第6章平面图形的认识（专题7：垂线及垂线段） 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 第6章平面图形的认识 （专题7：垂线及垂线段） 【典型例题】 【例1】下列说法错误的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【例2】已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【例3】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【例4】如图，于点O，经过点O，，则 ．    【例5】如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【例6】已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 【举一反三】 【变式1】如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补 【变式2】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式3】下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有______．（填序号） 【变式4】已知直线与直线相交于点，，垂足为．若，则的度数为______________．(单位用度表示) 【变式5】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【变式6】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 【巩固练习】 1.如图，点是直线外一点，，，，在直线上，且，其中，则点到直线的距离可能是　　 A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5 2.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A． B． C． D． 3.如图，，相交于点，，射线平分，下列结论中错误的是（    ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 4.如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5.如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    6.如图，点在直线上，(三点在一条直线上，)若，已知，则________° 7.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，则∠BOD的度数为______。 8.如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    9.如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°． （1）求∠BOD的度数； （2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数． 10.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 11.已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O． （1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数． 12.综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 答案解析 【典型例题】 【例1】下列说法错误的是（      ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【例2】已知为直线外一点，为直线上三点，且，则点到直线的距离（　　） A．等于 B．等于 C．等于 D．不大于 【答案】D 【例3】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【例4】如图，于点O，经过点O，，则 ．    【答案】 【例5】如图，点P是的边上的一点； (1)过点P画的垂线，垂足为H； (2)线段的长度是点P到 的距离．线段、这两条线段大小关系是 （用“”号连接） 【答案】（1）解：根据过一点作垂线段的基本作图，作图如下： 则点H即为所求． （2）解：根据题意，得线段的长度是点P到的距离， 根据斜边大于任何一条直角边，得， 故答案为：，． 【例6】已知：如图，点O在直线上，在直线外取一点D，画射线，平分．射线在直线上方，且，垂足为O．若点C在直线上方． (1)依题意，用尺规作图作出射线（只保留作图痕迹，无需文字说明）； (2)若，求的度数． 【答案】（1）解：如图，射线即为所求作的射线； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三】 【变式1】如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（　　） A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补 【答案】C 【变式2】如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【变式3】下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有______．（填序号） 【答案】①⑤ 【变式4】已知直线与直线相交于点，，垂足为．若，则的度数为______________．(单位用度表示) 【答案】64.8° 【变式5】操作题 (1)尺规作图：如图1，已知点是直线外一点，过点P作直线的平行线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)①利用网格画图：过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点、垂足； ②线段_____的长度是点到直线的距离． 【答案】（1）解：如图，即为所求， （2）①如图所示， 即为所求的垂线， ②由图可知，线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：． 【变式6】如图，直线，相交于点O，平分，． (1)图中的余角是__________（把符合条件的角都填上）； (2)如果，求和的度数． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是，； 故答案为：，； （2）∵平分， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习】 1.如图，点是直线外一点，，，，在直线上，且，其中，则点到直线的距离可能是　　 A．3.2 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 2.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，，相交于点，，射线平分，下列结论中错误的是（    ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 4.如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5.如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    【答案】 6.如图，点在直线上，(三点在一条直线上，)若，已知，则________° 【答案】40 7.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，则∠BOD的度数为______。 【答案】40° 8.如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    【答案】①④⑤ 9.如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°． （1）求∠BOD的度数； （2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数． 【答案】（1）∵A、O、B三点共线，∠AOD=42°， ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=138°； （2）∵∠COB=90°， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOD=42°， ∴∠COD=48°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE=∠BOD=69°， ∴∠COE=69°﹣48°=21°． 10.如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 【答案】（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由如下： ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：4， ∴∠AOC180°＝36°， ∴∠BOD＝∠EOD＝36°， ∴∠AOE＝180°﹣2×36°＝108， ∴∠EOF∠AOE＝54°． 11.已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O． （1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数； （2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数； （3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数． 【答案】解：（1）∵EO⊥CD， ∴∠DOE=90°， 又∵∠BOD=∠AOC=36°， ∴∠BOE=90°-36°=54°； （2）∵∠BOD：∠BOC=1：5， ∴∠BOD=∠COD=30°， ∴∠AOC=30°， 又∵EO⊥CD， ∴∠COE=90°， ∴∠AOE=90°+30°=120°； （3）分两种情况： 若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°； 若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°； 综上所述，∠EOF的度数为30°或150°． 12.综合与实践 【问题情境】利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化，    【操作发现】如图①，且两个角重合． （1）将绕着顶点O顺时针旋转如图②，此时OB平分 ；的余角有 个，分别是： ． 【实践探究】 （2）将绕着顶点O顺时针继续旋转如图③位置，若，射线OE在内部，且请探究： ①的补角是哪几个角？ ． ②求的度数． 【答案】解：（1）由旋转的性质得：， ， ， ， 平分， ，， 的余角有2个（本身除外），分别是和， 故答案为：；2；和； （2）①，， ， ， 的补角是， ， ， 的补角是， ， 的补角是， 综上所述，的补角分别是、、， 故答案为：、、． ②∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $