第三章 导数及其应用 章节期末复习讲义-2021-2022学年高二上学期数学湘教版选修1-1

2021年秋季期湘教版选修1-1《导数及其应用》章节复习讲义（学生版） 知识点归纳 1、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x在x 处有增量d，那么函数y相应地有增量 = ， 比值 叫做函数y=f（x）在x 到x +d之间的平均变化率，即 = 。如果当 时， 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x 处的导数，记作f’（x ）或y’| 。即f（x ）= EMBED Equation.3 = 。 2、导数的几何意义 函数y=f（x）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x ，f（x ））处的 。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x ，f（x ））处的 是f/（x ）。相应地，切线方程为 3、几种常见函数的导数: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 4、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1： 法则2： 若C为常数, 法则3： 5、单调区间：一般地，设函数 在某个区间可导， EMBED Equation.3 ，则 为增函数； EMBED Equation.3 ，则 为减函数； 如果在某区间内恒有 EMBED Equation.3 ，则 为常数； 6、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 ，极值点处的导数为 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ；曲线在极小值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ； 7、最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f 在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数ƒ 在(a，b)内的 ；②求函数ƒ 在区间 ； ③将函数ƒ 的各 与 比较，其中 是最大值，其中 是最小值。 常见综合题方法导航 1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“ ”字连接或用“ 号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 恒成立 恒成立； 2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即 在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 3、函数的切线问题； 问题1：在点处的切线，易求； 问题2：过点作曲线的切线需四个步骤； 第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数； 经典题型分类解析 【导数定义的应用】 例1、求抛物线 上的点到直线的最短距离. 1、已知对任意实数 ，有 ，且 时， ，则 时（ ）