精品解析：江苏省无锡市市北高级中学2025-2026学年高三上学期12月阶段检测数学试卷

无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先用列举法求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】由，得，共2个元素． 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法和减法法则计算出答案. 【详解】 故选：B. 3. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质可得结论. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由二倍角公式，同角三角函数的平方关系及商数关系求得，再由二倍角公式求解． 【详解】因为， 所以，则. 故选：A． 5. 我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，设在三棱锥中，平面，且，，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果. 【详解】如下图所示： 在三棱锥中，平面，且，， 因为平面，、、平面，则，，， ，，平面，平面，， 所以，三棱锥的四个面都是直角三角形，且， ， 设线段的中点为，则， 所以，点为三棱锥的外接球球心， 设球的半径为，则，因此，球的表面积为. 故选：A. 6. 在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解. 【详解】在△ABC中，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，设， 因为，所以，又由， 所以， 设，，则， 其中，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，所以的取值范围为. 故选：B.    7. 设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂直分析判断. 【详解】对于选项A：当时，满足，，但不一定成立，故A错误； 对于选项B：因为是实数，可知表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以等式不一定相等，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 即，整理可得， 即，所以与垂直，故D正确； 故选：CD. 10. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间单调递增 D. 当时，函数有8个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的振幅、周期求出和的值，根据图象的特殊点和的范围求出的值，可判断选项A、B是否正确；根据求出的解析式及整体替换思想求出的单调增区间可判断C；化简解析式，将一个函数的零点个数问题，转化为两个新函数的交点个数问题可判断D. 【详解】对于选项A，由图知，，得到， 则，选项A正确； 对于选项B，，又因为， 所以，故选项B错误； 对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C正确； 对于选项D，， 整理得，， 令，得 观察图象知，和在上共8个交点， 所以在上共有8个零点，故选项D正确. 故选：ACD 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】对A、B：令，则，设， 则，故当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，时，， 且，故，且，故A、B正确； 对C、D：由题意可得，所以， 由于成等差数列，则，故， 则，所以，故成等比数列，故C正确； 则，化简有，则， 解得或， 又，则，故，则， 又，故舍去， 故，又， 所以，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线，再利用圆的性质求出值. 【详解】由，求导得，则， 因此曲线在点处的切线方程为，即， 由直线与圆相切，得， 所以. 故答案为： 13. 已知实数，满足，则的最小值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】由题，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 故答案为：5. 14. 设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 【答案】 ①. ②. 1或2 【解析】 【分析】由已知递推关系分别令，，即可求解，然后结合等差数列的性质即可求解，并检验. 【详解】因为为数列的前项积，， 时，， 当时，，即， 时，， 则， 若数列 为等差数列，则， 所以， 整理得，， 解得或． 检验：当时，，则时，，则，即 ， 故为以为首项，1为公差的等差数列； 当时，,则时，，则， 故，得， 即 ，又，故为常数列，即,易知其为等差数列. 故答案为：；1或2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行化简，即可求得； （2）由求，结合余弦定理由求，得出为等腰三角形，设BC边的中点为，结合勾股定理可求AD. 【小问1详解】 由条件及正弦定理有， 又由余弦定理， 所以有，所以. 【小问2详解】 由（1）有，， 由，，得 ，解得（负值舍去）， 所以为等腰三角形，设BC边的中点为，则. 16. 已知数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，两式相减，根据等比数列的定义，代入通项公式，即可得答案. （2）设数列满足，记的前项和为，则，根据等比数列求和公式，代入计算，即可得答案. 【小问1详解】 由可得． 两式相减并由得到． 特别地，取，则由知． 所以是以2为首项，公比为2的等比数列， 则． 所以的通项公式是． 【小问2详解】 设数列满足． 记的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以． 即新数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出抛物线标准方程，再结合导数的几何意义求出在P点的切线斜率，从而得出切线方程. （2）将直线与抛物线方程联立，由题意因为直线与倾斜角互补，则直线与斜率互为相反数，即，结合韦达定理可求出k的值. （3）先分别表示出线段AB的长度以及顶点P到线段AB的距离，从而得出的面积表达式，再求出面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. 【小问2详解】 如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. 【点睛】思路点睛：本题首先考查了抛物线切线方程的问题，这类题型需要将抛物线方程看作函数，通过函数导数的几何意义对方程求导，得出切线斜率，进而求出切线方程；在第（2）小问中直线PA与PB倾斜角互补的条件正确转化为斜率和为0的条件是解题的关键；第（3）小问中使用了底边和高表示出三角形面积，以及最后求面积最大值使用到了基本不等式，要明确基本不等式等号的成立条件. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点． ① 求实数的取值范围； ② 证明：． 【答案】（1）当时， 在为增函数； 当时，在上为增函数；在上为减函数． （2）①， ②见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）①通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可； ②问题转化为证，即证，设函数，根据函数的单调性证明即可． 【小问1详解】 的定义域为，且． 当时，成立，所以在为增函数； 当时， （i）当时，，所以在上为增函数； （ii）当时，，所以在上为减函数． 【小问2详解】 ①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意； 当时，的最小值为， 依题意知 ，解得． 一方面，由于，，在为增函数，且函数的图 象在上不间断． 所以在上有唯一的一个零点． 另一方面， 因为，所以． ，令， 当时，， 所以 又，在为减函数，且函数的图象在上不间断． 所以在有唯一的一个零点． 综上，实数的取值范围是． ②设． 又则． 下面证明． 不妨设，由①知． 要证，即证． 因为，在上为减函数， 所以只要证． 又，即证． 设函数． 所以，所以在为增函数. 所以，所以成立． 从而成立. 所以，即成立. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市市北高级中学2025-2026学年第一学期 高三年级数学学科阶段检测卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合的元素个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. 或 C. D. 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为，底面是腰长为的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（     ） A. B. C. D. 7. 设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面向量，，，下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若且，，则与垂直 10. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间单调递增 D. 当时，函数有8个零点 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在点处的切线与圆相切，则________. 13. 已知实数，满足，则的最小值为________. 14. 设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，求BC边上的中线长. 16. 已知数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. （1）求抛物线在点处的切线方程； （2）求的值； （3）若，求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设的导函数为，若有两个不相同的零点． ① 求实数的取值范围； ② 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $