精品解析：甘肃兰州市部分学校 2026-2027学年度九年级第一学期期中数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中学情测查试卷 九年级 数学 一、选择题（本大题共11题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据正数的绝对值等于它本身解答即可得． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 通过将方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：∵， ∴ 两边加4得 ，即． 故选C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． 故选：C． 5. 某校科技兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共同学（ ） A. 12名 B. 12名或66名 C. 15名 D. 33名 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．设全组共有名学生，每一个人赠送件，全组共互赠了件，共互赠了件，可得到方程，求解即可． 【详解】解：设全组共有名学生，由题意得 解得：不合题意舍去，， 答：全组共有名学生． 故选：A． 6. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：方法1：设书的宽为x， 则有， 解得cm． 方法2：书的宽为cm． 故选：A． 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 8. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像经过点 （3，0），则a+c的值为（   ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】∵抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0）， ∴ ，解得： ， ∴. 故选B. 9. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE= CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=，然后，分别算出S1、S2的面积即可解答． 【详解】解：如图 设正方形S2的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD， ∴AC=2CD，CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=； ∴S2的面积为； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力． 10. 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 【答案】C 【解析】 【详解】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x， 则，解得x=4.5， 所以另一段长为22.5﹣4.5=18， 因为18÷3=6，所以是第六张． 故选C． 考点：等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 点评：本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用． 11. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果． 【详解】解：连接BD，与AC交于点F． ∵点B与D关于AC对称， ∴PD=PB， ∴PD+PE=PB+PE=BE最小． ∵正方形ABCD的面积为4， ∴AB=2． 又∵△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=2． ∴所求最小值为2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了轴对称——最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 13. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，结合抛物线开口方向与对称轴，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：∵在抛物线中，，抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴到对称轴越远函数值越大． 计算各点到对称轴直线的距离： 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为． 因为， 所以． 故答案为：． 14. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义对代数式中的高次项降次，结合根与系数的关系及完全平方公式化简后代入求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，且，， ， ． 15. 如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（-2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围． 【详解】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点， 当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3， 由，解得﹣≤a≤﹣； 当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2， 由，解得﹣≤a≤﹣； ∵顶点可以在矩形内部， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，矩形的性质，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】 ， 当时，原式． 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为． 19. 如图所示，在一块长为米，宽为米的矩形草地上，在中间要设计-横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？ 【答案】小路的宽应是1米． 【解析】 【分析】先设宽为x，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可. 【详解】解：设宽为x，根据题意列方程： ， 答：小路的宽应是1米. 【点睛】此题重点考查学生对一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键. 20. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，、、是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知、在路灯光下的影长分别为，．    （1）请画出路灯O的位置和标杆在路灯灯光下的影子； （2）求标杆的影长． 【答案】（1）解：如图： （2）标杆的影长为 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交点即为路灯，连接交地面于，即为标杆在路灯灯光下的影子 （2）如图，为路灯的高，设，先证明,得到，再证明,得到，由此得出，结合已知可列方程解得，进而求出标杆高，，然后证明,得到，再利用比例性质求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：标杆的影长为． 21. 如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知S△AGF：S△ABC＝9：64，EF＝10，求AH的长． 【答案】AH＝16． 【解析】 【分析】设AH＝x，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝x﹣10，根据矩形的性质可得: GF∥BC，从而证出△AGF∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得: ＝（）2＝，列出方程即可求出x的值,即可求出AH. 【详解】解：设AH＝x，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝x﹣10， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴＝（）2＝， 解得＝（舍去负值）， 即＝，解得x＝16． 故AH＝16． 【点睛】此题考查的是矩形的性质和相似三角形的判定及性质,掌握矩形的对边平行且相等、利用平行证两三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键. 22. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？ （3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由． 【答案】（1）2秒或4秒；（2）秒或秒；（3）有可能．经过秒，PQ⊥CD． 【解析】 【分析】（1）设PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，依照题意列一元二次方程，解方程． （2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，对应边成比例，列方程，解方程． （3）根据直角三角形斜边中线当性质可得AD=BD=CD，根据等腰三角形当性质及直角三角形两锐角互余可得∠CPQ=∠B，先证明△PCQ∽△BCA，根据相似三角形当性质列方程，解方程即可． 【详解】（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的， 由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m， 则×2x（6﹣x）=××8×6， 解得：x=2或x=4． 故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的； （2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似． 当△PCQ与△ACB相似时，则有或， 所以或， 解得：t=，或t=． 因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似； （3）有可能． 设经过y秒，PQ⊥CD．则CP=2y，CQ=6-y， ∵∠C=90°，AC=8m，BC=6m， ∴AB==10． ∵CD为△ACB的中线， ∴AD=BD=CD， ∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B， ∵PQ⊥CD， ∴∠CPQ+∠ACD=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠CPQ=∠B， ∴△PCQ∽△BCA， ∵∠PCQ=∠BCA， ∴，， 解得：y=． 因此，经过秒，PQ⊥CD． 25. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【解析】 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中学情测查试卷 九年级 数学 一、选择题（本大题共11题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2026的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 5. 某校科技兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共同学（ ） A. 12名 B. 12名或66名 C. 15名 D. 33名 6. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 7. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，抛物线y=ax2-x+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且图像经过点 （3，0），则a+c的值为（   ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 9. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 10. 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ） A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 11. 如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 分解因式：________． 13. 已知是抛物线上的三点，则的大小关系是_____． 14. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值是______． 15. 如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 先化简再求值：，其中． 17. 解方程： 18. 解不等式组 19. 如图所示，在一块长为米，宽为米的矩形草地上，在中间要设计-横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？ 20. 如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，、、是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知、在路灯光下的影长分别为，．    （1）请画出路灯O的位置和标杆在路灯灯光下的影子； （2）求标杆的影长． 21. 如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知S△AGF：S△ABC＝9：64，EF＝10，求AH的长． 22. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 23. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 24. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？ （2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？ （3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由． 25. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $