山东省实验中学2025-2026学年高二上学期第三次诊断性考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 山东省实验中学2024级高二第三次诊断性考试 数学试题 2026.1 (本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟) 注意事项： 1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.非选择题的作答：用0.5m黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知a=(2,-1,-1),五=(k,-l,1),若a-i与a垂直，则k=（) A.-3 B.-2 C.2 D.3 2.已知曲线C:￡+ 。=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆的（条件 4a3a+ A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 3.已知过点P(-1,-2)且斜率为k的直线1与抛物线C:y2=-8x交于A,B两点，且P为 线段AB的中点，则k=( A.2 B.-2 C.4 D.-4 4.在四棱锥P-ABCD中，A西=(4，-2,3)，AD=(-4,1,0),AP=（-3,1,4),则这个四 棱锥的高h等于（) A.26 B.13 C.2 D.1 5.已知圆C:x2+y2-2x-2y=0,P为直线1：x+y+2=0上的一个动点，过点P附圆C的 两条切线PA,PB,切点为A,B,当PC:AB最小时，直线AB的方程为（) A.x+y-2=0B.x+y-1=0 C.2x+2y-3=0 D.2x+2y-1=0 数学试题第1页共4页 6.己知F为椭圆m2+y=4m(0<m<1)的右焦点，点448,2，点P为椭圆上任意 点，且PA-P的最小值为-手，则m=() A.号 B.2W2 3 C.2w2 9 7.已知A是圆C:x2+y2=1上的一个动点，且直线x+y-2m=0与直线 x-m-6=0交于点P,则对于任意实数m,PA的取值范围是() A.(17] B.[1,7] c.(2,6 D.[2,6] 8.F,乃为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，P为它们的公共点，O为坐标原点，且 2 1 P0=FO,只，62分别为椭圆和双曲线的离心率，则二+二的最大值为（) ee, A.2W2 B.√0 C.2W3 D.v10 二、多项选择题：本题共3小趣，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.以下四个命题表述正确的是 A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线1的方程为x+y=5 B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线1：x-y+√2=0的距离都等于1 C.曲线C:x2+y2+2x=0与C2:x2+y2-4x-8v+m=0恰有三条公切线，则m=4 D.已知直线c-y-k-1=0和以M(-3,1)、N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的 取值范圈为k≤ 0已知双酯线号名=10>0，F为其右能点。点F到新近装的距离为1，平行四 2 边形ABCD的顶点在双曲线E上，点F在平行四边形ABCD的边上，则 A.b=2 B.AF-CF=2V3 C。若平行四边形48CD各边所在直线的斜率均存在，则其值均不为士 3 85 D.四边形ABCD的面积SAaD≥ 3 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD中，O为AC和B,D,的交点，点N在线段 CD上，NC=2ND,E,F分别为棱B,B和B,C的中点，则下列选项正确的是() 数学试题第2页共4页 A.若点P是线段AD上一动点，则直线PB∥平面BCD B.若点2是平面A4D,D内一点，且满足∠AOB=∠DON,则点Q的轨迹是椭圆 C.若点M为平面CBD内一点，且满足OM1BD,则OM的最小值为4 3 D.过线段BD且垂直于平面A,EF的截面图形为等腰梯形 第川卷（非选择题，共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(3,3,2),=（11,0)，则向量a在向量i上的投影向量的模为一 13.已知点A是圆x+y2=4上的一动点，点B(2,4),点P是线段AB的中点，则动点P 的轨迹方程是 14.已知0为坐标原点，抛物线C:y2=2x(p>0)上一点P(2,%)到其焦点的距离为 3,过C的焦点F的直线交C于4B两点，当SAon=2√2时，FAFB的值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.己知直线：2x-3y+7=0与2：3x+y-6=0的交点为P,圆C的圆心在x轴上，且过 点P和点Q3,5. (1)求C的标准方程； (2)若过点(-1，)的直线1与C交于A,B两点，且4B=25，求1胸一般程 16.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，P是CC的中点，M是AP的中点N在线段 BC上，且CN=3BN,AB=CC=4. (1)求证：MW//平面ABC: (2)求直线N与平面ABC所成角的正弦值. 数学试题第3页共4页 17.已知抛物线C:x2-2四（p>0)的焦点F到直线y=x-1的距离为√反，不过原 点的直线l与C交于A,B两点 (1)求C的标准方程； (2)若直线1的方程为y=2x-1,求AB: (3)若OA垂直于OB,求证：直线I过定点. 18.设A、B两点的坐标分别是-5,0(5,0，直线4M,BM相交于M,且它们的 斜率之积为-}点M的轨迹构成的曲线记为B。 (1)曲线E的方程； (2)若直线：y=c+m(k≠O)与曲线E相交于不同的两点C、D,点P是曲线E上的动点 (异于C、D). (i)当m=0时，若直线PC,PD斜率均存在，判断kkp是否一定是定值，并证明你 的结论； (i)当点P的坐标为(O,-1)时，PC=PD,求实数m的取值范围。 19.如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为长方形，AD=2AB=2,O为AD的中 点，OP⊥AD,OP=1,BP=5 (1)证明：OC⊥平面OBP; (2)点E为底面ABCD所在平面内的任意一点（E在长方形 B ABCD外，∠EAD和∠EDA均为锐角)，且AE+DE=2W2 (i)若平面APE和平面DPE的夹角为O,求cosO的最大值； ()请判断是否存在点E,使得五棱锥P-ABCDE存在外接球，若存在，求出外接球 的半径；若不存在，请说明理由 数学试题第4页共4页 12月高二诊断性考试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A D B D A B BC BCD ACD 三、填空题 12.3√5 13.(x-1)2+(y-2)2=1 14.8 四、解答题 2x-3y+7=0 15.【详解】(1)联立 3x+p6。,得x二，即P13…·1分 设圆心C的坐标为(a,0)，半径为r,由圆C过点P和点Q3,√5)，则CP=C②=r, 即r=v1-a'+3-0=V3-a2+(5-02,解得a=1,所以r=3, 故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=9；· 5分 (2)因4=25，则圆心C到直线1的距离为d=9-(5°=2， ①当1斜率不存在时，1的一般方程为x+1=0,此时d=2,符合题意；·8分 ②当l存在斜率时，设1的方程为y-1=k(x+1),即-y+k+1=0, 则1-长t点-2，烟子 Vk2+(-1)2V2+1 所以1的一般方程为3x-4y+7=0,… ··12分 综上所述，直线1的一般方程为3x-4y+7=0或x+1=0.。 ·13分 16.【详解】(1)如图，设AC的中点为D,线段BC的四等分点为E,且CE=3BE,连接MD, DE,NE,则 能x-w限=c,hacG. M为AP的中点，D为AC的中点，.MD∥CC,MD=二CP, 又P是CC,的中点，MD=CC.E∥DM,NE=DM, .四边形DMWE是平行四边形，………………4分 ∴.MN∥DE,又MN立平面ABC,DEC平面ABC, ∴.MN∥平面ABC.… …6分 答案第1页，共6页 (2)设AC的中点为Q,连接DB,DO,易知DB,DQ,DC两两互相垂直. 以D为坐标原点，向量DB,DC,D四的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的 空间直角坐标系Dgz, 则A(0,-2,0),B(25,0,0),C(0,2,4),M(0,0,1), B 丽女（晋兽 项-59，西-ei20, B AC1=(0,4,4).·……… …8分 设平面ABC,的法向量为m=(x,y,z), 则 m:孤=25x+2y=0取y=-5,则x=l,2=5, m·4AC=4y+4z=0, 平面ABC,的一个法向量为m=(山，-V5,V5).…11分 设直线MN与平面ABC,所成的角为0，则 3w m-MN 2-5xt5x0 sin0= MN 7,…14分 即直线MW与平面ABC所成角的正弦值为固 ·15分 17.【详解】(1)抛物线C:x2=2py的焦点F0,), +1 由F到直线y=x-1的距离为V2,得2 =√2 √2 而p>0,解得p=2, 所以抛物线C的标准方程为x2=4y.。 …3分 答案第2页，共6页 (2)由 y,2x-1消去y得-8x+4=0,… ”5分 1x2=4y 设A(x,)B(x2y2), 解得x=4+2W5,x=4-2W3,所以ABV1+22x-x2=4W5.…9分 (3)设直线1的方程为y=+1=0,点A0子，B(,2, y=kx+t 由=4y 消去y得x2-4x-4t=0,…………………11分 当△=16k2+16t>0时，xAxg=-4t, 由O1垂直于0B,得O.0i=x,+2至-4+2=0，而≠0，解得1=4，…14分 44 则直线1的方程为y=x+4,所以直线1过定点(0,4).…15分 18.【详解】(1)设点M的坐标为(x,),则kkw=yG’5=- x+V3x-V33’ 化简得2+2=3即写+=士.…3分 2)①kkn=-号（定值， 证明如下：当m=0时，易得C、D两点关于原点对称， 设P(s,,C(G,6),则D(-x,%),所以kkp=.-为-t_- ，…5分 0-8-x-ss2-x 而P(s,),C(xo,%)均在曲线E上， 所-}引e动 从而kpckp 6-),证毕… 0…8分 s2-x3 (i)由题意知，当k≠0时，显然m≠0； 设C(x,),D(x2,y2),CD的中点为H, 答案第3页，共6页 y=1→6+0r46ar+3m-30, y=kx+m 由x2 由△=36k2m2-432+1)(3m2-3)>0,得32>m2-1①， B -6km x+为= 3k2+1 则= 3km 3k2+1 yn=ky+m= 11 2+1’ 所以H 3km m 3k2+1'3k2+1 0…11分 1 因为PC=|PD,则PH⊥CD,从而k阳km=-l,即k=- h +1 而P(0,-),所以kw=32 3k2+m+11 -3n 化简得3k2=2m-1,…14分 -3kmn 3k2+1 由3k2=2m-1>0得m>2②，将3k2=-2m-1代入①， 则2m-1>m2-1,得：0<m<2③，由@®得)<m<2, 又因为m≠士V3k,再由3k2=2m-1,知m≠1， 综上，实数m的取值范围为 2L2.…17分 19.【详解】(1)证明：因为OA=l,AB=1,所以0B=V2,所以BP2=OB2+OP2,故OP⊥OB. 又OP⊥AD,AD,OBc平面ABCD,AD∩OB=O,所以OP上平面ABCD. 又OCc平面ABCD,所以OP⊥OC. 因为AO=AB=OD=CD,所以∠AOB=∠DOC= 4 所以B0C=号即0c108. 又OB∩OP=O,OB,OPc平面OBP,所以OC⊥平面 OBP.………4分 (2)解：如图，取BC的中点F,连接OF,则OF⊥AD. 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴，-y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，A(0,-1,0),D(01,0),B(1,-1,0),C(110),P(0,0 答案第4页，共6页 设E(a,b,0),由AE+DE=22,得Va2+(b+12+√a2+(b-1)2-22. 又E在长方形ABCD外，∠EAD和∠EDA均为锐角， 所以-1<b<1.Va2+(b+1+V2+(6-)=22可化为a2+(b+1=22-V2+(6-1, 两边平方后，整理得V2×Va2+(亿-1)2-2-b, 故2(a2+b2-2b+1=4-4b+b2,整理可得2a2+b2=2.…6分 (i)设平面APE的法向量为m=(:,,),由AP=(01,1),AE=(a,b+1,0), [Apm=片+名=0， 得 取x=b+1,得乃=-a,=a, AEm=a+(6+1)4=0, 故平面APE的一个法向量为m,=(b+1,-a,a). 设平面DPE的法向量为m=(x,,z2),DF=(0,-l,1),DE=(a,b-1,0). [Dpm2=-为2+2=0， 得 取为=1-b,得=a,2=a, DE-m2=,+(b-1)y2=0, 故平面DPE的一个法向量为m,=(1-b,a,a), m-m 1-b2\ 1-b2\ 则cos8= …9分 mm6+1+2a2.-b2+2 2V3+2b×3-2bV9-4b 令1=0-46(5<t≤3)，则62=9-t 由数)5<x)单调道抛。 得当1=3时，c0s9取最大值，最大值为2号=卓 ………12分 (m)设AC和BD交于点M,则M行0.0)， 若五棱锥P-ABCDE存在外接球，则球心在过点M且垂直于平面ABCD的直线上， 答案第5页，共6页 设球心N[行0，n, 必有NA=NP=NE. =得+-0=+a-，解得n=0,M= 2 2 又2a2+b2=2,所以a2+a-1=0,解得a=5-1或a=-5+1, 2 2 由题知a<0,且2a2+6=2≥2a,即-1≤a<0,但5-1，-5+1都不在这个范围内， 2， 2 故不存在点E,使得五棱锥P-ABCDE存在外接球.·17分 答案第6页，共6页