第04讲 二次根式（复习讲义，3考点12题型4重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦“二次根式”中考专题，覆盖概念、性质、运算及应用等核心考点，构建“考情剖析-知识网络-考点解析-题型预测-重难突破-分层练习”的系统复习架构，通过考点梳理、方法指导和真题训练帮助学生突破非负性、分母有理化等难点。 亮点在于“分层进阶”训练设计和“重难突破”模块，如通过分母有理化综合问题培养数学思维，结合二次根式估算、应用题型发展应用意识。特设基础到能力提升的三级练习，配合真题即时反馈，助力学生高效掌握考点，教师可依此精准把控复习节奏，提升应考能力。

第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 二次根式的相关概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 最简二次根式 题型03 同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 二次根式的非负性 题型02 利用二次根式的性质化简 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 分母有理化 题型06 二次根式的估算 题型07 二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶 15 突破一 分母有理化综合问题 突破二 复合二次根式的化简 突破三 二次根式的新定义问题 突破四 二次根式的规律问题 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式有意义的条件 / / 丹东卷T14 营口卷T11 抚顺、葫芦岛卷T11 掌握二次根式有意义的条件。 二次根式的性质与化简 / 辽宁省卷T16 盘锦卷T19 沈阳卷T17 营口卷T17 掌握二次根式的性质；能利用二次根式的性质进行化简；理解二次根式化简的原理。 二次根式的运算 / 辽宁省卷T16 盘锦卷T11 阜新卷T3 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能根据法则进行二次根式的加、减、乘、除运算；掌握二次根式的混合运算顺序；能进行含有二次根式的实数运算。 命题预测 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 考点一 二次根式有意义的条件 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，𝑎叫做被开方数。 1）二次根式的两要素：含有二次根号“”，且根指数为2，一般2省略不写；被开方数为非负数； 2）任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，满足𝑎≥0即可； 2.二次根式有意义的条件 被开方数非负，即满足 𝑎≥0。 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎＞0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0。 1．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 3．（2025·辽宁锦州·三模）使代数式有意义，实数的取值范围是 ． 考点二 二次根式的性质与化简 1.二次根式的性质 1）双重非负性： ①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0； ②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 2.二次根式的化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知二次根式的值为6，则 ． 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 3.最简二次根式 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 4.同类二次根式 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 5.二次根式的加减法 先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 6.分母有理化 通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 分母有理化方法： 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 7.二次根式的混合运算顺序 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 1．（2025·辽宁大连·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测） 计算： 3．（2025·辽宁锦州·二模）计算： 4．（2025·辽宁盘锦·三模）计算：． 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件，要求被开方数非负，即满足𝑎≥0。 若一个式子中含有多个二次根式，要注意同时满足各个二次根式中的被开方数均为非负数。 注意所给式子中若含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。 注意所给式子中若含有零次幂，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证零次幂的底数不为零。 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）使式子有意义，则x的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）代数式中x的取值范围是 ． ►题型02 最简二次根式 最简二次根式须同时满足：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）式子中，最简二次根式有 个． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． ►题型03 同类二次根式 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·二模）与能合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．9 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式的非负性 二次根式的双重非负性：①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0；②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 常与绝对值、偶次方的非负性结合考查，利用“非负数之和为零”即“每部分为零”解题。 在方程和不等式中，常用此性质确定字母的取值范围和进行初步范围判断。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测），求的值． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则的值为 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值为 ． ►题型02 利用二次根式的性质化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽。 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简。 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）化简 ． 【典例】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁阜新·模拟预测）已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： ． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则m＝ ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． ►题型02 二次根式的加减 二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模），则x的值为 ． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）计算：． 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）计算： 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算：． ►题型03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序： 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 在二次根式的混合运算中，乘法公式和实数运算律仍适用；运算结果应写成最简二次根式或整式。 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： 【典例】2．（2025·辽宁·一模）计算： 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： 【变式】2．（2025·辽宁·一模）计算：． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）计算：． ►题型04 二次根式的化简求值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的值为 ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）化简求值：已知，求的值． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知，，则代数式的值等于 ． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知：，求代数式的值． ►题型05 分母有理化 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）计算： (1) (2) (3) 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ．． ，即．，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______． (2)若，求的值． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． ►题型06 二次根式的估算 【典例】1．（2025·锦州·三模）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若，则正整数的值是 ． 【变式】4．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； ►题型07 二次根式的应用 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出，经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 突破一 分母有理化综合问题 【典例】1．阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： (1)与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； (2)计算：． 【典例】2．阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【变式】1．【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【变式】2．先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 突破二 复合二次根式的化简 【典例】1．形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简： ． 【变式】1．阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 突破三 二次根式的新定义问题 【典例】1．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【典例】2．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【变式】1．对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括本身），简称取整，记为：这里，，其中是一个整数，，称为实数的小数部分，记作，所以有．例如，，．关于取整运算有部分性质如下： ； 若为整数，则； 请根据以上材料，解决问题： (1) ； ； (2)若，，求的值； (3)记，求． 【变式】3．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 突破四 二次根式的规律问题 【典例】1．观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【变式】1．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【变式】2．小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， （1）具体运算，仿照第3个等式，写出第5个等式：______． （2）观察、归纳，得出猜想，并验证猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． 验证猜想： （3）应用运算规律，化简： 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是 ． 4．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 5．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值是 ． 6．（2025·辽宁阜新·模拟预测）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知a，b是两个连续的整数，若，则 . 8．（2025·辽宁·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积为 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： 11．（2025·辽宁大连·一模）计算：； 12．（2025·辽宁·模拟预测）计算 (1) (2) 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 14．（2025·辽宁·模拟预测）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 15．（2025·辽宁营口·模拟预测）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 16．（2025·辽宁·模拟预测）老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 17．（2025·辽宁·模拟预测）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 18．（2025·辽宁·模拟预测）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 7．（2025·山东青岛·中考真题）计算： 8．（2025·青海·中考真题）计算： 9．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第04讲 二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 二次根式的相关概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 最简二次根式 题型03 同类二次根式 命题点二 二次根式的性质与化简 题型01 二次根式的非负性 题型02 利用二次根式的性质化简 命题点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除 题型02 二次根式的加减 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 分母有理化 题型06 二次根式的估算 题型07 二次根式的应用 05·重难突破·思维进阶 39 突破一 分母有理化综合问题 突破二 复合二次根式的化简 突破三 二次根式的新定义问题 突破四 二次根式的规律问题 06·优题精选·练能提分 55 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式有意义的条件 / / 丹东卷T14 营口卷T11 抚顺、葫芦岛卷T11 掌握二次根式有意义的条件。 二次根式的性质与化简 / 辽宁省卷T16 盘锦卷T19 沈阳卷T17 营口卷T17 掌握二次根式的性质；能利用二次根式的性质进行化简；理解二次根式化简的原理。 二次根式的运算 / 辽宁省卷T16 盘锦卷T11 阜新卷T3 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能根据法则进行二次根式的加、减、乘、除运算；掌握二次根式的混合运算顺序；能进行含有二次根式的实数运算。 命题预测 二次根式考点主要集中在二次根式有意义的条件、性质化简、与含二次根式的实数运算方面，以选择题、填空题、计算题的形式考查为主。二次根式有意义的条件，通常以选择题与填空题的形式考查，可能与分式有意义的条件同时结合出题。二次根式的性质与化简，与二次根式的运算，常以融合形式考查，也会在分式化简求值题目中，为提供字母取值而出题。整体难度不大，为中考高频考点，注意解题过程规范，计算准确。 考点一 二次根式有意义的条件 1.二次根式的定义 一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，𝑎叫做被开方数。 1）二次根式的两要素：含有二次根号“”，且根指数为2，一般2省略不写；被开方数为非负数； 2）任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3）二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，满足𝑎≥0即可； 2.二次根式有意义的条件 被开方数非负，即满足 𝑎≥0。 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎＞0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0。 1．（2023·辽宁丹东·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 2．（2023·辽宁营口·中考真题）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键． 3．（2025·辽宁锦州·三模）使代数式有意义，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义及分式有意义的条件可直接进行求解即可． 【详解】解：由代数式有意义，则有， 解得； 故答案为：． 考点二 二次根式的性质与化简 1.二次根式的性质 1）双重非负性： ①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0； ②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值。 2.二次根式的化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列计算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方、二次根式的化简，依据平方运算、二次根式的性质逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A. ，原式结果为6，错误，不符合题意； B. ，原式等于4，错误，不符合题意； C. （算术平方根非负），原式写为，错误，不符合题意； D. ，运算顺序正确，结果成立，符合题意； 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是关键． 根据二次根式的性质“”化简即可． 【详解】解：若， ∴， 解得，， 故选：D ． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知二次根式的值为6，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的求值．根据题意建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点三 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 3.最简二次根式 1）被开方数不含分母； 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 4.同类二次根式 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 5.二次根式的加减法 先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 6.分母有理化 通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 分母有理化方法： 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 7.二次根式的混合运算顺序 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 1．（2025·辽宁大连·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，根据二次根式的运算法则进行计算，逐一判断即可解答，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 【详解】A、，不能相加，故A不符合题意； B、，不能相减，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测） 计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的加减混合，特殊角的三角函数计算，解答即可．本题考查了二次根式的加减混合，特殊角的三角函数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 3．（2025·辽宁锦州·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先根据负整数指数幂、完全平方公式和绝对值的性质化简各式，再算加减法即可； 【详解】解： 4．（2025·辽宁盘锦·三模）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数混合运算，解题的关键是掌握平方差公式、绝对值的性质． 根据绝对值的意义，算术平方根，负指数幂的运算，平方差公式计算即可； 【详解】解：原式 ． 命题点一 二次根式的相关概念 ►题型01 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件，要求被开方数非负，即满足𝑎≥0。 若一个式子中含有多个二次根式，要注意同时满足各个二次根式中的被开方数均为非负数。 注意所给式子中若含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。 注意所给式子中若含有零次幂，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证零次幂的底数不为零。 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模）使二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）使式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥且x≠1 【详解】式子有意义， 则： 解得：且 故答案为且 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·三模）二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴， 解得． 故答案为： 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）代数式中x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． ►题型02 最简二次根式 最简二次根式须同时满足：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次格式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意． 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁锦州·三模）式子中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数是分数，不是最简二次根式，的被开方数是小数，不是最简二次根式，，不是最简二次根式，，不是最简二次根式所以，最简二次根式只有，共1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键在于能够熟练掌握最简二次根式的定义． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）在下列根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，对选项依次判断即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母求解即可． 【详解】解：A、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是分数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，含能开方的因数9，不是最简二次根式，不符合题意； D、为最简二次根式，符合题意， 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数；②分母不含根号，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、的被开方数为分数，分母是完全平方数，可化简为，故该选项不符合题意； C、的被开方数不含平方因子，且系数为整数，符合最简二次根式的定义，故该选项符合题意； D、的被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C ►题型03 同类二次根式 把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·二模）与能合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，涉及同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：， 根据同类二次根式的定义可知能与合并， 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的定义：二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；解题的关键是正确化简各选项的二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可． 【详解】解：A、，不能与合并，不符合题意； B、，不能与合并，不符合题意； C、，不能与合并，不符合题意； D、，能与合并，符合题意； 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若两个最简二次根式与能够合并，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，根据合并同类二次根式得出，，求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 命题点二 二次根式的性质与化简 ►题型01 二次根式的非负性 二次根式的双重非负性：①（𝑎≥0）表示二次根式，要求被开方数𝑎非负，即𝑎≥0；②表示非负数𝑎的算术平方根，即。 常与绝对值、偶次方的非负性结合考查，利用“非负数之和为零”即“每部分为零”解题。 在方程和不等式中，常用此性质确定字母的取值范围和进行初步范围判断。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可求出，再分边长为4的边是斜边和边长为4的边是直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为或5． 故答案为：或5． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测），求的值． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的非负性，熟练掌握相关法则是解题的关键；利用非负性求出x，y的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据被开方数的非负性可得x＝2，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． ►题型02 利用二次根式的性质化简 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 ， 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽。 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简。 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简。 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查算术平方根和二次根式的性质，逐一分析各选项的平方根与平方运算是否正确即可． 【详解】解：A．，故原选项计算结果错误，不符合题意； B．，故原选项计算结果错误，不符合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，故原选项计算结果错误，不符合题意； 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质化简，二次根式有意义的条件，熟知二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意可知， ∴，则， ， 故答案为：． 【典例】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，掌握是解题关键．由数轴可得，，再根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可得： ， 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的除法运算可判断A，根据二次根式的性质与化简可判断B，C，D，从而可得答案． 【详解】解：A、，运算正确，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质及化简，二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式】2．（2025·辽宁阜新·模拟预测）已知，则化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数． 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知a，b必须异号，而，易确定a，b的取值范围，也就易求二次根式的值． 【详解】解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴或， ∴ 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解答的关键是对二次根式的化简的法则的掌握．根据二次根式的化简的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 得． 故选：D． 【变式】4．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键； 先根据数轴推出，，，据此计算算术平方根、乘方和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：有数轴得，， ∴，， ∴， ． 故选∶B． 命题点三 二次根式的运算 ►题型01 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（≥0，＞0）. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算错误，不符合题意； C、，此选项计算正确，符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简运算，解题的关键是准确利用公式计算． 【典例】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据计算，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则m＝ ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴10m=9， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、平方差公式及积的乘方的逆用；因此此题可根据积的乘方、平方差公式及二次根式的运算法则进行求解． 【详解】解： ； 故答案为：． ►题型02 二次根式的加减 二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 2.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 3. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·二模），则x的值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法， 先移项根据二次根式的加减法法则计算求出，再化简得出答案． 【详解】解：， ∴． 故答案为：18． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式加减混合运算、零指数幂、负整数指数幂，熟记二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算求解即可得到答案； （2）先算零指数幂、化简二次根式、负整指数幂、化简绝对值进而计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算平方，负整数指数幂，二次根式，绝对值，再计算加减即可； 【详解】解：原式 【变式】2．（2025·辽宁葫芦岛·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，零次幂，绝对值的含义，先计算乘方，绝对值，零次幂，化简二次根式，再合并即可； 【详解】解： 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义，算术平方根的定义，二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ． ►题型03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序： 先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)。 在二次根式的混合运算中，乘法公式和实数运算律仍适用；运算结果应写成最简二次根式或整式。 【典例】1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）计算： 【答案】1 【分析】先分别计算负整数指数幂，化简绝对值，二次根式的除法，然后进行加减运算即可； 【详解】解： 【典例】2．（2025·辽宁·一模）计算： 【答案】6 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的乘法和加减法等知识点，掌握运算法则和正确计算是解题的关键．先计算平方，除法，化简二次根式和二次根式的平方运算，再进行加减计算即可； 【详解】解： 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握各个法则和计算步骤；先将二次根式化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； 【详解】解：原式 【变式】2．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，先运算完全平方公式，然后运算二次根式的乘法运算，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【变式】3．（2025·辽宁盘锦·三模）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数混合运算，解题的关键是掌握平方差公式、绝对值的性质． 根据绝对值的意义，算术平方根，负指数幂的运算，平方差公式计算即可； 【详解】解：原式 ． ►题型04 二次根式的化简求值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）化简求值：已知，求的值． 【答案】，3 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 当时， 原式 ． 【变式】1．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）已知，，则代数式的值为（   ） A．9 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．首先将原式变形，进而利用乘法公式代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）已知，，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】先求出，，再由进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、求代数式的值，正确得到，是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、代数式求值等知识点，掌握完全平方公式成为解题的关键． 先求出的值，然后根据完全平方公式将所求代数式化成，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． ►题型05 分母有理化 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分，即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分，即：。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，包括根式的化简、分母有理化，以及乘法分配律、平方差公式在二次根式运算中的应用． （1）先把各项根式化简，再对分母有根号的项有理化乘，最后合并同类二次根式． （2）前半部分用乘法分配律算，后半部分用平方差公式算，再做减法． （3）先化简各项根式，再按顺序算乘除，注意保留负号，最后化简结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【典例】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ．． ，即．，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______． (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】此题考查已知式子的值求代数式的值，正确掌握分母有理数化简方法，完全平方公式是解题的关键． （1）分子、分母同乘以，进而即可得到答案； （2）根据例子求出，原式变形得到，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ 【变式】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）， ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，最后代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． ►题型06 二次根式的估算 【典例】1．（2025·锦州·三模）估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算等知识，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 先计算，再进行无理数的估算，即可作答． 【详解】解： ， ， ， 的值应在5和6之间， 故选B． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若，则正整数的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先进行二次根式的加减运算，然后估算结果的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴正整数的值4． 故答案为：4． 【变式】4．（2025·辽宁葫芦岛·模拟预测）由，可知，则的整数部分为3，小数部分为． (1)的整数部分为 ，小数部分为 ． (2)的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)已知与的小数部分分别为，且求的值； 【答案】(1)4， (2) (3)或 【分析】（1）根据材料代入运算即可．； （2）根据题意可得，，，代入即可求解； （3）根据题意可得，，，代入即可求解． 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分为4 ∴的小数部分为． （2）∵即， ∴的整数部分为1， ∴的小数部分为． ∴，， ∴． （3）已知与的小数部分分别为， ∵， ∴， ∴的整数部分为10，小数部分为， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ， ，或． ►题型07 二次根式的应用 【典例】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据题意求出、，再计算与的比值即可得解．正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 【典例】2．（2025·辽宁大连·三模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．一个三角形的边长如图所示，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用，由题意得：，，，先求出，再代入公式计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．已知的三边长为2，5，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：由的三边长为2，5，， 得 ． 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为： 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，） (1)求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号） (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具被抛出，经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【答案】(1)从60m高空抛物到落地的时间为 (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 【分析】（1）根据题中高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式，将，代入求解即可得到结论； （2）根据题中高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），已知某质量为0.2kg的玩具被抛出，经过3s后落在地上，先利用公式得到，再结合动能公式求出动能，参照注：伤害无防护人体只需要65J的动能即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 答：从60m高空抛物到落地的时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 理由：当时，， ∴， 这个玩具坠落产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点睛】本题考查二次根式的实际应用，通过具体情境考查二次根式，读懂题意，理解题中现实情境相关的公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 突破一 分母有理化综合问题 【典例】1．阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： (1)与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； (2)计算：． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空利用平方差公式求解即可；对于第二空，分子和分母同时乘以后约分即可； （2）先分母有理化和计算绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：， ∴与互为有理化因式； ； 故答案为：；． （2）解： ． 【典例】2．阅读材料：像；； …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)①比较大小： （填，或） ②已知，，则的值为 ； (2)已知正整数a，b满足，求a，b的值． (3)化简：． 【答案】(1)①；②62 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法． （1）①根据题意得出，然后比较与的大小即可； ②先算出，，再将变形后代入求解即可． （2）先分母有理化，再移项变形得到，接着根据有理数和无理数的性质得到，然后解方程组即可． （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． ②∵，， ∴， ， 则． （2）解：∵， ， 即， ， 解得：． （3）解： ． 【变式】1．【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 【变式】2．先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 原式 （3）解：∵， ∴， ∴ ． 突破二 复合二次根式的化简 【典例】1．形如的化简，只要我们找到两个正数、，使得，，即有，，那么． 例如：． 根据上述材料中例题的方法，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式变形运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】1．阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 突破三 二次根式的新定义问题 【典例】1．对于任意正实数，，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确运用已知运算公式是解题关键．直接利用运算公式代入，进行计算即可得解 ． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【典例】2．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式． 问题解决： (1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__； (2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，分母有理化，平方差公式，并会用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （2）解：∵与是关于26的共轭二次根式， ∴， ∴， ∴． 【变式】1．对于有理数和，定义了一种新运算：，例如，则为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据新定义代入计算求值即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·模拟预测）在日常生活中，有时并不要求某个量的准确值，而只需求出它的整数部分．为了解决某些实际问题，我们定义一种运算——取一个实数的整数部分，即取出不超过实数的最大整数．在数轴上就是取出实数x对应的点左边最接近的整数点（包括本身），简称取整，记为：这里，，其中是一个整数，，称为实数的小数部分，记作，所以有．例如，，．关于取整运算有部分性质如下： ； 若为整数，则； 请根据以上材料，解决问题： (1) ； ； (2)若，，求的值； (3)记，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，弄清定义，熟练掌握不等式的基本性质，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义直接求解即可； （2）根据定义求出、的值，再代入代数式求解即可； （3）先进行分母有理化，找出无理数的取值范围，再根据定义求解即可． 【详解】（1）解：，， ；； 故答案为：；； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ， ， ， ． 【变式】3．阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 突破四 二次根式的规律问题 【典例】1．观察下列等式，解答下列问题． 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… (1)____________（填写运算结果）； (2)写出第n个等式：____________（用含n的代数式表示）； (3)是满足上述规律的代数式，若（a，b均为正整数），则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】本题考查了数字的变化规律，算术平方根，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． （1）模仿题干中的等式写出第5个等式即可得出答案； （2）根据各式计算得到结果，得出的规律写出即可； （3）根据（2）得出的规律，可求出a的值，a、b之间的关系，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：∵是满足上述规律的代数式，（a，b均为正整数）， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：21． 【变式】1．观察下列等式： 第1个等式； 第2个等式 第3个等式； … 根据你所发现的规律，解决下列问题： (1)填空______； (2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数） (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键． (1)根据题干中的已知等式即可求得答案； (2)根据已知等式总结规律即可； (3)根据所的规律先化简再算乘法即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）（n为正整数， 故答案为：； （3）原式． 【变式】2．小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， （1）具体运算，仿照第3个等式，写出第5个等式：______． （2）观察、归纳，得出猜想，并验证猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______． 验证猜想： （3）应用运算规律，化简： 【答案】（1）（2）为正整数），见解析（3） 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）仿照第3个等式，写出第5个等式：； 故答案为：； （2）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：为正整数）， 证明：等式左边右边， 故猜想成立； （3） ． 【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】解：A、被开方数含分母，可化简为，不是最简； B、被开方数含分母，可化简为，不是最简； C、，含平方因子，不是最简； D、，为质数，无平方因子，是最简二次根式； 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列二次根式能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，与不能合并，不合题意； B．，与不能合并，不合题意； C．，与能合并，符合题意； D．，与不能合并，不合题意； 故选C． 3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 4．（2025·辽宁·模拟预测）对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 次操作后变为2 【答案】3 【分析】理解题中新定义运算的规则，对36进行运算即可． 【详解】解：由题意可得： 故答案为：3 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是理解新定义运算以及掌握二次根式的性质． 5．（2025·辽宁·模拟预测）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得出，进而求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵且， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键． 6．（2025·辽宁阜新·模拟预测）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知a，b是两个连续的整数，若，则 . 【答案】 【分析】先求出的范围，即可求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】解：∵，则， ∴，， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的计算，能根据的范围求出a、b的值是解此题的关键． 8．（2025·辽宁·模拟预测）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为现在已知的三边长分别是，，，则三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别是的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：， 的三边长分别是的面积为：． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别化简绝对值，二次根式的乘法，零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算； 【详解】解：原式 11．（2025·辽宁大连·一模）计算：； 【答案】7 【分析】本题考查二次根式的运算，涉及到零指数幂运算、算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 根据算术平方根、绝对值、零指数幂运算分别求解后，进一步计算即可求解； 【详解】解：， ． 12．（2025·辽宁·模拟预测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键. （1）先化简二次根式，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知，实数，在数轴上的对应的点如图所示，化简的结果正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，二次根式的性质，立方根的定义，绝对值的性质；由数轴可得，，再根据立方根，二次根式性质与化简绝对值，进行求解即可． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴， ∴ ； 故选：D． 14．（2025·辽宁·模拟预测）如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 15．（2025·辽宁营口·模拟预测）若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 16．（2025·辽宁·模拟预测）老师在课上总结定理“对于任意两个正数a，b，如果，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ， ． 参考上面例题的解法，解答下列问题： (1)填空：________（填“”“”或“”）； (2)比较与的大小； (3)若，，试比较M，N的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． （1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，（， ，（，即， ， ， ； （3）解：， ， ，， ，， 又，即， ，即， ∴， ∴， ，即． 即 17．（2025·辽宁·模拟预测）阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 (1)当时，化简：_______； (2)若等式成立，则a的取值范围是______； (3)若，求a的值 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； （2）解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； （3）解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 18．（2025·辽宁·模拟预测）小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请解答下列问题： (1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①______；②_____． (2)应用：求的值． (3)拓展：直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，化简二次根式，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． （1）①仿照题意进行分母有理化即可；②仿照题意进行化简二次根式即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子裂项求解即可； （3）仿照题意把式子式子中的每一项的分母先化简二次根式，再把对应项分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ． （3）解： ． 1．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 2．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：60． 3．（2025·四川凉山·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是， 故答案为：． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：且，求解即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， ∴且． 故答案为：且． 5．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减． 【详解】解： ． 故答案为：2． 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 7．（2025·山东青岛·中考真题）计算： 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的化简并正确计算，先将与化简，再进行二次根式的运算； 【详解】解： 8．（2025·青海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算． 【详解】解： ． 9．（2025·四川南充·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 10．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $