专题10 反比例函数和相似三角形（期末真题汇编，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题10 反比例函数和相似三角形 3大高频考点概览 考点01反比例函数 考点02 图形的相似 考点03 相似三角形的判定和性质 一、单选题地 城 考点01 反比例函数 1．(24-25九上·天津西青区·期末)若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 将点分别代入反比例函数，求得的值后，再来比较一下它们的大小． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，即； ，即； ，即； ∵， ∴； 故选：A． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键； 根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质进行判断即可 【详解】A、在中，，故随着的增大而减小，故A不符合题意； B、在中，，当时，随着的增大而减小，故B不符合题意； C、在中，抛物线对称轴为轴，开口向上，当时，随着的增大而增大，故C符合题意； D、在中，抛物线对称轴为轴，开口向下，当时，随着的增大而减小，故D不符合题意； 故选：C 3．(24-25九上·天津南开区·期末)下列图象中，是反比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断反比例函数的图象，根据反比例函数的图象为双曲线，，图象过二，四象限，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象为过二，四象限的双曲线． 故选C． 4．(23-24九上·天津和平区建华中学·期末)若点都在反比例函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大． 【详解】解：∵， ∴的图象在二、四象限，且在两个象限内随增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 5．(23-24九上·天津和平区建华中学·期末)如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（    ）    A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数中比例系数的几何意义，的面积等于，以及函数所在的象限，即可确定k的符号，从而得到k的值． 【详解】解：由题意得：的面积等于， ∴， 得， 又∵反比例函数图象在二、四象限． ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 1．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)已知点， ， 都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是 （用“”表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据，图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大， ∵点， ， 都在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 2．(24-25九上·天津北辰区·期末)在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，， ， 故答案为：． 3．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数图象经过的点求出的值，再分析反比例函数在给定取值范围时的取值范围．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵ ∴在每个象限内，随的增大而减小 当时， 当时， 又∵ ∴ 故答案为：． 4．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，反比例函数 上有一点A，过点A作，轴于点B， 的面积为5，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据图形面积求反比例函数的值．根据反比例函数值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵双曲线在二，四象限， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25九上·天津蓟州区·期末)如图，直线（）与双曲线（）相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)若，，为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系式为______； (3)当时，反比例函数的取值范围为______； (4)观察图象，请直接写出不等式的解集：______． 【答案】(1)双曲线解析式为；直线解析式为 (2) (3) (4)或 【分析】 （1）将点坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出双曲线解析式，将坐标代入反比例解析式求出的值，确定出点坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出直线解析式； （2）根据三点横坐标的正负，得到与位于第一象限，对应函数值大于0，位于第三象限，函数值小于0，且在第一象限内函数值随自变量的增大而减小，即可得到大小关系式； （3）分别解出当与时的函数值，根据函数的图像即可得出；（4）由两函数交点坐标，利用图象即可得出所求不等式的解集． 【详解】（1） 解：将代入双曲线解析式得：，即双曲线解析式为； 将代入双曲线解析式得：，即，， 将与坐标代入直线解析式得：， 解得：，， 则直线解析式为； （2） 解：，且反比例函数在第一象限内函数值随自变量的增大而减小， 与位于第一象限，即，位于第三象限，即， 则； 故答案为：； （3）解：当 时，随的增大而减小， 当 时， 当 时， 当时，反比例函数的取值范围为； 故答案为：； （4） 解：由，， 由，，当时， 利用函数图象得：不等式的解集为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数的值，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．(24-25九上·天津南开区·期末)若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 【答案】(1)， (2)①二，四；②增大；③ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，反比例函数的解析式为：； （2）∵，， ∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大； ∵点和在双曲线上，且， ∴； 故答案为：①二，四；②增大；③． 3．(23-24九上·天津南开区·期末)已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①根据函数图象求出不等式的解集即可； ②根据反比例函数增减性比较反比例函数值的大小即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数解析式为； 把代入得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：①如图，当或时，一次函数在反比例函数的上面， ∴的解集为或； 故答案为：或； ②∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴，，， ∵， ∴在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，求反比例函数解析，比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． 地 城 考点02 图形的相似 一、单选题 1．(24-25九上·天津宁河区·期末)如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论． 【详解】解：四边形和四边形相似， ，，，， 又， ． 故选：A． 2．(24-25九上·天津五十中学·期末)如图，直线、被三条互相平行的直线，，所截，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，进一步可求得． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，解题的关键是掌握平行线分线段所得线段对应成比例． 3．(24-25九上·天津南开中学·期末)如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意线段要对应． 二、填空题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为 ． 【答案】250 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，熟练掌握比例尺的意义是解决问题的关键．由比例尺可知，图上在实际中表示，据此设这块正方形草地边长为，列方程解答． 【详解】解：设这块正方形草地边长为， 则， 解得：， 故答案为：250． 三、解答题 1．(23-24九上·天津南开区·期末)如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点． (1)求和的度数； (2)如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据等腰三角形的性质得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据等边对等角得出，等量代换得出，证明，根据切线的性质得出，即可得出，从而求得； （2）连接，设与交于点，连接，得出是等腰直角三角形，根据垂径定理，，得出设，则，得出，勾股定理求得，得出，根据平行线分线段成比例得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，设与交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵，又， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， 设，则， ∴中，， 解得：， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，切线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 地 城 考点03 相似三角形的判定和性质 一、单选题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由平行于的直线把分成面积相等的两部分，可知与相似，且面积比为，则相似比为，进而即可得出结果，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 把分成面积相等的两部分， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)已知两个等边三角形的面积比是，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出相似比即可得出结果． 本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质解题关键． 【详解】解：∵两个等边三角形的每个内角都是， ∴两个等边三角形相似， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为． 故选：C． 二、填空题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1） ； （2）若为的中点，，则 ． 【答案】 /90度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，由旋转性质可知：，，，，，则，从而可得，再利用角度和差求出，再证明，则，又为的中点，，则，由勾股定理求出，最后代入即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转性质可知：，，，，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 2．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过作轴于，根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， 四边形是矩形． 故答案为：． 3．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)如图，已知平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，且，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的对边平行且相等，可证，又因，可得相似三角形的相似比为，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出的面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 4．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点D在格点上，点B，点C在格线上，过点和点C作圆． （1）点之间的距离为 ； （2）若，点在直线上，且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点的位置，并简要说明其位置是如何找到的 （不要求证明） 【答案】 图见解析；取格点，作射线，分别与圆交于点，取圆与格线交点，连接，交于点，则点为圆心，取与格线交点，连接，交格线于点，作射线，交于点，则点即为所求 【分析】（1）结合网格特点，利用勾股定理求解即可得； （2）取格点，作射线分别交圆于点，连接，则为等腰直角三角形，可得，则为直径，取圆与格线的交点，连接，由得到为直径，那么交点即为圆心，取与格线交点，连接交格线于点，则为的重心，因为，为中点，则为中点，同理由得点为中点，故为的重心，作射线交于点，则点即为所求．连接并延长交于点，由为的重心得到为中点，连接并延长交于点，连接，则为的中位线，则，，由，得到，结合重心性质得，则，那么，而，则可证明四边形为平行四边形，故，延长交于点，则，延长交于点，由得到，因此是边上的高，是边上的高，那么点为垂心，那么． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）如图，取格点，作射线，分别与圆交于点，取圆与格线交点，连接，交于点，则点为圆心，取与格线交点，连接，交格线于点，作射线，交于点，则点即为所求． 故答案为：取格点，作射线，分别与圆交于点，取圆与格线交点，连接，交于点，则点为圆心，取与格线交点，连接，交格线于点，作射线，交于点，则点即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形的重心性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质等知识，较难的是题（2），正确画出圆的圆心是解题关键． 5．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)已知，如图，在直角三角形中，，，点D为边上一个动点，，连接，以为边作等边三角形，则在D点的运动过程中，C、E两点的最小距离为 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接，，，证明，可得，由垂线段最短可得当时，HD有最小值，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取中点H，连接，， ∵，，点H是的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小值为 ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，直线，且与之间的距离等于与之间的距离，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线间的距离，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行线间的距离，可得，进而判定，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：作交直线于点，交直线于点，如图所示， ，且与之间的距离等于与之间的距离， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．(24-25九上·天津南开区·期末)两个相似三角形的最短边分别为和，它们的周长之和为，那么较小三角形的周长为 （）． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最短边分别为和， ∴相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：， 设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较小三角形的周长为； 故答案为：18． 三、解答题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，在矩形中，若，，． (1)求证； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）由矩形的性质得到，则，即可证明； （2）由勾股定理求出，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）在矩形中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 2．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】题目主要考查二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意，直接代入确定点，，然后确定抛物线的解析式化为顶点式即可； （2）根据题意确定点．得出，，再由题意建立方程求解即可； （3）由（2）知抛物线的解析式为．得出，确定顶点的坐标为，对称轴为直线．过点作于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）由题知抛物线的解析式为， 令，得． ∴点． ∴． 由已知得， ∵， ∴． 解得． （3）由（2）知抛物线的解析式为． 得点，其中． ∵， ∴顶点的坐标为，对称轴为直线． 过点作于点，则， 由，可得：． ∴， ∴． ∴， ∴． 即． ∵， ∴解得①． ∵轴，且， ∴． ∴②． 联立①②解得，． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意判定，然后由相似三角形的性质，即可求解， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 代入，，， 解得． 答：树高为． 4．(24-25九上·天津红桥区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． (1)的大小等于 （度）； (2)若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由直径所对圆周角为直角解答即可； （2）取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O，根据90度的角所对的弦为直径，即得出其与的交点O即为圆心．延长与网格线相交于点G，连接与相交于点P，则点P即为所求（如图，作垂直于网格线，通过证明，证明点G与点B关于直线对称）． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴； （2）解：如图，取圆与网格线的交点E和格点F，连接与相交于点O．延长与网格线相交于点G；连接与相交于点P，则点P即为所求． 5．(24-25九上·天津红桥区·期末)如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 【答案】(1) (2)①树的高度为2；②树的高度的最大值为 【分析】本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键． （1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可； ②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解 【详解】（1）由点在抛物线上，得，解得． 由，得该抛物线的顶点坐标为 （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为, 直线的解析式为, 点的横坐标为1， 点的横坐标为1. 将代入, 的坐标为点的坐标为 答：这棵树的高度是2． ②点B在直线上，且直线的解析式为 设B点坐标为，则C的坐标为 ∴， 当时，树的高度的最大值为． 6．(24-25九上·天津红桥区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得矩形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F，记旋转角为，其中． (1)填空：如图①，当时，与相交于点G，点F的坐标为 ，点G的坐标为 ； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点E，F的坐标； (3)连接，M为线段的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）过点F作轴于点M，由得到，由旋转的性质得，得到，，即可求出点F的坐标；在中，由求出，得到点G的坐标； （2）由旋转的性质得，，在中，，即可得到点E的坐标为；过点F作轴于点N，证明，得到，，即可得到点F的坐标； （3）取中点，连接，，，则，是的中位线，得到，，再根据，求线段的长的取值范围． 【详解】（1）解：如图，过点F作轴于点M， ∵，即， ∴， ∴，， 由旋转的性质得， ∵点， ∴， ∴，， ∴， ∴点F的坐标为， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴点G的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵点，点， ∴，， 由旋转的性质得，， ∵是矩形， ∴， ∴在中，， ∴点E的坐标为， 如图，过点F作轴于点N， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在和中，，，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 点F的坐标为； （3）解：取中点，连接，，， 由旋转的性质得，， ∵是矩形， ∴， 在中，， ∵M为线段的中点，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵在中，，当三点共线时取等号， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，矩形的性质，点的坐标． 7．(24-25九上·天津南开区·期末)在四边形中，，连接，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，，，求的度数和的长． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）由平行得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，结合等边对等角，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 反比例函数和相似三角形 3大高频考点概览 考点01反比例函数 考点02 图形的相似 考点03 相似三角形的判定和性质 一、单选题地 城 考点01 反比例函数 1．(24-25九上·天津西青区·期末)若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津南开区·期末)下列图象中，是反比例函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·天津和平区建华中学·期末)若点都在反比例函数的图象上，则有（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·天津和平区建华中学·期末)如图，A为反比例函数图象上一点，垂直x轴于B点．若，则k的值为（    ）    A．10 B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)已知点， ， 都在反比例函数的图象上，那么，与的大小关系是 （用“”表示） 2．(24-25九上·天津北辰区·期末)在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 3．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)反比例函数的图象经过点，当时，反比例函数取值范围是 ． 4．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，反比例函数 上有一点A，过点A作，轴于点B， 的面积为5，则该反比例函数的解析式为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·天津蓟州区·期末)如图，直线（）与双曲线（）相交于、两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)若，，为双曲线上的三点，且，请直接写出，，的大小关系式为______； (3)当时，反比例函数的取值范围为______； (4)观察图象，请直接写出不等式的解集：______． 2．(24-25九上·天津南开区·期末)若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 3．(23-24九上·天津南开区·期末)已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空： ①直接写出不等式的解集______； ②点，，都在反比例函数的图象上，若，比较，，的大小（用号连接），其结果是______. 地 城 考点02 图形的相似 一、单选题 1．(24-25九上·天津宁河区·期末)如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津五十中学·期末)如图，直线、被三条互相平行的直线，，所截，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津南开中学·期末)如图，在中，，，，，则的长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．9 二、填空题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)在比例尺为的图纸上，量得一正方形的草地边长为，则这个正方形草地的实际边长为 ． 三、解答题 1．(23-24九上·天津南开区·期末)如图1，在中，，，以为直径的与相交于点．过点的切线与相交于点． (1)求和的度数； (2)如图2，过点作于点，过点作于点，交于点和．若，求的长． 地 城 考点03 相似三角形的判定和性质 一、单选题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，平行于的直线把分成面积相等的两部分，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)已知两个等边三角形的面积比是，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，将绕点顺时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为点，，若点，，在同一条直线上，与交于点． （1） ； （2）若为的中点，，则 ． 2．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ． 3．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)如图，已知平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，且，则的面积为 ． 4．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点D在格点上，点B，点C在格线上，过点和点C作圆． （1）点之间的距离为 ； （2）若，点在直线上，且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点的位置，并简要说明其位置是如何找到的 （不要求证明） 5．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)已知，如图，在直角三角形中，，，点D为边上一个动点，，连接，以为边作等边三角形，则在D点的运动过程中，C、E两点的最小距离为 ． 6．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，直线，且与之间的距离等于与之间的距离，若，则的长为 ． 7．(24-25九上·天津南开区·期末)两个相似三角形的最短边分别为和，它们的周长之和为，那么较小三角形的周长为 （）． 三、解答题 1．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)如图，在矩形中，若，，． (1)求证； (2)求的长． 2．(24-25九上·天津河西区·期末)已知抛物线，（，为常数，），抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），且两点坐标分别为，，与轴相交于点，顶点为． (1)若，求顶点的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)若点在抛物线上，点的横坐标为，满足，且，过点作轴，垂足为，当时，求此时和的值． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度． 如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 4．(24-25九上·天津红桥区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，顶点B，C均在网格线上，以为直径的经过点C． (1)的大小等于 （度）； (2)若P为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 5．(24-25九上·天津红桥区·期末)如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C． ①当点B的横坐标为1时，求树的高度； ②求树的高度的最大值． 6．(24-25九上·天津红桥区·期末)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是矩形，点，点，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得矩形，点B，C，O的对应点分别为D，E，F，记旋转角为，其中． (1)填空：如图①，当时，与相交于点G，点F的坐标为 ，点G的坐标为 ； (2)如图②，当点E落在的延长线上时，求点E，F的坐标； (3)连接，M为线段的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 7．(24-25九上·天津南开区·期末)在四边形中，，连接，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，，，求的度数和的长． 2 / 34 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $