精品解析：江苏省无锡市港下中学2025-2026学年上学期七年级数学12月月考试卷

初一数学自主练习试卷 亲爱的同学，祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之际，祝你取得好成绩！ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的意义、乘方、绝对值．解决本题的关键是根据乘方的定义、绝对值的定义、相反数的意义把各项中的数分别化简然后再判断． 【详解】解：A选项，根据在一个数的前面添加一个负号表示求这个数的相反数，可得，所以是正数，故A选项不符合题意； B选项：是小于的数，是负数，故B选项符合题意； C选项：根据乘方的定义可得，所以是正数，故C选项不符合题意； D选项：根据绝对值的定义可得，所以是正数，故D选项不符合题意． 故选：B． 2. 中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据115000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 下列各式运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，只有同类项才能合并，据此逐一求出答案即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，故A错误； B、，故B正确； C、与不是同类项，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 4. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 5. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（　　） A. 传 B. 统 C. 文 D. 化 【答案】C 【解析】 【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传”与面“化”相对． 故选：C． 【点睛】考点：正方体相对两个面上的文字． 6. 下列说法中，错误的是（　　） A. 过两点有且只有一条直线 B. 两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C. 两点之间，线段最短 D. 在线段、射线、直线中直线最长 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段，根据直线，射线，线段的定义和性质解答即可． 【详解】解：因为过两点有且只有一条直线，所以A正确； 因为两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，所以B正确； 因为两点之间，线段最短，所以C正确； 因为直线是向两方无限延伸的，没有长度，所以D错误； 故选：D． 7. 如图，在四边形中，下列推论正确的是（ ） A. ∵，∴ B. ∵，∴ C. ∵，∴ D. ∵，∴ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法中“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．根据题目中的图形位置，逐个分析选项中的同旁内角互补能否判定对应的两条直线平行，即可得出正确选项． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，无法推出或，故D选项错误． 故选：C． 8. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是：“每车坐人，空出来车；每车坐人，人没车坐，问人数与车数各为多少？”设车为辆，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设车为辆，根据人数不变，即可列出方程，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设车为辆， 依题意得，， 故选：． 10. 已知是的平分线，，平分，设，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若单项式与是同类项，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，根据相同字母的指数相同求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴． 故答案为：4． 12. 在中，非负整数有_________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负整数是大于等于的整数，据此求解即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，非负整数有，，，，共个， 故答案为：． 13. 已知，与互余，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了余角．两个角的和为90度，则这两个角互为余角，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知线段，延长线段至点，使得．若点是线段的中点，则线段_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差、与线段中点有关的计算，由题意得出，从而得出，再由点是线段的中点得出，最后由进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：线段，， ， ， 点是线段的中点， ， ， 故答案为：． 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设需要分钟追上，则速度快的人的路程等于速度慢的人的路程，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，设分钟追上， ∴， 解得，， ∴速度快的人追上速度慢的人需要分钟， 故答案为： ． 16. 如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是______． 【答案】##38度 【解析】 【分析】根据题意由平行线的性质可得，再由折叠的性质得即可得出的度数，再由平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠性质得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及图形的对称，熟练应用平行线的性质和图形对称的性质进行求解是解决本题的关键． 17. 七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又， ∴， 故答案为：． 18. 已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 【答案】##50度 【解析】 【分析】过G点作，过E点作．设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得 ，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作. ∵， ∴， 设，则． ∵平分， ∴． ∴． ∵, ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴． ∵, ∴ ∴, ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】作平行线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】该题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方和括号，再计算乘法，最后计算加法即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式化简求值，掌握化简法则及去括号时注意变号是解题的关键．将式子去括号，合并同类项，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 22. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． （1）过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； （2）在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； （3）点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 如图，即为所求， （3）、；，垂线段最短 【解析】 【分析】此题考查了作图−平行线；作图−垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-平行线，结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线，结合题意画图即可求解； （3）根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线段最短等即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图， 与互补的角是、， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴， ∴与互补的角是、， 由图可知，，理由垂线段最短． 故答案为：、；，垂线段最短． 23. 如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据得，进而得，则，再根据，得，据此可得出结论； （2）先由（1）的结论得，进而得，由此可得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ， 又， ， ， ， ． 24. 如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． （1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示） （2）若时，求该纸盒的体积； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了几何体的体积和表面积公式，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据纸盒的表面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积，计算即可； （2）根据长方体的公式解答即可； （3）如图由题意，，可推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意知：该纸盒的表面积为； 【小问2详解】 解：由题意知：该纸盒的体积为， 当时，， 该纸盒的体积为； 【小问3详解】 解：如图， 由题意得：， ， ， ． 25. 某学校为了丰富学生课后服务活动的多样性，计划购入A、B两种葫芦丝，某商店A种葫芦丝每支20元，B种葫芦丝每支30元，且购买A种葫芦丝的数量比B种葫芦丝的2倍还多10支，总花费为1950元． （1）求购买A种、B种葫芦丝的数量； （2）该商店在10月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折销售；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折销售；已知该学校在10月1日之前不是该商店的会员．请问购买葫芦丝的花费是多少元时，两种方案的优惠完后花费相同？ （3）若在（1）总花费不变的情况下，选择哪种方案购买合算？可以优惠多少？ 【答案】（1）购买A种葫芦丝的数量为支，购买B种葫芦丝的数量为支； （2）购买葫芦丝的花费是1120元时，两种方案的优惠完后花费相同； （3）选择方案一购买合算，可以优惠元． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数乘法和减法的应用，根据题意找出数量关系是解题关键． （1）设购买B种葫芦丝的数量为支，则购买A种葫芦丝的数量为支，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购买葫芦丝的花费是元，根据优惠方案列代数式，再根据优惠后花费相同列一元一次方程求解即可； （3）根据（2）所得函数关系式，分别求出两种方案优惠后的花费，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购买B种葫芦丝的数量为支，则购买A种葫芦丝的数量为支， 由题意得：， 解得：， 支， 答：购买A种葫芦丝的数量为支，购买B种葫芦丝的数量为支； 【小问2详解】 解：设购买葫芦丝的花费是元， 则按方案一购买的花费为；按方案二购买的花费为， 两种方案的优惠完后花费相同， ， 解得：， 即购买葫芦丝的花费是1120元时，两种方案的优惠完后花费相同； 【小问3详解】 解：若（1）总花费不变， 选择方案一优惠后花费为元， 选择方案二优惠后花费为元， ， 选择方案一购买合算， 元， 即选择方案一购买合算，可以优惠元． 26. 综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 【答案】，，15或82.5秒 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质以及解一元一次方程， 根据角平分的性质得，则，结合平行线的性质得，即可求得； 过点G作，则，有，结合即可； 求得灯光线第一次转到所用时间，在分三种情况：①当与相遇前，设灯的光线转动秒；②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前；③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达，灯光线到达后，分别求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 过点G作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∵灯光线转动速度是每秒，灯光线先转动30秒，在灯光线第一次转到之前， ∴，解得， ①当与相遇前，设灯的光线转动秒，两灯的光线，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； ②当与相遇后， 灯光线转动秒，未到达前， 灯光线未到达前，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 若时，灯光线转动角度为， 灯的光线转动角度为，此时两灯为相遇，故舍去； ③当与相遇后，灯的光线转动秒， 未到达前的光线，灯光线到达后，两灯的光线， 则，， ∵， ∴， ∴，则，解得； 故答案为：15或82.5秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学自主练习试卷 亲爱的同学，祝贺你完成了一个阶段的学习，现在是展示你的学习成果之际，祝你取得好成绩！ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国船舶自主品牌在国际上发挥引领作用，年初已高质量完成多艘船舶的交船任务，其中包括满足最新环保排放标准的原油船“凯盟”轮，该船总重11.5万吨．将数据115000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（　　） A. 传 B. 统 C. 文 D. 化 6. 下列说法中，错误的是（　　） A. 过两点有且只有一条直线 B. 两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C. 两点之间，线段最短 D. 在线段、射线、直线中直线最长 7. 如图，在四边形中，下列推论正确的是（ ） A. ∵，∴ B. ∵，∴ C. ∵，∴ D. ∵，∴ 8. 如图是某小区车库门口的曲臂直杆道闸模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（　　） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是：“每车坐人，空出来车；每车坐人，人没车坐，问人数与车数各为多少？”设车为辆，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 已知是的平分线，，平分，设，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 若单项式与是同类项，则____________． 12. 在中，非负整数有_________个． 13. 已知，与互余，则_________． 14. 如图，已知线段，延长线段至点，使得．若点是线段的中点，则线段_______． 15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟． 16. 如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是______． 17. 七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，若七巧板中标有3的平行四边形的面积，则图中标有5的正方形的面积的值为__________． 18. 已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． （1）过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； （2）在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； （3）点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 23. 如图，D，E，F，G分别是三角形边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． （1）求该纸盒的表面积；（用x，y表示） （2）若时，求该纸盒的体积； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 25. 某学校为了丰富学生课后服务活动的多样性，计划购入A、B两种葫芦丝，某商店A种葫芦丝每支20元，B种葫芦丝每支30元，且购买A种葫芦丝的数量比B种葫芦丝的2倍还多10支，总花费为1950元． （1）求购买A种、B种葫芦丝的数量； （2）该商店在10月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折销售；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折销售；已知该学校在10月1日之前不是该商店的会员．请问购买葫芦丝的花费是多少元时，两种方案的优惠完后花费相同？ （3）若在（1）总花费不变的情况下，选择哪种方案购买合算？可以优惠多少？ 26. 综合与实践 如图1，在某河堤两岸分别安装了两盏可旋转探照灯，假设两岸河堤是平行的，即．探照灯射出的光线可看作射线．灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光线从射线开始，绕点顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视． 【问题初探】（1）如图2，连接，若灯射出的光线平分，且，求的度数； 【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点．当，时，求的度数； 【应用拓展】（3）已知灯光线转动速度是每秒，灯光线转动速度是每秒．若灯光线先转动30秒，灯光线才开始转动，在灯光线第一次转到之前，请直接写出，灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线互相平行． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $