福建省厦门市同安实验中学2025-2026学年高二上学期数学周测9

厦门市同安实验中学2025-2026（上）高二数学周测9 班级 姓名 座号 一、单选题 1．下列直线的倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 4．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（    ） A． B． C．7 D．5 5．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）方程表示的曲线中，可以是（   ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 9．（多选）对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 10．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 11．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 12．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 13．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，在棱上，，设，，. (1)试用，，表示向量； (2)求异面直线与所成的角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2025-2026（上）高二数学周测9 班级 姓名 座号 一、单选题 1．下列直线的倾斜角最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】A，B，C，D四个选项中直线的斜率分别为， 其中，，且， 所以当时，直线的倾斜角最大. 故选：D 2．抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线和离心率的求法即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，即，离心率. 故选：C. 4．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据题意求出椭圆的两个焦点，列式求出的值. 【详解】根据题意，椭圆的两个焦点为，， 椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点， 所以椭圆的两个焦点为，， ，且，解得. 故选：A. 5．在棱长为2的正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，得，所以， 故，设直线与平面所成角为， 则，所以. 故选：D 6．已知点P为椭圆C：上的一点，焦点为，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解. 【详解】由题可得，所以， 设，由椭圆的定义得， 所以， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以. 故选：B. 7．已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【详解】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 8．方程表示的曲线中，可以是（   ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 【答案】AB 【分析】根据椭圆的标准方程和双曲线的标准方程即可判断. 【详解】当，且，即时，方程表示椭圆， 当即时，方程表示双曲线，故AB正确； 要想表示圆，则无解，故C错误； 直线为一次曲线，故D错误. 故选：AB 9．对于直线与圆，下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断项；根据圆的一般方程与标准方程的互化判断项；根据直线所过定点在圆内，知直线与圆必相交判断项；当直线与过定点和圆心的直线垂直时，被截得的弦长最小，从而计算弦长最小值可判断项. 【详解】对于，可变形为， 由得所以直线过定点，故正确； 对于，圆，化为标准方程为，所以圆的半径为，故错误； 对于，因为，所以点在圆内部，所以直线与不可能相切，故错误； 对于，设直线所过定点为，则当直线时，直线被截得的弦长最小. 因为圆心，所以，所以直线的斜率，解得， 此时直线. 因为圆心到直线的距离，所以弦长，故正确. 故选：. 三、填空题 10．已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程. 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 11．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 . 【答案】 12 6 【分析】根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积. 【详解】 根据题意，， 因为， 由， 可得，则的周长为； 在中，根据余弦定理， ， 则， 故 故答案为：12；6. 四、解答题 12．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线方程，利用待定系数法求出方程. （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，借助中点坐标求解. 【详解】（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为， 而点在双曲线上，因此，方程为， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由消去得， 由线段的中点为，得，解得， 此时方程为，，因此， 所以直线的方程为，即. 13．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，在棱上，，设，，. (1)试用，，表示向量； (2)求异面直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件，利用空间向量的线性运算表示向量即可； （2）根据（1）的结论，利用空间向量的模长公式，结合题设，求得和的值，最后代入空间向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以. （2）因为，， ， 所以 ， 所以， 因为， 所以异面直线与的夹角为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $