精品解析：福建省长乐第一中学2025一2026学年上学期第二次适应性练习九年级数学试卷

长乐一中2025—2026学年第一学期第二次适应性练习 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的概念解答即可． 【详解】解：A．图形绕某一点旋转后能够与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； B．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．图形绕某一点旋转后不能够与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯路口，遇到红灯 B. 打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C. 掷一次骰子，向上一面点数大于0 D. 任意画一个三角形其内角和是360° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，熟练掌握必然事件的定义（在一定条件下必然会发生的事件）是解题的关键．先明确必然事件的定义（一定发生的事件），再逐一分析每个选项是否符合该定义． 【详解】解：选项A：经过路口遇到红灯是随机事件，不是必然事件． 选项B：打开新闻频道播体育新闻是随机事件，不是必然事件． 选项C：骰子点数为，均大于0，是必然事件． 选项D：三角形内角和为，不是，是不可能事件． 故选：C． 3. 函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左加右减，上加下减；根据此规律即可求解． 【详解】解：函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是； 故选：B． 4. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键． 【详解】解：如图所示，点绕原点逆时针旋转得到点F，此时点， 故选：B． 5. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 6. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的性质可知，在同一个象限内，y随x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性，掌握时，在同一个象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 7. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义，结合即可判断结果． 【详解】解：∵，当时，， ∴该方程必有一个根是， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，解答本题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值． 8. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 9. 某企业1月份的生产总值为500万元，受疫情影响，3月份的生产总值降至360万元，若设平均月降低率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用经过连续两个月降低后的生产总值月份的生产总值（平均降低率），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故选：A． 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y 轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴为直线，当时，，则时，，又由时得到时，，即可求出m的值． 【详解】解：抛物线，此抛物线的对称轴为直线， 当时，，所以当时，， 又∵当时， ∴当时，，即， 所以 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若点与点关于原点成中心对称，则m的值是______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴m=-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 在一个不透明的盒子中装有黄色和白色乒乓球共个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在，则估计盒子中白色乒乓球有______________个． 【答案】 【解析】 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】因为通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定在， 所以摸到白球的概率约为， 所以白球有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13. 用一个半径为2，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题先通过圆周长公式求解圆锥底面的半径，继而利用勾股定理求解圆锥的高． 【详解】解：由已知得：该扇形弧长为圆周，故弧长等于， 故圆锥底面周长为，假设其底面半径为x， 则：，得， 由已知得圆锥母线长为2，故由勾股定理：圆锥高为， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形与圆锥的关系，掌握求扇形弧长方法，还可用扇形弧长公式求解，对于该类型题目必须深刻理解扇形与圆锥对应线段的关系是解题关键． 14. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．利用待定系数法求出比例函数解析式，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为， 在第一象限内，随的增大而减小， 当时，，解得：， 当气球内的气压大于时，气球将爆炸， ，此时， 为了安全起见，气体的体积的取值范围为， 故答案为：． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 根据以上信息，当时，______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质，根据题目提供的满足二次函数解析式的、的值，确定二次函数的对称轴，利用抛物线的对称性找到当时，的值即可，利用表格找到二次函数的对称点是解决此题的关键． 【详解】解：由上表可知函数图象经过点和点， 对称轴为直线， 当时的函数值等于当时的函数值， 当时，， 当时，， 故答案为：3． 16. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得． 【详解】解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法解法，熟练掌握配方法的步骤（移项、配方、开方求解）是解题的关键． 用配方法将方程转化为完全平方式，再求解方程的根． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴，． 18. 已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程的一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 【答案】（1）见详解 （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）由根的判别式得，判断符号，即可求解； （2）将代入原方程求出，再由根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 故不论m取何实数，该方程总有实数根； 【小问2详解】 解：是该方程的一个实数根， ， 解得， 设另一个根为， 解得， 故，另一个根为． 19. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落边上，交于点H，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再根据“”可得 进而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，根据“”得到是解题关键． 20. 在中，． （1）使用直尺和圆规，在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，作交于点O，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角： （1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求； （2）根据等边对等角得到，由平行线的性质求得，则，据此可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问2详解】 解：由作图得，又，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 小问1详解】 解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 22. 为丰富“大课间”的体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A．实心球，B．篮球，C．tabata训练，D．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了______名学生，B项对应的扇形圆心角的度数是______； （2）若喜欢“tabata训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）喜欢C项目的有60人，占比 列式再计算可得到总人数，再求解喜欢B项目的占比，乘以即可得到圆心角的度数； （2）利用列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 解： 喜欢C项目的有60人，占比 这项调查中，共调查了（人）， B项对应的扇形圆心角的度数是 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男1女3 男2 男2男1 男2女1 男2女2 男2女3 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女1女3 女2 女2男1 女2男2 女2女1 女2女3 女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2 所以所有的等可能的结果数有20种，符合条件的结果数有12种， 所以刚好抽到学生是一男一女的概率为 【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，频数与频率之间的关系，求解扇形某部分所对应的圆心角的大小，利用列表法求解等可能事件的概率，熟练的从条形图与扇形图获取关联信息及列表求解所有的等可能的结果数是解本题的关键. 23. 如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 【答案】时，矩形菜园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．设矩形菜园的面积为，依题意得，为，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】设矩形菜园的面积为，依题意得，为， 所以是的二次函数， 因为， 所以抛物线开口向下， 对称轴为直线， 其中，， 所以， 在对称轴的右侧，S随着的增大而减小， 所以当时，S取最大值，为， 答：时，矩形菜园的面积最大，最大面积为． 24. 已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 【小问1详解】 解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 25. 如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，△ACD的面积为12，求PB的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角等于90°可得，根据等边对等角可得，进而证明，即可求得，从而证明PC是⊙O的切线； （2）由（1）可得，进而证明，可得，根据等角对等边证明，即可得证； （3）作于点F，勾股定求得，证明，进而求得的长，设，根据△ACD的面积为12，求得，勾股定理求得，由可得，即可求得的长． 【小问1详解】 连接OC，如图， ∵AB是的直径， ， 即． ，， ， . ， . ． 又是半径， 是⊙O的切线． 【小问2详解】 由（1），得． ， . ， ． 平分， . 又， ，即． ， . 【小问3详解】 作于点F，如图， ． 平分，， ． ，由勾股定理得：． ，， ， . ， . 设， ， . 解得或（舍去）． ． Rt△ACF中，由勾股定理得：， ，． 由（2）得， . ，， ， ， 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长乐一中2025—2026学年第一学期第二次适应性练习 九年级数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”（出自《礼记》）对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、绘画、标识等设计上．下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 打开电视新闻频道正在播报体育新闻 C. 掷一次骰子，向上一面点数大于0 D. 任意画一个三角形其内角和是360° 3. 函数先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 将点绕原点逆时针旋转得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 6. 已知点都在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正五边形内接于⊙，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某企业1月份的生产总值为500万元，受疫情影响，3月份的生产总值降至360万元，若设平均月降低率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C D. 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与y 轴正半轴有交点，当时，；当时，，则m的值等于（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若点与点关于原点成中心对称，则m的值是______． 12. 在一个不透明的盒子中装有黄色和白色乒乓球共个，这些球除颜色外其余均相同，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在，则估计盒子中白色乒乓球有______________个． 13. 用一个半径为2，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为______． 14. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积的取值范围________． 15. 用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： … 1 2 3 4 … … 0 0 3 … 根据以上信息，当时，______． 16. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 三、解答题：本题共9小题，共86分． 17. 解方程：． 18. 已知关于x的方程． （1）试说明：不论m取何实数，该方程总有实数根； （2）若是该方程一个实数根，请你求出m的值及另一个根． 19. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落边上，交于点H，求证：． 20. 在中，． （1）使用直尺和圆规，在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，作交于点O，连接，若，求证：． 21. 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）的面积为_____________； （3）请直接写出不等式的解集为_____________． 22. 为丰富“大课间”体育锻炼，我校决定在初三学生中开设：A．实心球，B．篮球，C．tabata训练，D．仰卧起坐四种项目．为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了______名学生，B项对应的扇形圆心角的度数是______； （2）若喜欢“tabata训练”且基础较好的学生共有5名，其中有2名男生，3名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生领操．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到学生是一男一女的概率． 23. 如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29米的篱笆围成矩形菜园，墙长12米，其中的长不超过墙长，在边上留一个1米宽的小门．设为x米，当x取何值时，矩形菜园的面积最大，最大面积为多少平方米？ 24. 已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 25. 如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：； （3）若，△ACD的面积为12，求PB的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $