第02讲 平行线的判定（3知识点+8大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材人教版

第02讲 平行线的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平行线的定义及表示 (1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线. (2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”. 1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行　 (2)相交 2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”. 【注意】平行线的画法四字诀 1.“落”：三角板的一边落在已知直线上； 2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边； 3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点； 4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线. 知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)， ∴AB∥CD. 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【题型1 平面内两直线的位置关系】 例1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交 C．平行 D．相交或垂直 【答案】C 【分析】本题考查了同一平面内直线的位置关系，解题的关键是明确“无公共点”对应的直线位置关系． 同一平面内直线的位置关系分为相交（有且只有一个公共点）和平行（无公共点）；垂直是相交的特殊情况，因此无公共点的两条直线的位置关系是平行． 【详解】解：同一平面内，直线的位置关系为相交（有公共点）和平行（无公共点）；垂直属于相交的特殊情况． 只有平行的直线无公共点； 故选：C． 例2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 变式1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列说法正确的有（   ） ①同位角相等：②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，平行线的性质，平行公理，平面内两直线的位置关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：同位角不一定相等，故①错误； 对顶角相等，故②正确； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；故④正确； 故选B． 变式2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 【题型2 平行公理及推论应用】 例3．（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过 与这条直线平行． 【答案】直线外一点有且只有一条直线 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：直线外一点有且只有一条直线． 例4．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【题型3 同位角相等，两直线平行】 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 例6．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，平行线的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据邻补角求出，再由角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，与相交于点C，，平分．试说明：． 请你在横线上补充其推理过程或理由． 解：平分， 所以 （ ）， （理由 ）， 所以 （等式性质）， ， 所以 （等量代换）， 所以（ ）． 【答案】 角平分线的定义 对顶角相等 同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，对顶角相等．首先根据角平分线定义，对顶角相等证明，再证明，然后根据同位角相等，两直线平行推出． 【详解】解：平分， 所以（角平分线的定义）， （对顶角相等）， 所以（等式性质）， ， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等两直线平行）． 故答案为：，角平分线的定义，对顶角相等，，，同位角相等两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·天津宝坻·月考）已知：如图，，AF平分，CE平分，求证： 证明：平分，CE平分， ______，______ 又， ______． ， ______， ______ 【答案】；角平分线的定义；； ；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．由角平分线的定义推出得到，即可证明． 【详解】证明：平分，CE平分， ，角平分线的定义 又， ， ， 同位角相等，两直线平行 故答案为：；角平分线的定义；；；同位角相等，两直线平行． 【题型4 内错角相等，两直线平行】 例7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 例8．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 变式1．（24-25七年级下·广东清远·期中）在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线，，，的位置如上图所示，，，求证：． 证明：如图， ∵（_____），_____ ∴_____（_____） 又∵（_____）， ∴（_____）， ∴（_____）． 【答案】已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，邻补角定义，由同角的补角相等得，又，则有，然后通过平行线的判定即可求证，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图， ∵（已知），（邻补角定义） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，邻补角定义；，同角的补角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是上的一点，，垂足为E，且，试说明． 解：， （______） ______， （______） （等量代换） ．（______） 【答案】垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】解：，， （垂直的定义）， ，， （同角的余角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 例9．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，被直线所截，，，说明：． 解：因为与直线相交于点E，， 所以________． 因为， 所以________， 所以________________（________________）（填推理的依据）． 【答案】；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据题中思路解答即可． 【详解】解：因为与直线相交于点E，， 所以． 因为， 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；；；同旁内角互补，两直线平行． 例10．（24-25七年级下·广东江门·月考）完成下面的证明： 如图，平分，平分，且，求证． 证明：平分（已知）， （______）， 平分（已知）， ______（______）， （______）， （已知）， ______（______）， （______）． 【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】此题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：平分（已知）， （角平分线的定义）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 变式1．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（ 已 知 ）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴_________（____________）， ∴（_______________）， 又∵（_____________）， ∴（___________________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与运用．由题意可求得，则有，即可判定，由邻补角的定义可得，可得，即可判定． 【详解】证明：∵（ 已 知 ）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴ （等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行；邻补角的定义；等式的性质；内错角相等，两直线平行． 变式2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【答案】；；；；同角的余角相等；；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直的定义得，，整理得，因为，所以，故，运用同旁内角互补，两条直线平行得，即可作答． 【详解】证明：， （垂直的定义）， 又， ， （同角的余角相等）， ， ， ， ， （同旁内角互补，两条直线平行）． 【题型6 添加一条件使两直线平行】 例11．（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝ （写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 例12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级下·全国·期中）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理添加条件，即可求解． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为：或或或．（答案不唯一） 【题型7 垂直于同一条直线的两条直线平行】 例13．（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 例14．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 变式1．（24-25七年级下·河南商丘·月考）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整．如图，已知于B，于D，，探究与的位置关系 解：∵，（已知） ∴________，________（垂直的定义） ∴________（__________________两直线平行） ∵（________） ∴________（__________________，两直线平行） ∴与的位置关系是________ （__________________） 【答案】90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定解答即可，掌握平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴与的位置关系是平行 （平行于同一条直线的两直线平行） 故答案：90；90；；在同一平面内，垂直于同一条直线的；已知；；同旁内角互补；平行；平行于同一条直线的两直线平行 【题型8 平行线的判定去判断两线的位置关系】 例15．如图，已知点在上，平分，平分． (1)试说明：； (2)若，，则与平行吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可； （2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）得，∠3＝∠4． ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 例16．如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D． (1)试说明； (2)若与互余，试说明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点． （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：因为平分，平分 所以，. 因为， 所以， 所以； （2）解：由（1）知， 所以 因为与互余， 所以， 所以， 所以． 变式1．如图，在四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接相交于点O，，平分，． (1)试说明； (2)与的位置关系如何？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义： （1）根据平角的定义和已知条件证明，即可证明； （2）由角平分线的定义和已知条件证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于． (1)求证：； (2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到； （2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 2．（25-26七年级上·江苏南京·期末）下面各语句中，正确的个数是（   ） ①当时，成立； ②垂直于同一条直线的两条直线平行； ③若，，则当、不重合时，； ④相等的角是对顶角； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑥两个角的两边分别平行，那么这两个角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平行线的判定与性质、对顶角等概念，需根据各个概念逐项判断正误即可． 【详解】①∵当时，，∴①错误； ②∵垂直于同一条直线的两条直线不一定平行（需在同一平面内），∴②错误； ③∵若，，则（平行线的传递性），当b、c不重合时成立，∴③正确； ④∵相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角），∴④错误； ⑤∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但“过一点”未指定点是否在直线上，∴⑤错误； ⑥∵两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，∴⑥错误； 综上，只有③正确，共1个； 故选A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 5．（2025七年级上·重庆万州·专题练习）如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）同一平面内的两条直线的位置关系有 种，分别是 ． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，被直线EF所截，与交于点E，与交于点，添加一个条件使得，你添加的条件是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法可知添加条件，即可解题． 【详解】解：（或或）， ， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·全国·假期作业）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，若是直角，如果能度量出 是直角，那么就可以判断两条直轨平行． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定方法． 根据同旁内角互补，两直线平行作答即可． 【详解】解：若是直角，如果能度量是直角，那么就可以判断两条直轨平行， 故答案为：. 9．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，来解答即可． 【详解】解：当时，；时，． ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴N，P，M三点在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 10．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，若固定三角尺，改变三角尺的位置（其中A点位置始终不变），当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论． 如图①，当时，；如图②，当时，，得出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，当时，； 如图②，当时，， ∵， ∴， 即当时，， ∴当的度数为或时，， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江西南昌·月考）已知：如图，，垂足为F，且点F在直线上，与直线相交于点H，． 求证：．（请完成下面的证明过程） 证明：∵（已知）， ∴______（______），即______． 又（已知）， ______（______）， ∴（______）． 【答案】；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了垂线的性质、等角的余角相等及平行线的判定，解题的关键是通过垂线定义和已知角的关系推导出同位角（或内错角）相等，进而证明两直线平行． 根据垂线的定义得出，分解该角得到与（即的和为；结合已知，利用等角的余角相等得到；最后根据同位角相等判定两直线平行． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂线的定义），即． 又∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案依次为：；垂线的定义；；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 12．（25-26八年级上·全国·课前预习）请完成平行线的判定定理2的证明： 已知：如图，和是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且与互补．求证：． 证明：与互补（已知）， ________（互补的定义）， ________（等式的性质）． ________（________）， ________（等式的性质）， （等量代换）， （________）． 【答案】180；180；180；平角的定义；180；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据补角的定义，等量代换，同位角相等，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：与互补（已知）， （互补的定义）， （等式的性质）． （平角的定义）， （等式的性质）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 13．（24-25七年级下·吉林·月考）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图． (1)在图①中，画出垂线段，使得． (2)在图②中，画出，使得． (3)在图③中，画出，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据网格图画出图形即可； （2）根据网格图画出图形即可； （3）根据网格图画出图形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求． 14．（24-25七年级下·广东茂名·月考）如图，，．试说明：． 请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为，（已知） 所以 ．（ ） 因为，（已知） 所以 ，（ ） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行可得出，根据同旁内角互补，两直线平行可得出，然后根据平行线的传递性即可得证． 【详解】解：因为，（已知） 所以．（内错角相等，两直线平行） 因为，（已知） 所以，（同旁内角互补，两直线平行） 所以．（平行于同一条直线的两条直线平行） 故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；；；同旁内角互补，两直线平行． 15．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定，熟练掌握方格纸的特点，是解题的关键． （1）根据格点特点，取格点Q，连接,则，根据三角形内角和定理可知； （2）根据格点特点，取格点，连接，则，根据三角形内角和可知； （3）将点B向右平移12个小格向下平移2格到点C，把点A向右平移12个小格，向下平移2格到袋内N，连接，根据平移可得； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：∵，， ∴． 16．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由． 如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明：（已知）， （______） 平分，（已知）， （______） （已知） （______） （______） 【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 【分析】本题考查了平行线的判定方法，余角的性质等；结合垂直的定义、角平分线的定义及余角的性质得，由平行线的判定方法，即可得证． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）, 平分，（已知）， （角平分线的定义）, （已知）, （等角的余角相等）, （内错角相等，两直线平行）, 故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 17．（24-25七年级下·江西赣州·月考）如图， 点O在直线上，平分，平分，是上一点，连结． (1)求证： (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，余角和补角及垂线的定义，熟知内错角相等，两直线平行是解题的关键． （1）根据平分，平分可知，，据此可得出结论； （2）由（1）知，故可得出，再由可知，故可得出结论． 【详解】（1）证明： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， ， ． 18．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）综合与实践．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，请在备用图中画出示意图，并求出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 （2）证明：， 。 （3）分两种情况： ①如图1所示，当时，，所以， ②如图2所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲平行线的判定 风内容导航一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：平行线的定义及表示 ()定义：在同一平面内内，不相交的两条直线 (2)表示：平行用“业”符号表示，读作“平行王” 1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行(2)相交 2利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”. 【注意】平行线的画法四字诀 1.“落”：三角板的一边落在已知直线上： 2,“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边； 3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点： 4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线， 凹知识点2：平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果ba,cl‖a,那么blc: 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线， ☑知识点3：平行线的判定方法 平行线的判定方法1： ()文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角 相等，两直线平行. 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)几何语言： 4 A 27 B C 5z人8 67 -D L1=∠5（或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠2）， ..ABICD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单说成：内错角 相等，两直线平行. (2)几何语言： :L2=L8(或者∠3=L5), ..ABCD. 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ∠2+∠5=180（或者∠3+L8=180), ..ABICD 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行」 方法三：同位角相等，两直线平行！ 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 02练题型强知识 【题型1平面内两直线的位置关系】 例1.(25-26七年级上·黑龙江绥化期中)在同一平面内，没有公共点的两条直线的位置关系是() 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.垂直 B.相交 C.平行 D.相交或垂直 例2.(24-25七年级下·全国·单元测试)如图，已知直线AB与直线CD平行，下列表示方法正确的是 () —B b D A.A∥C B.A∥D C.B∥b D.a∥b 变式1.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末)下列说法正确的有() ①同位角相等：②对顶角相等：③过一点有且只有一条直线与已知直线平行：④在同一平面内，两条直线 的位置关系有相交和平行两种. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式2.(24-25七年级下福建福州期末)如图，直线a,b,cd,e在同一平面内，且直线a,b,c,d 交于一点O,其中可能与直线平行的直线是() A.a B.b C.c D.d 【题型2平行公理及推论应用】 例3.(2425七年级上·全国·课后作业)平行线的基本事实：过与这条直线平行. 例4.(24-25七年级上·全国课后作业)有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有 一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内， 不相交的两条射线必平行.其中，正确的有一个. 变式1.(24-25七年级上全国·课后作业)下列说法：①在同一平面内，若直线a∥b,b∥c,则a∥c: ②在同一平面内，若直线a∥b,直线a与c相交，则直线b与c相交；③若直线a与直线b相交，直线b与 直线c相交，则直线a与直线c相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ·(填序号) 【题型3同位角相等，两直线平行】 例5.(24-25七年级下·全国·课后作业)如下图，已知AC平分∠EAG,BD平分∠FBG,∠1=35°， ∠2=35°，试说明：AC∥BD,AE∥BF. 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 2 G A B 例6.(24-25七年级下·广东湛江·月考)如图，∠B=70,∠4CB=40°，CD平分∠ACE，请说明： AB∥CD 变式1.(25-26七年级上·全国课后作业)如图，AF与BD相交于点C,∠B=∠ACB,CD平分∠ECF. 试说明：AB∥CE. E 请你在横线上补充其推理过程或理由. 解：CD平分∠ECF, 所以∠ECD=(—), ∠ACB=∠DCF(理由)， 所以∠ECD=(等式性质)， ∠B=∠ACB, 所以∠B=一（等量代换）， 所以AB‖CE(). 变式2.(24-25七年级下·天津宝坻月考)已知：如图，∠DAB=∠DCB,AF平分∠DAB,CE平分 ∠DCB,∠FCE=∠CEB.求证：AF∥CE 证明：AF平分∠DAB,CE平分∠DCB, =)∠DAB,∠FCE= L∠DCB( 又：∠DAB=∠DCB, ∠FAE= :∠FCE=∠CEB, 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠FAE= .AF∥CE( D 【题型4内错角相等，两直线平行】 例7.(25-26七年级下·全国·课后作业)如图，已知直线AB,CD被直线EF所截，∠1=60°，∠2=120°.请 说明AB∥CD的理由. E B 4 D 例8.(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明. 如图，AB⊥BC,DC⊥BC,BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD,求证BE∥CF. A D 证明：，AB⊥BC,DC⊥BC, .∠ABC=∠BCD=90°( :BE,CF分别平分∠ABC和∠BCD :∠EBC=∠ABC,∠BCF= 2 又：∠ABC=∠BCD, .∠EBC= ..BE CF 变式1.(24-25七年级下·广东清远期中)在横线上填上适当的内容，完成下面的证明. 已知，直线a,b,c,d的位置如上图所示，∠1+∠2=180°，∠3=∠4，求证：c∥d. 5/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C d 人1 a b 证明：如图， :∠1+∠2=180°()，∠2+∠3=180° ∴.=∠3() 又：∠3=∠4()， .∠1=∠4()， .c∥d(). 变式2.(24-25七年级下·陕西西安·月考)请将解题过程补充完整： 如图，CD⊥AB,垂足为D,F是BC上的一点，FE⊥AB,垂足为E,且∠I=∠2，试说明DG∥BC. 解：FE⊥AB,CD⊥AB .∠BEF=∠BDC=90°() .∠B+∠=90°，∠B+∠BCD=90° .∠2=∠BCD() .∠1=∠2 ∴.∠1=∠BCD(等量代换) .DG∥BC.() D G B 【题型5同旁内角互补，两直线平行】 例9.(25-26七年级上·全国·课后作业)已知：如图，直线AB,CD被直线GH所截，∠AEG=112°， ∠EFD=68°，说明：AB∥CD、 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 解：因为AB与直线GH相交于点E,∠AEG=112°， 所以∠AEG= =112°. 因为∠EFD=68°， 所以∠FEB+∠EFD= 所以 )(填推理的依据). 例10.(24-25七年级下·广东江门月考)完成下面的证明： 如图，BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠Q+∠B=9O°，求证AB∥CD. B E C D 证明：：BE平分∠ABD(已知)， ∴.∠ABD=2∠C(), :DE平分∠BDC(已知)， ..∠BDC= (), :.∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠B=2(∠u+∠B)(), .∠a+∠β=90°（已知）， .∠ABD+∠BDC=(）, .AB∥CD(). 变式1.(24-25七年级下福建龙岩·月考)如图，如果∠1=47°，∠2=133°，∠D=47°，求证：AB∥CD; BCI∥DE 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论. D E 证明：，∠1=47°（已知）， 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=∠I( ∴.∠ABC=47°( 又.∠2=133°（已知）， ∴.∠ABC+∠2= ∴.AB∥CD( 又：∠2+∠BCD=180°( ∴.∠BCD=47°( .∠D=47°（已知）， .∠BCD=∠D=47°， ∴.BC∥DE( )· 变式2.(24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末)在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 己知：如图，AB⊥BC,AE⊥ED,若∠I+∠2=90°， 求证：AB∥CD A E 证明：：AB⊥BC .∠1+ =90°（垂直的定义） 又：AE⊥DE ∠ +∠ =90° .∠1=∠ ) :∠1+∠2=90° .∠2+∠ =90° ∴.∠ =90° ∠ +∠ =180° .AB∥CD 【题型6添加一条件使两直线平行】 例11.(24-25七年级下·全国·周测)如图，当∠A=一（写出一个角）时，能得到AB∥EF. 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例12.(24-25七年级下·全国·课后作业)如图，已知∠1=∠2，要使AB∥EF，还需再添加一个条件： B D G 变式1.(24-25七年级下·广东湛江月考)如图，添加一个条件： 使得AD∥BC. 2 变式2.(24-25七年级下·全国·期中)如图，E是线段AD的延长线上一点，添加一个条件，使BC∥AD, 则可添加的条件为一（写出一种情况即可）· B 【题型7垂直于同一条直线的两条直线平行】 例13.(23-24七年级下广东河源期中)如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，试探究AB与EF的位置关 系，并说明理由， B C2 D E 4入 -万 例14.(23-24八年级上广东梅州期末)如图，AB⊥MN,CD1MN,垂足分别是B,D, ∠FDC=∠EBA. 9/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C E D (I)判断CD与AB的位置关系；（不需要证明） (2)求证：DF∥BE. 变式1.(24-25七年级下·河南商丘·月考)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整.如图， 已知AB⊥BD于B,CD⊥BD于D,∠I+∠2=18O°，探究CD与EF的位置关系 E F 解：AB⊥BD,CD⊥BD(已知) .∠B= °，∠D= 。(垂直的定义) .AB∥ 两直线平行) .∠1+∠2=180° ∴.AB∥ 两直线平行) ∴.CD与EF的位置关系是 ( 【题型8平行线的判定去判断两线的位置关系】 例15.如图，已知点E在BD上，EA平分∠BEF,EC平分∠DEF. F 4 B E D (1)试说明：AE⊥EC: (2)若∠1=∠A,∠4=∠C,则AB与CD平行吗？为什么？ 例16.如图，点O在直线AB上，F是DE上一点，连接OF,OC平分∠AOF,OD平分∠BOF交DE于 点D 10/17