精品解析：山东省济南市济南稼轩学校2025-2026学年上学期九年级数学期末模拟一

期末模拟一 一．选择题（共10小题） 1. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 4. 如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的盒子中装有 a 个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则 a的值大约为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 6. 如图，，直线、与三条平行线分别交于点、、和点、、．已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题） 11. 如果，那么_____． 12. 方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 13. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 15. 已知四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，为菱形边上的一点，且是以为斜边的直角三角形，那么的长度为_____． 16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 三．解答题（共10小题） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 20. 某中学想了解初三年级2200名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽查了20名男生和20名女生周末每天的运动时间进行了调查，并收集到了以下数据（单位：）． 男生 20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40 女生 75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90 根据统计数据制作了如下的统计表（表一）： 时间 男生 2 8 8 2 女生 4 3 两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表所示（表二）： 极差 平均数 中位数 众数 男生 100 女生 90 75 75 （1）请将上面两个表格补充完整：____________________； （2）若用抽取的40名学生的体育成绩制作一个扇形统计图，如图所示，则时间在范围所表示的圆心角的度数为_____度． （3）已知初三年级男生人数占总人数的，请根据抽样调查的数据估计初三年级周末每天运动时间在90分钟以上（包括90分钟）的男生大约有多少人？ 21. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 22. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于55元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________． （2）将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）当绕点逆时针旋转过程中， ①请直接写出的最大值； ②当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），与轴交于点，已知，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为下方抛物线上一动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）如图2，点为线段上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末模拟一 一．选择题（共10小题） 1. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可． 【详解】解：从正面看，共有四列，从左到右每列的正方形的个数分别为：1、2、1、1， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：AB=5，则cosA=，故选B． 3. 将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. y=2(x+3)2+4 B. y=2(x+3)2 C. y=2(x－3)2+4 D. y=2(x－3)2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2），可得到将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4），即可求解． 【详解】解：∵抛物线y=2x2+2的顶点坐标为（0，2）， ∴将抛物线y=2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为（-3，4）， ∴平移后得到抛物线的解析式是y=2(x+3)2+4． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 如图，点是正方形对角线上的一点，连接、，延长交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键．由正方形的性质得，则，再证，得，然后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 在一个不透明的盒子中装有 a 个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则 a的值大约为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得摸到红球的概率为，然后根据概率公式计算即可． 【详解】由题意可得，摸到红球的概率为，则有， ， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了频率与概率，熟练列式计算是解题的关键． 6. 如图，，直线、与三条平行线分别交于点、、和点、、．已知，，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是根据定理得到比例式；已知，根据平行线分线段成比例定理得，将，，代入比例式中进行计算，得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 7. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：依题意，得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限内，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限内． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9. 如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据正三角形的面积加上三个半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：如图，作、边上的高、，交于点O， ∵为正三角形，边长为， ∴，O为等边的外接圆的圆心， ∴正三角形的面积为：，， ∴等边的外接圆的面积为：， ∵以等边的各边为直径作半圆， ∴三个半圆的半径为：， ∴三个半圆的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题是有关抛物线的一道综合性题目，主要考点是抛物线的对称性、开口方向判断二次项系数的符号、抛物线解析式的多种表示方法等．熟练掌握抛物线的定义和性质和解析式是解决此题的关键． ①根据抛物线的对称性求出与x轴的另外一个交点，观察图形即可判断其正确性；②把抛物线的对称轴用含有a、b的代数式表示出来，其开口方向又向下，即可判断其正确；③根据抛物线的解析式求出与y轴的交点用含有a的代数式表示出来，根据抛物线与轴的交点在和之间，即可求得a的取值范围；④由题可知二次函数过，即，结合对称轴可得，代入即可求解． 【详解】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为， 当时，，故①正确； ②抛物线开口向下，故， 对称轴为， ， ，故②错误； ③设抛物线的解析式为，则， 令得：． 抛物线与轴的交点在和之间， ． 解得，故③正确； ④二次函数的图象与轴交于点， ， 对称轴为， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11. 如果，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．通过代数变换，将已知等式化为关于的等式，然后求解． 【详解】解：， 可变形为： 移项，得： 即． 故答案为：． 12. 方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式等于零，由此列出关于m的方程并求解． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ． 即． 解得． 故答案为：． 13. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种， ∴第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 15. 已知四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点，为菱形边上的一点，且是以为斜边的直角三角形，那么的长度为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的性质．根据题意分情况讨论，，进而根据菱形、等边三角形及含的直角三角形的性质、勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，，为直角三角形， 四边形是边长为的菱形，，点，分别是边，的中点， ， ∴是等边三角形， ； 如图，于点，连接 ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴ ， ， 综上，的长为或 故答案为：或． 16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，点E在G的运动过程中，线段的长度的最小值为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，直角三角形度角的判定和性质，熟练掌握性质定理，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，连接．得到点在的延长线上时，的长度的最小，最小值，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的上， ， 点在的延长线上时，的长度的最小，最小值， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴， 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 如图，矩形中，，，点、分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， ，，，， ， ， 由勾股定理得， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于，则四边形是矩形， ，，， ． 20. 某中学想了解初三年级2200名学生周末在家体育锻炼的情况，在初三年级随机抽查了20名男生和20名女生周末每天的运动时间进行了调查，并收集到了以下数据（单位：）． 男生 20 30 40 45 60 120 80 50 100 45 85 90 90 70 90 50 90 50 70 40 女生 75 30 120 70 60 100 90 40 75 60 75 75 80 90 70 80 50 80 100 90 根据统计数据制作了如下的统计表（表一）： 时间 男生 2 8 8 2 女生 4 3 两组数据的极差、平均数、中位数、众数如下表所示（表二）： 极差 平均数 中位数 众数 男生 100 女生 90 75 75 （1）请将上面两个表格补充完整：____________________； （2）若用抽取的40名学生的体育成绩制作一个扇形统计图，如图所示，则时间在范围所表示的圆心角的度数为_____度． （3）已知初三年级男生人数占总人数的，请根据抽样调查的数据估计初三年级周末每天运动时间在90分钟以上（包括90分钟）的男生大约有多少人？ 【答案】（1）1，12，65，90 （2）45 （3）330人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图的意义和制作方法，中位数、众数的意义和计算方法，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）根据统计数据得出a、b的值，根据中位数和众数的定义得出c、d的值，即可解答； （2）用360度乘以时间在范围的人数所占的百分比，即可求解； （3）用乘以每天运动时间在90分钟以上（包括90分钟）的男生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：将20名女生的周末运动时间进行分组划记后，，， 将20名男生的周末运动时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为， 因此中位数是65，即， 这20名男生的周末运动时间出现次数最多的是90， 因此众数是90，即， 故答案为：1，12，65，90； 【小问2详解】 解：， 故答案为：45； 【小问3详解】 解：（人） 答：初三年级周末每天运动时间在90分钟以上（包括90分钟）的男生大约有330人． 21. 如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，） 【答案】m 【解析】 【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°， 设CF＝x， ∴CD＝CF+DF＝（x+3）， 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan31°， ∴x＝6， 经检验：x＝6是原方程的根， ∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）， ∴凉亭AB的高约为6.9m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于55元，经市场调查发现，樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系． （1）该超市要想获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？ （2）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）30 （2）当每千克樱桃的售价定为50元时，日销售利润最大，最大利润是1800元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数最值的应用： （1）列出关于x的一元二次方程并求解即可； （2）设利润为元，列出w关于x的二次函数，求w的最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 整理得：，解得：，， 又每千克售价不低于成本，且不高于55元，即， ∴每千克樱桃的售价应定为30元； 【小问2详解】 解：设超市日销售利润为元， 则， ，， 当时，取得最大值为， ∴当每千克樱桃的售价定为50元时日销售利润最大，最大利润是1800元． 23. 如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 24. 如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝；y＝﹣x+7；（2）x＜0或1≤x≤6；（3）存在，点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）利用函数图象结合其交点得出不等式k1x+b≥的解集； （3）利用平行四边形的性质结合当APOC且AP＝OC时，当AOC且A＝OC时，当AOC，且AO＝C时，分别得出答案． 【详解】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴6＝， 解得：k2＝6， ∴反比例函数的表达式是：y＝； ∵B（6，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝＝1， ∴B（6，1）， 将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k1x+b，可得： ， 解得：， ∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7； （2）∵点A（1，6），B（6，1）， ∴不等式k1x+b≥的解集是：x＜0或1≤x≤6； 故答案为：x＜0或1≤x≤6； （3）如图所示：当APOC且AP＝OC时， 则AP＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴P点坐标为：（8，6）； 当AOC且A＝OC时， 则A＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴点坐标为：（﹣6，6）； 当AOC，且AO＝C时， 则点A与到x轴距离相等，且点横坐标为7﹣1＝6， ∴点坐标为：（6，﹣6）； 综上所述：点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6）． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键． 25. 如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________． （2）将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）当绕点逆时针旋转过程中， ①请直接写出的最大值； ②当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）2；60° （2） 解：（1）中结论仍然成立， 证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2， 由旋转知，∠ACA1=∠BCB1， A1C=1，B1C=2， ∵AC=2，BC=4， ∴=2，=2， ∴=， ∴ACA1∽BCB1， ∴==2，∠CAA1=∠CBB1， ∴∠ABD+∠BAD =∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1 =∠ABC+∠BAC =30°+90° =120°， ∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD）=60°； （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出BC，AA1=A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论； （2）先判断出ACA1∽BCB1，得出==2，∠CAA1=∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论； （3）①当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可； ②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论． 【小问1详解】 解：在RtABC中，AC=2， ∴∠ACB=60°， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2AC=4， ∵点A1为边AC的中点， ∴AA1=A1C=AC=1， ∵点A1，B1为边AC，BC的中点， ∴A1B1是ABC的中位线， ∴A1B1AB， ∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°， 在RtA1B1C中， B1C=2A1C=2， ∴BB1=BC-B1C=4-2=2， ∴=2， ∵∠ACB=60°， ∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°， 故答案为：2，60°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由题意，得 AC=2，AB=2，CA1=1， 当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大， 最大值=×2×3=3； ②在图1中，在RtA1B1C中， B1C=A1C=， ∵A1，B1，B三点共线， 当点B1在BA1的延长线上时，如图3， ∴∠BA1C=∠BA1C=90°， 在RtA1BC中， A1B= = =， ∴BB1=A1B+A1B1 =+； 当点B1在线段A1B上时，如图4， 同①的方法，得A1B=， ∴BB1=A1B-A1B1 =-， 故：线段BB1的长为+或-． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），与轴交于点，已知，，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为下方抛物线上一动点，连接、，当时，求点的坐标； （3）如图2，点为线段上一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）的最小值 【解析】 【分析】（1）先根据，，求出，，利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入得出，解方程组即可； （2）用待定系数法求出直线BC的解析式，设，可求，先求出PD，△BOC的面积，根据列方程，解方程即可； （3）作点作NM⊥，垂足为点M，过A作AH⊥BC于H，先证为等腰直角三角形，，再证为等腰直角三角形得出，得出≥AH，根据点到直线距离距离最短得出当A、、M三点共线时，最小值=，求出，再证出为等腰直角三角形，，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：由得，． ∵． ∴． 将，代入得： ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵交于点， ∴， 设，将，分别代入， 得， 解得， ∴， 过点作轴，交轴于点，与的交点记为点， 设， 将代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：作点作NM⊥，垂足为点M，过A作AH⊥BC于H， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵NM⊥ ∴∠NMC=90°， ∴∠CNM=90°-∠NCM=90°-∠OCB=45°， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴≥AH， 当A、、M三点共线时，最小值=， ∵， ∵∠ABH=45°，AH⊥BC， ∴∠BAH=90°-∠ABH=45°=∠ABH， ∴为等腰直角三角形，， ∴ ∴的最小值 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数，掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积，一元二次方程解法，线段和最短，点到直线距离，锐角三角函数是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $