精品解析：内蒙古乌拉特前旗第三中学2025-2026学年九年级上学期12月教学质量检测数学试题

前旗三中2025－2026学年度第一学期月考检测 初三年级 数学试题 一、选择题（本题共8题，共计32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 5. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ） A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米 7. 关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 当x＜1时，y的值随x值的增大而减小 C. 图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3） D. 图象的对称轴在y轴的右侧 8. 在数轴上，点A所表示实数为5，点B所表示实数为a，⊙A半径为3.下列说法中不正确的是（ ） A. 当a＞8时，点B在⊙A外 B. 当a＜8时，点B在⊙A内 C. 当a＜2时，点B在⊙A外 D. 当2＜a＜8时，点B在⊙A内 二、填空题（本小题共3题，共计12分） 9. 若CD是RtABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是________． 11. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝________． 三、简答题（本题共4题，共计56分） 12. 解方程． （1）； （2）． 13. 正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． （1）求证：； （2）当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 15. 某商店销售一种商品，经市场调研发现，当该商品每件的售价为元时，每天可销售件；如果调整价格，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少件．已知该商品的进价为每件50元． （1）当每件商品的售价为元时，求该商品每天的销售数量； （2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前旗三中2025－2026学年度第一学期月考检测 初三年级 数学试题 一、选择题（本题共8题，共计32分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； （2）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； （3）是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； （4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 综上所述，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有2个． 故选：B． 2. 若P(x，3)与点Q(4，y)关于原点对称，则xy的值是(　　) A. 12 B. ﹣12 C. 64 D. ﹣64 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值，进而得出答案． 【详解】∵与点关于原点对称， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 3. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 4. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 所有的等腰三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的矩形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】解：A.任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误； B.任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，B正确； C.任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误； D.任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 5. 下列方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取的选项即可得出结论． 【详解】解：A、， 方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、， 方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； C、， 方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； D、， 方程没有实数根，故本选项符合题意． 故选：D． 6. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（ ） A. 2分米 B. 3分米 C. 4分米 D. 5分米 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】的直径为分米， （分米）， ，（分米）， （分米）， （分米）， 积分的最大深度（分米）． 故选：． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 7. 关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴的交点坐标为（0，1） B. 当x＜1时，y的值随x值的增大而减小 C. 图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3） D. 图象的对称轴在y轴的右侧 【答案】C 【解析】 【分析】令x=0，求出y的值，即可判断A；将该二次函数一般式改为顶点式，得出其对称轴，即可判断B；根据顶点式可直接判断C和D； 【详解】当x＝0时，y＝-1，故选项A错误； ∵， 该函数的对称轴是直线x＝-1，开口向上 当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项B错误； 图象的顶点坐标为(-1，-3)，故选项C正确； 图象的对称轴是直线x＝-1在y轴的左侧，故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 8. 在数轴上，点A所表示实数为5，点B所表示实数为a，⊙A半径为3.下列说法中不正确的是（ ） A. 当a＞8时，点B在⊙A外 B. 当a＜8时，点B在⊙A内 C. 当a＜2时，点B在⊙A外 D. 当2＜a＜8时，点B在⊙A内 【答案】B 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系一一判断即可． 【详解】解：如图，观察图象可知，当a＞8时，点B在⊙A外，当a＝2或8时，点B在⊙A上，当a＜2或a＞8时，点B在⊙A外． 故选项A，C，D正确， 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，实数与数轴等知识，解题的关键是记住：若用d、r分别表到圆心的距离和圆的半径，则当d>r时，点在示点圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r圆内.时，点在圆内． 二、填空题（本小题共3题，共计12分） 9. 若CD是RtABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质证明利用勾股定理求解，再利用等角的余弦相等建立方程求解即可． 【详解】解：如图， AD=3，CD=4， 由 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查的是直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形的关系，可以利用勾股定理，三角函数很好的联系起来，掌握以上知识是解题的关键． 10. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积公式的运用，圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 11. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝________． 【答案】 【解析】 【分析】由切线长定理知PA=PB，PO平分∠APB，由切线的性质及锐角三角函数即可求得PA的长，从而得PB的长． 【详解】∵PA，PB是⊙O的两条切线 ∴PA=PB，且PO平分∠APB ∴∠APO= ∵OA⊥PA ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，掌握切线的性质是关键． 三、简答题（本题共4题，共计56分） 12. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 13. 正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． （1）求证：； （2）当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 【答案】（1） 证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）当点M运动到的中点时，，此时。 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴要使，必须有， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴当点M运动到的中点时，，此时． 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F． （1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）直线BC与⊙O相切， 理由如下： 连接OD．∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD． ∵OD=OA ∴∠OAD=∠ODA ∴∠CAD=∠ODA ∴OD∥AC ∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线； （2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积． 【详解】解：（1略 ） （2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2． 根据勾股定理得：， 即， 解得：x=2，即OD=OF=2 ∴OB=2+2=4． Rt△ODB中 ∵OD=OB ∴∠B=30° ∴∠DOB=60° ∴S扇形DOF== 则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==． 故阴影部分的面积为． 15. 某商店销售一种商品，经市场调研发现，当该商品每件的售价为元时，每天可销售件；如果调整价格，每件的售价每增加1元，每天的销售数量将减少件．已知该商品的进价为每件50元． （1）当每件商品的售价为元时，求该商品每天的销售数量； （2）当每件商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）当每件商品的售价为元时，该商品每天的销售数量为160件；（2）当每件商品的售价为65元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为2250元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，即可解答； （2）根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：当每件商品的售价为元时， 该商品每天的销售数量为（件）. 设每件商品的售价为x元，销售该商品每天获得的利润为， 则 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为. 答：当每件商品的售价为元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $