专题05 导数的切线问题（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题05 导数的切线问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年： 导数切线问题以解答题为主，难度中等，命题聚焦“在点”与“过点”两类切线。常结合参数求解、函数性质（极值、零点）综合考查，设问灵活，避免孤立命题，强调知识衔接与逻辑连贯。 核心考查求导运算（含复合函数）与导数几何意义，需精准分析斜率、切点及切线方程。能力上要求运算规范与严谨推理，易错点集中在求导失误、混淆切点、漏解切线，凸显对运算精准性与思维严谨性的检验。 预测2026年： 导数切线问题将延续稳定考查态势，以解答题为主，聚焦“在点”与“过点”切线求解。大概率结合参数、复合函数求导，融入极值、零点等跨模块知识，强调运算精准与逻辑连贯。设问灵活且分层，既考查切线方程、斜率计算等基础，也侧重分类讨论、转化化归思想，凸显对思维严谨性与知识融合能力的检验 题型01“在”点P处的切线问题 解｜题｜策｜略 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例1．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 例2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； 练习1．曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 练习2．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 练习3．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； 练习4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 题型02“过”点P处的切线问题 解｜题｜策｜略 求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例3．将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 例4．已知函数. (1)求过点并与图象相切的直线； 练习1．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 练习2．已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 练习3．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 练习4．已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； 题型03切线的平行、垂直问题 例5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 例6．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（   ）. A．2 B． C．3 D． 练习1．已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 练习2．曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 练习3．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 练习4．曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04切线的条数问题 解｜题｜策｜略 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 例7．若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例8．若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 练习1．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 练习2．过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ． 练习3．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 题型05两条曲线的公切线问题 解｜题｜策｜略 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 例9．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 例10．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； 练习1．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 练习2．已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 练习3．若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 练习4．已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； 题型06与切线有关的距离最值 解｜题｜策｜略 利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。 例11．已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 例12．已知点，点，则的最小值为 ． 练习1．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 练习3．已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 . 练习4．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 . （建议用时：20分钟） 一、单选题 1．（2025·云南临沧·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2025·山西临汾·模拟预测）已知函数的一条切线为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北荆门·一模）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2024·江苏南通·二模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·湖北随州·二模）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 6．（2025·湖南常德·一模）若直线（k为常数）是曲线的一条切线，则 ． 7．（2025·甘肃天水·一模）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 ． 8．（2024·湖北黄石·一模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 . 9．（2025·广西崇左·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 10．（2025·福建宁德·二模）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 三、解答题 11．（2024·安徽铜陵·二模）已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； 12．（2025·黑龙江黑河·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数的切线问题 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年： 导数切线问题以解答题为主，难度中等，命题聚焦“在点”与“过点”两类切线。常结合参数求解、函数性质（极值、零点）综合考查，设问灵活，避免孤立命题，强调知识衔接与逻辑连贯。 核心考查求导运算（含复合函数）与导数几何意义，需精准分析斜率、切点及切线方程。能力上要求运算规范与严谨推理，易错点集中在求导失误、混淆切点、漏解切线，凸显对运算精准性与思维严谨性的检验。 预测2026年： 导数切线问题将延续稳定考查态势，以解答题为主，聚焦“在点”与“过点”切线求解。大概率结合参数、复合函数求导，融入极值、零点等跨模块知识，强调运算精准与逻辑连贯。设问灵活且分层，既考查切线方程、斜率计算等基础，也侧重分类讨论、转化化归思想，凸显对思维严谨性与知识融合能力的检验 题型01“在”点P处的切线问题 解｜题｜策｜略 求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例1．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为奇函数，当时，， 当时，可得， 则，可得，， 所以曲线在处的切线方程是，即. 故选：D. 例2．已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的导函数为，所以， 又，所以在处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增， 所以，所以， 故实数的取值范围是． 练习1．曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，故， 所以曲线在点处的切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：A. 练习2．曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知，得：，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，整理得. 直线与轴交于点，与轴交于点， 因此所求三角形的面积为. 故选：A 练习3．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 练习4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，                     又，则，                         故曲线在点处的切线方程为， 整理得． （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，，，故，故单调递增；                 当时，，，故，单调递减．             故． （3）由（2）得，对任意恒成立， 所以，                 故． 题型02“过”点P处的切线问题 解｜题｜策｜略 求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 例3．将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切， 则是曲线过原点的切线． 设切点坐标为， 又由，即切点处切线的斜率． 即把切点坐标代入，得，解得， 故，所以，故. 故选：D． 例4．已知函数. (1)求过点并与图象相切的直线； (2)若实数满足，求证：； (3)若，求证：对于任意，直线与有唯一的公共点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设经过点的直线与函数相切时的切点为， 因，由，可解得. 即切点为，，故所求的切线方程为：，即. （2）因，可设， 则， 设，则， 设，则，由可得. 当时，，则在上单调递增，又，故， 即函数在上单调递增，故，即此时； 当时，，则在上单调递增，又，故， 即函数在上单调递减，故，即此时. 综上可得，成立. （3）依题意，要证，直线与有唯一的公共点， 即证，只有一个实根，即需对，只有一个实根. 设，，则，设，则， 由，可得，由，可得， 即函数（即）在上单调递减，在上单调递增，故. ①若，即时，，则函数在上单调递增， 故与只有一个交点，即方程只有一个实根，命题得证； ②若，即时，因， 又当时，，故必存在，使得（*）， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 而；由（*），可得， 于是，， 不妨设，则， 即函数在上单调递增，故，即， 故当时，与只有一个交点，即方程只有一个实根. 综上所述，对于任意，直线与有唯一的公共点. 练习1．过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 练习2．已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 练习3．过原点与曲线相切的一条切线的方程为 . 【答案】或或(写出其中一条即可) 【详解】解：设曲线表示抛物线的一部分， 设其切线方程为，代入， 得.由，得. 当时，，符合题意， 当时，，均符合题意， 所以切线方程. 设的切线的切点为. 由，得，， 得切线方程为. 将的坐标代入切线方程，得， 所以，所以切线方程为. 故答案为：或或(写出其中一条即可) 练习4．已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则，，设切点， 此切线的斜率， 所以切线方程为， 因为切线过点，可得，， 则切线方程为； （2）， ①当时，，，， 在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意； ②当时，令，解得（舍去），， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，，，，，， 所以要使函数有两个零点，则， ， 令，， 令，， 所以在上单调递增， 又因为，得到，解得． 综上所述：． 题型03切线的平行、垂直问题 例5．已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 故选：B 例6．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（   ）. A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 如图，设函数在点和处的两条切线互相垂直， 当时，，； 当时，，. 则， 因为直线与互相垂直，所以，即， 由图象可知，，则，， 所以直线方程为，当时，，故点， 同理，直线方程为，当时，，故点， 所以，. 故选：A. 练习1．已知函数的图象在两个不同点处的切线相互平行，则的取值可以为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】由，则， 则，， 依题意可得且、、， 所以， 所以， 经验证，当、分别取、时满足题意. 故选：D 练习2．曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 练习3．已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 . 【答案】(答案不唯一) 【详解】，由题意可知，， 即，所以，得，，， 或，得，，， 所以，，, 所以的一个取值为. 故答案为：(答案不唯一) 练习4．曲线上存在点A，B，使得曲线在点A，B处的切线垂直，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以， 设在点A，B处的切线斜率分别为， 则， 又，故，， 解得. 故选：A 题型04切线的条数问题 解｜题｜策｜略 已知，过点，可作曲线的（）条切线问题 第一步：设切点 第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第四步：将代入切线方程，得：，整理成关于得分方程； 第五步：题意已知能作几条切线，关于的方程就有几个实数解； 例7．若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点， 因为，所以， 所以点P处的切线方程为， 又因为切线经过点， 所以，即， 令， 则与有两个不同的交点， ， 当时，恒成立，所以单调递增，不合题意； 当时，当时，，当时，， 所以，则，即， 故选：B 例8．若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又该切线过原点，所以， 整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线， 所以方程①只有一个解，故，解得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数的几何意义，切点未知，设切点坐标，由导数的几何意义求出切线方程，确定方程的解与根的判别式之间的关系是解决本题的关键. 练习1．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 则切线方程为，整理得， 又因为切线过点，则， 设，函数定义域是， 则直线与曲线有两个不同的交点， 则， 当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于，    结合图象可知； 综上所述：. 故选：B. 练习2．过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 练习3．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设过点的直线与曲线相切于点， 由，可得，所以切线的斜率， 整理得， 因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根， 则，解得或， 所以的取值范围是． 故选：D． 练习4．已知函数的一个极值点为． (1)求的值； (2)若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），由于是极值点，故，故， 当时，， 当或时，，当时，， 故是的一个极值点，故 （2）设切点为，则切点处的切线方程为， 将代入可得， 故， 要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点， 记，则， 当或时，，当时，， 故在，上单调递减，在上单调递增， 且， 因此. 题型05两条曲线的公切线问题 解｜题｜策｜略 已知和存在（）条公切线问题 第一步：求公切线的斜率，设的切点，设的切点； 第二步：求公切线的斜率与； 第三步：写出并整理切线 （1）整理得： （2）整理得： 第四步：联立已知条件 消去得到关于的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 消去得到关于的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数； 例9．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，代入、，得. 因该切线为，故，解得. 设直线与曲线的切点为， 由，得，即. 切线方程为，化简得. 因该切线为，故，解得. 故选：B 例10．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； (2)若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由题设，则，则切线为， 由，令，可得且， 则，所以切线为，则， 曲线在点处的切线与曲线也相切，则； （2）由图象恒在图象的上方，则恒成立， 所以在上恒成立， 对应，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，故. 练习1．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【详解】设，则，又，所以， 则切线方程为， 设，则，令，解得， 所以. 故答案为：2 练习2．已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 由题意可得， 所以，， 即，解得或， 当时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为， 所以，，，， ，，，. 故选：A 练习3．若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. 练习4．已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2) 【分析】 【详解】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. （2）解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 题型06与切线有关的距离最值 解｜题｜策｜略 利用平行线间距离最短的原理，找寻与已知直线平行的曲线的切线。 例11．已知点为曲线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】B 【详解】设曲线在点处的切线与直线平行， 由，得，则或， 则动点到直线的距离的最小值为. 所以点到直线的距离的最小值为， 故选：B. 例12．已知点，点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】易知点在函数上, 设,化简得,即 则点在以为圆心,半径为1的圆周上, 如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可. 设圆心为,可知, 设函数,求导得 易知为单调增函数,且, 所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增, 在上有最小值,最小值, 所以的最小值为. 故答案为: . 练习1．函数图象上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，令，得（负值已舍去）． 因为，所以曲线在点处的切线与直线平行． 因为点到直线的距离为，所以所求最小值为． 故选：C. 练习2．已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 因，则， 故曲线和直线无交点， ，则，令，解得， 则曲线上的点到直线的距离， 则的最小值为. 故选：A 练习3．已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得的最小值为曲线上点到直线距离的最小值， 此时点就是曲线与直线相切的切点， 对求导有，由可得，即， 故. 故答案为：. 练习4．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题可设，，则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线导数，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. （建议用时：20分钟） 一、单选题 1．（2025·云南临沧·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 2．（2025·山西临汾·模拟预测）已知函数的一条切线为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，设切点为， 所以，解得，， 所以， 设，则， 令，解得， 当时，，则为减函数， 当时，，则为增函数， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 3．（2025·湖北荆门·一模）曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 4．（2024·江苏南通·二模）已知，若点为曲线与曲线的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，由得， 设点的横坐标为，则点处切线斜率，解得或（舍）， 由点为曲线与曲线的交点， 所以与为同一点， 所以，即， 令，则， 令可得，由知，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故实数的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用导数几何意义和点为两曲线交点求得，进而再构造函数利用导数即可求解. 二、填空题 5．（2024·湖北随州·二模）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【详解】对求导得，所以， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 6．（2025·湖南常德·一模）若直线（k为常数）是曲线的一条切线，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 设切点为，则切线斜率为，同时切点既在曲线上，也在切线上，则： 曲线方程：， 切线方程：； 联立方程得， 化简得 ， 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又， 故解得 ， 将代入，得：. 故答案为：2. 7．（2025·甘肃天水·一模）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则 ． 【答案】1 【详解】，设直线与相切于点 所以切线方程为，切线过点， 则，整理为， 设，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，， 所以方程的根为， 所以切线方程为， 联立，得，，得. 故答案为：1 8．（2024·湖北黄石·一模）函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则 . 【答案】/ 【详解】 ， 因为， 所以，又， 所以， 所以切线方程： ， 切线方程： ， 将，代入，可得：， 又， 所以， 所以点坐标为 所以， 又， 所以， 故答案为： 9．（2025·广西崇左·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 . 【答案】/ 【详解】曲线在点处的切线与曲线相切于点， ， ∴曲线在点处的切线斜率， 曲线在点处的切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 或， ，即， ，易知，， . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求导数中的公切线问题的基本思路是假设切点坐标后，利用导数几何意义分别表示出两函数切点处的切线方程，由两方程形式一致可构造方程组来求解相关问题. 10．（2025·福建宁德·二模）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．（2024·安徽铜陵·二模）已知曲线在点处的切线方程是． (1)求，的值； (2)若在区间有唯一极值点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为切点在切线方程上，所以. 对于，可变形为， 则曲线在点处的切线的斜率是， 而，. 综上可得，，. （2）由（1）知，，令，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若在区间有唯一极值点， 则或， 解得或， 则的取值范围为. 12．（2025·黑龙江黑河·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1），所以， 则. 因为曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，所以， 解得. （2）（i）令，则， 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 当，，当，， 又，，有三个零点，所以的取值范围为. （ii）证明：由（i）可知， 下面证明：. ①要证明，只需证明， 又，即证，所以上式等价于证明. 由，得，则， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. ②要证明，只需证明， 由（i）知，则，即， 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立， 综上，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $