精品解析：广东省深圳市红岭中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试题

初三数学月考卷 一、选择题 1. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 反比例函数的图象是轴对称图形 C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且 D. 对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根 5. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题 9. 如果，那么___________ 10. 养鱼户王老板想要估计鱼塘里鱼的数量，于是王老板先捞50条鱼并在鱼身上做记号，然后立即将这50条鱼放回鱼塘中，一周后，王老板又捞100条鱼，发现带记号的鱼有5条，据此可估计该鱼塘里的鱼约有______条． 11. 如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为______． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 13. 如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则_______． 14. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 三．解答题 15. 解方程： （1）． （2）． （3）； （4）． 16. 如图，在△ABC中，AC＝4． （1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值． 17. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）小明希望每天获得的利润达到1050元，同时尽可能让利于顾客，则每件T恤衫应该降价为多少？ （2）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 20. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.3米，宽1米，其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． （1）①求k的值； ②求出口C点到的距离的长； （2）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，则Q到的距离至少是多少米？ 21. （1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，①求证：；②若时，则___________． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学月考卷 一、选择题 1. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从上面看到的图形，即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：B 2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，及一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的分布与系数的关系，求出实数a的取值范围． 【详解】解：根据一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得它的判别式，且， 解得且 ． 故选：C． 3. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（    ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形是菱形，得出，，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，设与交于点，如图， 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形为菱形是解决问题的关键． 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形 B. 反比例函数的图象是轴对称图形 C. 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，且 D. 对于任意的实数b，方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定定理，反比例函数图象，黄金分割的概念，意义二次方程根的判别式是解题的关键． 根据菱形的性质和矩形的判定定理，反比例函数图象，黄金分割的概念，意义二次方程根的判别式逐项判断即可， 【详解】解：A． 顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，该命题正确，故该选项不符合题意； B． 反比例函数的图象是轴对称图形，该命题正确，故该选项不符合题意； C． 线段的长度是，点是线段的黄金分割点且，则，，该命题错误，故该选项符合题意； D． 对于任意的实数b，方程的，故方程有两个不相等的实数根，该命题正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 6. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 7. 矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作已知角的平分线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定；设交于点Q，先由矩形的性质和勾股定理可求出，然后证明可得，，进而求出，由等腰三角形的性质和判定可得，最后由勾股定理可求出. 【详解】解：设交于点Q， 在矩形中，，， ∵，， ∴， 由作图得：平分， ∴， ∵过点C作的垂线分别交，于点M，N， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 8. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， 由翻折得，，垂直平分， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键． 二、填空题 9. 如果，那么___________ 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握用一个变量表示另一个变量并代入分式计算是解题的关键．先由已知条件用表示出，再将其代入所求分式进行计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 将代入，得原式， 故答案为：． 10. 养鱼户王老板想要估计鱼塘里鱼的数量，于是王老板先捞50条鱼并在鱼身上做记号，然后立即将这50条鱼放回鱼塘中，一周后，王老板又捞100条鱼，发现带记号的鱼有5条，据此可估计该鱼塘里的鱼约有______条． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体；利用标记重捕法的原理，通过样本中标记鱼的比例与鱼塘中标记鱼的比例相等建立方程即可求解． 【详解】解：设鱼塘中鱼的总数为条， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：1000． 11. 如图，已知，，，E是边的中点，F为边上一点，，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件证四边形是矩形，得出，．再延长交于点G，证明，得出，再证明，设，根据勾股定理得出：，列方程求出DF的长度，进而求出． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； 如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， 根据勾股定理得：， 即， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用已知得出∠CAB=60°，再将原式变形，进而得出PA+PD最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=， ∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°， 则∠DAC=30°， ∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小， ∴PA+2PD的最小值是2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 13. 如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作轴于点D，根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示． ∵， ∴，， ∴．， ∵的面积为， ∴，即， 解得， ∴， ∴，，即点坐标为 ∴． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 14. 如图，已知中，，E是的中点，过点B作，交的延长线于点D，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点F，先根据题意作出辅助线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，利用勾股定理推出，即，解出x的值，可求出、、和的长，根据和推出，可求出和的长，再求出的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， 设，则， ∵在中，点E为的中点， ， ， ， ，即， 解得：， ，， ， ， ， 又， ， ，即， 解得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，作出辅助线及利用直角三角形的性质是解决问题的关键． 三．解答题 15. 解方程： （1）． （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程主要方法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答即可； （2）先去括号，整理得，再利用公式法求解即可； （3）先去括号，整理得，再利用因式分解法解答即可； （4）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解： 其中，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解： ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解： ∴或， ∴，． 16. 如图，在△ABC中，AC＝4． （1）在AC上求作一点D，连接BD，使得△ABD∽△ACB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）点M，N分别是BD、BC中点，若AD＝1，求的值． 【答案】（1） 如图，点D即为所求作的点． （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作∠ABD＝∠C即可； （2）由M，N分别是BD，BC的中点知AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线，根据相似三角形的性质可得，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AM、AN， ∵M，N分别是BD，BC的中点， ∴AM、AN分别是△ABD，△ABC的中线， ∵△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴AB＝2， ∴． 【点睛】本题主要考查作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 17. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 18. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 19. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． （1）小明希望每天获得的利润达到1050元，同时尽可能让利于顾客，则每件T恤衫应该降价为多少？ （2）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】（1）25元 （2）小明每天不能获得1200元的利润，理由： 根据题意得，当降价x元时，每天利润为， 由题意可得：， ∴． ∴，． ∵每件T恤衫的利润率不低于， ∴， ∴． ∴，都不合题意舍去． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设每件T恤衫降价x元，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程求解即可解答； （2）当降价x元时，由题意可得，解得，．再根据保证每件T恤衫的利润率不低于列不等式求得x的取值范围，然后再判断即可解答． 【小问1详解】 解：设每件T恤衫降价x元， 由题意可得： ，解得：或． 又∵尽可能让利于顾客， ∴，不合题意，舍去， 答：每件T恤衫降价25元． 【小问2详解】 略 20. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，建立如图所示的平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高0.3米，宽1米，其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． （1）①求k的值； ②求出口C点到的距离的长； （2）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于1.5米，则Q到的距离至少是多少米？ 【答案】（1） 米 （2）米 【解析】 【分析】（1）①先求出点的坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；②先求出点的纵坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于的分式方程，解方程即可求出的值，进而得出点的坐标，于是即可求出的长； （2）当时，，解方程即可求出此时的值，由于，因而随x的增大而减小，由此可知，当时，米，进而可求出此时点到的距离． 【小问1详解】 解：①由题意可得： （米），（米）， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：； ②（米）， 点的纵坐标为， 由得：反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 点的坐标为， （米）； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 随x的增大而减小， 当时，（米）， （米）， 点到的距离至少是米． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，解一元一次方程，解分式方程，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质是解题的关键． 21. （1）如图1，在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点，①求证：；②若时，则___________． （2）如图2，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值． （3）如图3，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长． 【答案】 （1）①证明：∵四边形是矩形，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； ②； （2）90； （3）的长为或或 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得出，，进而证明结合已知条件，即可证明；②由①可得，，证明，得出，根据，即可求解； （2）根据菱形的性质得出，，根据已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分四种情况讨论，①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，证明，解，进而得出，根据，得出，建立方程解方程即可求解；②当点在边上时，如图所示，连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，同理证明，根据得出，建立方程，解方程即可求解；③当点在边上时，如图所示，过点作于点，求得，而，得出矛盾，则此情况不存在．④当点在上时，，不符合相交，则此情况不存在． 【详解】（1）①略 ②解：由①可得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在菱形中， ∴，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点， ∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：或， 即或； ②当点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 在中，， ∴，， ∴，则， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， 即， ∴， 即， 解得：（舍去）， 即； ③当点在边上时，如图所示， 过点作于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点不可能在边上； ④当点在上时，，不符合相交，舍去； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $