精品解析：期末章节分类提升训练2025-2026学年人教版（五四制）数学九年级上册

期末章节分类提升训练2025-2026年度 人教版（五四制）九年级上册 板块一：二次函数 1. 若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≠2 C. a＜2 D. a＞2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数， ∴2-a≠0，即a≠2， 故选B． 2. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，函数的最大值是 C. 对称轴是直线 D. 抛物线与x轴有两个交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故A错误； ∵当时，函数的最大值是，故B正确； ∵抛物线的对称轴是y轴，故C错误； ∵， ∴抛物线与x轴没有交点，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键． 3. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断； ②由对称轴和函数的图像可以判断； ③算出a和c的关系即可； ④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断； 【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3， 0) ∴对称轴 ∴b =-2a，c = -3a ∵二次函数的图象开口向下 ∴a < 0 ∴2a+b+c = -3a >0，∴ac＜0故①错误； ∵二次函数的图象开口向下，对称轴， ∴当x >1时，y随x的增大而减小；故②错误； ∵c = -3a ∴3a+c=0，故③正确； 由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a) ∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y= ∴故④正确； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 4. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象，喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还经过（0，0），由此即可确定抛物线的解析式． 【详解】解：∵一支高度为1米喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米， ∴顶点坐标（，3）， 设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3， 而抛物线还经过（0，0）， ∴0=a（0-）2+3， ∴a=-12， ∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3． 故选C． 5. 二次函数的最大值是________． 【答案】-3 【解析】 【分析】二次函数的顶点式y=a(x−h)2+b在x=h时有最值，a>0时有最小值为b，a<0时有最大值为b，即可得出答案． 【详解】解：∵a=−1<0， ∴y有最大值， 当时，y有最大值为-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键． 6. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质利用对称轴构建不等式即可解决问题． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是，当x＞1时，y随x的增大而增大， ∴﹣≤1， ∴m≥1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 7. 小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是______m． 【答案】##7.2 【解析】 【分析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案． 【详解】解：∵h=-5t2+12t， ∴a=-5，b=12，c=0， ∴足球距地面的最大高度是：=7.2m， 故答案为：7.2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用 求出顶点纵坐标． 8. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元；（2）不能达到1500元，理由见详解；（3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2）假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 9. 已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C(0，﹣3)，y＝x2﹣2x﹣3；（2）k=﹣2，A(﹣，2)，B(，﹣2)；（3）存在，k＝2或k＝﹣6 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征以及待定系数法进行求解即可； （2）联立y＝kx和y＝x2﹣2x﹣3，根据根与系数的关系推出xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3，再根据题意易求得k＝﹣2，将其代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0，进而求得点A和点B的坐标； （3）结合图形可知S△ABC＝OC•|xA﹣xB|，利用根与系数的关系进行代入求解即可． 【详解】解：（1）令抛物线y＝ax2+bx﹣3中x＝0，则y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）将y＝kx代入y＝x2﹣2x﹣3得：kx＝x2﹣2x﹣3， 整理得：x2﹣（2+k）x﹣3＝0， ∴xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， ∵原点O为线段AB的中点， ∴xA+xB＝2+k＝0， 解得k＝﹣2， 将k＝﹣2代入x2﹣（2+k）x﹣3＝0， 解得：xA＝﹣，xB＝， ∴yA＝﹣2xA＝2，yB＝﹣2xB＝﹣2， 故当原点O为线段AB的中点时，k的值为﹣2，点A、B坐标分别为（﹣，2），（，﹣2）； （3）假设存在， 由（2）可知xA+xB＝2+k，xA•xB＝﹣3， 根据题意S△ABC＝OC•|xA﹣xB|＝×3×， 解得（k+2）2＝16， ∴k+2＝±4， ∴k＝2或k＝﹣6， 故存在k＝2或k＝﹣6，使得△ABC的面积为． 【点睛】本题考查待定系数法解二次函数解析式、二次函数与一元二次方程、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 板块二：反比例函数 10. 表示关系式；；的图象依次是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握反比例函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：中，，图象在二、四象限，②符合； 中，，图象在一、三象限，①符合； 中，，图象在一、二象限，③符合； 综上所述，表示关系式；；的图象依次是②①③， 故选：D． 11. 若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴3-2m＜0， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 12. 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握正比例函数和反比例函数的图象关于原点对称，其交点也关于原点对称这一特性，或通过联立函数解析式求解交点坐标． 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称；已知点则其关于原点对称的点A的坐标为． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点A、B也关于原点对称． ∵关于原点对称的点的坐标特征是横、纵坐标均互为相反数，且点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：D． 13. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，分别过点、点作轴于点，轴于点，利用一线三垂直得到，进一步有，求出即可得到所求．解题的关键是掌握的几何意义． 【详解】解：在直角中， ∵， ∴， ∴， 分别过点、点作轴于点，轴于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴，即， 又∵点在第一象限， ∴反比例函数解析式为， 故选：C． 14. 已知反比例函数，当y=6时，x=________ ． 【答案】 【解析】 【分析】直接把y=6代入反比例函数即可得到相应x的值. 【详解】解:当y=6时,x==. 故答案为: 【点睛】此题考查了反比例函数已知自变量的值求函数的值的问题. 15. 将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】由于一次函数y＝kx−2−k（k＞0）的图象过定点P（1，−2），而点P（1，−2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx−2−k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案． 【详解】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的， 因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的， 平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2）， ∴a﹣1＝﹣， ∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键． 16. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 【解析】 【分析】由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案. 【详解】解：由题意设 把代入得： 当h时，， 所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键. 17. 如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． （1）求C、E点的坐标； （2）求的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可； （2））先求出点坐标，根据计算即可． （3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； 【小问2详解】 解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． 【小问3详解】 解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 板块三：旋转 18. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 19. 如图，绕点C旋转至，点D在上，，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，求旋转角，先根据旋转前后对应角相等得到，再由旋转角是对应点与旋转中心连线组成的夹角进行求解即可． 【详解】解；∵绕点C旋转至，点D在上，， ∴， ∴旋转角为， 故选A． 20. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 21. 如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征：横坐标与纵坐标都互为相反数，据此即可求出x与y的值，从而求解． 【详解】解：∵点P关于原点对称的点的坐标为， ∴， 解得：， 则为， 故答案为：． 23. 如图，与关于点C成中心对称，则的长是____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 24. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是______度． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键． 由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ，， ， ， ， 故答案为：80． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于点对称的点的坐标： ； （2）平移，使平移后点的对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可写出点关于点对称的点的坐标； （2）根据平移的性质即可平移，使平移后点的对应点的坐标为，进而画出平移后的； （3）根据旋转的性质即可画出绕原点逆时针旋转后得到的． 【小问1详解】 解：点关于点对称的点的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 板块四：圆 26. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】∵直径AB垂直于弦CD， ∴CE=DE=CD， ∵∠A=22.5°， ∴∠BOC=45°， ∴OE=CE， 设OE=CE=x(x>0)， ∵OC=4， ∴x2+x2=16， 解得：x=2， 即：CE=2， ∴CD=4， 故选：C． 27. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内切圆得出点到三边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解：是的内切圆， 则点到三边的距离相等， 点是的三条角平分线的交点； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解题的关键是熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质． 28. 如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，以及弧长公式，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．先求出，再证明是等边三角形，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】如图，连接、、 由题意得：， 正六边形是的内接正六边形， 中心角，则 又， 是等边三角形， ， 则的长为， 故选：C． 29. 如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：扇形的弧长， 圆锥的底面半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 30. 如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，∠BOC＝36°，则∠BAD＝_____°． 【答案】18 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理得到，从而可得，最后利用圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接， 直径弦， ， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 31. 已知扇形的弧长为，它的圆心角为45°，则该扇形的半径为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据弧长公式（，其中是弧长，是扇形的圆心角，是扇形的半径）即可得． 【详解】解：设该扇形的半径为， 则， 解得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，熟记公式是解题关键． 32. 在半径为13cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm． 【答案】7或17 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=24cm，CD=10cm， ∴AE=12cm，CF=5cm， ∵OA=OC=13cm， ∴EO=5cm，OF=12cm， ∴EF=OF-OE=7cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图， ∵AB=24cm，CD=10cm， ∴AF=12cm，CE=5cm， ∵OA=OC=13cm， ∴EO=12cm，OF=5cm， ∴EF=OF+OE=17cm． 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 33. 如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度． 【答案】65 【解析】 【分析】连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可． 【详解】解：如图所示：连接OA，OC，OB， ∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴DO平分，EO平分， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：65． 【点睛】题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 34. 如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）当，时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据D为弦的中点，可得垂直平分，进而可得，再根据可得，根据是的切线，可得，通过等量代换可得，即可证明是圆O的切线； （2）根据为的直径，可得，利用勾股定理可得，进而可得，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，∵D为弦的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（1）得， 在中，设， ∴， ， ∴， 解得， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识，逐步进行推理论证． 板块五：概率初步 35. 任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上选项均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】解：任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页，这个事件是随机事件， 故选：C． 36. 如果从1， 2，3，4，5，6，7， 8，9这9个数中任意选取一个数， 那么取到的数恰好是3的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式求概率，根据从1， 2，3，4，5，6，7， 8，9这9个数中任意选取一个数，得出是的倍数的数据，再由概率公式计算即可得出答案，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：从1， 2，3，4，5，6，7， 8，9这9个数中任意选取一个数，是的倍数的有：，，，共种情况， 取到的数恰好是3的倍数的概率， 故选：B． 37. 综合实践小组在课堂进行摸球实验.一个不透明的盒子中装入红、白两种颜色的小球（除颜色外其他都相同）共30个，摸出一球记录后放回，多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，则盒子中红色小球的个数可能是（ ） A. 12 B. 21 C. 9 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，列式计算即可，解题的关键是明确题意，利用频率与频数的关系解答． 【详解】解：由题意得：盒子中红色小球的个数可能是（个）， 故选：C． 38. 一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴与的和是， 故答案为： ． 39. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个． 【答案】26 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为1-0.35，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设袋子中白球有x个，根据题意，得：＝1-0.35， 解得：x＝26， 即布袋中白球可能有26个， 故答案为：26． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 40. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为(指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形)，则黑色扇形的圆心角________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及随机事件的概率，根据针恰好指向白色扇形的概率得到黑、白两种颜色的扇形的面积比为，计算即可． 【详解】解：指针恰好指向白色扇形的穊率为， 黑、白两种颜色的扇形的面积比为， ， 故答案为： 41. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长的劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 【答案】（1）120 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）由B的人数除以其百分比即可； （2）先求解A的百分比与C的人数，再补全图形即可； （3）分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，再利用列表法求解概率即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次接受抽样调查的总人数是120人； 【小问2详解】 ∵，（人）， 补全两个统计图如下： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 【小问3详解】 分别用A，B，C，D表示《论语》《孟子》《大学》《中庸》4本书名，列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中抽到的两本书恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，分别是和． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末章节分类提升训练2025-2026年度 人教版（五四制）九年级上册 板块一：二次函数 1. 若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（ ） A. a≠0 B. a≠2 C. a＜2 D. a＞2 2. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，函数的最大值是 C. 对称轴是直线 D. 抛物线与x轴有两个交点 3. 如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论： ①；②当时，y随x的增大而增大；③；④． 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3 C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3 5. 二次函数的最大值是________． 6. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________． 7. 小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是______m． 8. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 9. 已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过(﹣1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点． （1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式； （2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标； （3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 板块二：反比例函数 10. 表示关系式；；图象依次是（ ） A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ②①③ 11. 若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ） A. B. 2 C. 1 D. 0 12. 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 14. 已知反比例函数，当y=6时，x=________ ． 15. 将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____． 16. 列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 17. 如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． （1）求C、E点的坐标； （2）求的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 板块三：旋转 18. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 19. 如图，绕点C旋转至，点D在上，，则旋转角为（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 21. 如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. D. 22. 若点P的坐标为，其关于原点对称的点的坐标为，则为______． 23. 如图，与关于点C成中心对称，则的长是____ 24. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是______度． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）直接写出点关于点对称的点的坐标： ； （2）平移，使平移后点对应点的坐标为，请画出平移后的； （3）画出绕原点逆时针旋转后得到的． 板块四：圆 26. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 27. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点 28. 如图，的内接正六边形的边长为1，则的长为（ ） A. B. C. D. 29. 如图，用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 30. 如图，⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，∠BOC＝36°，则∠BAD＝_____°． 31. 已知扇形的弧长为，它的圆心角为45°，则该扇形的半径为______． 32. 在半径为13cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为_____cm． 33. 如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度． 34. 如图，为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦的中点，过点C的切线与的延长线相交于点E，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）当，时，求线段的长． 板块五：概率初步 35. 任意翻开人教版九年级上册数学课本，正好是第页．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上选项均不正确 36. 如果从1， 2，3，4，5，6，7， 8，9这9个数中任意选取一个数， 那么取到的数恰好是3的倍数的概率是( ) A. B. C. D. 37. 综合实践小组在课堂进行摸球实验.一个不透明的盒子中装入红、白两种颜色的小球（除颜色外其他都相同）共30个，摸出一球记录后放回，多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，则盒子中红色小球的个数可能是（ ） A 12 B. 21 C. 9 D. 15 38. 一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是_____． 39. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有______个． 40. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为(指针指向OA时，当作指向黑色扇形；指针指向OB时，当作指向白色扇形)，则黑色扇形的圆心角________． 41. 某校在暑假期间组织学生积极参与“劳动最光荣”活动，并设置了四个劳动项目：A．为家人做早饭；B．洗碗；C．打扫；D．洗衣服．要求每个学生必须选择一个自己最擅长劳动项目，并要坚持整个暑假．为了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据所给信息，解答下列问题： 抽取的学生参加各项目人数的条形统计图 抽取的学生参加各项目人数的扇形统计图 （1）本次接受抽样调查的总人数是_________人； （2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整； （3）小雯在暑假中养成了很好的劳动习惯，妈妈决定从《论语》《孟子》《大学》《中庸》这四本书中随机奖励她两本．在随机抽取的两本书中，求恰好是《论语》和《大学》的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $