寒假作业01 有理数的相关概念（正负数、数轴、绝对值、相反数）8大必刷题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 有理数的相关概念（正负数、数轴、绝对值、相反数） 一、数的定义和分类 1、正数：大于0的数叫做正数；负数：小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数。 2、整数分为正整数、负整数和0。其中，正整数和0统称非负整数（也称自然数），负整数和0统称非正整数。 3、分数：有限小数和无限循环小数统称分数。 4、有理数：能写出分数形式的数称为有理数。 5、无理数：无限不循环小数统称无理数。 6、有理数的分类 按有理数的定义分： 按有理数的符号分： 二、数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 2、数轴上的点与有理数是一一对应的。表示正数的点在数轴的正半轴上；表示负数的点在数轴的负半轴上。 3、数轴上的点从左到右，所表示的数依次增大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 4、数轴上中点数的表示：已知数轴上A、B两点分别表示数a、b，则线段AB的中点所表示的数为。 三、绝对值与相反数 1、绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3、绝对值具有非负性，因此，如果有几项绝对值相加和为0，则代表每一项均为0. 4、用绝对值表示距离：已知数轴上A、B两点分别表示数a、b，则线段AB的长度为。 5、相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0. 6、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 7、利用绝对值比较大小：两个正数比较大小，绝对值大的正数大；两个负数比较大小，绝对值大的负数小。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的相关概念 1．有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a＞b＞0 B．b＜0＜a C．|a|＞|b| D．b＞0 2．数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0 3．以海平面为基准，用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖的湖面比海平面低154m，则艾丁湖的湖面的海拔为　　 m． 4．如果温度上升2℃，记作+2℃，那么温度下降1℃记作　　 ． 5．﹣2025的相反数是　 　 ，绝对值是　 　 ． 6．如果一个整数的绝对值大于2.1，且不大于3，则这个整数可以是 　 ． 题型二 根据绝对值的性质去绝对值化简 7．已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|x﹣2|的值为　 ． 8．若a＜1，|3﹣a|﹣|a﹣1|的化简结果为　 　 ． 9．若a＜0，化简：|a|﹣|a﹣1|＝　 　 ． 10．若x＜1，则的值是　 　 ． 题型三 根据数轴进行去绝对值化简 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣a|+|c﹣b|﹣|a+b|＝　 ． 12．如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简|a|+|a+b|﹣|b﹣c|+|a+c|＝ 　 ． 13．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，其中|c|＜|a|＜|b|，化简：|a|+|a﹣b|﹣|c﹣a|＝ ． 14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a+b|+|c﹣b|﹣|b+c|＝　 ． 题型四 分类讨论去绝对值 15．已知a•b≠0，则的值为　 　 ． 16．已知ab≠0，则的值为 　 　 ． 17．已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值为　　 ． 18．若ab≠0，且a+b＝0，则的值是　　 ． 19．若有理数x，y满足xy≠0，且，则m＝　 　 ． 题型五 绝对值的非负性 21．若|5﹣a|+|b+2|＝0，则a+b的值为　　 ． 22．若|a﹣2|+|b﹣3|＝0，则a+b＝　　 ． 23．已知a为有理数，则|a+2|﹣5的最小值为　　 ． 24．若|x+5|+|y﹣8|＝0，则x+y＝　　 ． 25．已知有理数a，b满足|a+4|+|b﹣2|＝0，则2a+b＝ 　 ． 26．若|x+2|与|y﹣3|互为相反数，则x+y＝　　 ． 27．若|a+2|+|b﹣1|＝0，则（a+b）2026＝　　 ． 题型六 相反数的定义与求值 28．2025的相反数是　 　 ． 29．若x，y互为相反数，则2025x+2025y＝ 　　 ． 30．若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　 　 ． 31．a﹣b和b﹣a的关系是互为 　 　 ． 题型七 相反数的几何意义 32．如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是　　 ． 33．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数中互为相反数的两个点分别是 ． 34．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是　 ．（用“＞”连接） 35．数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是　　 和　　 ． 36．在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是10，点A在点B的左边，则点A表示的数为　　 ，点B表示的数为　　 ． 题型七 绝对值的几何意义综合运用 37．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　 　 ；式子|a+5|的几何意义是　 　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　 　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　　 ． 38．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则AB＝|a﹣b|，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么AB＝　　 ； （2）在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3，那么x＝　 　 ； （3）在数轴上表示a的点位于﹣4和3之间（包含两端），求|a+4|+|a﹣3|的值； （4）对于任意有理数x，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是　 　 ． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．若点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|． （1）回答下列问题： 数轴上表示3和7的两点之间的距离是　 　 ， 数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是　 　 ， 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是　 　 ； 数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为4，那么x的值是　 　 ； （2）深入探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在3与﹣1之间移动时，|x﹣3|+|x+1|的值总是一个固定的值为　 　 ； ②若|x+3|+|x﹣2|有最小值，则最小值是　 　 ． 40．如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （1）数轴上表示数3和数﹣1的两点之间的距离是 　 　 ；若表示数a和数﹣2的两点之间的距离是5，则a＝ 　 　 ； （2）（i）若数轴上表示数a的点位于﹣3与7之间，则|a+3|+|a﹣7|的值为 　 　 ； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数﹣6表示的点重合，此时数轴上的点M，N（点M在点N的左侧）也互相重合．若数轴上M，N两点之间的距离为1018，求点M，N分别表示的数． 41．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数﹣1，2，x，因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB＝AB＝3，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．所以当点P在线段AB上时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝1时，x的值为 　 ； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子|x﹣4|+|x+2|的最小值为　 　 ； （3）利用绝对值的几何意义，当|x﹣4|+|x+2|＝8时，x的值为　 　 ； （4）利用绝对值的几何意义，写出|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值为　 　 ． 题型八 数轴上的点的问题 42．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣8，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　 　 个单位长度（AC表示点A到点C的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　 　 cm；点B所对应的数b为　 　 ； （2）若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数． 43．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“+”，向左运动为“﹣”，则终点表示的数是0+2+（﹣5）＝﹣3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到﹣3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示﹣5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 44．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 45．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 1．阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　 　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【提出问题】如果有理数a、b，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论a，b的符号．解：由题意得： ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，即 　 时，则　 　 +　 ＝ 　 　 ； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，则　　 ； 故：的值为：　 　 ． 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0，则 　 ． 3．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 4．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”． （1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 ； （2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数． 1．类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　 　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　 　 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　 　 ． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　 　 ． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 3．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 4．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　 　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　 　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　 　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 5．对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　　 ； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为 　　 ； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　 　 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 有理数的相关概念（正负数、数轴、绝对值、相反数） 一、数的定义和分类 1、正数：大于0的数叫做正数；负数：小于0的数叫做负数；0既不是正数也不是负数。 2、整数分为正整数、负整数和0。其中，正整数和0统称非负整数（也称自然数），负整数和0统称非正整数。 3、分数：有限小数和无限循环小数统称分数。 4、有理数：能写出分数形式的数称为有理数。 5、无理数：无限不循环小数统称无理数。 6、有理数的分类 按有理数的定义分： 按有理数的符号分： 二、数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 2、数轴上的点与有理数是一一对应的。表示正数的点在数轴的正半轴上；表示负数的点在数轴的负半轴上。 3、数轴上的点从左到右，所表示的数依次增大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 4、数轴上中点数的表示：已知数轴上A、B两点分别表示数a、b，则线段AB的中点所表示的数为。 三、绝对值与相反数 1、绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3、绝对值具有非负性，因此，如果有几项绝对值相加和为0，则代表每一项均为0. 4、用绝对值表示距离：已知数轴上A、B两点分别表示数a、b，则线段AB的长度为。 5、相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0. 6、相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 7、利用绝对值比较大小：两个正数比较大小，绝对值大的正数大；两个负数比较大小，绝对值大的负数小。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数的相关概念 1．有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（　　） A．a＞b＞0 B．b＜0＜a C．|a|＞|b| D．b＞0 【解答】解：由数轴可知，|a|＜|b|，b＜0＜a， 故选：B． 2．数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＞b C．b＜0 D．a＞0 【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，a＜b， 故选项A符合题意． 故选：A． 3．以海平面为基准，用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海拔．新疆吐鲁番盆地的艾丁湖的湖面比海平面低154m，则艾丁湖的湖面的海拔为　﹣154　 m． 【解答】解：由题可知，艾丁湖的海拔应表示为负数，即﹣154m． 故答案为：﹣154． 4．如果温度上升2℃，记作+2℃，那么温度下降1℃记作　﹣1℃　 ． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果温度上升2℃，记作+2℃，那么温度下降1℃记作﹣1℃． 故答案为：﹣1℃． 5．﹣2025的相反数是　2025　 ，绝对值是　2025　 ． 【解答】解：根据题意可知，﹣2025的相反数是2025， ﹣2025的绝对值是2025． 故答案为：2025；2025． 6．如果一个整数的绝对值大于2.1，且不大于3，则这个整数可以是　±3　 ． 【解答】解：设这个整数为x，依题意得： 2.1＜|x|≤3， ∴当x＞0时，2.1＜x≤3， ∴x＝3； 当x＜0时，﹣3≤x＜﹣2.1， ∴x＝﹣3． 故答案为：±3． 题型二 根据绝对值的性质去绝对值化简 7．已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|x﹣2|的值为　5﹣2x ． 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴原式＝3﹣x+2﹣x＝5﹣2x． 故答案为：5﹣2x． 8．若a＜1，|3﹣a|﹣|a﹣1|的化简结果为　2　 ． 【解答】解：∵a＜1， ∴3﹣a＞0、a﹣1＜0， 则原式＝3﹣a﹣（1﹣a） ＝3﹣a﹣1+a ＝2， 故答案为：2 9．若a＜0，化简：|a|﹣|a﹣1|＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵a＜0， ∴|a|＝﹣a， 则a﹣1＜0， ∴|a﹣1|＝﹣（a﹣1）＝﹣a+1． ∴原式＝（﹣a）﹣（﹣a+1）＝﹣a+a﹣1＝﹣1． 故答案为：﹣1． 10．若x＜1，则的值是　﹣1或﹣3　 ． 【解答】解：当0＜x＜1时，∵x＞0， ∴， ∵x﹣1＜0， ∴， ∵x﹣2＜0， ∴， ∴原式＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1； 当x＜0时，∵x＜0， ∴， ∵x﹣1＜0， ∴， ∵x﹣2＜0， ∴， ∴则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3， 故答案为：﹣1或﹣3． 题型三 根据数轴进行去绝对值化简 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣a|+|c﹣b|﹣|a+b|＝　﹣2a ． 【解答】解：根据题意可知，a＜0＜c＜b，且|c|＜|a|＜|b|， ∴c﹣a＞0，c﹣b＜0，a+b＞0， ∴原式＝c﹣a﹣（c﹣b）﹣（a+b） ＝c﹣a﹣c+b﹣a﹣b ＝﹣2a． 故答案为：﹣2a． 12．如图，点A、B、C表示的数分别是a、b、c，化简|a|+|a+b|﹣|b﹣c|+|a+c|＝ 　﹣a ． 【解答】解：由点A、B、C所表示的数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，且|b|＜|a|＜|c|， ∴a+b＜0，b﹣c＜0，a+c＞0， ∴|a|+|a+b|﹣|b﹣c|+|a+c|＝﹣a﹣a﹣b+b﹣c+a+c＝﹣a， 故答案为：﹣a． 13．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，其中|c|＜|a|＜|b|，化简：|a|+|a﹣b|﹣|c﹣a|＝ 　﹣a+b﹣c ． 【解答】解：由数轴可得a＜0，b＞0，c＜0， ∴a﹣b＜0， ∵|c|＜|a|＜|b|， ∴c﹣a＞0， 则原式＝﹣a﹣a+b﹣c+a＝﹣a+b﹣c． 故答案为：﹣a+b﹣c． 14．有理数a，b，c在数轴上的位置如图，化简|a+b|+|c﹣b|﹣|b+c|＝　﹣a﹣b+2c ． 【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，且|﹣b|＞|﹣c|＞|a|， ∴a+b＜0，c﹣b＞0，b+c＜0， ∴|a+b|+|c﹣b|﹣|b+c| ＝﹣（a+b）+（c﹣b）﹣（﹣b﹣c） ＝﹣a﹣b+c﹣b+b+c ＝﹣a﹣b+2c， 故答案为：﹣a﹣b+2c． 题型四 分类讨论去绝对值 15．已知a•b≠0，则的值为　0，﹣2，2．　 ． 【解答】解：当a＞0，b＞0时，， 当a＞0，b＜0时，， 当a＜0，b＜0时，， 当a＜0，b＞0时，， 故答案为：0，﹣2，2． 16．已知ab≠0，则的值为 　﹣1或3　 ． 【解答】解：①当a＞0，b＜0时， 1﹣1﹣1＝﹣1； ②当a＜0，b＞0时， 1+1﹣1＝﹣1； ③当a＞0，b＞0时， 1+1+1＝3， ④当a＜0，b＜0时， 1﹣1+1＝﹣1， ∴的值为﹣1或3， 故答案为：﹣1或3． 17．已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值为　6　 ． 【解答】解：∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， ∴， ∵abc＜0且a+b+c＝0，即a，b，c中一负二正， 当a＞0，b＞0，c＜0时，，，，所以x＝1+2+3＝6， 当a＞0，b＜0，c＞0时，，，，所以x＝1﹣2﹣3＝﹣4， 当a＜0，b＞0，c＞0时，，，，所以x＝﹣1+2﹣3＝﹣2， 综上所述，x的最大值为6． 故答案为：6． 18．若ab≠0，且a+b＝0，则的值是　0　 ． 【解答】解：由题可得：a，b异号， ①当a＞0，b＜0时，； ②当a＜0，b＞0时，， 所以的值是0． 故答案为：0． 19．若有理数x，y满足xy≠0，且，则m＝　﹣4或0或2　 ． 【解答】解：当x、y的符号都为正时，则原式1+1﹣2＝0， 当x、y的符号都为负时，则； 当x、y的符号为一正，一负时，不妨设x的符号为负，则； 综上所述，m＝﹣4或m＝0或m＝2， 故答案为：﹣4或0或2． 题型五 绝对值的非负性 21．若|5﹣a|+|b+2|＝0，则a+b的值为　3　 ． 【解答】解：∵|5﹣a|+|b+2|＝0， ∴5﹣a＝0，b+2＝0， ∴a＝5，b＝﹣2， ∴a+b＝5﹣2＝3． 故答案为：3． 22．若|a﹣2|+|b﹣3|＝0，则a+b＝　5　 ． 【解答】解：∵|a﹣2|+|b﹣3|＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故答案为：5． 23．已知a为有理数，则|a+2|﹣5的最小值为　﹣5　 ． 【解答】解：∵|a+2|≥0， ∴当|a+2|＝0时，代数式|a+2|﹣5有最小值为0﹣5＝﹣5． 故答案为：﹣5． 24．若|x+5|+|y﹣8|＝0，则x+y＝　3　 ． 【解答】解：∵|x+5|≥0，|y﹣8|≥0， ∴当|x+5|+|y﹣8|＝0成立时，必须， 解得， ∴x+y＝﹣5+8＝3， 故答案为：3． 25．已知有理数a，b满足|a+4|+|b﹣2|＝0，则2a+b＝　﹣6　 ． 【解答】解：∵|a+4|+|b﹣2|＝0， ∴a+4＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣4，b＝2， ∴2a+b＝2×（﹣4）+2＝﹣6． 故答案为：﹣6． 26．若|x+2|与|y﹣3|互为相反数，则x+y＝　1　 ． 【解答】解：由题意得，|x+2|+|y﹣3|＝0， 则x+2＝0，y﹣3＝0， 解得，x＝﹣2，y＝3， 则x+y＝1， 故答案为：1． 27．若|a+2|+|b﹣1|＝0，则（a+b）2026＝　1　 ． 【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2026＝（﹣2+1）2026＝1． 故答案为：1． 题型六 相反数的定义和求值 28．2025的相反数是　﹣2025　 ． 【解答】解：2025的相反数是﹣2025． 故答案为：﹣2025． 29．若x，y互为相反数，则2025x+2025y＝ 　0　 ． 【解答】解：∵x，y互为相反数， ∴x+y＝0， ∴2025x+2025y ＝2025（x+y） ＝0， 故答案为：0． 30．若2m+1与﹣2互为相反数，则m的值为 　　 ． 【解答】解：∵2m+1与﹣2互为相反数， ∴2m+1﹣2＝0， ∴m． 故答案为：． 31．a﹣b和b﹣a的关系是互为 　相反数　 ． 【解答】解：∵a﹣b+b﹣a＝0， ∴两者的关系是互为相反数； 故答案为：相反数． 题型七 相反数的几何意义 32．如图，在一个不完整的数轴上有A，B，C三个点，数轴的单位长度为1．若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C表示的数是　1　 ． 【解答】解：由点A，B表示的数互为相反数， 则数轴为： ， 所以由数轴可得，点C表示的数1． 故答案为：1． 33．如图，数轴上点A，B，C，D中，表示的数中互为相反数的两个点分别是 A、C ． 【解答】解：点A和点C分别在原点的左右两旁，到原点的距离相等，所以它们表示的两个数互为相反数． 故答案为：A、C． 34．已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是　﹣a＞b＞﹣b＞a ．（用“＞”连接） 【解答】解：根据图形可知：|a|＞|b|，a＜0，b＞0， ∴﹣a＞b＞﹣b＞a． 35．数轴上，若A、B表示互为相反数，A在B的右侧，并且这两点的距离为8，则这两点所表示的数分别是　4　 和　﹣4　 ． 【解答】解：两点的距离为8，则点A、B距离原点的距离是4， ∵点A，B互为相反数，A在B的右侧， ∴A、B表示的数是4，﹣4． 故答案为：4，﹣4． 36．在数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是10，点A在点B的左边，则点A表示的数为　﹣5　 ，点B表示的数为　5　 ． 【解答】解：由题意，得 数轴上点A，B表示的数互为相反数，且两点间的距离是10，点A在点B的左边，则点A表示的数为﹣5，点B表示的数为 5， 故答案为：﹣5，5． 题型七 绝对值的几何意义综合运用 37．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示O的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a﹣b|．回答下列问题： （1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是　|2﹣（﹣3）|　 ；式子|a+5|的几何意义是　数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离　 ． （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝　﹣1或5　 ； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是　7　 ； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是　8　 ． 【解答】解：（1）几何意义是数轴上表示2的点与表示﹣3的点之间的距离的式子是|2﹣（﹣3）|；式子|a+5|的几何意义是数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； 故答案为：|2﹣（﹣3）|；数轴上表示a的点与表示﹣5的点之间的距离； （2）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝3时，x＝﹣1或5； 故答案为：﹣1或5； （3）当表示x的点在﹣2与5之间移动时，|x﹣5|+|x+2|的值为一个固定的值是7； 故答案为：7； （4）探究：|x+1|+|x﹣7|的最小值是8． 故答案为：8． 38．（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则AB＝|a﹣b|，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么AB＝　2　 ； （2）在数轴上表示x的点与﹣1的距离是3，那么x＝　﹣4或2　 ； （3）在数轴上表示a的点位于﹣4和3之间（包含两端），求|a+4|+|a﹣3|的值； （4）对于任意有理数x，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值是　3　 ． 【解答】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则AB＝|a﹣b|， 由题意得，AB＝|3﹣1|＝2， 故答案为：2； （2）由题意得，|x﹣（﹣1）|＝3， 即|x+1|＝3， 解得x＝﹣4或x＝2， 故答案为：﹣4或2； （3）在数轴上表示a的点位于﹣4和3之间（包含两端）， ∵|a+4|+|a﹣3|＝|a﹣（﹣4）|+|a﹣3|， ∴式子|a+4|+|a﹣3|表示a对应的点分别到﹣4、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于﹣4和3之间（包含两端）时，距离之和为|﹣4﹣3|＝7， 即|a+4|+|a﹣3|的值为7； （4）式子|x﹣3|+|x﹣6|表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为|6﹣3|＝3， 故答案为：3． 39．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．若点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|． （1）回答下列问题： 数轴上表示3和7的两点之间的距离是　4　 ， 数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是　2　 ， 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是　5　 ； 数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为4，那么x的值是　1或﹣7　 ； （2）深入探究： ①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数x的点在3与﹣1之间移动时，|x﹣3|+|x+1|的值总是一个固定的值为　4　 ； ②若|x+3|+|x﹣2|有最小值，则最小值是　5　 ． 【解答】解：（1）数轴上表示3和7的两点之间的距离是7﹣3＝4， 数轴上表示﹣3和﹣5的两点之间的距离是﹣3﹣（﹣5）＝﹣3+5＝2， 数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝2+3＝5， 数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离4， 则|x﹣（﹣3）|＝4， ∴|x+3|＝4， ∴x+3＝±4， ∴x＝1或﹣7． 故答案为：4；2；5；1或﹣7； （2）①如图， ∴﹣1＜x＜3． ∴|x﹣3|+|x+1|＝﹣（x﹣3）+（x+1）＝﹣x+3+x+1＝4． 故答案为：4； ②由题意可得：当数x的点在﹣3与2之间移动时，|x+3|+|x﹣2|最小． ∴原式＝x+3﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5． 故答案为：5． 40．如图，结合数轴与绝对值的知识可知：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|． （1）数轴上表示数3和数﹣1的两点之间的距离是 　4　 ；若表示数a和数﹣2的两点之间的距离是5，则a＝ 　﹣7或3　 ； （2）（i）若数轴上表示数a的点位于﹣3与7之间，则|a+3|+|a﹣7|的值为 　10　 ； （ii）若将数轴折叠，使得数2表示的点与数﹣6表示的点重合，此时数轴上的点M，N（点M在点N的左侧）也互相重合．若数轴上M，N两点之间的距离为1018，求点M，N分别表示的数． 【解答】解：（1）数轴上表示数3和数﹣1的两点之间的距离是|3﹣（﹣1）|＝4， 由题意可得：|a﹣（﹣2）|＝5， ∴a+2＝5或a+2＝﹣5， 解得：a＝3或a＝﹣7； 故答案为：4，﹣7或3． （2）（i）∵表示数a的点位于﹣3与7之间， ∴a+3＞0，a﹣7＜0， ∴|a+3|+|a﹣7|＝（a+3）+[﹣（a﹣7）]＝a+3﹣a+7＝10． 故答案为：10； （ii）∵数轴上M、N两点之间的距离为1018， ∴点M、N到对称中心的距离为， 若沿数2表示的点与﹣6表示的点重合，则对称中心为， 则点M表示数﹣2﹣509＝﹣511，点N表示数﹣2+509＝507． 41．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数﹣1，2，x，因为|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB＝AB＝3，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．所以当点P在线段AB上时，|x+1|+|x﹣2|有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当|x﹣2|＝1时，x的值为　3或1　 ； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子|x﹣4|+|x+2|的最小值为　6　 ； （3）利用绝对值的几何意义，当|x﹣4|+|x+2|＝8时，x的值为　﹣3或5　 ； （4）利用绝对值的几何意义，写出|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值为　8　 ． 【解答】解：（1）当|x﹣2|＝1时，x﹣2＝±1， 解得：x＝3或1， 故答案为：3或1； （2）因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离． |x﹣4|+|x+2|表示x到4和﹣2的距离和， 当﹣2≤x≤4时，|x﹣4|+|x+2|有最小值，最小值＝4﹣（﹣2）＝6， 故答案为：6； （3）由（2）可知，|x﹣4|+|x+2|的最小值为6， 则当|x﹣4|+|x+2|＝8时，x在﹣2左侧或4的右侧，即x＜﹣2或x＞4， 当x＜﹣2时，|x﹣4|+|x+2|＝﹣x+4﹣x﹣2＝﹣2x+2＝8，解得：x＝﹣3； 当x≥4时，|x﹣4|+|x+2|＝x﹣4+x+2＝2x﹣2＝8，解得：x＝5， 故答案为：﹣3或5； （4）|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|表示x到﹣3、2、5的距离和， 则当x＝2时，距离和最小为5+0+3＝8， 即|x+3|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值为8， 故答案为：8． 题型八 数轴上的点的问题 42．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣8，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　12　 个单位长度（AC表示点A到点C的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的　0.525　 cm；点B所对应的数b为　﹣4　 ； （2）若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数． 【解答】解：（1）AC＝4﹣（﹣8）＝12， ∵数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.3cm， ∴6.3÷12＝0.525， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的0.525cm． ∵刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm， ∴， ∴AB＝124， ∴点B所对应的数b为﹣8+4＝﹣4． 故答案为：12；0.525；﹣4； （2）由（1）可知点B所对应的数为﹣4，AB＝4， ∵点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍， ∴点A到点Q的距离是 4×2＝8， 当点Q在点A左侧时，点Q所对应的数为﹣8﹣8＝﹣16； 当点Q在点A右侧时，点Q所对应的数为﹣8+8＝0． 综上，点Q所对应的数为﹣16或0． 43．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“+”，向左运动为“﹣”，则终点表示的数是0+2+（﹣5）＝﹣3． （1）点A从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是　2　 ； （2）点B从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B运动到﹣3.5所在点的位置时，求B，C两点之间的距离； （3）点M从表示﹣5的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…依次操作2026次后，求点M表示的数． 【解答】解：（1）3﹣5+4＝2； 故答案为：2； （2）点B运动了2.5﹣（﹣3.5）＝6个单位长度， 运动时间为6÷2＝3（秒）． 这段时间点C运动了1×3＝3个单位长度． ∵点C从原点出发， ∴点C运动到3所在点的位置， ∵3﹣（﹣3.5）＝6.5， ∴B，C两点之间的距离是6.5个单位长度； （3）﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+⋯﹣2021+2022﹣2023+2024﹣2025+2026 ＝﹣5+（﹣1+2）+（﹣3+4）+⋯+（﹣2023+2024）+（﹣2025+2026） ＝﹣5+1013 ＝1008． 所以点M表示的数为1008． 44．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 45．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 1．阅读下列材料：．当a＞0时，；当a＜0时，．运用以上结论解决下面问题： （1）已知x，y是有理数，当xy＞0时，则 　2或﹣2　 ； （2）已知x，y，z是有理数，当xyz＜0时，求的值； （3）已知x，y，z是有理数，x+y+z＝0，且xyz＜0，求的值． 【解答】解：（1）∵xy＞0， 则当x＞0，y＞0时，1+1＝2； 当x＜0，y＜0时，1+（﹣1）＝﹣2； 故答案为：2或﹣2． （2）当xyz＜0时，则x、y、z中必有一个为负，或者三个都为负， 故1+1+1＝1， 或1﹣1﹣1＝﹣3． 综上，的值为1或﹣3． （3）∵x+y+z＝0， ∴y+z＝﹣x，x+z＝﹣y，x+y＝﹣z， 又xyz＜0，则x、y、z中只有一个为负，其余为正， 则x为负时， 1﹣1+1＝1； y为负时， ＝﹣1+1+1＝1； z为负时， ＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； 综上， 为1或﹣3． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【问题背景】知识点：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 【提出问题】如果有理数a、b，求的值． 【解决问题】分类讨论：讨论a，b的符号．解：由题意得： ①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，即a＜0，b＜0　 时，则　　 +　　 ＝ 　﹣2　 ； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，则　0　 ； 故：的值为：　2或﹣2或0　 ． 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0，则　0或﹣4　 ． 【解答】解：【解决问题】①当a，b都是正数，即a＞0，b＞0时，则； ②当a，b都是负数，， 故答案为：a＜0，b＜0；； ③当a，b有一个为正数，另一个为负数时，令a＞0，b＜0时，， 故答案为：0； 综上所述，的值为2或﹣2或0； 【类比探究】三个有理数a，b，c，满足abc＜0， ∴令a＜0，b＞0，c＞0或a＜0，b＜0，c＜0， 当a＜0，b＞0，c＞0时， ， 当a＜0，b＜0，c＜0时， ， 故答案为：0或﹣4． 3．已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （1）请直接写出A，B两点所对应的数． （2）数轴上点A以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点C处追上了点A，求C点对应的数． （3）已知，数轴上点M从点A向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B向左出发，速度为每秒2个单位长度，经t秒后点M、N、O（O为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求t的值． 【解答】解：（1）根据题意得：A点所对应的数是﹣8；B对应的数是20； （2）设经过x秒点A、B相遇， 根据题意得：3x﹣x＝28， 解得：x＝14， 则点C对应的数为﹣8﹣14＝﹣22； （3）依题意，当O到M，N距离相等， 20﹣2t＝8+t， 解得t＝4； 当N和O重合，2t＝20， 解得t＝10； 当N到M，O距离相等，2（2t﹣20）＝8+t， 解得t＝16； 当M，N重合2t﹣t＝20+8， 解得t＝28； 当M到N，O距离相等，2t﹣20＝2（8+t），方程无解． 故t的值为4或10或16或28． 4．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”． 例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”． （1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 C1、C2 ； （2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数． 【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1为1， ∴AC1＝3，BC1＝1， ∴C1是A、B的“三倍点”； ∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C2为4， ∴AC2＝6，BC2＝2， ∴C2是A、B的“三倍点”； ∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C3为6， ∴AC3＝4，BC3＝4， ∴C3不是A、B的“三倍点”； ∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C4为8， ∴AC4＝4，BC4＝6， ∴C4不是A、B的“三倍点”； 故答案为：C1、C2． （2）若点F在点D的左侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x， 则有：3FD＝FE，3（﹣10﹣x）＝14﹣x， 解得：x＝﹣22； 若点F在点E的右侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x， 则有：FD＝3FE，x+10＝3（x﹣14）， 解得：x＝26； 若点F在点D、E的两点之间，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x， 则有：DF＝3FE或3DF＝FE，x+10＝3（14﹣x）或3（x+10）＝14﹣x， 解得：x＝8或x＝﹣4， 故答案为：x＝﹣22或x＝26或x＝8或x＝﹣4． 1．类比是应用过去的经验去解决新问题的一种思维过程． 【回顾•反思】 数学兴趣小组在研究|x+4|+|x﹣7|的最小值问题时，利用“一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离”这一概念，发现|x+4|就是x和﹣4所对应的两个点之间的距离，|x﹣7|就是x和7所对应的两个点之间的距离．同学们用﹣4和7这两个数所对应的点将数轴分为三个部分，然后分别在这三个部分上探究x到﹣4与x到7的距离之和，并运用数形结合的思想解决了这个问题： 在数轴上， ①如图1，若x代表的数在﹣4的左侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ②如图2，若x代表的数在﹣4与7之间，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ③如图3，若x代表的数在7的右侧，则x到﹣4与x到7的距离之和大于11； ④若x＝﹣4，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； ⑤若x＝7，则x到﹣4与x到7的距离之和等于11； 综合以上各种情况，|x+4|+|x﹣7|的最小值为11． 【操作•思考】 数学兴趣小组的同学们想通过类比学习的方式探究|x+2|﹣|x﹣3|的最大值问题． |x+2|就是x和　﹣2　 所对应的两个点之间的距离，|x﹣3|就是x和　3　 所对应的两个点之间的距离，这两个数所对应的点可以将数轴分为三个部分，分别在三个部分上进行探究，可以得出|x+2|﹣|x﹣3|的最大值为　5　 ． 【尝试•思考】 当x＝a或b时（a≠b），代数式|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|的值为相等的正数，则a+b＝　12　 ． 【解答】解：【操作•思考】根据题干可知|x+2|是x和﹣2所对应的两个点的距离，|x﹣3|是x是3两个点所对应的距离， 如图所示， ①x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣3|＝﹣x﹣2+x﹣3＝﹣5， ②当﹣2≤x≤3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2+x﹣3＝2x﹣1，在此范围内，当x＝3时，|x+2|﹣|x﹣3|＝5最大， ③当x＞3时， |x+2|﹣|x﹣3|＝x+2﹣x+3＝5， 综上，|x+2|﹣|x﹣3|最大值为5； 故答案为：﹣2，3，5． 【尝试•思考】 ①当x＜﹣2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝﹣x﹣2+x﹣2+x﹣6＝x﹣10＜0，为负数，不合题意； ②当﹣2≤x≤2时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2+x﹣2+x﹣6＝3x﹣6＜0，为负数，不合题意； ③当2＜x≤6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2+x﹣6＝x﹣2＞0，为正数，符合题意； ④当x＞6时， |x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x+2﹣x+2﹣x+6＝10﹣x， 此时要想满足其值为正数，则x还要小于10， 所以，当x在2到6和6到10这两段时其值为正数， 即a可以在﹣2和6之间，则b在6和10之间， 当a在﹣2和6之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝x﹣2＝a﹣2， 当b在6和10之间时，|x+2|﹣|x﹣2|﹣|x﹣6|＝10﹣x＝10﹣b， 所以a﹣2＝10﹣b， 所以a+b＝12． 故答案为：12． 2．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　0　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【解答】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，； 当 a＜0，b＞0时，． 故答案为：0． （2）abc＜0， ∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：|1﹣1﹣1＝﹣3； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则1+1+1＝1； （3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a． a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 1﹣1﹣1＝﹣1． 3．【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　1.5　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）∵|c﹣3+d|+（d+2）＝0， ∴d+2＝0，c﹣3+d＝0， ∴c＝5，d＝﹣2， ∵点N是CD的中点， ∴CD的中点N所对应的数为：， 故答案为：1.5； （2）由题意可得，点P表示的数为5﹣t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∴， 解得t＝17， 当t＝17时，PQ的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； 故答案为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，，不是定值， 当t≤10时，，是定值， 当t＞10时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 4．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离． （1）①AB＝　14　 ； ②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　8　 ； ③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　12或16　 ． （2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数． （3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【解答】解： （1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14． ②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8． ③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12； 当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16． （2）假设C为x， 当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x； 当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x． （3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T． 当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts． 当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉． 当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ， ∴﹣12﹣6T＝﹣8T， ∴T＝6s． 因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P． 当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48． 5．对于有理数x，y，a，t，若|x﹣a|+|y﹣a|＝t，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“美好关联数”为3． （1）﹣3和5关于2的“美好关联数”为 　8　 ； （2）若x和2关于3的“美好关联数”为4，求x的值； （3）若x0和x1关于1的“美好关联数”为1，x1和x2关于2的“美好关联数”为1，x2和x3关于3的“美好关联数”为1，…，x40和x41关于41的“美好关联数”为1，…． ①x0+x1的最小值为 　1　 ； ②x1+x2+x3+……+x40的最小值为 　820　 ． 【解答】解：（1）|﹣3﹣2|+|5﹣2|＝8， 故答案为：8； （2）∵x和2关于3的“美好关联数”为4， ∴|x﹣3|+|2﹣3|＝4， ∴|x﹣3|＝3， 解得x＝6或x＝0； （3）①∵x0和x1关于1的“美好关联数”为1， ∴|x0﹣1|+|x1﹣1|＝1， ∴在数轴上可以看作数x0到1的距离与数x1到1的距离和为1， ∴x0+x1有最小值1， 故答案为：1； ②由题意可知： |x1﹣2|+|x2﹣2|＝1， ∵1≤x1≤2，2≤x2≤3， ∴x1+x2的最小值1+2＝3； |x3﹣4|+|x4﹣4|＝1， ∵3≤x3≤4，4≤x4≤5， ∴x3+x4的最小值3+4＝7； 同理，|x5﹣6|+|x6﹣6|＝1，x5+x6的最小值5+6＝11； |x7﹣8|+|x8﹣8|＝1，x7+x8的最小值7+8＝15； ……； |x39﹣40|+|x40﹣40|＝1，x39+x40的最小值39+40＝79； ∴x1+x2+x3+……+x40的最小值： 3+7+11+15+……+79 ＝820． 故答案为：820． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $