导数的几何意义和四则运算专项训练-2026届高三数学一轮复习

导数的几何意义和四则运算 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．若f(x)＝2x，则 ＝(　　) A．1 B．－1 C．ln 2 D．－ln 2 2．(2024·湖北八市联考)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f′(x)，则f′(－1)＝(　　) A．－ B． C．－2 D．2 3．(2024·邯郸四调)设函数f(x)＝x＋的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为(　　) A．y＝－x B．y＝－x－1 C．y＝0 D．y＝x－1 4．已知函数f(x)＝ln x－x2，直线l：x＋y－4＝0，若直线x－y＋m＝0与f(x)的图象交于点A，与直线l交于点B，则A，B之间的最短距离是(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 二、多项选择题 5．(2025·镇江期初)下列求导运算正确的是(　　) A．(e3x)′＝3ex B．′＝x C．(2sin x－3)′＝2cos x D．′＝ 6．过x轴上一点P(t，0)作曲线C：y＝(x＋3)ex的切线，若这样的切线不存在，则整数t的可能取值为(　　) A．－4 B．－5 C．－6 D．－7 7．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 三、填空题 8．已知函数f(x)满足f(x)＝f′sin x－cos x，则f′＝____． 9．(2024·衡阳二联)曲线f(x)＝x ln (2x－1)＋在点(1，f(1))处的切线方程为____． 10．(2022·新高考Ⅱ卷)写出曲线y＝ln |x|过坐标原点的切线方程：__． 四、解答题 11．(2020·北京卷)已知函数f(x)＝12－x2． (1) 求曲线y＝f(x)的斜率等于－2的切线方程； (2) 设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 12．(1) (2024·益阳4月检测节选)已知a，b为正实数，构造函数f(x)＝．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(ax－b)，求a＋b的值． (2) 设函数f(x)＝(x－a)2＋4(ln x－a)2，其中x＞0，a∈R．若存在正数x0，使得f(x0)≤成立，求实数a的值． B组　滚动小练 13．(2025·肇庆期初联考)若a＝0.30.4，b＝0.40.3，c＝2log83，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 14．(2024·湛江期初摸底)若函数f(x)＝lg 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____． 15．已知函数f(x)＝x2－mx－2． (1) 若m＞0且f(x)的最小值为－3，求不等式f(x)＜1的解集； (2) 当x2≤1时，不等式f(x)－2x＜0恒成立，求实数m的取值范围． 导数的几何意义和四则运算 1. D　【解析】 由f(x)＝2x，得f′(x)＝2x ln 2，所以 ＝－f′(1)＝－×2ln 2＝－ln 2. 2. A　【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，两边求导，可得f′(x)＝－f′(－x).又f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－. 3. C　【解析】 令x＋＝0，即x(x＋2)＋1＝0，即(x＋1)2＝0，解得x＝－1，故P(－1，0).f′(x)＝1－，则f′(－1)＝1－＝0，则该曲线在点P处的切线方程为y－f(－1)＝f′(－1)(x＋1)，即y＝0. 4. A　【解析】 因为直线x－y＋m＝0的斜率为1，直线l：x＋y－4＝0的斜率为－1，所以两直线垂直，所以函数f(x)图象上的点A到直线l的最短距离，即为A，B之间的最短距离．由题意可得f′(x)＝－2x，x>0.令f′(x)＝－2x＝－1，解得x＝1.因为f(1)＝－1，取点A(1，－1)，所以点A到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2，则A，B之间的最短距离是2. 5. CD　【解析】 对于A，(e3x)′＝e3x·(3x)′＝3e3x，故A错误；对于B，′＝＝＝，故B错误；对于C，(2sin x－3)′＝2cos x，故C正确；对于D，′＝·′＝·＝，故D正确． 6. ABC　【解析】 设切点为(x0，(x0＋3)ex0)，因为y′＝(x＋4)ex，所以切线方程为y－(x0＋3)ex0＝(x0＋4)ex0(x－x0).因为切线l经过点P，所以－(x0＋3)ex0＝(x0＋4)ex0(t－x0).由题意知，关于x0的方程x－(t－3)x0－4t－3＝0没有实数解，则Δ＝(t－3)2＋4(4t＋3)<0，解得－7<t<－3.因为t为整数，所以t的取值有－6，－5，－4. 7. AC　【解析】 由题意知f′(x)＝ex.对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为(x0，ex0)，由f′(x)＝ex，得切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，又切线过点(0，1)，所以1－ex0＝－ex0·x0，则ex0＝，易知ex0＝有且仅有一解为x0＝0，所以切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，所以过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故C正确；对于D，设切点为(x0，ex0)，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0).因为点(0，0)在切线上，所以ex0＝x0ex0，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条，故D错误． 8. ＋1　【解析】 因为f(x)＝f′sin x－cos x，所以f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′cos ＋sin ，解得f′＝＋1. 9. 7x－4y－5＝0　【解析】 因为f(x)＝x ln (2x－1)＋，则f(1)＝1×ln 1＋＝，所以切点为，且f′(x)＝ln (2x－1)＋－，则f′(1)＝ln 1＋－＝，由直线的点斜式可得切线方程为y－＝(x－1)，化简可得7x－4y－5＝0. 10. y＝，y＝－　【解析】 当x>0时，在点(x1，ln x1)(x1>0)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，由该切线经过原点，得ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，在点(x2，ln (－x2))(x2<0)处的切线方程为y－ln (－x2)＝(x－x2)，由该切线经过原点，得ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 11. 【解答】 (1) 因为f(x)＝12－x2，所以f′(x)＝－2x，设切点为(x0，12－x)，则－2x0＝－2，即x0＝1，所以切点为(1，11).由点斜式可得切线方程为y－11＝－2(x－1)，即2x＋y－13＝0. (2) 显然t≠0.因为f(x)在点(t，12－t2)处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，令x＝0，得y＝t2＋12；令y＝0，得x＝，所以S(t)＝·(t2＋12)·.不妨设t>0(t<0时结果一样)，则S(t)＝＝，所以S′(t)＝＝＝＝.由S′(t)>0，得t>2；由S′(t)<0，得0<t<2.所以S(t)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，S(t)取得极小值，也是最小值，为S(2)＝＝32. 12. 【解答】 (1) 因为f(x)＝，所以f′(x)＝.因为f′(1)＝＝，f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(x－1)＝·x－，则由题意可知解得a＝b＝1(负值舍去)，所以a＋b＝2. (2) 函数f(x)可以看作是动点M(x，2ln x)与动点N(a，2a)之间距离的平方，如图，动点M在函数y＝2ln x的图象上，N在直线y＝2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离．由y＝2ln x得y′＝，令＝2，解得x＝1，即曲线上斜率为2的切线的切点为(1，0)，所以曲线上点M(1，0)到直线y＝2x的距离d＝，则f(x)≥.根据题意，要使f(x0)≤成立，则f(x0)＝，此时N恰好为垂足．由kMN＝＝－，解得a＝. (第12题(2)) 13. C　【解析】 因为y＝0.3x在定义域上单调递减，所以a＝0.30.4<0.30.3.又y＝x0.3在区间(0，＋∞)上单调递增，所以0.30.3<0.40.3＝b<1，则a<b<1.又c＝2log83＝log89>1，所以c>b>a. 14. 　【解析】 由复合函数单调性“同增异减”原则，得函数y＝x2－ax＋在(1，＋∞)上单调递增，且y>0在(1，＋∞)上恒成立．因为二次函数y＝x2－ax＋的对称轴为x＝，所以解得 a≤. 15. 【解答】 (1) 因为f(x)的图象是对称轴为x＝，开口向上的抛物线，所以f(x)min＝f＝－－2＝－－2＝－3，且m>0，解得m＝2，所以f(x)＝x2－2x－2.由f(x)<1，得x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3，因此，不等式f(x)<1的解集为(－1，3). (2) 由x2≤1，得－1≤x≤1，设函数g(x)＝f(x)－2x＝x2－(m＋2)x－2.因为函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，要使当x2≤1时，不等式f(x)－2x<0恒成立，即g(x)<0在[－1，1]上恒成立，则可得解得－3<m<－1，所以实数m的取值范围是(－3，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $