专题01 数列（期末复习讲义）高二数学上学期湘教版

该高中数学数列专题期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以“概念-公式-性质-示例-易错点”框架呈现知识脉络，清晰展现数列概念、等差等比数列及综合应用的内在联系，突出重点题型与难度分布。 讲义亮点在于分层题型训练与方法指导，如“观察法求通项”“等差数列性质应用”等专题配有答题模板和典例变式，培养数学思维与运算能力。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升复习效率。

专题01 数列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：数列的概念 1.理解数列及其有关概念，并了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，能够根据其前几项写出通项公式；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，并能够根据给定的递推公式写出数列的前几项. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 2：等差数列的概念、通项公式及性质 掌握求等差数列通项公式的方法——叠(累)加法，能够灵活运用等差数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合基本量运算命题. 3：等差数列的前n项和公式及性质 并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式，掌握等差数列前n项和的性质以及等差数列前n项和公式的函数特征 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，性质运用极广. 4：等比数列的概念、通项公式及性质 掌握求等比数列通项公式的方法——叠(累)乘法，能够灵活运用等比数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合基本量运算命题. 5：等比数列的前n项和公式及性质 并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式，掌握等比数列前n项和的性质以及等比数列前n项和公式的函数特征 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考，性质运用极广. 6：通项与求和 掌握数列通项的几种常见方法 题型：选择/填空或解答题； 难度：中档（70%）、难题（30%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：数列的综合应用 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强. 知识点01 数列的概念（概念+公式+性质+示例+易错点） 1.核心概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． （4）数列的分类 ①按照项数分：有限和无限 ②按单调性来分： 2.核心公式与性质 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 示例：若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 易错点：数列的通项不唯一. 知识点02 等差数列（概念+公式+性质+示例+易错点） 1.核心概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2.核心公式与性质 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 示例：（多选）已知数列的前项和为，若，则（  ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】由等差数列的基本量法求出通项，令可得A正确；由可得B错误；求出，再表达出、，作差可得C正确；求出可得D正确； 【解析】因为，， 所以数列是公差为，首项是20的等差数列， 即， 对于A，，所以4是数列中的项，故A正确； 对于B，令，即，前五项大于零， 所以当最大时，的值可以取5或6，故B错误； 对于C，， 所以，， ， 所以数列是等差数列，故C正确； 对于D，，，所以，故D正确； 故选：ACD. 易错点：数列是等差数列的运用不到位. 知识点02 等比数列（概念+公式+性质+示例+易错点） 1. 核心概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 2.核心公式与性质 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． （3）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （4）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （5）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （6）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 示例：已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 易错点：不注意和两类情况的讨论分析. 题型一 观察法求数列通项 答｜题｜模｜板 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 【典例1】写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 【答案】(1)（）；(2)（）；(3)（）． (4)（）；(5)（）． 【分析】先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律把这五个数列表示成式子即可． 【解析】（1）数列的前几项可记为，，，，…， 所以该数列的一个通项公式为（）； （2）数列的整数部分1，2，3，4，…，，…恰好是序号，分数部分，，，，…与序号的关系为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （3）将原数列改写为，，，，…， 易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式． 第2项－1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号的关系可记为． 而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号的关系可记为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （5）因为，，，所 以该数列的一个通项公式为（）． 【变式1】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 【变式2】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解析】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 【变式3】已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【解析】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 题型二 判断或写出数列中的项 答｜题｜模｜板 判断某数值是否为该数列的项的方法： 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 【典例1】已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【答案】(1)，；(2)是这个数列中的第项；(3)证明见解析 【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项； （2）将代入该数列的通项公式，从而得解； （3）将代入该数列的通项公式，从而得证. 【解析】（1）因为无穷数列，，，…，，…， 所以该数列的通项公式为， 则，. （2）因为， 将代入，得，解得或（舍去）， 所以是这个数列中的第项. （3）因为， 将代入，得，即，解得（负值舍去）， 又，故也不满足题意， 所以不是这个数列中的项. 【变式1】已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【解析】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C. 【变式2】已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）；（2）为数列中的项，为第3项；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据数列的通项公式，直接计算，即可得出结果； （2）令，列出方程求，即可判断出结果； （3）化通项公式，判定，即可得出结论成立. 【解析】（1）根据题意可得； （2）令，即，解得， ∴为数列中的项，为第3项； （3）由题知， ∵，∴，∴，∴，即 题型三 根据数列的单调性求参 答｜题｜模｜板 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. 易错提醒. 数列单调性需注意 【典例1】已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【解析】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C. 【典例2】已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解析】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 【变式1】已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【解析】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：C. 【变式2】已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【解析】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【解析】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得. 当时，单调递增， 若对任意，都有，则且， 即且，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B. 题型四 利用an与Sn的关系求通项或项 答｜题｜模｜板 由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. 易错提醒 注意n=1的检验. 【典例1】已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【解析】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以 故答案为: 【典例2】已知数列满足：，，则___________ 【答案】4 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【解析】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故答案为:4 【变式1】设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果. 【解析】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 【变式2】已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【解析】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 【变式3】设数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】根据题设中的递推关系可得，故可求. 【解析】根据题意，当时，有， 即，故为常数列， 因此， 进而． 故选：C. 题型五 求数列的最大（小）项 答｜题｜模｜板 求数列最大项与最小项的常用方法： (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项 【典例1】已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1)；(2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解析】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 【变式1】数列、满足：，，，则数列的最大项是（  ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【答案】B 【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【解析】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立）故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（  ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【解析】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)；(2)最大项为，最小项为. 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【解析】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 题型六 等差数列通项公式及其应用 答｜题｜模｜板 等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 【典例1】已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)，;(2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【解析】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 【变式1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【解析】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 故选：B. 【变式2】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解析】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 题型七 利用等差数列的性质计算 答｜题｜模｜板 等差数列的性质： (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 【典例1】已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【解析】因为，解得. 故选：B. 【典例2】已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【解析】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 【变式1】若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义以及性质即可求出． 【解析】因为在等差数列中，，所以，， 即 故选：B. 【变式2】在等差数列中，，则 . 【答案】18 【分析】利用等差数列的性质直接求得. 【解析】在等差数列中，. 因为， 所以. 故答案为：18. 题型八 等差数列的判定与证明 答｜题｜模｜板 判定等差数列常用的2种方法： (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 注：判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 【典例1】已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析;(2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解析】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 【典例2】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【解析】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【变式1】已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【解析】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 【变式2】在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【解析】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 【变式3】数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【解析】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 题型九 等差数列通项公式及前n项和的基本量计算 答｜题｜模｜板 等差数列中基本量计算的两个技巧： (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 【典例1】（1）设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【解析】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D. （2）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为，因为且， 可得，解得. 故选：A. 【变式1】等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差. 【解析】为等差数列， ， ， 设的首项为，公差为，则， 解得， 故选：A. 【变式2】已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式和通项公式进行求解即可. 【解析】设等差数列的公差为， 在等差数列中，，， 所以有， 故选：A 【变式3】记等差数列的前n项和为，已知，则________ 【答案】-1 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【解析】设等差数列的公差为，则，解得. 故答案为：-1. 题型十 含绝对值的等差数列前n项和 答｜题｜模｜板 等差数列，求数列的前n项和问题： 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 【典例1】在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件得到，得到； （2）设，的前项和为，求出，当时，；当时，，从而得到答案. 【解析】（1），故， 又，故， 所以； （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故 当时，，故； 当时，， 故， 综上， 【变式1】在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【解析】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C. 【变式2】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1)；(2)6；(3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 题型十一 等差数列前n项和的性质 答｜题｜模｜板 等差数列前n项和的性质： （1）若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 （2）若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则，也成等差数列，公差为 （3）设两个等差数列的前项和分别为，则. （4）在等差数列中，若，则 【典例1】（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 【典例2】记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的下标和性质，得到等差数列中的项的正负情况，从而得解. 【解析】因为等差数列的前项和为，设等差数列为， 由，得，则， 由，得，则， 所以，故， 则数列的前项为负数，从第项开始的项都是正数， 因此当时，最小. 故选：B. 【变式1】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可. 【解析】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：50 【变式2】（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【解析】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABC 【变式3】等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【解析】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故答案为： 【变式4】已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1);(2)， 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 题型六 等比数列通项公式及其应用 答｜题｜模｜板 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【典例1】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【解析】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 【变式1】如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设各个图形的周长依次排成一列构成数列，观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的，判断为等比数列，求出其通项，代入即得 【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 【变式2】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据条件列公差方程，解得结果， 即可. 【解析】依题意，即，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则． 故答案为： 题型七 利用等比数列的性质计算 答｜题｜模｜板 等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【解析】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D. 【变式1】已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【解析】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A. 【变式2】等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解． 【解析】由是等比数列可得， 因为，所以可得， 所以 故， 故选：B. 题型八 等比数列的判定与证明 答｜题｜模｜板 判定等比数列常用的4种方法： 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．　 【典例1】数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用公式求通项，但要注意检验首项； （2）利用递推关系证明比值为常数，即可得证； （3）利用等比数列通项公式即可求解. 【解析】（1）当时，．当时，． 检验，当时符合．所以． （2）当时，，而， 所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3． （3）由（2）得：，所以. 【典例2】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）由给定的递推公式两边减去2，再取倒数并利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出数列的通项，进而求出数列的通项. 【解析】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 【变式1】（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 【变式2】已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解析】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴. 【变式3】已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式，可得，结合等比数列定义，即可证明结论； （2）利用（1）的结论求出，可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得，继而证明结论. 【解析】（1）证明：由题意知数列的首项，且满足， 故， 由于，故，故， 故数列是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可得，故， 故， 故 ， 由于，故. 题型九 等比数列通项公式及前n项和的基本量计算 答｜题｜模｜板 等比数列前n项和运算的技巧： （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【典例1】（1）设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 【答案】 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【解析】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：. （2）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【解析】因为，所以， 所以，，数列是公比为的等比数列， 因为，所以，， 所以. 故选：D 【变式1】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】先判断，再运用等比数列求和公式化简方程，求得，利用等比数列通项公式化简所求式即得. 【解析】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 【变式2】（多选）已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【答案】ACD 【分析】本题可根据等比数列的通项公式及前项和公式，结合等差数列的性质来逐一分析选项. 【解析】选项A：设等比数列的公比为（）， 由成等差数列，则，即， 因为，所以. 令，方程变为，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确； 选项B：若，则，故选项B错误； 选项C：等比数列前项和公式为且， ，， 因为，， 所以，故成等差数列，选项C正确； 选项D：若，由得. 等比数列的项为： ，，， …… 可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小， 即，因此数列的最大项为，故选项D正确. 故选：ACD 题型十 等比数列前项和的性质 答｜题｜模｜板 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【解析】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【解析】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【解析】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以 . 故选：B. 题型十一 数列求和 答｜题｜模｜板 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【典例1】（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求. 【解析】选项A，由题意得，A正确； 选项B，将两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误； 选项C，由， 得， 所以①， 则②， ①-②得，， ， 即，则，C正确； 选项D，因为， 所以，D正确. 故选：ACD. 【典例2】已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可. （2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为， 由题知，解得， 所以的通项公式为. （2）由题知， 所以. 【变式1】数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法求出通项公式，再由错位相减法求和即可. 【解析】由可得， 累乘可得， 即，所以，也符合该式，故. 所以，① ，② ①②可得， 因此，. 故选：D. 【变式2】已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)， 【分析】（1）根据给定的递推关系式，令得，再令得. （2）根据给定的递推关系式得，从而根据等比数列定义即可证明. （3）先利用累加法求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【解析】（1）由题意，， 又，所以，解得． 因为，所以. （2）因为， 所以， 又，又， 则. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由（2）知，所以， 所以 ， 所以. 【变式3】已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【答案】(1)证明见解析，．(2) 【分析】（1）通过已知条件和联立方程组可求出和，进而得到的通项公式. 对于数列，根据，通过变形得到，可证明是等比数列，进而求出的通项公式. （2）根据的分段定义，根据分组求和，分别计算奇数项和偶数项的和，从而求出. 【解析】（1）依题意，设数列的公差为， 因为，所以，则 因为所以 所以，所以         所以，所以， 又因为，所以， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列，              所以，所以． （2）由（1）知，，可得 所以 = = 【变式4】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 【答案】(1)；(2)49；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求得其通项公式. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值. （3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【解析】（1）在等差数列中，由，得数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此等差数列的前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，数列前项和取得最大值. （3）由（1）知， 所以. 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 【答案】C 【分析】由题意解出公差后求解 【解析】∵等差数列的前项和为，， ∴， ∵代入解得， ∵，∴，即， ∴ 故选：C 2．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【解析】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高一下·重庆·期末）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 【答案】ABD 【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【解析】对选项A，因为，， 所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知： 数列的前n项和，故B正确. 对选项C，因为，所以，故C错误. 对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD 4．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 5．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【解析】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 6．设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 【答案】 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【解析】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：. 7．在数列中，，则等于____________ 【答案】765 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【解析】依题意由可得为定值， 因此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 即可得，所以当时，，当时，， 所以 . 故答案为：765 8．在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 【答案】 【分析】先根据条件进行构造，然后利用累加法求通项 【解析】由，可得 又，， 所以． 所以首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以． 又满足上式，所以 四、解答题 9．已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求； （2）由错位相减法求和. 【解析】（1）对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得，因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以． 10．已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【解析】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【答案】D 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【解析】因为，所以， 所以，，数列是公比为的等比数列， 因为，所以，， 所以. 故选：D 2．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可. 【解析】命题若是上的减函数，得 ，解得， 命题对于任意的正整数，，都有， 不妨令，可得，有 ， 由题，知，解得， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，可得数列是等比数列，从而可求得数列的通项公式. 【解析】等式两边同时加1，得， 所以数列是以首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 故选：C. 4．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【解析】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 5．设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设公比为，利用等比数列的性质得到，再结合基本不等式求出公比，然后利用等比数列的性质可得. 【解析】设公比为， 所以， 当且仅当，即3时取等号，此时. 故选：B. 6．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【解析】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故选：D 二、多选题 7．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【答案】ACD 【分析】本题可根据等比数列的通项公式及前项和公式，结合等差数列的性质来逐一分析选项. 【解析】选项A：设等比数列的公比为（）， 由成等差数列，则，即， 因为，所以. 令，方程变为，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确； 选项B：若，则，故选项B错误； 选项C：等比数列前项和公式为且， ，， 因为，， 所以，故成等差数列，选项C正确； 选项D：若，由得. 等比数列的项为： ，，， …… 可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小， 即，因此数列的最大项为，故选项D正确. 故选：ACD 8．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【答案】AC 【分析】由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D. 【解析】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 三、填空题 9．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先应用等比数列基本量运算得出，再代入检验并结合数列单调性分析求解. 【解析】令，则，，解得， 则，即，所以， 即， 因为，所以， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，令， 则， 令， 则， 可知数列在当时为递增数列，则， 可知数列在当时为递增数列，则， 所以当，，不合题意； 故的取值范围为． 故答案为：． 10．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 【答案】 【分析】根据题意求得及，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 11．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【解析】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 12．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【解析】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【解析】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 2．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【解析】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 3．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【解析】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 4．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则-1 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】B 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【解析】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A错误， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：B. 5．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”． 现有下列两个命题： （1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”； （2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 则下列说法正确的是（   ） A．（1）是真命题，（2）是假命题 B．（1）是假命题，（2）是真命题 C．（1）（2）都是真命题 D．（1）（2）都是假命题 【答案】B 【分析】根据等差数列的函数性质，即可求解（1）的真假，举例子即可求解（2）的真假. 【解析】若等差数列不是常数列，由题意可得公差，则可看成关于的一次函数，可看成关于的二次函数，即，， 由得， 当足够大时，不成立，故命题（1）不成立； 若等差数列是常数列，设，则，显然当时，此时，故命题（1）不成立； 综上可知，对任意的等差数列，命题（1）是假命题； 取等比数列，则 ， 若对任意的正整数，均存在正整数,不妨取，使得， 则对任意的正整数，不妨取，， 因此既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 故命题（2）正确. 故选：B. 二、多选题 6．数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． ，数列 单调递减 C． ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D．若 【答案】ABD 【分析】对于A，即可判断；对于B，作差计算即可判断；对于C，假设等差数列得出或即可分类判断，先化简再结合等比数列求和计算即可判断 D. 【解析】对于A，， 又 ，所以，A正确； 对于B，时，有， 所以，数列 单调递减，B正确； 对于C，因为，， 若数列 为公差不为 0 的等差数列，则，所以或； 当时公差为0，不合题意； 当时公差为3，， 不符合，舍去， 所以不存在 ，使得数列为公差不为0的等差数列，C错误； 对于D：由于，故， 所以， 所以， ， 故 ，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【解析】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 8．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，得到，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，化简得到，结合的值，求得的最小值是，即可求解. 【解析】因为，所以， 所以数列是常数列，则，可得，故， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而， 当时，，当时，， 因为，所以的最小值是，即， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析‘’(2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【解析】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 10．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）通过与的关系，消去，推导出数列的递推关系，确定数列类型，进而求出通项公式． （2）先对通项进行裂项，再利用裂项相消法求出和，最后通过放缩即可证明不等式． （3）构造函数，分析其单调性求出最值，将不等式恒成立问题转化为最值问题，进而求出参数范围． 【解析】（1）因为，所以①， 当时，②， 则得，， 整理得， 又数列为正项数列，即， 所以，即，即公差； 当时，有，又，则，解得. 综上，数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，其通项公式为. （2）证明：由（1）可知，则， 所以， 综上，. （3）由（1）可知，令， 则， 所以 ， 所以，即在上递减， 所以， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1：数列的概念 1.理解数列及其有关概念，并了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，能够根据其前几项写出通项公式；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，并能够根据给定的递推公式写出数列的前几项. 题型：选择/填空 难度：基础题； 特点：多为基础铺垫. 2：等差数列的概念、通项公式及性质 掌握求等差数列通项公式的方法——叠(累)加法，能够灵活运用等差数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合基本量运算命题. 3：等差数列的前n项和公式及性质 并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式，掌握等差数列前n项和的性质以及等差数列前n项和公式的函数特征 题型：选择/填空或辅助考查； 难度：基础（60%）、含参数中档（40%）； 特点：必考，性质运用极广. 4：等比数列的概念、通项公式及性质 掌握求等比数列通项公式的方法——叠(累)乘法，能够灵活运用等比数列的通项公式及其性质解决一些简单的问题. 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础为主（80%），含参数中档（20%）； 特点：高频，多结合基本量运算命题. 5：等比数列的前n项和公式及性质 并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式，掌握等比数列前n项和的性质以及等比数列前n项和公式的函数特征 题型：选择/填空或解答题第一问； 难度：基础（70%）、含参数中档（30%）； 特点：必考，性质运用极广. 6：通项与求和 掌握数列通项的几种常见方法 题型：选择/填空或解答题； 难度：中档（70%）、难题（30%）； 特点：必考重点，解答题高频命题点. 7：数列的综合应用 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式； 掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法 题型：解答题或选择压轴； 难度：中档（60%）、难题（40%）； 特点：重点难点，区分度强. 知识点01 数列的概念（概念+公式+性质+示例+易错点） 1.核心概念 （1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． （2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． （4）数列的分类 ①按照项数分：有限和无限 ②按单调性来分： 2.核心公式与性质 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 示例：若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 易错点：数列的通项不唯一. 知识点02 等差数列（概念+公式+性质+示例+易错点） 1.核心概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2.核心公式与性质 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则；；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （10）．数列是等差数列⇔（为常数）． （11）等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 示例：（多选）已知数列的前项和为，若，则（  ） A．4是数列中的项 B．当最大时，的值只能取5 C．数列是等差数列 D． 易错点：数列是等差数列的运用不到位. 知识点02 等比数列（概念+公式+性质+示例+易错点） 1. 核心概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 2.核心公式与性质 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． （3）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （4）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （5）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （6）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 示例：已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 易错点：不注意和两类情况的讨论分析. 题型一 观察法求数列通项 答｜题｜模｜板 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 【典例1】写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 【变式1】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 题型二 判断或写出数列中的项 答｜题｜模｜板 判断某数值是否为该数列的项的方法： 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 【典例1】已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【变式1】已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 题型三 根据数列的单调性求参 答｜题｜模｜板 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. 易错提醒. 数列单调性需注意 【典例1】已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【典例2】已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【变式1】已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型四 利用an与Sn的关系求通项或项 答｜题｜模｜板 由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. 易错提醒 注意n=1的检验. 【典例1】已知数列的前项和为，且，则___________． 【典例2】已知数列满足：，，则___________ 【变式1】设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 【变式2】已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】设数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D．前三个答案都不对 题型五 求数列的最大（小）项 答｜题｜模｜板 求数列最大项与最小项的常用方法： (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项 【典例1】已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【变式1】数列、满足：，，，则数列的最大项是（  ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（  ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 题型六 等差数列通项公式及其应用 答｜题｜模｜板 等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 【典例1】已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【变式1】已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（  ） A． B． C． D． 题型七 利用等差数列的性质计算 答｜题｜模｜板 等差数列的性质： (1)在等差数列中,,且,则. (2)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (3)若为公差为的等差数列,则是公差为的等差数列. (4)若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 (5)若分别是以为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. (6)若是等差数列,公差为,则,组成公差为的等差数列. 【典例1】已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 【典例2】已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 【变式1】若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 【变式2】在等差数列中，，则 . 题型八 等差数列的判定与证明 答｜题｜模｜板 判定等差数列常用的2种方法： (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 注：判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 【典例1】已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【典例2】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式1】已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 题型九 等差数列通项公式及前n项和的基本量计算 答｜题｜模｜板 等差数列中基本量计算的两个技巧： (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 【典例1】（1）设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 （2）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1】等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式2】已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式3】记等差数列的前n项和为，已知，则________ 题型十 含绝对值的等差数列前n项和 答｜题｜模｜板 等差数列，求数列的前n项和问题： 求数列的的前n项和实际上是求数列前n项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 【典例1】在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式1】在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 【变式2】在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 题型十一 等差数列前n项和的性质 答｜题｜模｜板 等差数列前n项和的性质： （1）若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 （2）若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则，也成等差数列，公差为 （3）设两个等差数列的前项和分别为，则. （4）在等差数列中，若，则 【典例1】（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【典例2】记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【变式1】若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【变式2】（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【变式3】等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 【变式4】已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 题型六 等比数列通项公式及其应用 答｜题｜模｜板 等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵， ∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 【典例1】已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【变式1】如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 题型七 利用等比数列的性质计算 答｜题｜模｜板 等比数列的性质 设{an}为等比数列，公比为q，则 (1)若m+n=p+q，m,n,p,q∈N*，则. (2)若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列，则成等比数列. (3)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 数列{}是公比为的等比数列； 若数列{bn}是公比为q'的等比数列，则数列{}是公比为q·q'的等比数列. (4)在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为. (5)在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列. (6)若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{}(c>0且c≠1)是公差为的等差数列. 【典例1】设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．14 D．15 【变式1】已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【变式2】等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A．12 B．10 C．5 D． 题型八 等比数列的判定与证明 答｜题｜模｜板 判定等比数列常用的4种方法： 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列． 4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．　 【典例1】数列的前项和为，且，数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式. 【典例2】已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式1】（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【变式2】已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【变式3】已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，证明：. 题型九 等比数列通项公式及前n项和的基本量计算 答｜题｜模｜板 等比数列前n项和运算的技巧： （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 【典例1】（1）设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . （2）设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 【变式1】记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【变式2】（多选）已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 题型十 等比数列前项和的性质 答｜题｜模｜板 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【典例1】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【变式1】已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【变式2】已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 题型十一 数列求和 答｜题｜模｜板 1．分组求和法与并项求和法 (1)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减. (2)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解. 2．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一 个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 常见的裂项技巧： (1). (2). (3). (4). (5). 4．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 5．常用求和公式 (1). (2). (3). (3). 【典例1】（多选）已知数列的前项和为，则（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【典例2】已知等差数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)若，求前n项和. 【变式1】数列满足，，数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列中，． (1)计算的值； (2)令，求证：数列是等比数列； (3)求数列的通项公式和它的前n项和． 【变式3】已知等差数列的前n项和为，且满足， ，数列满足，， (1)证明:数列是等比数列，并求，的通项公式; (2)已知数列满足，求的前2n项和 【变式4】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 期末基础通关练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 2．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（24-25高一下·重庆·期末）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 4．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 5．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 三、填空题 6．设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 7．在数列中，，则等于____________ 8．在数列中，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为 四、解答题 9．已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 10．已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 期末重难突破练（测试时间：45分钟） 一、单选题 1．设数列的前n项和为，若，则＝（   ） A．－63 B．－31 C．31 D．63 2．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在数列中，已知，则（　　） A． B． C． D． 4．中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 5．设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 6．设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 8．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（    ） A．第三次得到的数列共9项 B． C．数列是等比数列 D．对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 三、填空题 9．已知数列为等比数列，，若恒成立，则的取值范围是 ． 10．设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 四、解答题 11．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 12．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 期末综合拓展练（测试时间：60分钟） 一、单选题 1．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 2．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 3．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 4．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则-1 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 5．已知无穷数列各项均为正实数，其前项的和为，若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“正向控制数列”；若对任意的正整数，均存在正整数，使得成立，则称为“反向控制数列”． 现有下列两个命题： （1）存在等差数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”； （2）存在等比数列既为“正向控制数列”，又为“反向控制数列”． 则下列说法正确的是（   ） A．（1）是真命题，（2）是假命题 B．（1）是假命题，（2）是真命题 C．（1）（2）都是真命题 D．（1）（2）都是假命题 二、多选题 6．数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． ，数列 单调递减 C． ，使得数列 为公差不为 0 的等差数列 D．若 三、填空题 7．已知数列的前项和为，若，且，则 ． 8．设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 四、解答题 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 10．已知正项数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：； (3)若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围． 49 / 108 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $