精品解析：江西省南康中学2025-2026学年高一上学期第三次大考数学试题

南康中学2025～2026学年度第一学期高一第三次大考 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 设函数，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依据分段函数的解析式，将9代入计算函数值. 【详解】． 故选：C. 3. 以下可能是函数的图像的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析与1的大小关系判断即可. 【详解】因为，故为奇函数，排除B,D； 又，排除C. 故选：A 4. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 所以， 解得，当且仅当时，即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数单调性，直接比较，由中间值，比较即可. 【详解】由单调递增，可得， 由单调递减，可得， 则. 故选：B 6. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题是假命题得出全称命题为真，分和，再结合判别式计算求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题， 当时，符合题意； 当时，由题知，解得； 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ） （结果取整数，参考数据：，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 8. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 已知，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用抽象函数的定义域知识解决；对于B，函数图象左右平移值域不变；对于C，利用构造方程组法求函数解析式解决；对于D，利用复合函数的定义域知识解决. 【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数幂运算计算得解. 【详解】 . 故答案为： 13. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的对称轴为，函数在单调递增，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可． 【详解】为偶函数，则，则的对称轴为， 函数在单调递减，则函数在单调递增， 若，，且有， 则，即，， ∴ ， 当且仅当且，，即时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）或 （3）当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求得的解析式； （2）根据一元二次方程有解，，解出即可； （3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 设幂函数， 由点在幂函数的图象上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 时，， 由方程有解， 可得， 解得或； 【小问3详解】 由得 ，即 ， 所以， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为. 17. 高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①； ②； ③； （1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： （2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 【答案】（1）函数模型②满足要求， （2）第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元 【解析】 【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案； （2）根据即可求出的值，再分且和且两种情况分段讨论函数，从而可求得函数的最小值. 【小问1详解】 由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知，，，代入， 得，解得，，， 所以. 【小问2详解】 因为第10天的观看电影的人数为612人，所以，解得. 易知， 当且时，， 所以，当且仅当时等号成立. 当且时， ， 因为为减函数，所以. 综上知，第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元. 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 【答案】（1） 函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有， 又， 所以函数是奇函数. （2） 在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性， 所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可； （2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可； （3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由第（2）问知在上单调递减， 所以， 因为， 所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2），值域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值； （2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域； （3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2025～2026学年度第一学期高一第三次大考 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 3. 以下可能是函数的图像的为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ） （结果取整数，参考数据：，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 已知，则 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______． 13. 函数的单调减区间是_________． 14. 设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 17. 高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①； ②； ③； （1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： （2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $