重难点04 与全等三角形有关的热考模型（7大类型21种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦全等三角形热考模型，覆盖平移、对称、旋转等7大类型21种题型，按“基础模型-综合模型-辅助线构建”递进架构，设计“考点深挖-方法归纳-真题演练”教学环节，帮助学生系统突破中考难点。 亮点在于“真题驱动+分层建模”策略，如手拉手模型通过2025年江苏中考题演示“模型识别-全等证明-结论应用”，培养抽象能力与推理意识。设“基础过关+创新拓展”分层练习，配合即时反馈，教师可精准把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力。

第四章 三角形 重难点04 与全等三角形有关的热考模型 （7大类型21种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 162 固·重难考点 拓·创新能力 题型01 全等基础模型（基础） 类型一 平移型 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，因为平移得，则，即可作答． 【详解】解：∵沿直线向右平移，得到， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 类型二 对称型 1．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，A．由对称的性质得，由 等腰三角形的性质得，，即可判断；B．不一定等于，即可判断；C．由对称的性质得，由全等三 角形的性质即可判断；D．过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断． 【详解】解：、∵， ∴， 由对称得， ∵，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、∵由已知不能证明出一定等于， ∴不一定等于，结论错误，故符合题意； 、由对称得：， ∴，， ∵，分别是底边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，结论正确，故不符合题意； 、如图，过点作， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∴， 同理可证，， ∴，结论正确，故不符合题意， 故选：． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）小明用五个等腰三角形设计了一个“金鱼”风筝骨架的平面图案，如图．其中，且整个图形关于直线l对称，下列推断错误的是（    ） A． B． C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，轴对称的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据全等三角形的性质，轴对称的性质，得，，再运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，以及结合四边相等的四边形是菱形进行分析，作答即可． 【详解】解：∵，且整个图形关于直线l对称， ∴，， 故A和B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； ∵ ∴ ∵整个图形关于直线l对称， ∴ 故四边形是菱形， 故C选项符合题意； 故选：C 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 类型三 旋转型 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转性质可知，故有，，再通过平行线的性质得出，又，则，最后由三角形内角和定理即可求出旋转角． 【详解】解：由旋转性质可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即旋转角为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点A作交于点F，设，则，勾股定理求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点F ∵，， 设，则 ∴ ∴ 解得 ∴ ∵将绕着点旋转得到 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴，即 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 题型02 手拉手模型（基础+提高） 类型一 等腰手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键． 2．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型． 如图①，和中，，，且，连接，． 请找出图中的一对全等三角形：________． 【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若 求的长． 某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程： 如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 …… 请将上述过程补充完整． 【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________． 【答案】[模型提出] ；[模型构造]，过程见解析；[模型应用] 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，理解手拉手模型原理，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． [模型提出]先证明，再证明可得结论； [模型构造]补充得到,，即，利用勾股定理求得； [模型应用] 连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，，，，进而可得，，证明，得到，利用锐角三角函数值和等腰三角形的判定证明，，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】[模型提出] 解：∵， ∴， ∴，又，， ∴， 故答案为：； [模型构造] 解：如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点． 又 ，又，，， ∴,， ∴，又， ∴， 即； [模型应用] 解：连接， ∵以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴． 类型二 等腰直角手拉手模型 3．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)一致；理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 4．（2024·甘肃兰州·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ．     （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．    ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ．   （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ．    如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 类型三 等边手拉手模型 6．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（） ，理由见解析； ，理由见解析；（）或． 【分析】（） ．证明可得，即得，进而可得； ．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（） ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 7．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， ，， ∴， 在和中， ， ， ， ； （3）如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 类型四 正方形手拉手模型 8．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，F是正方形外一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，M是延长线上一点，连接，F是边上一点，连接交于点N，使得，连接，将绕点F逆时针旋转得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，F是等边三角形外一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，连接，．当，时，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据正方形的性质得，以及旋转性质得，故，证明，即可作答． （2）作交于点Q，先证明，再结合，，得，证明，即可证明为等腰直角三角形．故．因为，证明四边形为平行四边形，即可作答． （3）过点F作交延长线于点M，运用等边三角形的性质以及旋转的性质，证明，则，因为，．所以，，再在中，，运用三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】证明：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵F是正方形外一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接 ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图1，作交于点Q， 则， 由正方形性质，得 在和中， ， ∴ ∴ ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形． ∵是由绕点F旋转得到的， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． （3）如图2，过点F作交延长线于点M， ∵是等边三角形， ∴，． ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，， ∴． ∵，． ∴，， ∴． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，解直角三角形的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．（2024·广东佛山·三模）如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形为正方形，证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合，，即可四边形的形状； （3）根据为直角三角形，可分两种情况讨论，当时，过点G作于点N，先证明四边形为正方形，再求，即得答案；当时，点G与点F重合，分别求出和的面积，即得答案． 【详解】（1）线段绕点A逆时针方向旋转后得到， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）四边形为正方形；理由如下： 点E，F分别是边，的中点， ，， ，点G为线段的中点 ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形为正方形； （3）分两种情况讨论： 当时，如图，过点G作于点N， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 四边形的面积为； 当时，如图，点G与点F重合， 此时，， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ，， 四边形的面积为； 综上说述，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握掌握相关判定与性质，用分类讨论思想来解题是解答本题的关键． 类型五 构建手拉手模型 11．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】 （2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】 （3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或15° 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线． （1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解； （2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出． 【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，   ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）（1）中结论成立． 理由：将线段绕点逆时针旋转得线段． 如图1所示，连接，．    ∵ 为等腰直角三角形， ∴，． 由旋转性质可知为等腰直角三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ； 在中，且 （3）如图所示，当点D在上时，    同理可得：，，，， ∴在中， ∴． ∵， ∴； 如图3所示，当点在延长线上时，，，    ∴． 综上所述，的度数为或． 12．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 13．（2024·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，求证：． 【模型应用】 （2）如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3），理由见解析； 【分析】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论． （1）利用可证明，继而得出结论； （2）也可以通过证明，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出，从而判定，得到，根据，，得到，从而判定，得出结论． 【详解】证明：（1）、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）结论仍成立； 理由如下：、是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （3）； 理由如下：，， ∴， 又∵， ， ∴， ， 又，， ， ， ， ∵，， ∴； 14．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）．理由见解析；（2）；（3）的长为或 【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案； （2）由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题． （3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）连接， ∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到，连接．则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）过E作，则为等边三角形． ①当点D在H左侧时，如图1， ∵， ∴， ∴， 此时不可能为直角三角形． ②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2， 同理可得∴， ∴， 此时只有有可能为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． ③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3，此时只有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：的长为或． 题型03 一线三等角模型（基础+提高） 类型一 一线三等角模型 1．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）2；（3） 【分析】（1）利用等边三角形的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质解答即可； （2）先证明为等边三角形，进一步得到，是直角三角形，则，再证得，则，得到答案； （3）在上截取，连接，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：2； （3）解：在上截取，连接，如图3，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 类型二 一线三垂直模型 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]；[模型应用]；[深入探究]见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中， 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 类型三 构建一线三垂直模型 1．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】 （1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离； 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积； 【答案】（1），理由见解析（2）（3）8 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直的全等模型是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图1，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 即点到的距离为． （3）如图2，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴的面积为． 2．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 类型四 一线三垂直模型与函数综合 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 2．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 3．（2025·河北廊坊·一模）【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标是______； （3）如图3，直线分别交轴、轴于点A、B．点的坐标为，点为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等证明，再证； （2）同（1）可证，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）过点D作轴，过点E作轴，设，则，，同（1）可证，用含t的式子表示出点E的坐标，再用含t的二次函数表示出，将二次函数化为顶点式，即可求出的最小值． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）解：点的坐标为， ，， 同（1）可证， ，， 点的坐标是， 故答案为：； （3）过点D作轴，过点E作轴， 设，则，， 轴，轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，二次函数的应用，勾股定理等，第3问有一定难度，用二次函数表示出的值是解题的关键． 4．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： (1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合        B．统计思想        C．分类讨论        D．转化思想 (2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． (3)直接写出“情况二”中的坐标 ； (4)请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 【答案】(1) (2) (3) (4)，，所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角 【分析】（1）根据题意可知运用了数形结合和分类讨论的思想； （2）设，利用勾股定理分别表示出，进而利用勾股定理建立方程求解即可； （3）（4）仿照（2）利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是数形结合和分类讨论的思想， 故选； （2）解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （4）解：设， 同（2）得，，， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 同理可得； ∵直径所对的圆周角是直角， ∴当点C在以为直径的圆上时，一定有， ∴所依据的定理为：直径所对的圆周角是直角． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，利用两点距离公式建立方程求解是解题的关键． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过作于，证明得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴于，过点作于，证明．分两种情况，由全等三角形的性质得，，可得点的坐标，将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，由，解得， 点坐标为：点坐标为； 故答案为：，． ②在图中，过作于， ， ， ， ， 点坐标为，点坐标为， ， ， ， ， 在中，； 是正比例函数图象上的两个动点， 根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）在图2中，过作交直线于，过作轴于， 则， ， ， 直线绕点逆时针旋转得到直线， ， 是等腰直角三角形，则， ， ，， 一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点 当时，，当时，由得， ，， ，， ，， ， 设直线对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， 直线对应的函数表达式为； （3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作，交延长线于， ， ， ， ， ， 又， ． ，， ， 点的坐标为， 将点的坐标代入得，， 解得：， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 题型04 角平分线模型（基础） 类型一 垂两边 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，解直角三角形等知识点．由作图可知，平分，求得，，解直角三角形即可求解． 【详解】解：作于点，则点D到的距离为的长， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)图见解析；不成立，，证明见解析 (3) 或． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：不成立，，证明如下： 如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3）解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 3．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作于点，由， 平分，得到，，推出，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，证明，得到，推出，求出． 【详解】（1）证明：过点作于点， ，垂足为，且平分， ，， ， ， ， ，即， 平分； （2）解：由（1）知， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，平分，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与、两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比，请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图 痕迹，不写作法，不下结论）， （2）证明：， ① 又，平分， ② ， ③ 小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图-作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定和性质和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线作法，作图即可； （2）根据推理过程，结合角平分线的性质填空即可； 根据命题写出已知，求证，然后根据角平分线的性质得出，进而将面积之比转化为相应边的比，即可求解． 【详解】解：（1）如图，即为所求， ； （2）证明：， ， 又，平分， ， ， ． 已知：在中，是的内角平分线， 求证：． 证明：过点D作于E，于F，如图， 是的角平分线， ， ． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）4；（2）；（3）4或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的定义、性质与判定，四点共圆的判定，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，能结合图形做出适当的辅助线，能推出四点共圆是解题的关键； （1）过点P作于D，交延长线于点E，先确定的最小值为，再利用矩形的判定与性质，勾股定理求解； （2）先利用角平分线的定义和三角形的外角知识推出，再利用角平分线的性质和判定，推出平分，再求解即可； （3）根据为等腰三角形时，分或或讨论，利用，，推出四点共圆，再利用圆周角定理，勾股定理求解，综合可得结果； 【详解】（1）如图①，过点P作于D，交延长线于点E， 则， ， 当A与E重合，C与D重合时，有最小值； ， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， 由勾股定理得， ，解得， ， 的最小值为4． （2）平分， ， 平分， ， 又，， ， ， ， 如图2，过点P作于E，于F，交延长线于G， 平分， ， 同理可证， ， 平分， ，， ． （3）当为等腰三角形时，或或， 点O在上，， 当时，如图③， 平分，， ， 又， 四点共圆， ， ， ， ， ， ； 当时，如图④，过点A作于M， 同理可证四点共圆， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， 在中，， ， ， ， 由解得， ， 综上可知，线段的长为4或． 类型二 垂中间 1．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°，根据全等三角形的性质得到BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE，推出AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到∠CAF＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AE交BC于F，如图所示： ∵BD为∠ABC的平分线，AE⊥BD， ∴∠ABE＝∠FBE，∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△ABE与△FBE中，， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴BF＝AB＝5，AE＝EF＝3，∠BAE＝∠BFE， ∴AF＝AE+EF=6， ∵BC＝11， ∴CF＝BC-BF=6， ∴AF＝CF， ∴∠CAF＝∠C， ∵∠AFB＝∠CAF＋∠C＝2∠C， ∴∠BAE＝2∠C，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先证明得出，，根据三角形中位线定理得出，分别在，中利用勾股定理求出，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，正方形的边长为4， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 3．在中，是的平分线，，垂足是．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）延长AD交BC于E．证明△BDA≌△BDE（ASA）即可解决问题； （2）求出∠AEC，再利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，延长交于． ， ；， 在△BDA和△BDE中， ， （ASA）， ，， ， ；    （2），， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明 ，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形 （2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据 ，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证 【详解】（1）证明：延长CE交AB于点G ∵AECE ∴ 在和 ∴ ∴GE=EC ∵BD=CD ∴DE为的中位线 ∴DEAB ∵DE=BF ∴四边形BDEF是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点 ∴BF=DE=BG ∵ ∴AG=AC BF=（AB-AG）=（AB-AC）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则 ． (1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：． ②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点作交于点． 已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3)平方米． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）结合垂线和角平分线的定义证明全等即可； （2）①延长交于点，先证明，得到，，再根据等角对等边得到，即可证明结论； ②结合①结论，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）延长交于点，同理可证，，得到，米，根据等高三角形，得到米，从而得出平方米，即可求出划出的的面积． 【详解】（1）解：平分， ，， 又， ， 故答案为：； （2）解：①如图，延长交于点， 平分，， ，， 又， ， ，， ， ， ， ； ②由①可知，， ， ， ； （3）解：①如图，延长交于点， 同理可证，， ，米， 和是等高三角形，米， ， 面积为20平方米， 平方米， 平方米， 答：划出的的面积为平方米． 类型三 截两边 1．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中， ，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又 ， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又 ， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又 ， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，“等补四边形”的概念，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（24-25九年级下·河南信阳·开学考试）下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 ， (填序号)． ①；②；③；④；⑤． (2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长． 【答案】(1)④，① (2)，见解析 (3)15或12 【分析】（1）结合尺规作图的方法，结合三角形的判定定理，即可获得答案； （2）过点分别作的垂线，垂足依次为，证明，由全等三角形的性质即可获得答案； （3）在上截取，连接，分别证明，，并结合三角函数以及勾股定理可得，；分、和三种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是，． 故答案为：④，①； （2），理由如下： 过点分别作的垂线，垂足依次为，如图1， ∵， ∴， ∵是的两条角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，如图3，4所示， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，， 分情况讨论：①若，则， ∴，这与矛盾，故； ②若，则，过点作于点，如图3所示， 在中，， 设，，则，， ∴， ∴； ③若时，则， 过点作，交的延长线于点，如图4所示， 在中，， 设，，则，， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为15或12． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形函数、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 类型四 对角互补 1．（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】 用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】 兴趣小组提出猜想： 有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】 兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】 在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形的面积． 【答案】验证猜想：见解析；拓展应用：（1）45；（2）450平方厘米 【分析】[验证猜想] 思路一证明：如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，证明，则，根据角平分线判定得到点在平分线上，则平分；思路二证明：如图，延长到点，使得，连接，证明，则，那么，则，故，则平分； [拓展应用]（）直接利用[验证猜想]即可求解；（）过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点，由猜想可知平分，然后根据角平分线性质可得，证明，则有，然后得出四边形是正方形，故有，最后代入求解即可． 【详解】[验证猜想]思路一证明： 如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为， 证明：由题意得 ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分； 思路二证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∴ 平分； [拓展应用]（）∵，， ∴由猜想可知：平分， ∴， 故答案为：； （）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点， ∵在四边形中，，， 由猜想可知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 四边形是正方形， ∴ 设，则由勾股定理得，， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 3．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）过点A作于点M，于点N，证明，易得，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）结合三角形面积公式易得，然后由求解即可； （3）证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值并求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点M，于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点 M，于点 N， ∴平分； （2）由（1）可知：平分，， ∴， ； （3）∵ 四边形是奇异四边形，， 又∵， ∵平分， ， 由（1）知，平分， ， ∴， 又∵， ∴， ， ∵，即 ， 解得 或（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了新定义“奇异四边形”、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 类型五 平行平分出等腰 1．（2025·浙江湖州·一模）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形． 小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小明：小华，你的作法有问题． 小华：真的吗？让我们仔细想一想．      (1)证明：小明所作的是等腰三角形； (2)小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例． 【答案】(1)详见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质得出，由等角对等边可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即可得出是等腰三角形． （2）设以P为圆心，为半径作弧，交于点，，过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，证明，由全等三角形的性质得出，再根据已知条件和三角形外角的定义和性质得出为等腰三角形．进而根据等腰三角形的性质得出，即可得出为等腰三角形． 【详解】（1）证明：因为点P在的平分线上，， 所以， 所以． 因为，，， 所以． 所以， 所以， 即是等腰三角形． （2）解：小华的作法没有问题，理由如下： 设以P为圆心，为半径作弧，交于点，， 过点P分别作，的垂线，垂足分别为E，F，则有，    因为， 所以， 所以， 由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因为， 所以， 所以， 所以为等腰三角形． 因此，小华的作法没有问题． 【点睛】本题主要考查了基本作图，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 2．（2025·福建福州·模拟预测）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． (1)连接，根据作图痕迹，请说明平分． (2)如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）证明：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分； （2）图形如图2所示： ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 3．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 题型05 作辅助线构建全等三角形（提高） 类型一 倍长中线模型 1．（2025·甘肃金昌·三模）【模型建立】 （1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】 （2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围； （2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到； （3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明，即可得到，进而通过线段的和差关系得到． 【详解】（1）延长到点，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， 在中， ， ∴，即， ∴； （2）证明：延长到点使，连接， 由（1）知， ∴， ， ， ， ， ， ， ， （3）， 延长到，使，连接， ， ， ， ， ， 点在一条直线上， ， ∴， ∴在和中， ，，， ∴ ， ∵， ． 【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键． 2．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①延长交于H，可证明，得到，则可证明，得到，则； ②如图所示，延长交于M，由平行四边形的性质得到，，证明，，得到，，则；设，则，，进而可得，即可得到；可证明，，设，则，则，据此可得答案； （2）延长交于M，由平行四边形的性质可得，，证明，，再证明，得到，求出，设，则由相似三角形的性质可得，，进而可得；再由，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设，则， ∴， ∴； （2）解；如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 3．（2025·安徽淮南·一模）在中，，D为上一点，E为上一点，过点A作，垂足为点F，交于点G，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，D为的中点． （i）求证：； （ii）若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明结合垂直的定义可推出结论； （2）（i）证明，得出，，，再证明，得出，可推出结论； （ii）证明，可推出结果． 【详解】（1）解：，，，， ． ， ， ， ，即， ； （2）（ⅰ）解：过点B作交CD的延长线于点H． D是AB的中点，， ， ，． ，，， ， ，，， ，， ， ， ， ； （ⅱ）解：由（ⅰ）知． ，， ， ． 由（ⅰ）知， ， ， ， ． 4．（2025·山东菏泽·三模）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（2），证明见解析（3），证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （2）延长至点，使，连接，，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（2）， 证明：延长至点，使，连接，，如图所示． 同（1）得：， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得： ， ． （3）． 证明：如图，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 类型二 截长补短模型 1．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】9；【问题拓展】 【分析】问题探究：在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； 问题解决：过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用【问题探究】的结论解答即可得出结论； 问题拓展：延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】问题探究：证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 问题解决：解：过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由【问题探究】知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 2．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则， ， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】 （2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 （3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）>；（2）见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质、等边对等角．相似三角形的判定和性质，“截长补短”或通过轴对称构造全等三角形，是将未知转化成可用已有知识求解的常见策略． （1）在内作，交于点，根据等角对等边可得，由三角形两边之和大于第三边即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，可得，由等角对等边易得，即可得，再证明，可得，由此证明结论． （3）由已知易得，设相似比为，可得，，，通过求差法比较和的大小即可 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）如图3，延长到点，使，连接， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， 设与相似比为， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 即 3．（2024·广西贺州·一模）阅读与思考 下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 如图1，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，．请说明线段，，之间的数量关系． 下面是该问题的部分解答过程： 解：．理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 如图2，过点A作交于点M， …． 任务： (1)补全解答过程； (2)如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据圆周角相等，，，继而得到，，结合，得到，从而证明，得到，解答即可． （2）过点A作交于点N，利用圆的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 如图，过点A作交于点M， 根据圆周角定理得，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． （2）．理由如下： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． 如图，过点A作交于点N，根据圆周角定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）先证明，过作，交于点，证明，根据等角对等边得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分， ∴， 在和中， ，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在上取，连接， ∵于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 过作，交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴ ，，， 而， ， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， 即． 题型06 角含半角模型（提高） 类型一 90°半角模型 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，构造全等三角形，得出，，再证明，得到；在中由勾股定理得，即，整理可得结论；选③方法同② 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵ ∴是等边三角形， ∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， ； ∵ ∴， ∴ ， ∴， 在中,可得： 即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，   ，， ， 又 即 又， ， 在中，， ， ， 在中,可得： 即 整理得 3．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到 ． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）①；②；（4） 【分析】（1）①根据旋转得到，，根据勾股定理计算即可； ②同①可得答案； （2）将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交延长线于G，证明，得到，根据三角函数得到，，由勾股定理列出等式计算即可； （3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G，证明，得到，根据三角函数得到，，则，由勾股定理列出等式计算即可； ②同①可得答案； （4）作交于M，交于N，交于H，根据三角函数得到，， ，根据等面积法计算即可. 【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰， ∴，,, ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：5； ②同①可知， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得 ∴ 整理得 故答案为：； （3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴ 由勾股定理可得 ∴ 故答案为：； ②同①可得，，，， ∵ ∴ 整理得 故答案为：； （4）如图，作交于M，交于N，交于H， 由（3）可知，， 由题意可知， ∴，， ∴， 解得 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 4．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【分析】（1）①先根据正方形的性质得出，再根据旋转的性质得出，，，，然后证明，根据全等三角形性质与线段的和差得到结论成立；②先根据勾股定理求得，再求得，从而可求得，再求出正方形的边长，从而可求得正方形的周长； （2）将绕点B逆时针旋转得，连接，先由旋转性质可得：，根据全等三角形的性质可得，，，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再根据平行线的性质可得，进而可证明，再利用勾股定理可求解； （3）先利用正方形的性质，结合，可得同H为中点，是等腰直角三角形，从而可得，再根据中位线定理可得，，从而可说明是等腰直角三角形，再根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，于是就有，进而求得，再证明，列出比例式，求得的值． 【详解】（1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，，，， ∴，， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为； （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形综合应用，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形三边的关系，勾股定理及应用等知识，解题关键是掌握全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质． 类型二 120°半角模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【答案】（1）； （2）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （3）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （4） 米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． （1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长． 【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （4） 如图，连接，延长交的延长线于， 同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处， ，， 指挥中心观测两同学视线之间的夹角为， ， ． 两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进， ，， ， 符合第（3）问中的条件， 由第（3）问中的结论可得：， 根据题意得，（米）， （米）， （米）． 答：此时两同学之间的距离为米． 2．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】 （1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键： （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取.连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点A逆时针旋转得，由旋转的性质得点E、D、C共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题. 【详解】（1）.证明如下： 由旋转，可知：，，，. ∴点E、B、C共线， ∵， ∴. 在和中， ， ∴. ∴， ∵， ∴； （2）.证明如下： 在上取.连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴. 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴， ∴， ∴点E、D、C共线， 由（1）同理可得， ∴， ∴. 题型07 婆罗摩笈多模型（提高） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012.5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为1012.5． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）是， 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角，等角对等边，勾股定理，“弧，弦，圆心角”之间的关系，求扇形面积， 对于（1），先根据婆氏四边形的定义得，再根据可得 “同弧所对的圆周角”，然后根据“等角对等边”得，则此题可证； （2）作直径，连接，先根据“弧，弦之间的关系”得，再根据勾股定理得，则此题可证； 对于（3），由（2）得，再表示出，求出比值即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是的婆氏四边形， ∴， ∴， 即. ∵， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 则点F是的中点； （2）证明：作直径，连接， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：是， 由（2）得， 则 ，， ∴为定值. 3．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可； ②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可； ③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键． 1．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 2．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 3．（2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过点C作于点S，于点E， 证明得，进而得出； （2）过点作于于于，根据角平分线的性质得出，进而得出则平分，在根据角的和差进行计算即可求解； （3）①过点C作于点E，易得，根据勾股定理可得：，由（1）同理可得：，则，进而得出，最后根据即可解答； ②过点C作于点E，易得，根据勾股定理可得：，由（1）同理可得：，进而得出，通过证明，即可解答． 【详解】（1）证明：过点C作于点S，于点E， ∵点为的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，； （2）解：如图，过点作于于于， 平分， ． ， ， ， ． 平分， ． ， ， 故答案为：． （3）解：①过点C作于点E， ∵，，， ∴， ， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， 由（1）同理可得：， ∴， ∴， ∴； ②过点C作于点E， ∵，，， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， 由（1）同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质，并灵活运用． 4．（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）证明即可证明； （2）过作轴于点，证明，即可得到，，再根据求解即可； （3）证明即可得到y与x的函数关系，然后根据关系式求最大值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）过作轴于点， ∵点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y， ∴，，， ∵以为直角边作等腰直角，使， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴y与x的函数关系为； （3）∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵现将沿直线折叠， ∴， ∵过点P作的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵，， ∴当时，为最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，二次函数最值，根据一线三垂直模型构造全等或相似是本题的关键． 5．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 【答案】(1)①证明见解析 ②为定值，该定值为 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、正方形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①过点P作、，根据四边形是正方形得到，证四边形是矩形，又得到，进而证明四边形是正方形，利用角度关系得到，证出，根据全等三角形的性质得到即可； ②过点P作、，根据①可得到，根据，证得并且，利用相似三角形的性质得到，最后进行面积转化得到定值即可； （2）过点P作、，连接，易证得，根据相似三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的性质，同理可得，进而得到，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ②过点P作、，如图所示： 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得，由，，可得，进而可得，，根据“边角边”可证； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，先求出，进而可得，在中，，根据（1）中的方法，同理可证明，得出，问题得证； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，可得是等边三角形，根据（1）中的方法可证明：，即，根据旋转的性质有，，再证，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解，，问题得解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∵，， ∴， 根据旋转的性质，可得：，， ∴， ∴在中，， 根据（1）中的方法，同理可证明， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）中的方法可证明：， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质等知识，合理作出相应的辅助线是解答本题的关键． 1．（21-22九年级上·山东青岛·期中）【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F． （1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN （6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）4；（4）3；（5）见解析；（6），证明见解析；（7）的大小不变，，理由见解析；（8） 【分析】（1）过点作，交于，交于,证明是等腰直角三角形，进而证明 ，即可证明； （2）过分别向作垂线，垂足分别为，证明四边形是正方形，证明 ，过作于,过作的延长线于点，设正方形的边长为，在中，求得，进而求得，证明 ，进而可得，由，可得 （3）①由（1）直接判断①；根据是等腰直角三角形，即可判断②；过作于,证明可得，进而判断；③过点作于点，延长至，使，证明，进而可得△CEH的周长为，即可判断④； （4）①由（1）直接判断①；过作,交分别为点，证明是等腰直角三角形，证明 ，进而可得，即可判断②；过作交于点,于，可得，由②可知，进而证明，可判断④，由于点的位置不确定，无法判断和的关系，即可判断③； （5）在上取，连接，证明 即可； （6）延长至点，使得，连接，过点作于点，证明，可得，进而证明 ，由，根据角度的等量换算可得，，进而可得； （7）过点作，且，连接交于点，连接，证明，可得，进而可得，进而证明四边形是平行四边形，根据平行线的性质，三角形的外角的性质可得，即 （8）过作，交于，交于，连接，证明，设则，，证明是等腰直角三角形，证明，在中，勾股定理求得，进而可得，过点作于点，证明，进而求得，进而求得，在中，勾股定理求得，进而求得，根据翻折的性质求得，根据四边形即可求得． 【详解】（1）若点F在线段BC上，,理由如下， 过点作，交于，交于, 四边形是正方形， ， 又 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形 在与中， （2）若点F在线段CB的延长线上，，理由如下， 过分别向作垂线，垂足分别为， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形 , 在与中 过作于,过作的延长线于点，如图， 四边形是正方形， ， 设正方形的边长为， 在中，， ， 在和中 ， 即 即 （3）如图 由（1）可得，故①正确， 是等腰直角三角形， 故②正确， 过作于, 又 故③正确， 如图，过点作于点，延长至，使， ， 即 △CEH的周长为 正方形的边长为4 △CEH的周长为 ． 故④正确， 综上所述，故正确的结论有①②③④，共计4个 故答案为：4 （4）如图4， 由（1）可得,故①正确； 如图，过作,交分别为点 四边形是正方形 四边形是矩形 同理，四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形 ， 四边形是矩形 在与中， 故②正确 如图，过作交于点,于 则四边形是矩形， 由②可知 ，，， ， ， ， 故④正确； 由于点的位置不确定，无法判断和的关系，故③不正确， 综上所述正确的结论由①②④，共计3个； 故答案为：3， （5）如图5，在上取，连接， 平分 ， 与中 （6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，，理由如下， 延长至点，使得，连接，过点作于点， ， 在与中， （7）的大小不变，，理由如下， 过点作，且，连接交于点，连接，如图， ， 又 四边形是平行四边形 即 （8）如图，过作，交于，交于，连接， 四边形是正方形， , 是等腰直角三角形， 设则， ， 是等腰直角三角形 ,是的中点 在中， 过点作于点，如图， ， 在中， 将△EFG沿EF翻折，得到△EFM， ， 四边形 故答案为： 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，添加辅助线，构造全等是解题的关键． 2．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 【答案】（1）SAS，；（2）；（3）①为等腰直角三角形，理由见解析；②4 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． （1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）解：延长至点，使得，连结，， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连结，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，， ∴同理可得， ∵， ∴，， 分别过，作，，，为垂足， ∴，， ， ∴设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 3．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论； （2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可； （3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点G，过点F作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 同理可得，即， 解得， ∴， 又∵O是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作于点P，作于点Q，设， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在射线上截取，在射线上截取， ∵是菱形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， 同理：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵O是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 重难点04 与全等三角形有关的热考模型 （7大类型21种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 41 固·重难考点 拓·创新能力 题型01 全等基础模型（基础） 类型一 平移型 1．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 类型二 对称型 1．（2025·辽宁·一模）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，，分别是底边，的中点，，下列推断错误的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州·模拟预测）小明用五个等腰三角形设计了一个“金鱼”风筝骨架的平面图案，如图．其中，且整个图形关于直线l对称，下列推断错误的是（    ） A． B． C．四边形是正方形 D．四边形是平行四边形 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 4．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 类型三 旋转型 1．（2025·江苏泰州·一模）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为 ． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 4．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 题型02 手拉手模型（基础+提高） 类型一 等腰手拉手模型 1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；     图1 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图2 2．（2025·吉林长春·二模）【模型提出】手拉手模型是初中几何中的一个重要基本模型，主要涉及两个顶角相等且共用顶角顶点的等腰三角形．通过连接对应的底角顶点，可以得到全等三角形，我们称其为手拉手全等模型． 如图①，和中，，，且，连接，． 请找出图中的一对全等三角形：________． 【模型构造】数学课上，王老师提出这样一道数学问题：如图②，在中，，，，以点A为顶点，以为腰作等腰三角形，若 求的长． 某学习小组构造手拉手全等模型，利用等腰三角形中的三线合一和直角三角形中的勾股定理等知识，求出线段长度．以下是这个学习小组解题的部分过程： 如图③，过点A在左侧作，且满足，连接， 则，所以． 又 过点A作于点．又 …… 请将上述过程补充完整． 【模型应用】如图④，中，，分别以和为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则________． 类型二 等腰直角手拉手模型 3．（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 4．（2024·甘肃兰州·模拟预测）【模型建立】（1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】（2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】（3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 类型三 等边手拉手模型 6．（2024·新疆·中考真题）【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】（）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 7．（24-25八年级上·河南商丘·期末）模型建立 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图①，已知，均为等边三角形，点D在边上，且不与点B，C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是_______． 模型应用 （2）如图②，已知，均为等边三角形，连接，，若，试证明； 模型迁移 （3）如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接，，．若，请求出的长． 类型四 正方形手拉手模型 8．（2025·甘肃·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，F是正方形外一点，将绕点C逆时针旋转得到，连接．求证：；【模型应用】（2）如图2，四边形是正方形，M是延长线上一点，连接，F是边上一点，连接交于点N，使得，连接，将绕点F逆时针旋转得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，F是等边三角形外一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上，连接，．当，时，求的面积． 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 10．（2024·广东佛山·三模）如图1，正方形中，，点E，F分别是边，的中点，连接，点G是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，． (1)求证：； (2)如图2，若，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若直线与直线交于点M，当为直角三角形时，求四边形的面积． 类型五 构建手拉手模型 11．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下： 图示 思路    将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______． 【类比分析】（2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程； 【拓展延伸】（3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．    12．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】（2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】（4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 13．（2024·甘肃陇南·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在等边中，点M是边上任意一点（不含端点B、C），连接，以为边作等边，连接，求证：． 【模型应用】 （2）如图 2，在等边中，点M是延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在等腰中，，，，点M是上的任意一点（不含端点B、C），连结，以为边作等腰，使顶角．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． 14．（2025·江西吉安·一模）综合与实践 【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）； 【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 题型03 一线三等角模型（基础+提高） 类型一 一线三等角模型 1．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）【模型建立】（1）如图1，在等边中，点、分别在、边上，，求证：； 【模型应用】（2）如图2，在中，，，于点，点在边上，，点在边上，，则的值为_________； 【模型拓展】（3）如图3，在钝角中，，点、分别在、边上，，若，，求的长．    2．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    类型二 一线三垂直模型 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 类型三 构建一线三垂直模型 1．（2025·甘肃定西·三模）【模型建立】（1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离； 【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积； 2．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 类型四 一线三垂直模型与函数综合 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 2．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 3．（2025·河北廊坊·一模）【模型呈现】 （1）如图1，中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点的坐标是______； （3）如图3，直线分别交轴、轴于点A、B．点的坐标为，点为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，请直接写出的最小值． 4．（2023·山西忻州·模拟预测）阅读与思考 如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务． 平面直角坐标系与直角三角形 x年×月ⅹ日星期三 原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论 口诀：“两线一圆” 作图：举例如下：已知，在直线上求点C，使得为直角三角形．以下分三种情况讨论： 情况一：当A为直角顶点时，过点A作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图①，有一个点； 情况二：当B为直角顶点时，过点B作的垂线l交直线于点C，则交点即为所求点C．如图②，有一个点； 情况三：当C为直角顶点时，以为直径作圆，则该圆与直线的交点即为所求点C．如图③，有，两个点； 方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似； 二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根； 三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点． 任务： (1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）； A．数形结合        B．统计思想        C．分类讨论        D．转化思想 (2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中的坐标． (3)直接写出“情况二”中的坐标 ； (4)请你写出在“情况三”中，确定、的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理（写出一个即可）． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期中）【模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为______；点坐标为______； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______； （2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； 【模型拓展】 （3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 题型04 角平分线模型（基础） 类型一 垂两边 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为 ． 2．（2025·河南·中考真题）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． (1)观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． (2)类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． (3)拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 3．（2025·内蒙古·二模）如图，在四边形中，，，平分，且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若的面积是，，求长． 4．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在中，，平分，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与、两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比，请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点D作的垂线，垂足为点H（保留作图 痕迹，不写作法，不下结论）， （2）证明：， ① 又，平分， ② ， ③ 小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 5．（2025·河南驻马店·模拟预测）定义：若四边形的一条对角线平分一个内角，我们将此对角线称为“唯美线”，这样的四边形称为“唯美四边形”，如图，四边形中，平分，则为四边形的“唯美线”．利用上述知识解答下列问题． [问题发现]（1）如图①，若，求的最小值； [深度探究]（2）如图②，连接对角线，若平分，且，求的度数； [拓展延伸]（3）若四边形为唯美四边形，，平分，与相交于点，则当为等腰三角形时，请直接写出线段的长． 类型二 垂中间 1．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，为的平分线，，垂足为，且，，，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 3．在中，是的平分线，，垂足是．    （1）求证：； （2）若，，求的度数． 4．如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则 ． (1)上述情境中证明三角形全等的依据是__________； (2)如图2，已知点为内一点，平分，， ①求证：． ②若，则的长为__________． (3)如图3，一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点作交于点． 已知米，米，面积为20平方米，求划出的的面积． 类型三 截两边 1．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中， ，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 2．（24-25九年级下·河南信阳·开学考试）下面是某数学兴趣小组“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的角平分线，在上截取，连接，则． 任务： (1)在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 ， (填序号)． ①；②；③；④；⑤． (2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在四边形中，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点，若，，当有一个内角是时，直接写出的长． 类型四 对角互补 1．（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】兴趣小组提出猜想：有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度； （2）经测量，求四边形的面积． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 3．（2025·江西新余·模拟预测）定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形． (1)如图1，四边形是奇异四边形， ，求证：平分； (2)如图1，四边形是奇异四边形， ，求四边形的面积； (3)如图2，四边形是奇异四边形， 外角的平分线交的延长线于点 E， 20，，求的长． 类型五 平行平分出等腰 1．（2025·浙江湖州·一模）如图1，，点P在的平分线上，交于点B．用尺规作图的方法在射线上确定一点C，使是等腰三角形． 小明：如图2，以点A圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小华：以P为圆心，为半径作弧，交于点C，连结，则是等腰三角形． 小明：小华，你的作法有问题． 小华：真的吗？让我们仔细想一想．      (1)证明：小明所作的是等腰三角形； (2)小华所作的一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例． 2．（2025·福建福州·模拟预测）尺规作图问题：如图1，已知点是的其中一边上一点，用尺规作图方法作，． (1)连接，根据作图痕迹，请说明平分． (2)如图2，用尺规作图法在上确定点（画出作图痕迹），使得，连接．求证：四边形是菱形． 3．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 题型05 作辅助线构建全等三角形（提高） 类型一 倍长中线模型 1．（2025·甘肃金昌·三模）【模型建立】 （1）如图1，是的中线，求的取值范围； 【模型应用】 （2）如图2，是的中线，点E在边上，连接交于点F，且．求证：； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，点E是的中点，连接，，且，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 2．（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． 3．（2025·安徽淮南·一模）在中，，D为上一点，E为上一点，过点A作，垂足为点F，交于点G，，． (1)如图1，求证：． (2)如图2，D为的中点． （i）求证：； （ii）若，，求的值． 4．（2025·山东菏泽·三模）（1）方法呈现：如图①：在中，若，，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； （2）探究应用： 如图②，在中，点是的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 类型二 截长补短模型 1．（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形，． 又，．． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 2．（2025·江苏南通·一模）综合与实践： 【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则， ， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． （1）如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【进阶思考】（2）如图3，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】（3）如图4，在中，D为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 3．（2024·广西贺州·一模）阅读与思考 下面是小王的数学改错本上的改错总结反思请仔细阅读，并完成相应的任务． 截长补短法 有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系．这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解，所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段长度与已知线段长度相等，然后证明其中的另一条线段与已知的另一条线段的数量关系，所谓“补短”，就是将一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的线段长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．有的是采取截长补短法后，使之构成某种特定的三角形进行求解…． 任务： (1)补全解答过程； (2)如图3，四边形是的内接四边形，连接，．是的直径，，则线段，，之间的数量关系式是______． 4．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】 （2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 题型06 角含半角模型（提高） 类型一 90°半角模型 1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下： 由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有． （2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 3．（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到 ． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 4．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． 【教学理解】（2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 类型二 120°半角模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）问题背景：（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸：（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸：（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用：（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 2．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】（1）如图1，四边形是正方形，点N，M分别在，边上，且，连接，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型应用】（2）如图2，四边形是正方形，点N，M分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】（3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边，上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 题型07 婆罗摩笈多模型（提高） 1．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ， ， ，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，求的值． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）【背景知识】对角线互相垂直的圆内接四边形，称为婆氏四边形．   注：婆氏（婆罗摩笈多 Brahmagupta，598-668年，印度数学家和天文学家） 【性质探究】 （1）婆氏定理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 即如图，四边形是的婆氏四边形，过点M作于E，延长交于F，求证：F为中点； （2）如图，在直径为d的中，弦互相垂直，垂足为M．  求证： 【性质运用】 （3）如图， 是圆中两条互相垂直的弦，交点为M，分别以为弦作直角扇形（即扇形的圆心角为），若此圆的面积为S，这四个直角扇形的面积之和为S1，是否为定值？若是，求出这个值；若否，请说明理由． 3．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 1．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 2．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 4．（2024·青海西宁·三模）类比探究题： 【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． 【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系． 【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______． 5．（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线． (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． 6．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 1．（21-22九年级上·山东青岛·期中）【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题． 【模型探究】 如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F． （1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系． 【模型应用】 （3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有 个． （4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②DE＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE+BF；正确的结论有 个． 【模型变式】 （5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN （6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明． 【拓展延伸】 （7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由． （8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是　 　． 2．（2025·河南南阳·一模）【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 3．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点． (1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：； (2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值； (3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长． 4．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $