寒假作业03 有理数的混合运算6大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 有理数的混合运算 一、有理数的加减法运算法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。互为相反数的两个数，和为0。一个数与0相加，仍得这个数。 2、减去一个数，等于加上这个数的相反数。 二、有理数的乘除法运算法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。互为倒数的两个数积为1。 2、除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 3、几个数相乘除，结果的符号是由负数的个数来决定的：若负数的个数是奇数个，则结果为负；若负数的个数是偶数个，则结果为正。 三、有理数的乘方 1、一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2、中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 3、乘方运算的结果及符号的规律 4、科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法． 四、有理数的混合运算法则 先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号里，同级运算从左到右依次计算。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的混合运算 1．计算： （1）； （2）． 2．计算： （1）； （2）． 3．计算： （1）18+（﹣4）﹣（﹣2）； （2）6×（﹣2）÷（﹣3）； （3）； （4）． 4．计算： （1）（﹣3）+（﹣8）﹣（﹣6）﹣7； （2）6×（﹣2）÷（﹣3）； （3）； （4）． 题型二 根据流程图进行计算 5．如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 　　 ． 6．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　　 ． 7．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为﹣7，则输出的结果y是　　 ． 8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是 　　 ． 9．如图，是一个简单的数值运算程序，计算当x＝﹣3时，输出的结果为　　 ． 10．如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　　 ． 题型三 科学记数法 11．科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为 　 ． 12．据苏州智慧旅游大数据监测平台预测，今年国庆小长假全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量达1070000人次．用科学记数法表示1070000是　 ． 13．5G第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是 　 ． 14．截至2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元，长沙万象城影院某天《哪吒2》的票房累计约120000元，数字120000用科学记数法表示为 　 ． 15．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至2025年6月底，全国5G用户总数达到11.18亿，其中11.18亿用科学记数法表示为　 ． 16．截至9月28日，电影《731》累计票房突破14.68亿元，数字1468000000用科学记数法表示为 　 ． 题型四 定义新运算 17．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 18．对有理数a、b定义运算*如下：a*b＝（a+2）（b﹣3）． （1）计算4*（﹣3）的值； （2）求﹣5*[（﹣2）*6]的值． 19．对于有理数a、b，定义运算“⊗”，a⊗b＝2ab﹣a﹣b+3． （1）计算（﹣2）⊗3的值； （2）填空：4⊗（﹣2）　　 （﹣2）⊗4（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“⊗”是否满足交换律？请说明理由． 20．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 21．现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1． （1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6）； （2）新定义的运算满足交换律吗？试以（﹣4）⊗3和3⊗（﹣4）举例说明． 22．规定一种新运算“⊙”，即a⊙b＝a2﹣（1+b），例如1⊙2＝12﹣（1+2）＝﹣2，根据规定完成下列问题： （1）求3⊙（﹣2）的值； （2）求（﹣1）⊙[（﹣4）⊙（﹣3）]的值． 题型五 材料探究与运算规律 23．材料1：一般地，n个相同因数a相乘：记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28（即log28＝3）．那么，log39＝　　 ，（log216）2log381＝　　 ． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n！表示，例如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算 5！＝　　 （2）已知x为整数，求出满足该等式的x：1． 24．1，，将以上二个等式两边分别相加得： 11 用你发现的规律解答下列问题： （1）猜想并写出：　　 （2）直接写出下列各式的计算结果： ①　　 ②　　 （3）探究并计算： ． 25．记M（1）＝﹣2， M（2）＝（﹣2）×（﹣2）， M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…， M（n） （1）填空：M（5）＝　　 ，M（1000）是一个　　 （填“正数”或“负数”）． （2）计算M（6）+M（7）的值． （3）当M（n）＜0时，求2014M（n）+1007M（n+1）的值． 26．先观察下列等式，再完成题后问题：，， （1）请你猜想： 　 ． （2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值． 27．在数学中，为了简便，记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n． 1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n！＝n×（n﹣l）×（n﹣2）×…×3×2×1． 求． 28．阅读解题 ∵，，，… ∴计算： ＝1 理解以上方法的真正含义，计算： ①； ②． 题型六 有理数的应用题 29．已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进、出记录 +35 ﹣20 ﹣30 +25 ﹣24 +50 ﹣26 （1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？ （2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多少？ （3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？ 30．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等． （1）点A表示的数为　　 ． （2）小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，…，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 31．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣3、﹣6、﹣4、+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ （2）出租车距离鼓楼最远有多少公里？ （3）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 32．某商场对顾客购物实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元的，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？ 33．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 　　 ； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？ 34．一位出租车司机某日中午的营运全在市区的环城公路上进行．如果规定：顺时针方向为正，逆时针方向为负，那天中午他拉了五位乘客所行车的里程如下：（单位：千米） +10，﹣7，+4，﹣9，+2． （1）将最后一名乘客送到目的地时，这位司机距离出车地点的位置如何？ （2）若汽车耗油为a升/千米，那么这天中午这辆出租车的油耗多少升？ （3）如果出租车的收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，问：这个司机这天中午的收入是多少？ 1．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得△ABC和△DEF各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． 初步应用：（1）使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． 深入探究：（2）如图3，每个圆圈中的数字用a，b，c，⋯，h，k表示，若规定每条边的“重量”为m，且a+b+c+d+e+f+g+h+k＝s，求a+b+c，e+d+f，g+h+k的值（用含m，s的代数式表示）． 拓展迁移：（3）若使用数字：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 2．两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 3．综合与实践 【课本再现】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳交，对应数字1；称为阴，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳交或阴交组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2， 【观察发现】 （1）从左起第二个符号表示的二进制数为 　 ； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如，，． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2024）8转换成十进制数，请直接写出结果． 4．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…，tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）． 例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|； 新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有M⊗N（0+0+2）＝1．（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1）中是3元完美数组的为：　　 ； （2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ 　　 ； （3）已知完美数组M＝（1，1，1，1）求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝3； （4）对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有P⊗Q＝0，则m的最大值为 　　 ． 5．先观察：1，1，1，… （1）探究规律填空：1　　 ×　 ； （2）计算：（1）•（1）•（1）…（1） 1．阅读探究：12；12+22；12+22+32；12+22+32+42；… （1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152． 2．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：3＝22+12﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11．所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（3除外） （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来．已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数． 3．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算： （1）1+2+22+23+…+22015；（写出过程，结果用幂表示） （2）1+3+32+33+…+32015＝　 　 ．（结果用幂表示） 4．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”； a⊕b⊕c（|a﹣b﹣c|+a+b+c）． 如：1⊕（﹣2）⊕3[|1﹣（﹣2）﹣3|+1+（﹣2）+3]＝1． 解答下列问题： （1）计算：⊕（﹣3）⊕（）的值； （2）在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 5．（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　 ， ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　 　 ． ③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　　 ． ④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围 　 ． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x，则ax3+bx2+cx﹣5的值是　　 ． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2016次“F运算”的结果是　　 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 有理数的混合运算 一、有理数的加减法运算法则 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。互为相反数的两个数，和为0。一个数与0相加，仍得这个数。 2、减去一个数，等于加上这个数的相反数。 二、有理数的乘除法运算法则 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。互为倒数的两个数积为1。 2、除以一个数，等于乘以这个数的倒数。 3、几个数相乘除，结果的符号是由负数的个数来决定的：若负数的个数是奇数个，则结果为负；若负数的个数是偶数个，则结果为正。 三、有理数的乘方 1、一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2、中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 3、乘方运算的结果及符号的规律 4、科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法． 四、有理数的混合运算法则 先乘方，后乘除，再加减，有括号先算括号里，同级运算从左到右依次计算。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的混合运算 1．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝﹣20+30﹣36 ＝﹣26； （2） ． 2．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣9+4﹣4 ＝﹣9； （2）原式 ＝﹣3+8+10 ＝15． 3．计算： （1）18+（﹣4）﹣（﹣2）； （2）6×（﹣2）÷（﹣3）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）18+（﹣4）﹣（﹣2） ＝14+2 ＝16； （2）6×（﹣2）÷（﹣3） ＝（﹣12）÷（﹣3） ＝4； （3） ＝9﹣（﹣3） ＝9+3 ＝12； （4） ＝﹣27﹣（﹣66）+（﹣21） ＝﹣27+66+（﹣21） ＝18． 4．计算： （1）（﹣3）+（﹣8）﹣（﹣6）﹣7； （2）6×（﹣2）÷（﹣3）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝（﹣3）+（﹣8）+6+（﹣7） ＝（﹣3）+（﹣8）+（﹣7）+6 ＝﹣18+6 ＝﹣12； （2）原式＝﹣12÷（﹣3）＝4； （3）原式 ＝（﹣6）+3+（﹣1） ＝﹣4； （4）原式 ． 题型二 根据流程图进行计算 5．如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为 　7　 ． 【解答】解：依题意，所求代数式为 （a2﹣2）×（﹣3）+4 ＝[（﹣1）2﹣2]×（﹣3）+4 ＝[1﹣2]×（﹣3）+4 ＝﹣1×（﹣3）+4 ＝3+4 ＝7． 故答案为：7． 6．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x＝﹣2，则最后输出的结果是 　﹣14　 ． 【解答】解：把x＝﹣2代入得：（﹣2）×3﹣（﹣1）＝﹣6+1＝﹣5， 继续将x＝﹣5代入得：（﹣5）×3﹣（﹣1）＝﹣15+1＝﹣14＜﹣5， 故答案为：﹣14． 7．如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为﹣7，则输出的结果y是　﹣121　 ． 【解答】解：如图是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为﹣7， 当输入x为﹣7时，（﹣7）×（﹣4）﹣（﹣3）＝28+3＝31，31＞2， 将x＝31再次输入； 当输入的数为31时，31×（﹣4）﹣（﹣3）＝﹣124+3＝﹣121，﹣121＜2， 故答案为：﹣121． 8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为﹣2，则输出的结果是 　﹣5　 ． 【解答】解：若开始输入x的值为﹣2， 则2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3＞﹣4，返回继续运算； 2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5＜﹣4，输出结果； 故答案为：﹣5． 9．如图，是一个简单的数值运算程序，计算当x＝﹣3时，输出的结果为　﹣22　 ． 【解答】解：由题意知，输出结果为（﹣3）2×（﹣2）﹣4 ＝9×（﹣2）﹣4 ＝﹣18﹣4 ＝﹣22， 故答案为：﹣22． 10．如图是一个计算程序，若输入的值为1，则输出的值应为 　4　 ． 【解答】解：把1代入得：12×2﹣4＝1×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 把﹣2代入得：（﹣2）2×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， 故输出的值应为4． 故答案为：4． 题型三 科学记数法 11．科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为 　2.25×108 ． 【解答】解：225000000＝2.25×108， 故答案为：2.25×108． 12．据苏州智慧旅游大数据监测平台预测，今年国庆小长假全市景区景点、文博场馆、乡村旅游等监测点接待游客量达1070000人次．用科学记数法表示1070000是　1.07×106 ． 【解答】解：1070000＝1.07×106． 故答案为：1.07×106． 13．5G第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是 　1.3×106 ． 【解答】解：1300000＝1.3×106， 故答案为：1.3×106． 14．截至2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元，长沙万象城影院某天《哪吒2》的票房累计约120000元，数字120000用科学记数法表示为 　1.2×105 ． 【解答】解：120000＝1.2×105． 故答案为：1.2×105． 15．移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至2025年6月底，全国5G用户总数达到11.18亿，其中11.18亿用科学记数法表示为　1.118×109 ． 【解答】解：11.18亿＝1118000000＝1.118×109． 故答案为：1.118×109． 16．截至9月28日，电影《731》累计票房突破14.68亿元，数字1468000000用科学记数法表示为 　1.468×109 ． 【解答】解：1468000000＝1.468×109． 故答案为：1.468×109． 题型四 定义新运算 17．已知x、y为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy+1． （1）求2※4的值； （2）求（1※4）※（﹣2）的值； （3）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果：□※〇和〇※□； （4）探索a※（b+c）与a※b+a※c的关系，并用等式把它们表达出来． 【解答】解：（1）2※4＝2×4+1＝9； （2）（1※4）※（﹣2）＝（1×4+1）×（﹣2）+1＝﹣9； （3）令□为﹣1，〇为5，（﹣1）※5＝﹣1×5+1＝﹣4， 5※（﹣1）＝5×（﹣1）+1＝﹣4； （4）∵a※（b+c）＝a（b+c）+1＝ab+ac+1，a※b+a※c＝ab+1+ac+1＝ab+ac+2． ∴a※（b+c）+1＝a※b+a※c． 18．对有理数a、b定义运算*如下：a*b＝（a+2）（b﹣3）． （1）计算4*（﹣3）的值； （2）求﹣5*[（﹣2）*6]的值． 【解答】解：（1）4*（﹣3） ＝（4+2）×（﹣3﹣3） ＝6×（﹣6） ＝﹣36， 即4*（﹣3）的值为﹣36； （2）﹣5*[（﹣2）*6] ＝﹣5*[（﹣2+2）×（6﹣3）] ＝﹣5*（0×3） ＝﹣5*0 ＝（﹣5+2）×（0﹣3） ＝（﹣3）×（﹣3） ＝9， 即﹣5*[（﹣2）*6]的值为﹣9． 19．对于有理数a、b，定义运算“⊗”，a⊗b＝2ab﹣a﹣b+3． （1）计算（﹣2）⊗3的值； （2）填空：4⊗（﹣2）　＝　 （﹣2）⊗4（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律．那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“⊗”是否满足交换律？请说明理由． 【解答】解：（1）根据题意得：（﹣2）⊗3＝2×（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣3+3＝﹣12+2﹣3+3＝﹣10； （2）根据题意得：4⊗（﹣2）＝2×4×（﹣2）﹣4﹣（﹣2）+3＝﹣16﹣4+2+3＝﹣15； （﹣2）⊗4＝2×（﹣2）×4﹣（﹣2）﹣4+3＝﹣16+2﹣4+3＝﹣15， ∴4⊗（﹣2）＝（﹣2）⊗4； （3）这种运算“⊗”满足交换律，理由为： a⊗b＝2ab﹣a﹣b+3，b⊗a＝2ba﹣b﹣a+3， 则a⊗b＝b⊗a． 故答案为：（2）＝． 20．对于任意有理数m，n定义一种新运算：m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|． （1）若a＝﹣6，b＝7，求a⊕b的值； （2）已知点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7，y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，求[x⊕y]⊕（﹣1）的值． 【解答】解：（1）∵m⊕n＝（n﹣m）﹣|m+n|， ∴a⊕b＝（﹣6）⊕7＝[7﹣（﹣6]﹣|﹣6+7|＝13﹣1＝12， 即：a⊕b＝12； （2）∵点A，点B在数轴上表示的数分别为﹣1，x，且A，B两点的距离是7， ∴点B表示的数为﹣8或6， ∴x＝﹣8或6， ∵y是﹣[﹣（﹣5）]的相反数， ∴y＝5， 当x＝﹣8时，x⊕y＝（﹣8）⊕5＝（5+8）﹣|﹣8+5|＝13﹣3＝10， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝10⊕（﹣1）＝（﹣1﹣10）﹣|10+（﹣1）|＝﹣11﹣9＝﹣20， 当x＝6时，x⊕y＝6⊕5＝（5﹣6）﹣|6+5|＝﹣1﹣11＝﹣12， ∴[x⊕y]⊕（﹣1）＝（﹣12）⊕（﹣1）＝（﹣1+12）﹣|﹣12+（﹣1）|＝11﹣13＝﹣2， 综上所述，[x⊕y]⊕（﹣1）＝﹣20或﹣2． 21．现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1． （1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6）； （2）新定义的运算满足交换律吗？试以（﹣4）⊗3和3⊗（﹣4）举例说明． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： 原式＝（﹣10﹣2﹣5）⊗6 ＝（﹣17）⊗6 ＝﹣102﹣17﹣6 ＝﹣125； （2）新定义的运算不满足交换律， 例如：（﹣4）⊗3＝﹣12﹣4﹣3＝﹣19；3⊗（﹣4）＝﹣12+3+4＝﹣5， ∵﹣19≠﹣5， ∴（﹣4）⊗3≠3⊗（﹣4）， 则不满足交换律． 22．规定一种新运算“⊙”，即a⊙b＝a2﹣（1+b），例如1⊙2＝12﹣（1+2）＝﹣2，根据规定完成下列问题： （1）求3⊙（﹣2）的值； （2）求（﹣1）⊙[（﹣4）⊙（﹣3）]的值． 【解答】解：（1）3⊙（﹣2） ＝32﹣（1﹣2） ＝10； （2）（﹣1）⊙[（﹣4）⊙（﹣3）] ＝（﹣1）⊙[（﹣4）2﹣（1﹣3）] ＝（﹣1）⊙18 ＝（﹣1）2﹣（1+18） ＝﹣18． 题型五 材料探究与运算规律 23．材料1：一般地，n个相同因数a相乘：记为an．如23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28（即log28＝3）．那么，log39＝　2　 ，（log216）2log381＝　17　 ． 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到n的连乘积用n！表示，例如：1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1＝24，…在这种规定下，请你解决下列问题： （1）计算 5！＝　120　 （2）已知x为整数，求出满足该等式的x：1． 【解答】解：材料1：log39＝log332＝2；（log216）2log381＝1617； 材料2：（1）5！＝5×4×3×2×1＝120； （2）已知等式化简得：1，即|x﹣1|＝6， 解得：x＝7或﹣5． 故答案为：2；17；（1）120 24．1，，将以上二个等式两边分别相加得： 11 用你发现的规律解答下列问题： （1）猜想并写出：　　 （2）直接写出下列各式的计算结果： ①　　 ②　　 （3）探究并计算： ． 【解答】解：（1）； （2）①原式＝11； ②原式＝11； （3）原式（）（）， 故答案为：（1）；（2）①；② 25．记M（1）＝﹣2， M（2）＝（﹣2）×（﹣2）， M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…， M（n） （1）填空：M（5）＝　﹣32　 ，M（1000）是一个　正数　 （填“正数”或“负数”）． （2）计算M（6）+M（7）的值． （3）当M（n）＜0时，求2014M（n）+1007M（n+1）的值． 【解答】解：（1）M（5）＝﹣32，M（1000）是一个正数； （2）M（6）+M（7）＝64﹣128＝﹣64； （3）根据题意得：原式＝2014×（﹣2）n+1007×（﹣2）n+1＝2014×（﹣2）n﹣2014×（﹣2）n＝0． 故答案为：（1）﹣32；正数． 26．先观察下列等式，再完成题后问题：，， （1）请你猜想：　　 ． （2）若a、b为有理数，且|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，求：的值． 【解答】解：（1）（2分） （2）∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0， ∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2（2分） 原式（2分） ．（1分） 27．在数学中，为了简便，记k＝1+2+3+…+（n﹣1）+n． 1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，…，n！＝n×（n﹣l）×（n﹣2）×…×3×2×1． 求． 【解答】解： ＝（1+2+3+…+2011）﹣（1+2+3+…+2001+2012） ＝﹣2012+2012 ＝0． 28．阅读解题 ∵，，，… ∴计算： ＝1 理解以上方法的真正含义，计算： ①； ②． 【解答】解：①根据题意得： ＝（）+（）+…+（） ； ②根据题意得： （1）（）（） （1） （1） ． 题型六 有理数的应用题 29．已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 进、出记录 +35 ﹣20 ﹣30 +25 ﹣24 +50 ﹣26 （1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？ （2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多少？ （3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？ 【解答】解：（1）星期一100+35＝135吨； 星期二135﹣20＝115吨； 星期三115﹣30＝85吨； 星期四85+25＝110吨； 星期五110﹣24＝86吨； 星期六86+50＝136吨； 星期日136﹣26＝110吨． 故星期六最多，是136吨； （2）2300×（20+30+24+26）﹣2000×（35+25+50） ＝2300×100﹣2000×110 ＝230000﹣220000 ＝10000元； （3）（200﹣100）÷（35+25+50﹣20﹣30﹣24﹣26）﹣1 ＝100÷10﹣1 ＝10﹣1 ＝9周． 故再过9周粮库存粮食达到200吨． 30．小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等． （1）点A表示的数为　﹣3　 ． （2）小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，…，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【解答】解：（1）根据题意可知CD＝8﹣5＝3＝CD， ∵点A在点B的左侧，点B在原点处， ∴点A表示的数为：0﹣3＝﹣3， 故答案为：﹣3； （2）①根据题意可知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳（2n﹣1）个单位长度，点A表示的数为﹣3， ∴第5次后落点所对应的数为：﹣3+1﹣3+5﹣7+9＝2， ∵﹣3+1﹣3+5＝0， ∴第3次跳动后落在原点处； ②第100次后落点所对应的数为： ﹣3+1﹣3+5﹣7+9﹣11+⋯+197﹣199 ＝﹣3+（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+⋯+（197﹣199） ＝﹣3+50×（﹣2） ＝﹣103， ∵点C表示的数为5， 5﹣（﹣103）＝5+103＝108． ∴电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 31．某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9、﹣3、﹣5、+4、﹣8、+6、﹣3、﹣6、﹣4、+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ （2）出租车距离鼓楼最远有多少公里？ （3）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【解答】解：（1）+9﹣3+5+4﹣8+6﹣3﹣6﹣4+10＝10， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点10km，在鼓楼的东方； （2）+9﹣3＝6 6﹣5＝1，1+4＝5，5﹣8＝﹣3， ﹣3+6＝3， 3﹣3＝0， 0﹣6＝﹣6， ﹣6﹣4＝﹣10， ﹣10+10＝0． 故离鼓楼最远的距离是10km； （3）（+9+|﹣3|+5+4+|﹣8|+6+|﹣3|+|﹣6|+|﹣4|+10）×2.4 ＝58×2.4＝139.2元， 答：司机一个下午的营业额是139.2元． 32．某商场对顾客购物实行优惠，规定： （1）如一次购物不超过200元的，则不予折扣； （2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠； （3）如一次购物超过500元，其中500元按第（2）条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款多少元？ 【解答】解：500×90%+[168+423÷90%﹣500]×80%＝560.4（元）． 答：应付款560.4元． 33．如图，半径为1个单位长度的圆形纸片上有一点Q与数轴上的原点重合．（提示：圆的周长C＝2πr，π取值为3.14） （1）把圆形纸片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，则点A表示的数是 　﹣6.28　 ； （2）圆形纸片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆形纸片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动周数记录如下：+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2．当圆形纸片结束运动时，Q点运动的路程共是多少？此时点Q所表示的数是多少？ 【解答】解：（1）∵2πr＝2×3.14×1＝6.28， ∴点A表示的数是﹣6.28， 故答案为：﹣6.28； （2）∵|+2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|＝17， ∴17×2π×1＝106.76， ∴当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有106.76， ∵2﹣1﹣5+4+3﹣2＝1， ∴1×2π×1≈6.28， ∴此时点Q所表示的数是6.28． 答：当圆片结束运动时，Q点运动的路共是106.76，此时点Q所表示的数是6.28． 34．一位出租车司机某日中午的营运全在市区的环城公路上进行．如果规定：顺时针方向为正，逆时针方向为负，那天中午他拉了五位乘客所行车的里程如下：（单位：千米） +10，﹣7，+4，﹣9，+2． （1）将最后一名乘客送到目的地时，这位司机距离出车地点的位置如何？ （2）若汽车耗油为a升/千米，那么这天中午这辆出租车的油耗多少升？ （3）如果出租车的收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，问：这个司机这天中午的收入是多少？ 【解答】解：（1）+10+（﹣7）+（+4）+（﹣9）+（+2）＝0，这位司机最后回到出车地点； （2）|10|+|﹣7|+|+4|+|﹣9|+|+2|＝32， 32×a＝32a（升）； （3）（10﹣3）×2+10+（7﹣3）×2+10+（4﹣3）×2+10+（9﹣3）×2+10+10＝86（元）， 答：这个司机这天中午的收入是86元． 1．在数学活动课上，老师设计了一个“数字天平”游戏．游戏规则如下：将九个连续整数不重复填入图1中的9个圈中，使得△ABC和△DEF各自的“重量”即每条边上三个数字之和相等． 初步应用：（1）使用数字1至9，规定每条边的“重量”为18．图2是符合条件的一种情况，请补充图中空缺的四个数． 深入探究：（2）如图3，每个圆圈中的数字用a，b，c，⋯，h，k表示，若规定每条边的“重量”为m，且a+b+c+d+e+f+g+h+k＝s，求a+b+c，e+d+f，g+h+k的值（用含m，s的代数式表示）． 拓展迁移：（3）若使用数字：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，规定每条边的“重量”为3，请在图4中给出一个符合要求的填法． 【解答】解：（1）顶点E对应的数18﹣6﹣5＝7， 顶点D对应的数18﹣6﹣4＝8， 其余两个空分别是18﹣9﹣7＝2，18﹣9﹣8＝1，如图， （2）记X＝a+b+c，Y＝d+e+f，Z＝g+h+k，则X+Y+Z＝S． 又由外三角形三边和为m，可得a+e+b＝m，b+f+c＝m，c+d+a＝m， 三式相加得2（a+b+c）+（d+e+f）＝3m，即2X+Y＝3m． 同理，内三角形DEF三边和为m，可得d+g+e＝m，d+h+f＝m，f+k+e＝m， 三式相加得2（d+e+f）+（g+h+k）＝3m，即2Y+Z＝3m． 联立， 解得：， 即，，； （3）若使用九个整数﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，且每条边的“重量”规定为3， 则s＝﹣4+（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2+3+4＝0，m＝3， 则a+b+c＝0，d+e+f＝9，g+h+k＝﹣9， 可作如下“一种可行填法”（对应图4的各顶点及中点）： 取a＝﹣1，b＝0，c＝1；d＝3，e＝4，f＝2；g＝﹣4，h＝﹣2，k＝﹣3． 2．两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 【解答】解：（1）∵18+12＝30，18﹣12＝6，18×12＝216，18÷12＝1.5， 18和12的和、差、积、商的结果同号， ∴（18，12）是“保号数对”． ∵，； ∴不是“保号数对”； （2）已知（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”， 和：a+3，差：a﹣3，积：3a，商：，四者同号且为整数， ∴|a|＞3， ∵为整数， ∴a是3的整数倍； 又（60，a+15）为“严格保号数对”， 和：60+（a+15）＝a+75，差：60﹣（a+15）＝45﹣a，积：60（a+15），商：，四者同号且为整数， 由商为整数，得a+15是60的约数； 分两种情况：若和与差均为正，则a+75＞0，45﹣a＞0，a+15＞0，即﹣15＜a＜45， ∵|a|＞3， ∴﹣15＜a＜﹣3或3＜a＜45； 若和与差均为负，则a+75＜0，45﹣a＜0，a+15＜0，即a＜﹣75且a＞45，无解． 60的正约数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，对应a+15的可能值为这些约数， 故a的可能值为：1﹣15＝﹣14（舍去，因a＞3）， 2﹣15＝﹣13（舍去）， 3﹣15＝﹣12， 4﹣15＝﹣11（舍去）， 5﹣15＝﹣10（舍去）， 6﹣15＝﹣9， 10﹣15＝﹣5（舍去）， 12﹣15＝﹣3（舍去）， 15﹣15＝0， 20﹣15＝5（a＝5，检查：和8正，差2正，积15正，商非整数，舍去）， 30﹣15＝15（a＝15，检查：和18正，差12正，积45正，商5整数，符合； 和60+30＝90正，差60﹣30＝30正，积60×30＝1800正，商整数，符合）， 60﹣15＝45（a＝45，检查：和48正，差15正，积135正，商15整数，符合； 和60+60＝120正，差60﹣60＝0（舍去，因差需非零）， 故a＝15或﹣12或﹣9． （3）∵（a，b）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即a与b同号， 因（b，c）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即b与c同号， 由a与b同号，b与c同号，得a与c同号， ∴和：a+c，因a与c同号，和的符号与a（或c）相同； 差：a﹣c，因a与c同号，差的符号与a（或c）相同； 积：ac，因a与c同号，积为正； 商：，因a与c同号，商为正； 和、差、积、商均与a（或c）同号，故符号相同， 因此（a，c）是“保号数对”． 3．综合与实践 【课本再现】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号（图2）可以用于记数，请探究这个符号所表示的数，互相交流各自的计算方法． 提示：八卦中称为阳交，对应数字1；称为阴，对应数字0，这是二进制记数法．每卦均由三个阳交或阴交组成，如图2，从左起第一个符号表示的二进制数为（011）2， 【观察发现】 （1）从左起第二个符号表示的二进制数为 　（111）2 ； 【拓展延伸】 二进制数转换成十进制数的方法是：将二进制数的每一位数乘以2的相应次方（从右往左依次为20，21，22，23，依此类推），然后相加． 例如，，． （2）图2中的记数符号由四个二进制数组成，将它们依次转换为十进制数，得到一个四位数，求出这个四位数； 【类比迁移】 （3）仿照二进制的说明与算法，将八进制数（2024）8转换成十进制数，请直接写出结果． 【解答】解：（1）根据【课本再现】可以发现从左起第二个符号表示的二进制数为（111）2， 故答案为：（111）2； （2）图2中的记数符号由四个二进制数分别为：（011）2，（111）2，（100）2，（101）2， 因为（011）2＝0×22+1×21+1×20＝0+2+1＝3， （111）2＝1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7， （100）2＝1×22+0×21+0×20＝4+0+0＝4， （101）2＝1×22+0×21+1×20＝4+0+1＝5， 所以这个四位数为3745； （3）1044． 理由：（2024）8＝2×83+0×82+2×81+4×80＝1024+0+16+4＝1044． 4．将n个0或1排列在一起组成了一个数组，记为A＝（t1，t2，…，tn），其中，t1，t2，…，tn都取0或1，称A是一个n元完美数组（n≥2且n为整数）． 例如：（0，1），（1，1）都是2元完美数组，（0，0，1，1），（1，0，0，1）都是4元完美数组，但（3，2）不是任何完美数组．定义以下两个新运算： 新运算1：对于x和y，x*y＝（x+y）﹣|x﹣y|； 新运算2：对于任意两个n元完美数组M＝（x1，x2，…，xn）和N＝（y1，y2，…，yn），M⊗N（x1*y1+x2*y2+…+xn*yn），例如：对于3元完美数组M＝（1，1，1）和N＝（0，0，1），有M⊗N（0+0+2）＝1．（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1）中是3元完美数组的为：　（0，0，0）　 ； （2）设A＝（1，0，1），B＝（1，1，1），则A⊗B＝ 　2　 ； （3）已知完美数组M＝（1，1，1，1）求出所有4元完美数组N，使得M⊗N＝3； （4）对于m个不同的2024元完美数组中任意两个完美数组P、Q，都有P⊗Q＝0，则m的最大值为 　2025　 ． 【解答】解：（1）在（0，0，0），（2，0，1），（1，1，1，1）中，（2，0，1）不是完美数组，（1，1，1，1）是4元完美数组， ∴3元完美数组的有：（0，0，0）． 故答案为：（0，0，0）； （2）∵A＝（1，0，1），B＝（1，1，1）， ∴A⊗B（1*1+0*1+1*1）（2+0+2）＝2． 故答案为：2； （3）∵x﹣y＝（x+y）﹣|x﹣y|， ∴当x＝y＝1时，x*y＝2； 当x＝y＝0时，x*y＝0； 当x≠y时（其中一个为1，另一个数为0），x*y＝0． 综上：x*y＝2或0； ∵M⊗N＝3， ∴x1*y1+x2*y2+x3*y3＝6． ∵M＝（1，1，1，1）， ∴N＝（1，1，0，1）或（1，0，1，1）或（0，1，1，1）或（1，1，1，0）； （4）∵P⊗Q＝0， ∴P、Q中对应位置的元都不相等， ∵每个数组有2024个元，1可以出现在2024个位置，再加上一个数组，这个数组中的元全部为0， ∴m的最大值为2025． 故答案为：2025． 5．先观察：1，1，1，… （1）探究规律填空：1　　 ×　　 ； （2）计算：（1）•（1）•（1）…（1） 【解答】解：（1）原式； （2）原式＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ， 故答案为：（1）； 1．阅读探究：12；12+22；12+22+32；12+22+32+42；… （1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值； （2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； （3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152． 【解答】解：（1）根据题意得：原式55； （2）根据题意得：12+22+32+…+n2（n为正整数）； （3）根据题意得：12+22+32+42+52＝55①， 12+22+32+42+52+62+72+82+92+102+112+122+132+142+1521240②， 则②﹣①得：62+72+82+92+102+112+122+132+142+152＝1185． 2．定义：若数p可以表示成p＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称p为“希尔伯特”数．例如：3＝22+12﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11．所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（3除外） （2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续的两个奇数按定义给出的运算表达出来．已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数． 【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0， ∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9， 故10以内的“希尔伯特”数是：0，1（答案不唯一）； （2）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）（m，n为自然数）． 由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224， ∴m2﹣n2＝56， ∴（m+n）（m﹣n）＝56， 可得整数解：或， ∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679． 3．数学课上老师出了一道题计算：1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令s＝1+21+22+23+24+25+26+27+28+29，① 则2s＝2+22+23+24+25+26+27+28+29+210，② ②﹣①得s＝210﹣1． 根据以上方法请计算： （1）1+2+22+23+…+22015；（写出过程，结果用幂表示） （2）1+3+32+33+…+32015＝　　 ．（结果用幂表示） 【解答】解：（1）设s＝1+2+22+23+…+22015①， 则2s＝2+22+23+…+22015+22016②， ②﹣①，得 s＝22016﹣1， 即1+2+22+23+…+22015＝22016﹣1； （2）设s＝1+3+32+33+…+32015①， 则3s＝3+32+33+…+32015+32016②， ②﹣①，得 2s＝32016﹣1， ∴s， 故答案为：． 4．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”； a⊕b⊕c（|a﹣b﹣c|+a+b+c）． 如：1⊕（﹣2）⊕3[|1﹣（﹣2）﹣3|+1+（﹣2）+3]＝1． 解答下列问题： （1）计算：⊕（﹣3）⊕（）的值； （2）在，，，0，，，，，，这10个数中，任意取三个数作为a，b，c的值，进行“a⊕b⊕c”运算，求在所有计算的结果中的最大值． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：原式[|（﹣3）﹣（）|]3； （2）当a﹣b﹣c≥0时，a⊕b⊕c（a﹣b﹣c+a+b+c）＝a，此时最大值是a； 当a﹣b﹣c＜0时，a⊕b⊕c（﹣a+b+c+a+b+c）＝b+c，此时最大值为b+c， ∵， ∴计算结果的最大值为． 5．（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB＝|a﹣b|． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　3　 ， ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|x+2|　 ． ③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　 ． ④若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围x＜﹣3或x＞1　 ． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x，则ax3+bx2+cx﹣5的值是　﹣5　 ． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2016次“F运算”的结果是　1　 ． 【解答】解：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3； ②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|； ③∵﹣3＜x＜1， ∴|x﹣1|+|x+3| ＝﹣x+1+x+3 ＝4； ④∵|x﹣1|+|x+3|＞4， ∴有理数x的取值范围x＜﹣3或x＞1； （2）∵abc＜0， ∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数； 又∵a+b+c＞0， ∴a、b、c中只有一个是负数． 不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 则ab＜0，ac＜0，bc＞0， x＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1＝0， 当x＝0时， ax3+bx2+cx﹣5＝0+0+0﹣5＝﹣5； （3）第一次：3×449+5＝1352， 第二次：，根据题意k＝3时结果为169； 第三次：3×169+5＝512， 第四次：因为512是2的9次方，所以k＝9，计算结果是1； 第五次：1×3+5＝8； 第六次：，因为8是2的3次方，所以k＝3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环． 因为2016是偶数，所以第2016次“F运算”结果是1． 故答案为：3；|x+2|；4；x＜﹣3或x＞1；﹣5；1． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $