精品解析：广东省茂名市广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年高一上学期12月诊断数学试题

广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年（上） 高一十二月月度诊断数学学科 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 第一部分 客观题（共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在（ ） A. 上单调递增 B. 上单调递减 C. 上单调递减 D. 上单调递增 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式得，然后根据余弦函数的单调性判断即可. 【详解】因为， 所以在区间上单调递增，在上单调递减. 故选：B 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，由交集的定义即可得出答案. 【详解】，， 则. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 4. 函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可知为偶函数，排除；由排除，从而得到结果. 【详解】 为偶函数，图象关于轴对称，排除 又，排除 故选： 【点睛】本题考查函数图象的识别，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，考虑的因素通常为：奇偶性、特殊值和单调性，属于常考题型. 5. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，角的终边上一点坐标为，即，所以，所以，所以角的最小正值为，故选C. 考点：三角函数的概念. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数函数及余弦函数性质判断大小关系即可. 【详解】由，则，而， 所以. 故选：D 7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（ ） A. 5倍 B. 10倍 C. 20倍 D. 100倍 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可求. 【详解】设的声强分别为“喊泉”喷出泉水的高度分别为， 则，即， 从而，即，所以. 故“喊泉”的声强是“喊泉”声强的100倍. 故选：D 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据题意可得，利用三角函数的定义和诱导公式求出，进而得出结果. 【详解】如图， 由题意知，， 因为圆的半径，所以， 所以， 所以， 即点. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于原点对称 B. 函数，且恒过定点 C. 已知命题，则的否定为： D. 是的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断. 【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为， 所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确； 对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误； 对于C：修改量词否定结论可得，故C正确； 对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误； 故选：AC. 10. 下列函数中最小值为8的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用均值不等式求和的最小值，注意等号成立与否. 【详解】对A，，当且仅当或时取等号，A对； 对B，，由无解，故不能取等号，B错； 对C，，当且仅当时取等号 ，C对； 对D，，当且仅当时取等号，D对. 故选：ACD 11. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求函数的反函数，判断A，根据零点存在性定理判断B，取特殊值判断C，根据反函数的性质判断D. 【详解】函数的反函数为， 所以函数与函数互为反函数，A正确； 由已知， 因为当时，， 当时，， 所以函数在区间内至少有一个零点，B错误； 取，可得，，， 所以，，，故，C错误； 因为函数，互为反函数， 所以函数，的图象关于直线对称， 又函数图象关于直线对称， 又函数与函数的图象的交点为， 函数与函数的图象的交点为，且 所以点和点关于对称， 所以，故， 所以，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件求出扇形所在圆的半径即可计算作答. 【详解】设扇形所在圆的半径为，扇形弧长为，即，由扇形面积得：，解得， 所以该扇形的圆心角(正角)为. 故答案为： 13. 函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，推得，即可求得的值. 【详解】由题意，函数， 所以. 故答案为：. 14. 已知定义在R上的偶函数，时，.若使得成立的x有5个，则实数k的取值范围是______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据已知条件求出函数的周期和表达式，再结合函数图像分析成立的x的个数与实数k的取值范围. 【详解】，将x换成， ，故函数的周期为2， 又定义在R上的偶函数，，故为函数的对称轴， 又时，，那么时，，则， 在一个周期内的表达式为， 成立的x有5个，等价于函数与图像的交点有5个， 在上单调递增，， 当时，不符合题意； 当时， 故需满足当时，，此时，当时，，此时， 实数k的取值范围为. 故答案为： 第二部分主观题（共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）若，化简. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）先变形得，然后利用同角三角函数的平方关系及三角函数值的符号进行整理化简. 【详解】（1） ; （2）若，则， 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的坐标． （3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3）；猜想：，证明如下： 证明：， 故猜想成立． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解； （2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解； （3）求出，再猜想，结合同角三角函数关系式证明即可. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且，所以且， 解得，即， 故， 故原式． 【小问2详解】 由题意，故， ，故． 【小问3详解】 由（1）知， 所以． 根据计算结果猜想：. 17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由命题函数定义域为， 设，则在上恒成立， 当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由（1）知，命题为真命题，则， 又由命题 ，使得不等式成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 因为中只有一个真命题， 当为真命题，为假命题时，可得，解得； 当为假命题，为真命题时，可得，此时无解， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义列出方程组求解即得. （2）由（1）的结论求出，利用换元法，结合二次函数并按分类求出最小值即可. 【小问1详解】 依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数， 则，由，解得， 所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 令，当且仅当时取等号，， ， 当时，函数在上单调递增，，则； 当时，，则， 所以实数a的值或. 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可； （2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可； （3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为函数为偶函数． 所以， 即， 所以 ， 所以； 【小问2详解】 因为， 当时，，单调递增， 所以在上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在上单调递减； 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 因为函数与图象有个公共点， 所以方程有两个不同的根， 方程即为， 可化为， 则有，， 设，则， 即， 又在上单调递增， 所以方程有两个不等的正根； 所以， 解得， 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东实验中学附属茂名学校2025-2026学年（上） 高一十二月月度诊断数学学科 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 第一部分 客观题（共73分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在（ ） A. 上单调递增 B. 上单调递减 C. 上单调递减 D. 上单调递增 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 5. 已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为 A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. “喊泉”是一种地下水的毛细现象.在合适的条件下，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生一系列物理声学作用.已知声音越大，涌起的泉水越高，声强与参考声强之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：分贝），即.若某处“喊泉”的声强级（单位：分贝）与喷出的泉水高度（单位：分米）满足关系式，两人分别在这处“喊泉”大喊一声，若“喊泉”喷出泉水的高度比“喊泉”喷出的泉水高度高5分米，则“喊泉”的声强是“喊泉”声强的（ ） A. 5倍 B. 10倍 C. 20倍 D. 100倍 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图象关于原点对称 B. 函数，且恒过定点 C. 已知命题，则的否定为： D. 是的充分不必要条件 10. 下列函数中最小值为8的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数与函数互为反函数 B. 函数在区间内没有零点 C. 若a，b，c均为正实数，且满足，则 D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某扇形的弧长为，面积为，则该扇形的圆心角（正角）为_________. 13. 函数，则______. 14. 已知定义在R上的偶函数，时，.若使得成立的x有5个，则实数k的取值范围是______. 第二部分主观题（共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求值：； （2）若，化简. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的坐标． （3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想． 17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． （1）如果p是真命题，求实数a的取值范围； （2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 18. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题： （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值. 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $