四川省成都市第二十中学校2026届高三上学期12月月考数学试题

高三试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5 B. 样本数据，，，，，的分位数是 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机事件，满足，，且，则 10. 已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 平面 C. 恰有一个点，满足 D. 与平面所成的角的正弦值的最大值为 11. 设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数.若，则（ ） A. B. 可能为2 C. D. 可能为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若在上单调递增，则的取值范围是________． 13. 若，则_____. 14. 已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某研究院种植了一种特殊作物，为了解该种特殊作物成熟期的高度，随机调查了1000棵成熟期作物的高度并绘制成如下频率分布直方图. （1）求的值及这1000棵成熟期作物的平均高度（同组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）以这1000棵成熟期作物的高度的频率估计所有该特殊作物成熟期高度的概率.若在所有成熟的该种特殊作物中随机抽取20棵，记高度在区间内的棵数为，求的期望和方差. 16. 已知，函数（为常数）. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若，且在中，内角的对边分别为，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面为棱上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）设直线与平面交于点，证明：； （3）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知正项数列中，为数列的前n项和，满足，设． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）令，在和之间插入k个数构成一个新数列：，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式，求数列的前30项和． 19. 设函数. （1）若，证明：当时，； （2）若，证明：； （3）若存在，使得当且仅当时，，求的取值范围. 高三试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】5或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），101厘米 （2） 【16题答案】 【答案】（1）， （2） 【17题答案】 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 因为四边形为菱形，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，且平面平面， 所以. （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）223 【19题答案】 【答案】（1）当时，， 则， 当时，，故， 所以在区间上单调递减，所以，即. （2）证法一：当 时，. 当时，，此时 ； 设，则， 当时，，当且仅当 时取等号， 故在区间上单调递减， 又，因此存在唯一的，使得， 即，即， 且当时， ，当时， ， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减. 由. 由且，得. 故， 要证等价于证明，即证. 因为，所以，不等式成立， 即得证. 证法二：由（1）知当时，， 当时，，所以， 所以在区间上恒成立， 所以当 时，， 由于前面的等号在 处取到，后面的等号在处取到， 所以，即. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $