精品解析：山东枣庄市峄城区荀子学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期10月核心素养评价 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形， B、，，，不能构成直角三角形， C、，，不能构成直角三角形， D、，，，不能构成直角三角形． 2. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义解答，即有理数包含整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，开方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数，和都是整数，属于有理数． 3. 五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A错误； ∵， ∴B错误； ∵与不能合并，， ∴C错误； ∵， ∴D正确． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 是25的平方根 B. 的算术平方根是2 C. 任何数都有立方根 D. 一个正数的两个平方根之和为0 【答案】B 【解析】 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断，注意需先化简再求算术平方根． 【详解】解：A、是25的平方根，正确； B、，的算术平方根是，选项错误； C、任何数都有立方根，正确； D、一个正数的两个平方根之和为0，正确． 6. 已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（ ） A. A，B之间的整数有三个 B. C. D. A，B之间最小的无理数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的绝对值性质、平方比较法的应用、数轴上整数的识别及无理数的基本特征，解题的关键是通过平方运算比较无理数绝对值的大小，结合整数范围和无理数的无限性逐一验证选项． 先明确、，利用“若正数，则”推导、的取值范围；选项A通过确定和所在的整数区间，找出两点间的整数；选项B计算和，直接比较大小；选项C根据（正数）、（负数），结合正数大于负数判断；选项D依据无理数的无限性，说明A、B之间不存在最小无理数． 【详解】解：已知，． A、因，且，故； 又，，故． 因此A、B之间的整数为，共三个，此选项符合题意； B、因，，故，此选项符合题意； C、（正数），（负数），正数大于负数，故，此选项符合题意； D、A、B之间的无理数有无数个（如，满足），不存在最小的无理数，此选项不符合题意； 故选：D． 7. 若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】需结合勾股定理与完全平方公式的变形，整体求解的值． 【详解】解：∵中为斜边，， ∴， ∵， ∴， 将代入上式，得， ∴． 8. 如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（ ） A. 只有1个 B. 只有2个 C. 不存在 D. 有无数个 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒内的最长长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得， ∴这支铅笔在笔筒内的最长长度为． 10. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A. 2 B. C. 0或4 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定无理数的整数部分和小数部分，再根据非负数的和为零，求出a、b，然后把确定的值代入计算即可解决问题. 【详解】解：∵x是的整数部分，y是的小数部分，且 ∴ ， ∵ ∴， 解得：， ∴原式 ∴是0或4. 故选：C. 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 【答案】 【解析】 【分析】设长方形田地的宽为步，可得对角线长为步，利用勾股定理列方程求解宽，再计算面积即可． 【详解】解：设这块长方形田地的宽为步，则对角线长为步， ∵矩形的内角为直角，长、宽、对角线构成直角三角形， ∴由勾股定理得：， 解得， ∴这块田地的面积为平方步． 13. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 14. 木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若，，，则小木条的最短长度为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式，即可得小木条的最短长度． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，最短， 此时，， 则， 即小木条的最短长度为， 故答案为：． 15. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形得到，，最后根据，得到即可求出最小值． 【详解】解：如图，，， 连接，延长与交于点， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分，解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），， （2）４ 【解析】 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； 【小问2详解】 解：当，，时，． 18. 图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． （1）通过计算判断此时是否与垂直； （2）由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】（1）解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 19. 如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． （1）一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； （2）一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 【答案】（1）米 （2）解：设身高米的人头顶为，此时水平距离米， 垂直距离：米， 在中，根据勾股定理：， 因为， 可得米， 即人到的距离超过米， 因此结论：灯不会发光． 【解析】 【分析】（）通过构造矩形得到水平距离和对应高度差，再在直角三角形中利用勾股定理求出传感器到人的垂直高度，最后加上人的身高得到传感器离地面的总高度； （）先算出传感器到人的垂直高度差，再结合水平距离用勾股定理求人与传感器的直线距离，将该距离与米比较，判断灯是否发光． 【小问1详解】 解：过人的头顶作于， 由题意可知四边形是矩形， ∴，，灯刚好发光时， 在中，根据勾股定理：米， 因此传感器离地面的高度：米； 【小问2详解】 略 20. 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【答案】 ∵， ， ， ， ∴ ，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出相关图形的面积是解题的关键． 先分别表示出四边形、梯形、的面积，再根据列出等式整理即可证明结论． 【详解】略 21. 阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 22. 如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． （1）请判断，，的关系，并证明； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）， 证明如下： ，， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：； （2）根据（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，阴影部分的面积． 23. 在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． （1）实践探究：在图所画的中，          ，          ，          ，          ． （2）在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 【答案】（1） ；；； （2） 画图如下， 4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、借助网格画图． (1)借助网格图，利用勾股定理求出各边的长度，再根据与正方形的位置关系求出的面积； (2)借助网格，利用勾股定理画出，利用网格求出的面积． 【小问1详解】 解：由图可知， ， ， ； ； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：，，， 在一个的矩形网格内， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期10月核心素养评价 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 以下各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 2. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 3. 五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 是25的平方根 B. 的算术平方根是2 C. 任何数都有立方根 D. 一个正数的两个平方根之和为0 6. 已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（ ） A. A，B之间的整数有三个 B. C. D. A，B之间最小的无理数是 7. 若的两直角边a、b与斜边c，满足：，，则（ ） A. 20 B. 15 C. 12 D. 14 8. 如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（ ） A. 只有1个 B. 只有2个 C. 不存在 D. 有无数个 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒内的最长长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知x是的整数部分，y是的小数部分，且，则的值为（　　） A. 2 B. C. 0或4 D. 2或 二、填空题：本大题共5小题，满分15分，只填写最后结果，每小题填对得3分． 11. 化简：______． 12. 《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为五十步，问田积几何？”译文：有一块长方形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为50步．这块田地的面积为______平方步． 13. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 14. 木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若，，，则小木条的最短长度为__________ ． 15. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你结合图中的两个直角三角形，运用数形结合思想，解决下面问题：代数式的最小值为_______． 三、解答题：本大题共8小题，满分75分，解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 （1）求、、的值； （2）求的算术平方根． 18. 图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． （1）通过计算判断此时是否与垂直； （2）由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 19. 如图，有一个由传感器控制的灯，装在门上方的墙上，任何东西只要移至该灯周围米及米以内时，灯就会自动发光． （1）一个身高米的人（即米）走到灯刚好发光的地方，测得此时他距墙米（即米）．根据测量所得数据，计算出传感器离地面的垂直高度； （2）一个身高米的人走到离墙米的地方时，灯是否会发光？ 20. 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 21. 阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 22. 如图，分别以直角三角形三边（三边长分别为a，b，c）为直径作半圆，设图中两个“月形”图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形的面积为． （1）请判断，，的关系，并证明； （2）若，，求阴影部分的面积． 23. 在学习了“勾股定理”和“实数”后，某同学以“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，在图中画出，同时构造正方形，且它的边，分别经过点，，借助此图便可求出的面积． （1）实践探究：在图所画的中，          ，          ，          ，          ． （2）在图的正方形网格中画出，使，，，并求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $