曲线的公切线讲义-2026届高三数学一轮复习
曲线的公切线
求公切线方程
例1 (1) 与曲线y＝ex和y＝－
都相切的直线方程为___．
(2) 若直线l是曲线y＝ln x－1与y＝ln(x－1)的公切线，则直线l的方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x
C．y＝x＋1 D．y＝ex
曲线f(x)和g(x)公切线问题：
第一步 | 设曲线f(x)的切点A(x1，f(x1)) | 设曲线g(x)的切点B(x2，g(x2)) |
求公切 线的斜率 | k＝f′(x1) | k＝g′(x2) |
写出并 整理切线 | y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)， 整理得 y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1) | y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 整理得 y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2) |
联立已 知条件 |
消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程) | |
变式1 已知直线l与曲线y＝ex，y＝2＋lnx都相切，则直线l的方程为____．
由公切线求参数的值或范围
例2 (1) 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则实数m＝____．
(2) 已知曲线y＝lnx与y＝ax2(a＞0)有公切线，则实数a的取值范围为____．
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．求解策略：
(1) 合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等关系式求解；
(2) 构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的
取值范围；
(3) 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
变式2 (2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝____．
配套热练
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝
，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，则a的值为( )
A．
B．e2
C．e D．2e
2．(2024·江门期末)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1有且仅有一个公共点，则实数a的值是( )
A．－8 B．0
C．0或8 D．8
3．若直线l与曲线y＝ex相切，切点为M(x1，y1)，与曲线y＝(x＋3)2也相切，切点为N(x2，y2)，则2x1－x2的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
4．(2024·金华三模)若存在直线与曲线f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a都相切，则a的取值范围为( )
A．[－1，＋∞) B．
C．
D．
二、填空题
5．(2024·上海三模)设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos
＋c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切线，则ba＋c的值为____．
6．若曲线y＝m＋ln x过点(－2,0)的切线也是曲线y＝ex的切线，则m＝
____．
7．(2024·聊城三模节选)已知函数f(x)＝
ax2＋x，g(x)＝lnx．若曲线y＝f(x)与y＝g(x)有一条斜率为2的公切线，则实数a的值为____．
8．(2016·全国Ⅱ卷理改)若直线y＝kx＋b是曲线 y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则k＝____．
9．(2024·新余期末)若函数f(x)＝x2－1与g(x)＝alnx－1的图象存在公切线，则实数a的最大值为____．
10． 若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则实数t的取值范围为____．