精品解析：广东省湛江市博雅学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

湛江博雅学校八年级第四次大练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对形图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对形图形， 故选： 2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】解：根据题意得， 解得 故选：C． 3. 下列计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查零次幂，乘方，立方根，绝对值，据此相关性质内容进行逐项化简，再比较大小，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴最小值为， 故选：C． 4. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列各式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查最简分式的定义，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； B、，分子与分母中不含相同因式，故是最简分式； C、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； D、的分子、分母中含有相同因式，故不是最简分式； 故选B． 6. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 7. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的特点，求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，代数式求值，乘方运算，解题的关键是熟记关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 8. 如图，作中边的垂直平分线的周长为，则的周长是（ ） A. 20 B. 16 C. 15 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再根据已知条件即可求出的周长．此题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解答此题的关键． 【详解】解：垂直平分线段， ，， 的周长为， ， ， ∵ ， 即的周长是． 故选：A 9. 已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　） A. m＝3，n＝9 B. m＝3，n＝6 C. m＝﹣3，n＝﹣9 D. m＝﹣3，n＝9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ∵乘积项中不含x2和x项， ∴ 解得：m＝-3，n＝9． 故选D． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键． 10. 若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值． 【详解】方程两边同时乘以得 去括号得 移项合并同类项得 ∵是一个完全平方式， ∴， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， 当时，，经检验，是原分式方程的解； 当时，，此时分式分母为0； 故选C． 【点睛】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系解答，即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为2，6， ∴， 即该三角形第三边长a的取值范围是． 故答案为：． 12. 若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法，利用同底数幂的除法法则，将转化为，再代入已知条件求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 14. 已知多项式恰好是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的结构特征，在已知首尾的两项的情况下，对中间项积的2倍要分正负两种情况．根据完全平方公式解答，即可求解． 【详解】解：∵多项式恰好是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为： 15. 等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长为_____cm． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由等腰三角形两腰长相等的性质，分两种情况讨论：当5为腰长或11为腰长，结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解题，进而计算三角形周长即可． 【详解】根据题意，当腰长为时， ∵， ∴围不成三角形，不符合题意； 当腰长为时，周长为：． 故答案为：27． 16. 如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，即可求解． 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，利用轴对称求最短路径，解题的关键是：掌握轴对称的性质． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ，， ， 解得：, 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长为， 的周长最小值， 故答案为：． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： （1） （2）已知：，，求：的值． 【答案】（1）2； （2）10． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式变形求值． (1)先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再加减计算； (2)根据完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 18. 先化简： 然后在2，-2，1，-1四个数中选择一个你认为最合适的数代入，求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】根据分式的混合运算可以化简题目中的式子，然后从2、−2、1、−1四个数中选择一个使得原分式有意义的值，代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式= = =， 由题意：， ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19. 如图，平分，．求证：． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；由得再由角平分线性质及公共边，即可证明，从而可得结论成立． 【详解】略 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 如图，． （1）用尺规作图在边上找一点D，使（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，． （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线与相交于D，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等； （2）根据等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质可得，再根据等腰三角形等边对等角可得，根据三角形内角和定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作线段的垂直平分线，三角形外角的性质，等腰三角形的性质定理，三角形内角和定理．（1）中掌握画线段垂直平分线的画法是解决此题的关键；（2）理解等腰三角形等边对等角和三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此问的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； 【小问3详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆． （1）求每辆型汽车进价是多少万元？ （2）A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？ 【答案】（1）10万元 （2）171万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数的混合运算的应用； （1）设每辆B型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元，利用数量总价单价，结合用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据题意列出算式，求出两种汽车利润之和即可． 【小问1详解】 解：设每辆型汽车进价是万元，则每辆型汽车进价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：每辆型汽车进价是万元； 【小问2详解】 (万元)， 答：该公司出售完此批汽车后总利润是万元． 五、解答题（23每小题13分，24小题14分，共27分） 23. 综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）36 （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【小问1详解】 解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ． ∴阴影部分的面积为10． 24. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°． （1）试判定△ABO的形状； （2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论． 【答案】 解：（1）∵OB与x轴正半轴夹角为150°， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）如图所示：在AC上截取，可得，即， ∵为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴， ∵D为CO的中点， ∴BD平分，即， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3），理由为： ∵与都为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的外角，且， ∴， 在中，， 则． 【解析】 【分析】（1）根据OB与x轴正半轴夹角为150°，可得，根据等边三角形的判定即可证明是等边三角形； （2）在AC上截取，可得，根据等边三角形与等腰三角形及各角之间的数量关系可得，由全等三角形的判定及性质可得为等边三角形，再由各线段之间的数量关系即可证明； （3）根据等边三角形的性质及各角之间的关系可得，再利用全等三角形的判定与性质及各角之间的等量关系可得，再由角所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，外角和定理，角的直角三角形的性质等，综合运用各个性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江博雅学校八年级第四次大练习 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中不是轴对形图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果最小的是（ ） A. B. C. D. 4. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 6. 李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 美丽中国 B. 我爱中国 C. 我爱美 D. 我爱美丽 7. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 8. 如图，作中边的垂直平分线的周长为，则的周长是（ ） A. 20 B. 16 C. 15 D. 21 9. 已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　） A. m＝3，n＝9 B. m＝3，n＝6 C. m＝﹣3，n＝﹣9 D. m＝﹣3，n＝9 10. 若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 4或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若三角形两边长分别为2，6，则该三角形第三边长a的取值范围是______．（用“”连接） 12. 若，，则________． 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 14. 已知多项式恰好是一个完全平方式，则________． 15. 等腰三角形的两边长分别为、，则这个等腰三角形的周长为_____cm． 16. 如图，等腰三角形的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 17. 计算： （1） （2）已知：，，求：的值． 18. 先化简： 然后在2，-2，1，-1四个数中选择一个你认为最合适的数代入，求值． 19. 如图，平分，．求证：． 四、解答题（每小题8分，共24分） 20. 如图，． （1）用尺规作图在边上找一点D，使（保留作图痕迹）． （2）在（1）的情况下，连接，若，，求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 22. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车进价是每辆型汽车进价的倍，现公司用万元购进型汽车的数量比万元购进型汽车的数量少辆． （1）求每辆型汽车进价是多少万元？ （2）A型汽车利润率为，型汽车利润率为，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？ 五、解答题（23每小题13分，24小题14分，共27分） 23. 综合与实践． 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式，之间的等量关系为 ； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值； （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且 ，求图中阴影部分的面积． 24. 已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=AB，BO与x轴正方向的夹角为150°． （1）试判定△ABO的形状； （2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、DB交于E，求证：AE=BE+CE； （3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $