专题09 几何压轴（五大类型）-2024-2025学年七年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题09 几何压轴（五大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型4：钟表问题】 【题型5：平行线作辅助线综合】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．根据题意画出图形，根据题意分情况讨论即可得到答案． 【详解】解：①当点在点左侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； ②当点在点右侧时， ，点B是线段的中点， ， ， ； 故选B． 【变式1-1】同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或 ． 【变式1-2】已知C、 D是线段上两点，且 ， ，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 【答案】45或36 【分析】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．设，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利用建立方程求解即可． 【详解】解：设，则 ， ， ①当点D在点C的左边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， ②当点D在点C的右边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， 综上所述：线段AB的长是45或36， 故答案为：45或36． 【变式1-3】已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段之间的数量关系，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 需要分两种情况，当点在点的右侧时和当点在点的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系计算即可． 【详解】解：如图，当点在点的右侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 如图，当点在点的左侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 综上所述，线段的长为或， 故答案为：5或1． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 【答案】(1)65，40 (2)①；② (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解； （2）根据角平分线的定义求出和，再根据求解； （3）分在内部和在外部两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， 平分， ， ， 故答案为：65，40； （2）解：① ， 平分平分， ， ； ②， ， 平分平分， ， ， 故答案为：； （3）解：当在内部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ； 当在外部时，如图： 平分， ， ， ， 平分， ， 综上可知，的度数是或， 故答案为：或． 【变式2-1】如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 【变式2-2】已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 【变式2-3】如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．    (1)求图 1 中的度数； (2)如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设． ①若 平分，求α； ②若，求α． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据可得结论； （2）①先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可得到结论； ②分射线在内部和射线在内部两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的α的值为或． 【变式2-4】已知点O在直线上，． (1)如图1，若射线是的平分线，，求的度数； (2)如图2，延长线段得到射线，求比大多少度； (3)在（2）的条件下，如图3，若，，过点O作射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)比大 (3)或 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中的角的计算，解题的关键是数形结合，熟记角平分线的定义． （1）先求出，根据射线是的平分线，求出结果即可； （2）根据，，求出即可； （3）先根据已知条件求出，得出，，进一步求出，，得出，分两种情况进行讨论：当在的下方时，当在的上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线是的平分线， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即比大． （3）解：根据解析（2）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 当在的下方时，如图所示： ； 当在的上方时，如图所示： ； 综上分析可知：或． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】解： （1）由折叠的性质，可知．因为点落在上，所以，所以，所以．因为，所以； （2）由折叠的性质，可知，所以，即的度数为． 【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠可知，结合以及可得，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在长方形中，纸片沿着折叠， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的运算、图形折叠等知识，掌握折叠后的图形性质是解题的关键． 【变式3-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以设∠EAD′=α，∠FAB′=β，根据折叠可得∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE，进而可求解． 【详解】解：设∠EAD′=α，∠FAB′=β， 根据折叠性质可知： ∠DAF=∠D′AF，∠BAE=∠B′AE， ∵∠B′AD′=8°， ∴∠DAF=8°+β， ∠BAE=8°+α， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠DAB=90°， ∴8°+β+β+8°+8°+α+α=90°， ∴α+β=33°， ∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′ =8°+α+β =8°+33° =41°． 则∠EAF的度数为41°． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何中角的计算，解决本题的关键在于能够根据题意找到角之间的关系． 【变式3-3】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】【知识初探】，45；【类比再探】；；；【拓展探究】 【分析】本题考查角平分线有关的计算问题，掌握角平分线的定义与审清题意是解题的关键． 【知识初探】根据题意得出是的角平分线，和分别是与的角平分线，据此可解； 【类比再探】由沿折叠可得，同理由沿折叠可得，再根据，即可得到； 【拓展探究】由（2）知，从而得到，再用与（2）相同的方法可得． 【详解】解：【知识初探】由题意可知：是的角平分线， ∴， 同理可得：和分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：，45； 【类比再探】证明：沿折叠， ， 沿折叠， ， ， 故答案为：；；； 【拓展探究】，理由如下： 由（2）可知：， ∴， ∵和分别沿和再折叠， ∴， ∴． 【变式3-4】如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠知，再根据即可求解； （2）由折叠知，，再根据即可求解； （3）由折叠知，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）由折叠知， 由题意得： ； 故答案为：； （2）由折叠可知： ， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知：，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，由折叠得角相等，再根据角之间的和差倍分关系解决问题是解题关键． 【题型4：钟表问题】 【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【答案】(1)12 (2)① 75；②或 (3)t的值为或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，钟面角的计算，一元一次方程的应用： （1）根据线段的中点，求出的长，比例关系，求出的长，再根据，计算即可； （2）①求出分针每分钟走，时针每分钟走，根据角的和差关系进行求解即可； ②分在的内部和在的外部，两种情况进行求解即可； （3）设经过t分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：因为B是的中点．所以． 所以． 因为， 所以． 所以． （2）①分针每分钟走，时针每分钟走． 30分钟时针走过， 即时针从8点到走过，所以． ②当在的内部时，， 所以 ． 当在的外部时，． 综上，的度数为或． （3）解：设经过t分钟，的度数是． 因为时针与分针每分钟走的度数差为， 所以． 因为平分，所以． 当时，； 当时，． 综上，t的值为或． 【变式4-1】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【答案】(1)； (2)；或； (3)或． 【分析】（1）B是中点，求得，，再根据，求得，即可求出； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，8点整，时针刚好落在8时上，30分钟后时针转动，则时，分钟在6时处，时针在8时过的地方，即； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）根据，进行分类解答即可． 【详解】（1）解：B是中点， ； ； ； ； ； ， 故答案为：； （2）解：①分针的速度为（每分）； 时针的速度为（每分）； 30分钟时针走的路程为，即时针从8点到分走的路程为，， 故答案为：； ②当在内部时， ； 当在外部时， （3）解：设经过时间为分钟，时针与分针得速度差为， OM平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，以及分类讨论的思想． 【题型5：平行线作辅助线综合】 【典例5】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②当在延长线时，；当在之间时，． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定， （1）过作，则，根据平行线的性质得出，，进而根据，即可求解； （2）①同（1）即可求解； ②当在延长线时，过作交于，结合图形可得．当在之间时，过作交于，同理可得． 【详解】（1）解：过作，则， ∴， ∴，， ∴． （2）①当点在（不与重合）两点之间运动时，设 过点作， ∴， ∴， ∴．   ②当在延长线时，． 过作交于， ∵， ∴ ∴， ∴    当在之间时，   过作交于， ∵ ∴ ∴, ∴ ∴ 【变式5-1】如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的计算以及四边形内角和等知识点． 过点作，根据平行线的性质可得，，根据角的计算以及角平分线的定义可得，再依据四边形内角和为结合角的计算即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， 又， ， 和的平分线相交于， ， 四边形的内角和为， ， 故选：B． 【变式5-2】如图，，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键；过点作，根据平行线的判定和性质求解即可； 【详解】解：过点作 ， ， 故选：A 【变式5-3】如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线的定义、平行线定理、平行线的性质，过点D作，过点E作，由题意得，根据平行线定理可得，再根据平行线的性质求得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式5-4】如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是作出平行线，利用平行线的性质得出角之间的关系． 过点作，则，根据平行线的性质可得角之间的关系，从而与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作，如图：    因为 则， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式5-5】如图， ，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角．熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角是解题的关键．如图作，，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 故选：C． 【变式5-6】如图，，将一个含有角的三角板放置到如图所示位置．若，则的大小（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ． 故选：B． 【变式5-7】如图，已知，，，则 的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据两直线平行同旁内角互补，得到，根据平行公理推论得到，根据两直线平行内错角相等，得到，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，平行行公理推论，解题的关键是：做出辅助线． 【详解】解：过点，作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式5-8】如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 【变式5-9】已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3) 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）过M向左作，利用平行线的性质得到，，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线、交于点G，由（1）得，，，过F作，则有，然后根据解题即可； （3）设，则有，过点T向右作，可得，由（1）得，可以求出，进而计算，即可求比值． 【详解】（1）过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）设直线、交于点G， ∵平分， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴， 过F作，则，， ∴， 于是得，，解得， ∴. （3）设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 14．已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】()过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； ()过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可求解； ()过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，可得，解方程求出即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，过点作，设， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过作，过作，设，， ∵交于，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何压轴（五大类型） 重难点题型归纳 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【题型3：角的折叠综合问题】 【题型4：钟表问题】 【题型5：平行线作辅助线综合】 【题型1：线段中点有关计算-分类讨论】 【典例1】已知线段，点B是线段的中点，点D是线段上一点，且，则线段的长为（    ） A．3 B．3或7 C．8或3 D．8 【变式1-1】同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 【变式1-2】已知C、 D是线段上两点，且 ， ，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 【变式1-3】已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 【题型2：双角平分线模型-分类讨论】 【典例2】点O为直线上一点，在直线同侧任作射线同侧任作射线，使得． (1)如图一，过点O作射线，使为的角平分线．若时．则 ， ； (2)如图二，过点O作射线．当恰好为的角平分线时，另作射线．使得平分． ①若，求的度数； ②若（），则的度数是 （直接填空）； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是 ． 【变式2-1】如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【变式2-2】已知，射线平分，则的度数为 【变式2-3】如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．    (1)求图 1 中的度数； (2)如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设． ①若 平分，求α； ②若，求α． 【变式2-4】已知点O在直线上，． (1)如图1，若射线是的平分线，，求的度数； (2)如图2，延长线段得到射线，求比大多少度； (3)在（2）的条件下，如图3，若，，过点O作射线，使，求的度数． 【题型3：角的折叠综合问题】 【典例3】利用折纸可以作出角平分线，如图1，即为的平分线．如图2、图3，折叠长方形纸片，均是折痕，折叠后，点落在点处，点落在点处，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，求的度数； (2)如图3，当点在的内部时，若，求的度数． 【变式3-1】如图，把一张长方形的纸片沿着折叠，点分别落在的位置，且， 则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】将一张长方形纸片按如图所示方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】折纸中的数学我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线． 【知识初探】 如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点落在上的点处，使点落在上的点处，与重合，则__________度；__________度． 【类比再探】 如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 小官同学：猜想． 理由如下：沿折叠，， 沿折叠， ， __________， __________． 【拓展探究】 如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式3-4】如图1，已知长方形的纸片． 操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______； 操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数： 操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数． 【题型4：钟表问题】 【典例4】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识． 一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段交于点B，C，O为表盘圆心． (1)若为，，B是的中点，则手表全长 ． (2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，为时针，为分针，时表盘指针状态如图③所示，分针与重合． ① ； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④，自之后，始终是的平分线（分针还是），在一小时内，经过________分钟，的度数是． 【变式4-1】知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【变式4-2】刚上初中的琪琪为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图①所示是一块手表，我们可以理解成如图②的数学模型（点A和点D是表带的两端，点在同一条线段上）． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，则手表全长______cm． (2)在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，琪琪一看现在正好是，如图③所示． ①时分针和时针的夹角为_______度； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图④所示．自之后，始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过_______分钟后，的度数是（直接写出结果） 【题型5：平行线作辅助线综合】 【典例5】综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 【变式5-1】如图，，，的平分线与的平分线交于点，则(    ) A． B． C． D． 【变式5-2】如图，，于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-4】如图，已知，且，则与的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-5】如图， ，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-6】如图，，将一个含有角的三角板放置到如图所示位置．若，则的大小（　　） A． B． C． D． 【变式5-7】如图，已知，，，则 的度数为（       ） A． B． C． D． 【变式5-8】如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式5-9】已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 14．已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、 (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$