专题06 圆全章20种题型（期末复习专项训练）九年级数学上学期华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆 题型归纳·内容导航 题型1垂径定理及推论（常考点） 题型11切线长求解（重点) 题型2垂径定理的应用 题型12孤长有关的计算 题型3圆周角定理（重点） 题型13扇形面积有关的计算 题型4圆周角与弧的关系（常考点） 题型14不规则面积的求解 题型590°的圆周角与直径 题型15圆与三角形问题 题型6弦、弧、圆心角的有关计算和证明（常考 题型16圆与四边形问题 点) 题型7圆内接四边形（常考点） 题型17圆与函数问题（难点） 题型8点与圆的位置关系（重点） 题型18：与圆锥有关的计算 题型9直线与圆的位置关系 题型19正多边形与圆的有关计算 题型10切线的证明与计算（重点） 题型20三角形内切圆与外接圆的综合 题型通关•靶向提分 题型一垂径定理及推论（共3小题） 1.(22-23九年级上天津和平，期末)⊙0半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB与CD间的距 离为() A.1 B.7 C.1或7 D.3或4 【答案】C 【分析】过O点作OE⊥AB,E为垂足，交CD与F,连OA,OC,由AB∥CD,得到OF⊥CD,根据 垂径定理得AE=3,CF=4,再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE,OF,然后讨 论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF;当圆O点不在AB、CD之间，AB与 CD之间的距离=OE-OF. 【详解】解：过O点作OE⊥AB,E为垂足，交CD与F,连OA,OC,如图， 1/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D .AB∥CD ∴.OF⊥CD :AE=BE,CF=DF, 而AB=6,CD=8, ∴.AE=3,CF=4, 在Rt△0AE中，0A=5,OE=VOP-AE=V5-32=4, 在RtA0CF中，0C=5,OF=0C2-CF=V52-4=3 当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7: 当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE-OF=1: 所以AB与CD之间的距离为7或1. 故选：C. 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.也考查了勾股定理以及 分类讨论的思想的运用 2.(22-23九年级上·河南南阳·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆， 如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙0被水面截得的弦AB长为8米，⊙0半径长为5米.若点C为运行 轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是() ●O B 水面 图1 图2 A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 2/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.连接O4、 G2C交B于点D由垂径定理得AD=BD=4B=4(米，再由勾股定理得OD3米，然 求出CD的长即可. 【详解】解：如图，连接OA、OC,OC交AB于点D, D B 水面 由题意得：OA=OC=5米，OC⊥AB, :AD=BD-54B=4(米)，∠AD0=90°， :O0=N0f-0-5-F=3（米}， CD=0C-OD=2米， 故选：B 3.(23-24九年级上·云南红河期末)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD于点E.若 CD=8,cos∠0CE= 5,则⊙0的半径为() D B A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，求角的余弦值。根据圆的基本性质和垂径定理得到CE=)CD=4,再 3/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据余弦的定义可得答案. 【详解】解：AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E,CD=8, :.CE-1CD-4. cos∠OCE= CE 4 0C5, .0C=5, ⊙0的半径为5. 故选：B 题型二垂径定理的应用（共3小题） 1.(24-25九年级上·甘肃临夏·期末)甘肃定西的灞陵桥（图1）是全国独一无二的纯木古桥，图2为其模 型，模型跨度（弧所对的弦的长AB)20cm,拱高（弧的中点到弦的距离CD)4cm,则拱桥模型的半径 为() 图1 图2 A.10.5cm B.12cm C.13cm D.14.5cm 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，设拱桥的圆心为O,连接OA、OD,设拱桥的半径为「，由 垂径定理可得AD)AB=10©，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径 【详解】解：如图2，设拱桥的圆心为O,连接OA、OD、 A B D 图2 设拱桥的半径为r, 由题意可得：OD⊥AB,CD=4cm,AB=20cm, 4/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D=BD-AB=10cm.OD=0C-CD= OA2=AD2+OD2 2=102+r-42 r=14.5cm, 故选：D. 2.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船， 如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m,轮子的吃水深度CD为2m,半径 OC1AB于点D,则该桨轮船的轮子周长为() 水面A D B 图1 图2 A.4πm B.5πm C.8πm D.10元m 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键， 连接0A,设半径为，在R1△0D1中，根据勾股定理，得到Of=0D2+AD,即产=，-2+ ,解得 ”=5,则该桨轮船的轮子周长为 2×5π=10π(m ,即可解答 【详解】解：如图，连接OA, 水面A D B 图2 5/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设半径为r,则OA=OC=r, 0D=r-2, AB=8,OC⊥AB, .AD=4, 在Rt△ODA中，有 04=0D2+AD2,即=(-2'+4」 解得r=5, 该奖轮船的轮子周长为2×5=10z(m 故选D. 3.(2024浙江绍兴·二模)某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径. 小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底.纸条的上下边缘分别与杯底相交于A、B、C、 D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.则该纸杯杯底的直径为() D B A.4.8cm B.5cm C.5.2cm D.6cm 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理.由垂径定理求出BN,CM的长，设ON=x,由勾股定理 得到3.5-+2=+1.5°，求出x的值，得到ON的长，由勾股定理求出OB长，即可求出纸杯的直径长 【详解】解：如图，设圆心O,过点O作MN⊥AB于N,交CD于点M,连接OC,OB, D M B .MN=3.5cm, AB∥CD, 6/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN⊥CD cw-00-3=15m,8w=方48=4=21m. 设OM=xcm, ∴.OW=MW-OM=(3.5-xcm .OM2+MC2 =OC2,ON2+BN2 OB2, ∴.OM2+MC2=ON2+BN2, x2+1.52=(3.5-x2+22 x=2, ∴.OM=2(cm) :0c=VoM2+MC2=V22+1.5=2.5cm, 2.5×2=5cm 纸杯的直径为 故选：B. 题型三圆周角定理（共3小题） 1.(25-26九年级上山西运城月考)已知A、B、C、D在⊙O上，AB、CD交于⊙O外点E, ∠BCD=25°，∠E=39° 则<ADC 的度数为() D A.64° B.65° C.51° D.54 【答案】A 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质， 先由圆周角定理求出∠BAD，,再根据三角形的外角性质计算即可. 【详解】解：∠BCD=25°， 7/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=25°， DE=39°， \DADC=DE +DBAD=39°+25°=64°， 故选：A. 2.（24-25九年级上安徽准北期末)如图，△BCD内接于O0,点B是CD的中点，CD是O0的直径. 若∠ABC=30°，AC=5,则BC的长为() D A.5 8.4v5 c.5v2 D.4V5 【答案】C 【分析】先根据弧中点的意义得出BC=BD,再根据直径所对的圆周角是直角得出∠CAD-∠CBD=90°， 从而可利用勾股定理得出BC2+BD2=CD2,进而得到2BC2=CD2,再利用圆周角定理得出 ∠ADC=∠ABC=30°，从而可求得CD=2AC=10,于是有2BC2=102,从中可求得BC. 【详解】解：连接AD, B “点B是CD 的中点， .BC=BD, :CD是⊙O的直径， 8/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CAD=∠CBD=90°， BC2+BD2 CD2 2BC2=CD2 ∠ABC=30°， :.∠ADC=∠ABC=30°， .CD=2AC=10, 2BC2=102 BC=52 解得： (负值舍去)， 故选：C 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形， 圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解， 3.(25-26九年级上河南安阳·期末)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在圆周上，若∠D=24°，则 ∠BOC的度数是() 132 130° C.1280 126° A. B. D. 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理. 根据圆周角定理可知∠AOC=2∠D=48°，进而根据平角的定义计算即可. 【详解】解：∠D=24°， .∠A0C=2∠D=48°， .∠B0C=180°-∠AOC=180°-48°=132°. 故选：A 9/67 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四圆周角与弧的关系（共3小题） 1.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，AB是圆0的直径，CD是圆O的弦，∠ABD=52°，则 ∠BCD的度数为() D A.30° B.38° C.48° D.52° 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键。 连接AD,根据AB是直径，得到∠ADB=90°，结合∠ABD=52°，得到∠A=38°，根据同弧所对的圆周角 相等，得到∠BCD=∠A=38°. 【详解】解：连接AD, D A 是圆O的直径， .AB ∠ADB=90°， ∠ABD=52°， .∠A=180°-∠ADB-∠ABD=180°-90°-52°=38°， .∠BCD=∠A=38° 故选：B。 2.(24-25九年级上·湖南长沙期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD, BC.若∠BAC=30°，则∠D=() 10/67函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06圆 题型归纳·内容导航 题型1垂径定理及推论（常考点） 题型11切线长求解（重点) 题型2垂径定理的应用 题型12孤长有关的计算 题型3圆周角定理（重点） 题型13扇形面积有关的计算 题型4圆周角与弧的关系（常考点） 题型14不规则面积的求解 题型590°的圆周角与直径 题型15圆与三角形问题 题型6弦、弧、圆心角的有关计算和证明（常考 题型16圆与四边形问题 点) 题型7圆内接四边形（常考点) 题型17圆与函数问题（难点） 题型8点与圆的位置关系（重点） 题型18：与圆锥有关的计算 题型9直线与圆的位置关系 题型19正多边形与圆的有关计算 题型10切线的证明与计算（重点） 题型20三角形内切圆与外接圆的综合 题型通关•靶向提分 题型一垂径定理及推论（共3小题） 1.(22-23九年级上天津和平，期末)⊙0半径为5，弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则AB与CD间的距 离为() A.1 B.7 C.1或7 D.3或4 2.(22-23九年级上河南南阳·期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在 《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆， 如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙0被水面截得的弦AB长为8米，⊙0半径长为5米.若点C为运行 轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是() 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ●O B水面 图1 图2 A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 3.(23-24九年级上·云南红河期末)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E.若 4 CD=8,cos∠OCE= 5,则⊙0的半径为() B A.6 B.5 C.4 D.3 题型二垂径定理的应用（共3小题） 1.(24-25九年级上·甘肃临夏·期末)甘肃定西的灞陵桥（图1）是全国独一无二的纯木古桥，图2为其模 型，模型跨度（弧所对的弦的长AB)20cm,拱高（弧的中点到弦的距离CD)4cm,则拱桥模型的半径 为() 图1 图2 A.10.5cm B.12cm C.13cm D.14.5cm 2.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考)如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船， 如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m,轮子的吃水深度CD为2m,半径 OC⊥AB于点D,则该桨轮船的轮子周长为() 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 水面A D ---- 图1 图2 A.4nm B.5im C.8πm D.10πm 3.(2024浙江绍兴·二模)某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径. 小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底.纸条的上下边缘分别与杯底相交于A、B、C、 D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=4cm,CD=3cm.则该纸杯杯底的直径为() B A.4.8cm B.5cm C.5.2cm D.6cm 题型三圆周角定理（共3小题） 1.(25-26九年级上山西运城月考)已知A、B、C、D在⊙0上，AB、CD交于⊙0外点E, ∠BCD=25°，∠E=39° 则<ADC 的度数为() B A.64° B.65° C.51° D.54° 2,(24-25九年级上安微准北期未)如图，△BCD内接于O0,点B是 CD 的中点， CD是o0 的直径， 若∠ABC=30°，AC=5,则BC的长为() 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.5 B.4V2 c.52 D.45 3.(25-26九年级上河南安阳·期末)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在圆周上，若∠D=24°，则 ∠BOC的度数是() D A.132。 8.1300 C.1280 126° D. 题型四圆周角与弧的关系（共3小题） 1.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD=52°，则 ∠BCD的度数为() D B A.30° B.38° C.48 D.52 2.(24-25九年级上湖南长沙期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,连接AC,AD, BC.若∠BAC=30°，则∠D=() 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.60° B.70° C.30° D.40° 3.(25-26九年级上·浙江温州期末)如图，在⊙O中，弦AB与弦CD交于点P且AP>BP,DP>CP.已 知AB=7,CD=8,若DP=3CP,则PB的长为() A D 7 A.3 B.3 C.4 D.4 题型五90°的圆周角与直径（共3小题） 1.(24-25九年级上安徽合肥期末)已知AB是半圆O的直径，AB=6,点C在半圆O上，过点A作 AD⊥OC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合)· F E D 0 B B 图1 图2 (1)如图1，若CD=1,求AF的长： (2)如图2，若BC=AF,求AF的长. 2.(24-25九年级上江西南昌·期末)如图，⊙O的直径AB⊥弦CD,垂足为E. 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D (1)求证：∠BOC=2∠BAD: (2)若∠BOC=40°，求弦AD所对圆周角的度数. 3.(24-25九年级上全国期末)如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=DC.求证：AC=BD B 题型六弦、弧、圆心角的有关计算和证明（共3小题） 1.(25-26九年级上北京期末)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，延长BC至点D,CE平分∠ACD交 OO于点E,连接AE,BE.求证：AE=BE. E D ABCD.⊙O AC,BD 2.(24-25九年级下·全国·期末)四边形 为的内接四边形，连接 相交于点E. D D E B ① ② (1)如图①，连接OA,OB,OC,OD,已知∠BOC+∠AOD=180°.求证：AC⊥BD: 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)如图②，若∠ADC=9O,AC⊥BD,延长DA,CB相交于点F,DC=6,DF=8,求DB的长. 3.(24-25九年级上广东期未)如图，△1BC中，B=4C,AB为○0 AC,BC 中， 为的直径，分别交于点 DE.AE D,E,连接 B (1)求证：∠CED=2∠CAE: DE=15,AE=20 CD (2)若 ,求的长 题型七圆内接四边形（共3小题） 1.(24-25九年级上·安徽安庆期末)在直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=6,AC=4,E为射线AC上 一点，以AE为直径作圆，连接BE交圆于点D,则CD的最小值为() C E B A.2 8.213-2 c.3-2 D.3-1 2.(22-23九年级上·安徽六安期末)如图，△ABC是等边三角形，AB=2,点P是△ABC内一点，且 ∠BAP-∠CBP=30°，连接CP,则CP的最小值为() 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A 5 B.2 c.2-V5 D.V3-1 3.(2013江苏宿迁二模)如图，直径为10的⊙A经过点C和点0，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点， ∠OBC=30°，则点C的坐标为()· A.(0,5)B.(0,55 e.(a 【点睛】此题考查圆周角定理的推论，含30°角的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的 作法是解此题的 关键 题型八点与圆的位置关系（共3小题） 1.(25-26九年级上·安徽毫州期末)已知⊙0的半径r为3，点P到圆心O的距离d恰好是方程 x2-7x+10=0 ⊙O 的解，则点P与的位置关系是() A.点P在⊙O内部 B.点P在⊙O外部 C.点P在⊙O内部或点P在⊙O外部D.点P在⊙O上或点P在⊙O外部 2.(24-25九年级上江苏盐城月考)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,若以顶点A为圆心、r为 半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为() 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.3<r≤5B.3<r≤4 C.3≤r<4 D.r>3 3.（24-25九年级上~山东烟台期末)如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为9,12，点P是⊙M上任意 一点，PA,PB与x轴分别交于A,B两点，且PA⊥PB,若点A,点B关于原点O对称，则AB的最大 值为() 0 B A.60 B.40 C.34 D.20 题型九直线与圆的位置关系（共3小题） 1.(20-21九年级上福建南平，期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,若以点C为圆心， r为半径的⊙C与直线AB相切，则r的值为() A.2.4 B.3 C.4.8 D.5 2.(23-24九年级上湖北武汉期末)平面内，⊙0的半径为5，若直线1与⊙0相离，则圆心0到直线1的 距离可能是() A.6 B.5 C.4 D.3 3.(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江 面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为() 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.相离 B.相切 C.相交 D.平行 题型十切线的证明与计算（共3小题） 1.（2425九年短上广东东能胡末)如阁，份是00的直径，应C为00上一点达接C,点0在4 .⊙0 、BC 的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F,交BC于点G,且∠F=2∠B B DE ⊙0 (1)求证： 是的切线： (2)求证：FC=FG: 3若40=2D=I0,GE=5,求FG的长 2.(25-26九年级上·全国·期末)如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O 于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P. (1)求证：PD是⊙O的切线： (2)当AB=6,AC=8时，求线段PB的长. 3.(25-26九年级上北京·期末)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙0上一点，∠ACB的平分线交AB于 点E,交⊙O于点D,延长BA到点P,使得PE=PC. 10/19