专题06 相似（期末复习讲义）九年级数学上学期人教版

该初中数学相似专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将成比例线段、相似三角形、位似图形等知识按逻辑分层，用性质对比表呈现比例性质，结合图示解析平行线分线段成比例定理，突出相似三角形判定与性质的核心地位，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计与解题方法指导，每个题型配备“解题技巧”如相似三角形面积比等于相似比平方的应用，典例与变式题结合，如利用影长测量物体高度的实际问题培养数学眼光与应用意识。基础通关练夯实基础，重难突破练提升思维，助力不同层次学生发展，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

专题06 相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 掌握线段的比与成比例线段的概念，能合理运用比例性质进行相关计算和证明。 基本以选择。填空的形式考查，难度低。 相似图形 知道相似图形的概念，能识别相似图形并理解相似比的意义。 较少单独考查，属于简单内容。 相似三角形的性质与判定 掌握相似三角形的性质和判定并学会区分性质与判定，并能够熟练运用。 核心必考点，常作为几何题的破题知识点，部分考题会直接用于求解边长和角度。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 位似图形的性质与坐标变换 掌握位似图形的定义与性质，明确位似是“相似且对应点连线交于一点”的特殊相似关系；能说出位似图形的核心性质；掌握以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。 较常考查的考点，多以选择题、填空题形式出现，难度中等较多、 黄金分割 理解黄金分割的定义，掌握黄金比（≈0.618）的计算，能判断或构造线段的黄金分割点，并了解其简单应用。 中考常考概念题，通常以选择题或填空题形式出现，常与比例线段、相似图形或实际生活情境（如艺术、建筑）结合考查。 知识点01 成比例线段的概念 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 4．平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 5．平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 6．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 知识点02 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点03 相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.相似三角形的表示方法 相似用符号＂＂来表示，读作＂相似于＂。例如与 相似，记作＂＂，读作＂相似于＂。 3.相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 4.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点04 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 4.利用相似测量宽度 测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 知识点05 位似图形的性质与坐标变换 1、位似图形定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心. 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 4、平面直角坐标系中的位似 位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x，y)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比. 位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换. 知识点06 黄金分割 1. 黄金分割的定义与比值 把一条线段分成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例称为黄金比。 设线段 ( AB ) 的全长为 ( 1 )，黄金分割点为 ( C )（( AC > BC )），则满足： 其中较长段，较短段。 2. 黄金分割的作图与应用 黄金分割不仅是一个数学比例，在艺术、建筑、自然界中广泛存在（如帕特农神庙、蒙娜丽莎构图、鹦鹉螺壳等）。在数学题中，常要求判断某点是否为黄金分割点，或已知线段长求黄金分割段长。 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 1.四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ①统一单位后比较长度 ②利用比例基本性质：若，则ad=bc ③合比/分比性质可用于拆分复杂比例 2.平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ①识别“A字型”或“X字型”基本图形 ②直接写出对应线段比例式，如 ③求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．，不是成比例线段，不合题意； B．，不是成比例线段，不合题意； C．，不是成比例线段，不合题意； D．，是成比例线段，符合题意； 故选：D． 【典例2】已知线段，，则线段，的比例中项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义． 设线段，的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设线段，的比例中项为， 则， ， （负数舍去）． 故答案为：． 【典例3】如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 先根据平行线分线段成比例定理可得，得到，则可得的长，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 解得． 故选：C． 【典例4】如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【答案】B 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选：B． 【变式2】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 设，，其中， ． 故选：A． 【变式3】如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 把，，代入， 得， 解得：． 【变式4】已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是的，理由见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段，熟知比例线段的定义是解题的关键． （1）根据所给长度进行计算即可； （2）根据成比例线段的定义进行计算即可； （3）根据比例中项的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴线段a与线段b的比为． （2）解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴， ∴， ∴，即线段d的长为24． （3）解：是的，理由如下： ∵， ∴， ∴b是a和c的比例中项． 题型二 相似图形 解｜题｜技｜巧 1、判断对应角是否相等，对应边是否成比例 2、对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 3、常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑． 根据相似图形的定义，边对应成比例，角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确． 故选：D． 【典例2】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义， 根据“形状相同，大小不同的图形是相似图形”解答即可． 【详解】解：图A，B，C形状相同，只有大小不同，都是相似图形；图D形状不同，大小也不同，不是相似图形． 故选：D． 【变式1】下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 【变式2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形：相似图形需对应角相等且对应边成比例，熟练掌握相似图形的定义是解题关键．根据相似图形需对应角相等且对应边成比例逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个等腰三角形不一定相似，此项不符合题意； B、两个正五边形的所有对应角相等（每个内角均为），且所有对应边成比例（边长比相同），则两个正五边形一定相似，此项符合题意； C、两个矩形的所有对应角相等（每个内角均为），但对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，此项不符合题意； D、两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，则两个平行四边形不一定相似，此项不符合题意； 故选：B． 题型三 相似三角形的判定与性质 解｜题｜技｜巧 1.对应元素成比例，面积比=相似比² 2.求边长：利用对应边比例式 3.求面积：先求相似比，再平方得面积比 4.求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由题意可得，再由相似三角形的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【典例2】如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用两边对应成比例且夹角相等证明三角形相似． （1）由E是中点得，计算得，结合公共角，证明； （2）利用相似三角形的对应边成比例，结合计算的长． 【详解】（1）证明：∵E是的中点，， ∴ 又∵，， ∴，， 即 ∵， ∴ （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， 解得． 答：的长为． 【变式1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析并判断每个选项是否符合题意要求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A，B，C正确，D错误． 故选：D． 【变式3】如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． （1）根据相似三角形的判定即可求出答案； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 题型四 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 将实际问题转化为相似模型 1、测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 2、绘图问题：确定相似比，按比例缩放 3、注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质． 根据题意可得，，四边形是矩形，得出，，，设，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意,可得，， , ∴四边形是矩形， ． ， ． ， ， ． 设， ，， ，解得， ． 故选：B． 【典例2】九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得到是解题的关键． 过点作于H，垂足为点H，交于点G，只需要证明，得到，求出EH的值即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于H，垂足为点H，交于点G， 由题意可知：， ∴， ∴， ∵米，米，米 米，米， ∴， ∴米， ∴米． 故选：D． 【变式1】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 延长、交于点，连接，根据题意可得，进而证得，根据平行线等分线段定理可证得，设，则，进而证得，根据相似三角形的性质可求出的值，再证明，利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：延长、交于点，连接，如图： 设，则， 解得 、 故选：D． 【变式2】如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 【变式3】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 【详解】解：， ∴， ， ， 即， 米， 答：两岸之间的大致距离是 150 米． 题型五 位似图形的性质与坐标变换 解｜题｜技｜巧 相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 1.直接测量对应边求比值 2.在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 3.相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，， ∴与位似比为，与相似，相似比为， ∴， 故选：B． 【典例2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 【典例3】如图， 的三顶点分别为，，． (1)请画出一个以原点为位似中心，且与相似比为的位似图形 （只画出一种情况）； (2)比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么； (3)根据（1）中条件，直接写出与的面积比． 【详解】（1）解：如图， 就是所求的三角形． （2）解：各顶点的坐标为，，， 发现：各顶点的横坐标、纵坐标是对应顶点横坐标、纵坐标的． （3）解：由（1）可知，与相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心， ， ，， ， ， ， ， ， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，， ∴与的相似比为， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式3】如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． 【详解】（1）解：如图所示，为所求三角形； （2）解：的面积为其三个顶点所在矩形面积与三个直角三角形面积的差， 即． 题型六 黄金分割 解｜题｜技｜巧 将一条线段分割成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，该比例约为0.618:1 ①若点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则满足： ②已知线段总长，求黄金分割段长：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 - 较长段 ③在几何图形（如正五边形、黄金矩形）中识别黄金分割比，常与相似三角形结合考查 【典例1】把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为 ， 较短线段的长为． 故选：A． 【典例2】已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金矩形的定义，宽与长的比值为黄金比，已知长，通过比例关系求宽即可． 【详解】解：设该长方形的宽为，由题意，， ∴； 故答案为：． 【变式1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 【变式2】黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和成比例线段，根据黄金分割的定义，较长部分与较短部分的比值等于全长与较长部分的比值，设AP为较长部分，列出方程并求解． 【详解】设的长度为，则的长度为． 由黄金分割的定义，得 ， 即． 变形，得 ． 解得 ，． 由于且，因此取． 故的长度为. 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，根据比例中项的定义得，代入，计算即可． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握周长比等于相似比是关键．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴． 故选：B． 3．九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】考查知识点：平行线分线段成比例定理．方法技巧：利用平行线分线段成比例的性质，建立线段的比例关系求解．解题关键：识别平行线组，对应线段成比例．易错点：线段对应关系混淆（如误将对应）． 根据平行线分线段成比例定理，得到；代入已知条件求出的长度；计算得到结果． 【详解】因为，根据“平行线分线段成比例定理”，可得： 已知，，代入得： 因此． 故选：A． 4．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 5．如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、互补的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据互补的定义得到，根据三角形内角和定理得到，则有，再利用两角对应相等判定三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵与互补， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴的长度为． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：矩形， ， ， ，， ． ， ． ． ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，关于的函数图象经过， 代入得，， ， ． 故选：A． 2．如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 由题意可知，进而得到，即，，再根据即可求解． 【详解】在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 又在平行四边形中， ，， ， 则． 故答案为：． 3．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 【答案】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 4．如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记相似三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出，进而即可得解； （2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度，由可得出，再利用相似三角形的性质及即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作， 分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质． 根据矩形的性质得到，，，证明，得到，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的 边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论． 连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为． ∴正方形的边长为2，正方形的边长为4， ∴，，，． 分以下两种情况讨论： ①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心． 设直线解析式为，可得： ，解得：。 ∴， 当时，，即点. 正方形与正方形的位似中心的坐标是； ②如图②，连接，交于点． 由题意，得，，，． 易求出直线的表达式为，直线的表达式为． 联立解得． 点的坐标为， 正方形与正方形的位似中心的坐标是． 综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或． 故答案为：或． 3．数学课本126页第5题是这样的：“如图1，在中，D是上一点，，分别交，于点E，F，G，求证：．”学数有邻批改学生作业后，将所求证内容改为“．” (1)请证明学数有邻提出的结论是正确的； (2)如图2，已知在菱形中，， O是上一点，连接交于T，点S在上，连接，过S作，交于P，交于Q，且，相似比是，求的长． (3)如图3，点E，H在上，，，且与，分别交于点D，N，M，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明，可得，进而证明结论； （2）根据菱形的性质、等腰三角形的性质以及线段的和差可得，由，相似比是，可得，即，易得；再根据（1）的结论可得，即；再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）如图：过作，过H作，设，，由题意可得，再证明、，即；同理可得，即；然后证明，，由相似三角形的性质可得，，易得，最后代入求比例即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵菱形中，， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，相似比是， ∴， ∴， ∴， 由，根据（1）可得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ，解得：． （3）解：如图：过作，过H作，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：，即 ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 6 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 掌握线段的比与成比例线段的概念，能合理运用比例性质进行相关计算和证明。 基本以选择。填空的形式考查，难度低。 相似图形 知道相似图形的概念，能识别相似图形并理解相似比的意义。 较少单独考查，属于简单内容。 相似三角形的性质与判定 掌握相似三角形的性质和判定并学会区分性质与判定，并能够熟练运用。 核心必考点，常作为几何题的破题知识点，部分考题会直接用于求解边长和角度。 相似三角形的应用 能利用相似三角形解决测量高度、距离等实际问题，建立数学模型。 中考常见应用题，考查将实际问题转化为相似模型并求解的能力。 位似图形的性质与坐标变换 掌握位似图形的定义与性质，明确位似是“相似且对应点连线交于一点”的特殊相似关系；能说出位似图形的核心性质；掌握以原点为位似中心的位似图形的坐标变换规律。 较常考查的考点，多以选择题、填空题形式出现，难度中等较多、 黄金分割 理解黄金分割的定义，掌握黄金比（≈0.618）的计算，能判断或构造线段的黄金分割点，并了解其简单应用。 中考常考概念题，通常以选择题或填空题形式出现，常与比例线段、相似图形或实际生活情境（如艺术、建筑）结合考查。 知识点01 成比例线段的概念 1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 3．比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 4．平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 总结：若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 5．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对 应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 6．平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若或或，则有EF//BC． 注意：对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 知识点02 相似图形 1.定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 易错点： 1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件 2.两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 2.两个关系 (1)相似图形之间的关系:两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)相似与全等的关系:当两个图形的形状相同、大小也相司时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 知识点03 相似三角形的性质与判定 1.相似三角形的定义 对应边成比例、对应角相等的三角形相似·反之:两个三角形相似，对应边成比例、对应角相等 2.相似三角形的表示方法 相似用符号＂＂来表示，读作＂相似于＂。例如与 相似，记作＂＂，读作＂相似于＂。 3.相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 4.相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 知识点04 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度 (1)测量原理:同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 (2)测量方法:在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 易错点： 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 2.利用直尺或标杆测量物体的高度 (1)测量原理:用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边,利用视点和盲区构造相似三角形 (2)测量方法:借助直尺或标杆测量物体高度 3.利用镜子的反射测量物体的高度 (1)测量原理:利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 (2)测量方法:测出观测者站立点与镜面标记点的距离待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度 4.利用相似测量宽度 测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 常见的测量方式 (1)构造“A”型相似，如图①② (2)构造“X”型相似，如图 知识点05 位似图形的性质与坐标变换1、位似图形定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心. 2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 3、画图步骤： （1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形 （2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 4、平面直角坐标系中的位似 位似变换中对应点的坐标变化规律 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x，y)，则其位似图形对应顶点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky).这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比. 位似变换与平移、轴对称两种变换的联系和区别 位似、平移、轴对称都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于:平移、轴对称变换是全等变换，而位似变换是相似变换. 知识点06 黄金分割 1. 黄金分割的定义与比值 把一条线段分成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，这个点叫做这条线段的黄金分割点，这个比例称为黄金比。 设线段 ( AB ) 的全长为 ( 1 )，黄金分割点为 ( C )（( AC > BC )），则满足： 其中较长段，较短段。 2. 黄金分割的作图与应用 黄金分割不仅是一个数学比例，在艺术、建筑、自然界中广泛存在（如帕特农神庙、蒙娜丽莎构图、鹦鹉螺壳等）。在数学题中，常要求判断某点是否为黄金分割点，或已知线段长求黄金分割段长。 题型一 成比例线段 解｜题｜技｜巧 1.四条线段a、b、c、d若满足a:b=c:d，则成比例 ①统一单位后比较长度 ②利用比例基本性质：若，则ad=bc ③合比/分比性质可用于拆分复杂比例 2.平行线截两条直线，所得线段对应成比例 ①识别“A字型”或“X字型”基本图形 ②直接写出对应线段比例式，如 ③求未知线段时，可设x列方程求解 【典例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知线段，，则线段，的比例中项是 ． 【典例3】如图，已知，．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【典例4】如图，． (1)直接填空；的值为______，的值为______； (2)若，求和的长． 【变式1】下面四组线段中不能成比例线段的是（    ） A．3、6、2、4 B．4、6、8、10 C．1、、、 D．、、2、 【变式2】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长． 【变式4】已知线段，，． (1)求线段a与线段b的比． (2)如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长． (3)是a和c的比例中项吗？为什么？ 题型二 相似图形 解｜题｜技｜巧 1、判断对应角是否相等，对应边是否成比例 2、对于多边形，需同时满足角相等和边成比例 3、常见相似图形：正多边形、圆 【典例1】下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 【典例2】下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列四组图形中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．两个等腰三角形 B．两个正五边形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 题型三 相似三角形的判定与性质 解｜题｜技｜巧 1.对应元素成比例，面积比=相似比² 2.求边长：利用对应边比例式 3.求面积：先求相似比，再平方得面积比 4.求高/中线：对应高之比=相似比 【典例1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，点D，E分别在的边，上且E是AC的中点，若，，．     (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，则下列式子中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【变式4】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 题型四 相似三角形的应用 解｜题｜技｜巧 将实际问题转化为相似模型 1、测量问题：构造相似三角形，利用影子或反射原理 2、绘图问题：确定相似比，按比例缩放 3、注意单位统一与结果合理性检验 【典例1】如图是凸透镜成像的光路示意图，，，分别表示蜡烛、蜡像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点．另一束经过光心的光线与折射光线相交于点．已知，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例2】九年级研学小组到顺峰山公园进行研学，为了测量公园水平地面上的一座寺庙的高度．如图，小明在距点10米处竖立了一根高为2米的标杆，然后小明向后调整自己的位置，发现当自己与标杆相距1米时，小明眼睛、标杆顶端、寺庙顶端在同一直线上，已知小明的眼睛距地面1.6米，则寺庙高度为（   ） A．4米 B．4.4米 C．5.6米 D．6米 【变式1】一种燕尾夹如图1所示，图2是闭合状态的示意图，，，，图3是打开状态的示意图，其中，则打开状态下，两点之间的距离为（    ） A．4cm B． C．3cm D． 【变式2】如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为 cm． 【变式3】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点为A，再在河的这一边选点B和C，使，然而再选点E，使，确定与的交点为D，测得，，，你能求出两岸之间的大致距离吗？ 题型五 位似图形的性质与坐标变换 解｜题｜技｜巧 相似比=对应边之比=对应点到位似中心距离之比 1.直接测量对应边求比值 2.在坐标系中，若位似中心为原点，则坐标比=相似比 3.相似比大于1为放大，小于1为缩小 【典例1】如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3】如图， 的三顶点分别为，，． (1)请画出一个以原点为位似中心，且与相似比为的位似图形 （只画出一种情况）； (2)比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么； (3)根据（1）中条件，直接写出与的面积比． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若，则的对应点的坐标是 ． 【变式3】如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． 题型六 黄金分割 解｜题｜技｜巧 将一条线段分割成两部分，使其中较长部分与原线段的比例等于较短部分与较长部分的比例，该比例约为0.618:1 ①若点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则满足： ②已知线段总长，求黄金分割段长：较长段 = 总长 × 0.618，较短段 = 总长 - 较长段 ③在几何图形（如正五边形、黄金矩形）中识别黄金分割比，常与相似三角形结合考查 【典例1】把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知宽与长之比为黄金比的长方形称为黄金矩形，已知长方形为黄金矩形，若长方形的长为，则该长方形的宽为 ． 【变式1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式2】黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点为恰好为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（用含的代数式表示） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，如果是的比例中项，那么的值为（　　） A．16 B． C．4 D．-4 2．若，相似比为，则与的周长的比为（　　） A． B． C． D． 3．九年级某班级在一次班级文化评比中，制作了一个如图所示的简易花架摆放班级里的绿植，已知，，，则的长度为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 5．如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，， 图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，已知平行四边形，对角线交于点，连接交于，若，则为 ． 3．汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为 ． 4．如图，在中，连接，点F是边上一点，连接并延长，交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，在矩形中，，，点E是边上的点，连接交于点G，过点A作， 分别与，交于点H，F，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的 边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ． 3．数学课本126页第5题是这样的：“如图1，在中，D是上一点，，分别交，于点E，F，G，求证：．”学数有邻批改学生作业后，将所求证内容改为“．” (1)请证明学数有邻提出的结论是正确的； (2)如图2，已知在菱形中，， O是上一点，连接交于T，点S在上，连接，过S作，交于P，交于Q，且，相似比是，求的长． (3)如图3，点E，H在上，，，且与，分别交于点D，N，M，求的值． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $