…第④步 合并同类项，得：10x=4,.…第⑤步 系数化1，得：x=0.4.第⑥步 所以x=0.4为原方程的解. 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是_： (②)第_（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子 【变式1】(2425七年级上福建福州期未)下面是小明解方程2x=13。的过程： 4 8 解：去分母，得2(2x-1=8-(3-x,(第一步) 去括号，得4x-2=8-3+x,（第二步) 移项，得4x+x-8=3+2,(第三步) 合并同类项，得5x=7,(第四步) 系数化为1，符：子（第五步) 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据解答过程完成下列任务. 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请你求出该方程的解。 【变式2】(2425七年级上·贵州六盘水期末)在数学课上，杨老师给同学们出了一道解一元一次方程的 题目：中！_1=1，小明的解答过程如下： 53 解：去分母，得3(x+1)-5(x-1)=1....… (第一步) 去括号，得3x+3-5X-5=1… (第二步) 移项，得3x-5x=1-3+5... (第三步) 合并同类项，得-2x=3…… (第四步) 3 方程的两边都除以-2，得x=- 2 (第五步) ()你认为小明的解答过程从第_步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程. 【变式3】(2425七年级上山西大同期末)下面是小敏解方程+3_5x-3=1的过程，请认真阅读，并 26 完成相应的任务 解：去分母，得3(x+3-5x-3=1.第一步 去括号，得3x+9-5x+3=1.第二步 移项，得3x-5x=-9-3+1.第三步 合并同类项，得-2x=-11.第四步 宗数化为1，得x=),第五步 任务一：(1)解答过程中，第 步开始出现了错误，产生错误的原因是 (2)第三步变形的依据是 任务二：(1)该一元一次方程正确的解是 (2)请写出两条解一元一次方程时应注意的事项， 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程： 2x-53x+1 =1. 62 【考点7己知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【例7】(2425六年级下黑龙江大庆期末)已知关于x的方程x-2一=；2有整数解，则满足条件的 63 所有整数a的和为 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25七年级下·四川乐山期末)若关于x的方程k-2)x-3=1-2(x+1)的解为整数，则整数 k的取值个数为」 个 【变式2】(24-25七年级上重庆江津期末)若整数a,关于x的一元一次方程2+=2-日有非正整数解， 4 2 那么符合条件的所有整数a之和为 【变式3】(23-24七年级上重庆渝北期末)若关于x的方程2x+1+x=+的解是整数，且关于y的多 30.6 项式ay2-(a+2)y+1是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之积是_一 【考点8己知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【例8】(24-25七年级下新疆克拉玛依期末)关于x的方程，1 x+3=2x+b3的解为x=2,则关于y的 2025 方程，025y+=2y-1+6的解为 【变式1】(24-25七年级上·浙江绍兴期末)已知关于x的一元一次方程，无 2025-a=2025x的解是x=5,关 于y的一元一次方程+名-2025y=a+4050的解是一 2025 【变式2】(23-24七年级下四川广元期末)已知关于x的一元一次方程，x+7=9x+t的解为x=2023, 2024 累么关于y的元次方程2024-2列+7=-2引+1的解为 【变式3】(24-25六年级上·上海期末)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程 2024x+1=0与 为“美好方程.例如：方程2x-1=3和x+1=0为美好方程.若关于x的方程， 1 2024x1=3x+k是“美好方程”，则关于y的方程2024y+3)-1=3y+k+9的解是 【考点9一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 a b 【例9】(23-24七年级上贵州六盘水期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义新运算： ad-bc. 52 ①求43的值： (2)若 3y y =3,求y的值. 6y2y+1 【变式1】(2425七年级上河北邢台期术)规定一种关于※的新定义：※=2b-名例如： 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -2=2x-2子3 (1)计算：（-5※4； (2)若-3)※m=2-8m,求m的值、 【变式2】(24-25七年级上安徽准南期末)定义：Ax,)=十y叫作x,y的三等分点， 3 =2-四做x,y的2倍距离，如：4-55=}，B,=21-=2,试 (1)A-3,7)=-,B(-3,7=- (2)若A(-2,x)+B-2,5)=2x,则A(x,19的值. 【变式3】(2425七年级上贵州遵义期末)给出新定义如下：∫(x)=2x-2,gy)=y+3: 例如：f(2)=2×2-2=2,g-6=-6+3=3. 根据上述知识，解下列问题： (1)若x=-2,y=3,则fx+gy)= ； (2)若x<-3,化简：∫(x+gx；(结果用含x的代数式表示) (3)若f(x+g(x=5,求x的值. 【考点10解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 【例10】(24-25七年级上湖南长沙期末)“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并 列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘微在《九章算术》对方程一词给出的注释.定义：如果两 个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”. (1)若方程2x=4与关于x的方程mx=1互为“归一方程”，求m的值. ②若关于x的方程背+a=0与关于x的方程3x2_“互为归一方程，求a的值. 52 同若关于：的两个方程3x+2m+小=5与m}=m+为自一方程，求甜所有病足条件的正整 4 数m、n值. 【变式1】(24-25七年级下·四川资阳期末)定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个 方程互为“唯美方程”.如方程2x-6=0和x+2=0互为“唯美方程” (1)若关于x的方程x+m=0与方程7x-1)+3=x+8互为“唯美方程”，求m的值； (②)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n,求n的值； 8诺关于x的一元二次方程2025r+3=2+k和2035+1=0互为唯美方程，求关于少的-元-次方程 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025y+川=2y+k-1的解. 1 【变式2】(2425七年级下·江西赣州期末)新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两 个方程为“友好方程”，如：方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”. (1)若关于x的方程3x+m=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值： (2)若关于x的方程2x+3=2b与方程2(x-a)=4是“友好方程”，求a+b的值： (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为八，求的值. 【变式3】(24-25七年级上·湖南株洲期末)新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的 解，%是关于y的所有解的其中一个解，且x,满足x,+y。=100,则称关于y的方程为关于x的一元一 次方程的“景元方程”.例如：一元一次方程3x-2x-99=0的解是x。=99,方程y2+1=2的所有解是y=1或 y=-1,当y0=1时，x+y=100,所以y2+1=2为一元一次方程3x-2x-99=0的“景元方程”. (1)已知关于y的方程：①2y-2=0,②y川=2，以上哪个方程是一元一次方程x-102=0的景元方程”？请 直接写出正确的序号_： 2若关于y的方程2y-2+3=5是关于x的一元一次方程x-2x20=a+1的景元方程，请求出a的值， 3 ③)如关于y的方程2m少-49+my=m+n是关于的一元一次方程mr-45m=54m的景元方程.请求 45 出m+”的值. n ●》复习提升 一、单选题 1.(24-25七年级上湖南湘西·期末)下列属于一元一次方程的是（) A.x+2=3x B.x+4 C.x2-1=5 D.x+y=6 2.(24-25七年级上山东聊城期末)运用等式基本性质进行的变形，正确的是() A.若ac=bc,则a=b B.若a=b,则3a=2b+a C.若2a-b=4,则b=4-2a D.若-6x=3,则x=-2 3.(24-25七年级上·天津·期末)关于x的方程2(x-a=6的解是x=1,则2a+5的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(2526七年级上河北石家庄期末)在解方程二12x+3-1时，去分母正确的是（) 23 A.3x-1-4x+3=1 B.3x-1-22x+3)=6 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.3x-1-4x+3=1 D.3x-1-4x+3=6 5.(24-25七年级上全国期末)若式子3m-1和-2m+3互为相反数，则多项式m2-2m+1的值为() A.9 B.6 C.-5 D.10 6(24-25七年级上辽宁抚顺期末)定义一种新运算&ammp,：当>y时，X&y=X+):当x三时 =:当<时，营+.例：21-多已如2&x52.则x的值为《) B.2或2 D.}或%或2 1 二、填空题 7.(24-25七年级上湖南长沙期末)若(a+1)x4-2=0是关于x的一元一次方程，那么a=一 8.2425六年级下山东泰安期末)当=一时，代数式'号的值与21的值互为相反数。 6 9.(2425七年级下重庆万州期末)小玉解关于x的方程21-x+3-1,在去分母时，方程右边的 32 “-1”项没有乘以6，因而求得的解是x=10,则a的值为 10.(24-25七年级上浙江宁波期末)若x=3是关于x的一元一次方程r-b=。的解，则3-6a+2b的值 2 为 11.(23-24七年级上·重庆九龙坡期末)已知关于x的方程3x-(ax-2)=6有正整数解，则整数a的所有可 能的取值之和为」 12.（25-26七年级上江苏宿迁·期末)关于x的方程ax+3=2x-b有无数多个解，试求 (a+b)20ix-ab ,x=a-b+5的解为一 a+b 三、解答题 13.(24-25七年级上·甘肃兰州期末)解方程 (1)4x-34-x=2. 2)2-3x-5-6-x 43 14.(24-25七年级上·甘肃武威期末)解方程： 02x-3-3+2 48 20.1r02_x+1-3 0.020.5 15.(2425七年级上甘肃武威期末)当m等于什么数时，代数式m-m二1与代数式7_m中'的值相等. 3 5 10/12 专题03 一元一次方程 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 一元一次方程的概念 1.方程：含有未知数的等式叫作方程． 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方程。 细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。 知识点02 等式的基本性质 等式的性质1 等式的两边都加上（或都减去）同一个数或式，所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的性质2 等式的两边都乘或都除以同一个数或式（除数不能为零），所得结果仍是等式。 字母表达式为：． 等式的传递性 知识点03 一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 【考点1 一元一次方程的定义】 【例1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）下列式子是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟知：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，是解题的关键． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、是一元一次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选： 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，难度较小．根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程”作答即可． 【详解】解：A、是代数式，不满足一元一次方程的定义，该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不符合题意； C、，是一元一次方程，该选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【考点2 利用一元一次方程的定义求参数】 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则m，n应满足的条件为m ，n ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃定西·期末）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是，系数不为，则这个方程是一元一次方程．可根据未知数的系数及未知数的指数列出关于的方程，继而求出的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 【考点3 已知方程的解求字母或代数式的值】 【例3】（23-24七年级上·北京石景山·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·广东深圳·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为 【答案】7 【分析】把解代入方程，解方程求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解，即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故答案为：7． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，先根据方程的解满足方程求得，再代值求解即可． 【详解】解：把代入关于x的一元一次方程中，得， 所以． 故答案为：2026 【变式3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 【考点4 等式的基本性质】 【例4】（25-26七年级上·广东东莞·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质：等式两边加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，结果仍相等． 根据等式的性质逐一判断各选项是否满足正确即可． 【详解】解：A：当时，分母为零，变形错误； B：由，应得，而非，变形错误； C：由，两边同乘，得，正确； D：由，两边同乘2，得，而非，变形错误． 故选C． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）下列式子是运用等式的性质进行的变形，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是明确等式两边同时除以同一个数（或式子）时，这个数（或式子）不能为零． 若，根据等式性质1（等式两边同时加或减同一个数，等式仍成立），两边同时减可得，故A正确；根据等式性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为零的数，等式仍成立），两边同时乘可得，故B正确；是不为零的常数，两边同时除以可得，故C正确；若，当时，两边不能同时除以，此时不一定等于，故D错误． 【详解】解：A、若，根据等式性质1，等式两边同时减去，得，此选不项符合题意； B、若，根据等式性质2，等式两边同时乘，得，此选项不符合题意； C、若，，根据等式性质2，等式两边同时除以，得，此选项不符合题意； D、若，当时，等式两边不能同时除以，此时不一定等于，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意； B、如果，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意； D、如果，那么，原写法正确，符合题意， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 【考点5 解一元一次方程】 【例5】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·河南三门峡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化，即可解方程． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式2】（24-25七年级上·浙江台州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 【考点6 解一元一次方程错解复原】 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：．……第①步 方程两边同时乘以15，去分母，得：．……第②步 去括号，得：．……第③步 移项，得：．……第④步 合并同类项，得：．……第⑤步 系数化1，得：．……第⑥步 所以为原方程的解． 上述小亮的解题过程中： (1)第②步的依据是 ； (2)第 （填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子． 【答案】(1)等式基本性质2 (2)③； 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1． （1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得； （2）根据一元一次方程的解法，结合小亮同学的解题过程分析即可． 【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2； 故答案为：等式基本性质2； （2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：． 故答案为：③；． 【变式1】（24-25七年级上·福建福州·期末）下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 合并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你求出该方程的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②三，移项时要变号；任务二：见解析 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①回忆等式的性质，判断去分母这一步骤所依据的性质．②依次检查每一步骤，找出错误步骤并分析原因． 任务二：按照解一元一次方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解方程． 【详解】解：任务一 ①等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立．在第一步去分母时，方程两边同时乘8，依据的就是等式的基本性质2． ②第三步开始出现错误．移项的依据是等式的基本性质1，移项时要变号，而在这一步中，从右边移到左边应该变为但小明没有正确变号，没有移项却改变了符号． 任务二， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 【变式2】（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）在数学课上，杨老师给同学们出了一道解一元一次方程的题目：，小明的解答过程如下： 解：去分母，得…………………………（第一步） 去括号，得…………………………………（第二步） 移项，得………………………………………（第三步） 合并同类项，得……………………………………………（第四步） 方程的两边都除以-2，得……………………………………（第五步） (1)你认为小明的解答过程从第 步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，见解析 【分析】此题考查解一元一次方程方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）检查小明解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，求出正确的解即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程从第一步开始出现错误； 故答案为：一 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 方程的两边都除以，得 【变式3】（24-25七年级上·山西大同·期末）下面是小敏解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 任务一：（1）解答过程中，第______步开始出现了错误，产生错误的原因是______； （2）第三步变形的依据是______； 任务二：（1）该一元一次方程正确的解是______； （2）请写出两条解一元一次方程时应注意的事项． 任务三：小敏改正错误后，挑选了同类题型进行了巩固，请你和她一起解所选的方程：． 【答案】任务一：（1）去分母时，1漏乘了6；（2）等式的基本性质；任务二：；（3）答案不唯一，见解析；任务三： 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 任务一：（1）根据去分母法则判断即可； （2）根据等式的基本性质求解即可； 任务二：（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可； 任务三：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：任务一：（1）解答过程中，第一步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，1漏乘了6； （2）第三步变形的依据是等式的基本性质； 任务二：（1） 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （3）移项要变号（答案不唯一）； 任务三：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【考点7 已知含参数一元一次方程的解为整数解求参数的值】 【例7】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·四川乐山·期末）若关于的方程的解为整数，则整数的取值个数为 个． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取符合题意的解，即可求解； 【详解】解： ， ， ∵x，k为整数， ∴或． 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级上·重庆江津·期末）若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：． 【考点8 已知含参数一元一次方程的解求另一元一次方程的解】 【例8】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）关于的方程的解为，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念，将方程变形为看成关于的方程即可进行计算即可． 【详解】解：， 则原方程化为，移项得 ∵关于的方程的解为， ∴的解为，即 即的解为 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先把关于y的一元一次方程写成的解形式，再根据关于x的一元一次方程的解是，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于x的一元一次方程的解是， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解是：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·四川广元·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【考点9 一元一次方程中与运算有关的新定义型问题】 【例9】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解：． （2）解：因为， 所以， 解得． 【变式1】（24-25七年级上·河北邢台·期末）规定一种关于“”的新定义：，例如：． (1)计算：； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、解一元一次方程、求代数式的值，理解题中的新运算是解此题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）∵， ∴， 解得． 答：m的值为． 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）定义：叫作，的三等分点，叫做，的2倍距离．如：，，试求： (1) ， ． (2)若，则的值． 【答案】(1)；20 (2)9 【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，解一元一次方程等知识，理解题中的新定义是解题的关键； （1）由两个数的三等分点及2倍距离含义即可求解； （2）由两个数的三等分点及2倍距离含义得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，再代入可求出两个数的三等分点． 【详解】（1）解：；； 故答案为：；20； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：， 则． 【变式3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）给出新定义如下：，； 例如：，． 根据上述知识，解下列问题： (1)若，，则 ______； (2)若，化简：；（结果用含x的代数式表示） (3)若，求x的值． 【答案】(1)12 (2) (3)或0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值的含义，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）把，代入，进一步计算即可求解； （2）根据绝对值的性质化简即可求解； （3）由得出，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ． （2）解：当， 则 ． （3）解：∵， ∴， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得（舍去）； ∴x的值为或0． 【考点10 解一元一次方程中的新定义型拓展问题】 【例10】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，则称这两个方程互为“归一方程”． (1)若方程与关于x的方程互为“归一方程”，求m的值． (2)若关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”，求a的值． (3)若关于x的两个方程与互为“归一方程”，求出所有满足条件的正整数m、n值． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，已知方程的解求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先解得，因为方程与关于x的方程互为“归一方程”，得中的，则，即可作答． （2）先分别把方程与方程表示出的代数式，再结合新定义进行列式得，再解方程，即可作答． （3）与（2）同理得，，再结合新定义进行列式得，再解方程，根据m、n为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴中的 即 ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵关于x的方程与关于x的方程互为“归一方程”， ∴ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵关于x的两个方程与互为“归一方程” ∴ ∴ ∴ 则 ∴ ∴ ∵m、n为正整数 那么，此时，； 或，此时，； 综上：，或， 【变式1】（24-25七年级下·四川资阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值； (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元二次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是解一元一次方程的应用，正确理解“唯美方程”的定义是解题关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“唯美方程”的定义，即可求出m的值； （2）根据“唯美方程”的定义，表示出方程的另一个解，再根据两个解的差为7，即可求出n的值； （3）先求出方程的解，进而得出的解，再将方程可化为，即可求出的值． 【详解】（1）解：解得：， 解得：， 方程与方程互为“唯美方程”， 解得：； （2）解：由题意得，当，即时， ，解得， 当，即时， ，解得， 综上所述：或； （3）解：由得 ， 所以的解是， 将整理得 ， 所以， ． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 【变式3】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于的一元一次方程（）的解，是关于的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号 ； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”，请求出的值； (3)如关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”．请求出的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，新概念等知识，掌握新概念，理解一元一次方程的解，正确解一元一次方程是解题的关键； （1）分别求出各方程的解，根据“景元方程”的定义进行判断即可； （2）求出与的解，再根据题意即可求解； （3）求出的解，再根据求得，代入中，化简求得m与n的关系，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：； 方程的解为，方程的解为或； 当时，，则方程①不是的“景元方程”； 当时，，则方程②是的“景元方程”； 故答案为：②； （2）解：， 整理得：， 解得：或； 方程整理得：， 解得：； 由于关于的方程是关于的一元一次方程的“景元方程”， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，或； （3）解：解得：， ∵， ∴， 代入中，得， 整理得：， ∴， 解得：或， ∵， ∴当时，； 当时，； 综上，的值为或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）下列属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，依次对每个选项进行判断，排除不符合定义的选项，从而确定正确答案．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一元一次方程是只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程． ∵选项B不是等式，不满足方程的定义， ∴选项B不是一元一次方程． ∵选项C中未知数的次数是2， ∴选项C不是一元一次方程． ∵选项D含有两个未知数和， ∴选项D不是一元一次方程． ∵选项A只含有一个未知数，未知数的次数是1，且等号两边都是整式， ∴选项A是一元一次方程． 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东聊城·期末）运用等式基本性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，得到，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·天津·期末）关于的方程的解是，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 根据方程解的定义，把解代入方程后求出，然后代入求解即可． 【详解】∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）在解方程时，去分母正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，在去分母时，方程两边同时乘以分母2和3的最小公倍数6，注意每一项都要乘以6，包括常数项，且保持括号正确. 【详解】解：， 方程两边同时乘以6，得： 化简得：， ∴去分母正确的是选项B 故选：B． 5．（24-25七年级上·全国·期末）若式子和互为相反数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，相反数和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由题意解一元一次方程可得：，再根据代数式求值的知识，即可求解； 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， 解得：， ∵， 把代入，即， 故选：A； 6．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&amp;”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）若是关于x的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的定义，即可解答． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 8．（24-25六年级下·山东泰安·期末）当 时，代数式的值与的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得到，结合解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：∵代数式的值与的值互为相反数， ∴， 去分母得，， 解得，， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·重庆万州·期末）小玉解关于的方程，在去分母时，方程右边的“”项没有乘以6，因而求得的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得是方程的解，据此把代入方程中计算求解即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，代数式的求值．由方程的解得到，再将代数式变形得，代入计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， 故答案为：2． 11．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有正整数解可得，2 ，4，且，求出a的值，再求和即可． 掌握“方程有整数解，则分母必是分子的因数”是解题的关键． 【详解】 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有正整数解， ，2 ，4，且， 解得，1，且， ∴数的所有可能的取值之和为． 故答案为：2 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）关于的方程有无数多个解，试求 的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，由方程有无数多个解，可知其系数和常数项均为零，从而求出和的值．再将和代入方程 中，计算并求解 ． 【详解】解：方程 移项得 ． ∵方程有无数个解，， ∴且， 解得，． 代入方程， 得：， 即， ， 解得； 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和求解步骤是解答的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可； （2）先化各项系数为整数，再根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1的运算顺序解方程即可． 【详解】（1）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 故原方程的解为； （2）解：原方程化为，即 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得 故原方程的解为． 15．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）当m等于什么数时，代数式与代数式的值相等． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意列出方程，求解即可． 【详解】∵代数式与代数式的值相等． ∴， 去分母得：， 去括号得：， 解得：． 16．（24-25七年级上·山东德州·期末）（1）解方程： （2）已知关于x的方程 的解比方程的解大2，求m的值 【答案】（1） （2）m的值为6 【分析】本题考查了一元一次方程的解法以及利用方程解的关系求参数的值．解题的关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1等解方程步骤，并能根据两个方程解的数量关系建立等式求解参数． （1）先去括号去掉方程两边的括号，再通过移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两边，合并同类项后将未知数系数化为1，得到方程的解． （2）先求解第二个方程的解，再用含 m 的式子表示第一个方程的解，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大2”列等式，求解 m 的值． 【详解】（1）解：去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为 1 得： （2）解：先解方程： 移项得： 合并同类项得： 由题意，方程的解为 将x = 4代入方程 左边 列等式： 两边同乘2去分母得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为 1 得： ∴m 的值为 6． 17．（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)计算的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程定义，整式加减——化简求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据一元一次方程的定义：未知数的最高项的次数为且系数不为零，求出的值即可； （）先化简，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解： ， 当时， 原式 ． 18．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 19．（24-25七年级上·河北保定·期末）定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式 ； （2）解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， ， ， ． 20．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程为“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知“美好方程”的定义是解题的关键： （1）分别解方程得到两个方程的解，再根据“美好方程”的定义即可得到结论； （2）先求出方程的解，再根据“美好方程”的定义得到方程的解，据此得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与方程为“美好方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程与方程为“美好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴关于的方程得解为， ∴， ∴． 22．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为______． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“毓德方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得 ∴， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”，， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， ∴． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $