专题05 轴对称和中心对称（5知识&14题型&4易错&4方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学专题知识清单系统整合了轴对称和中心对称核心内容，涵盖轴对称图形、线段垂直平分线、角平分线、中心对称、图形旋转五大知识模块，搭建从概念定义到性质应用再到综合题型的递进式学习支架。 清单以“5知识清单+14题型分类+4易错提示+4方法总结”构建完整体系，通过对比表格明晰轴对称与轴对称图形区别联系，结合折叠问题、尺规作图等实例培养几何直观与推理意识，特别标注“对称轴是直线”等易错点，助力学生自主梳理知识，教师可精准把握教学重难点。

专题05 轴对称和中心对称（5知识&14题型&4易错&4方法清单） 【清单01 轴对称图形】 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是 ，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 ． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊 一个形状特殊的图形 图形个数 图形 图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 有 或 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 ． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连 ． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段） ，对应角（对折后重合的角） ． （4）成轴对称的两个图形 ；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的 、 ． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴 ． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 【清单02 线段垂直平分线】 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 ．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点 在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【清单03 角平分线】 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到 的距离相等。 2.判定定理:到 距离相等的点在角的平分线上。 【清单04 中心对称】 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个 ；绕对称中心旋转180°两个图形能够 。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的 。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成 。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过 ，并且都被对称中心 ； （2）关于中心对称的两个图形能够 ，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段 或共线）且 。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点 ，如果旋转后的图形能够与原来的 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【清单05 图形的旋转】 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内 转动 ，就叫做图形的旋转，点O叫做 ，转动的角叫做 。 我们把 、 、 称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的 ；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（3）旋转前后的图形 。 理解以下几点： 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ； （2）对应点到旋转中心的 ，它就是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【题型一 轴对称图形】 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 3．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 【题型二 画对称轴】 4．如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 5．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 6．两个全等的三角形，可以拼出不同的轴对称图形．已知，，请在图①②③④中分别画出与全等的另一个三角形，使它与组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴． 【题型三 求对称轴条数】 7．下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 8．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 9．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是 ． 有一条对称轴的图形是 ． 有两条对称轴的图形是 ． 有三条对称轴的图形是 ． 有三条以上对称轴的图形是 ． 【题型四 根据成轴对称图形的特征进行判断】 10．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有 个． 11．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 12．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 【题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解】 13．如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 15．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【题型六 线段垂直平分线的判定与性质】 16．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 17．如图，在中，． (1)在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 18．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【题型七 作已知线段的垂直平分线】 19．如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 20．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 21．如图，已知． (1)画出的高； (2)画出的中线（要求保留作图痕迹，不用证明）． 【题型八 折叠问题】 22．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为 ． 23．如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 24．在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． 【题型九 角平分线的性质与判定】 25．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 26．如图，在中，平分，平分，于点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 27．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【题型十 作角平分线】 28．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 29．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下问题： (1)如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：在中，．求证：． 30．作图题：（要求：保留作图痕迹，不写作法） 如图所示，在平面内找一点P，使得点P到线段两个端点的距离相等，同时点P到两边的距离也相等． 【题型十一 中心对称】 31．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 32．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 33．已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． 【题型十二 根据中心对称的性质求面积、长度和角度】 34．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 35．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为 ． 36．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【题型十三 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 37．如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 38．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有三个小正方形涂黑，按下列要求画图： (1)在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案是中心对称图形但不是轴对称图形． 39．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小正方形顶点上． (1)在图1中画出，使四边形是中心对称图形，点在小正方形格点上．连接，并直接写出线段的长； (2)在图2中画出，使四边形是轴对称图形，点在小正方形格点上． 【题型十四 图形的平移、旋转和轴对称设计图案】 40．如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 41．如图是的正方形网格，其中的4个正方形已被涂黑．请你再将1个空白的小正方形涂黑，使图中涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 42．综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地．          【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 【题型一 根据轴对称图形的特征特征进行求解问题】 43．如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．如图，是锐角，M，N分别是上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则 （用含、的式子表示）． 45．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【题型二 线段垂直平分线的性质应用】 46．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 47．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，若的周长为，求的长． 48．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【题型三 角平分线的性质应用】 49．已知：如图，E是的平分线上的一点，，，垂足分别为C，D，连接，交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)求证：是线段的垂直平分线． 50．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 51．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【题型四 尺规作图的步骤】 52．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示． 甲： ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙： ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙： ①在上取点，利用圆规截取； ②过点，作； ③作射线，即为所求． (1)甲、乙、丙三种方案中，可以得出是平分线是 ．（填：甲，乙，丙） (2)证明其中一种是角平分线的作法． 53．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 54．如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 【题型一 轴对称中的最值问题】 55．如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则 ． 56．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 57．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【题型二 线段垂直平分线的判定与性质】 58．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则 ． 59．如图，在中，为边的中点，直线交于点，为直线上一动点，为直线上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 60．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； (2)如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 【题型三 角平分线的判定与性质】 61．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 62．在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 63．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【题型四 折叠问题】 64．折角的思考 已知，射线在的内部（与不重合），设，．将射线沿直线翻折，得到射线，将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）． 【初步尝试】 （1）如图①，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （2）若，则___________，___________； （3）若，，请画出不同情形的示意图，并分别求出度数． 【探索归纳】 （4）设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围． 65．综合与实践 在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作测量 操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平． 如图，当点在折痕上时，连接，．测量的度数，得度，则______度； (2)迁移探究 在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系并说明理由； (3)拓展应用 在（）的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 66．中，，，点D从点B以的度沿着射线方平移，到点C停止平移，同时，点E也以的速度从点C沿着射线平移，到点B停止平移．（不考虑D、E重合的情况） (1)如图1，求证：； (2)在直线上一定存在一个点F，使和的面积始终相等，则 ； (3)将沿着翻折至． ①若，，则 （2）中的点F（填“经过”或“不经过”），此时，的度数为 ； ②猜想、、之间的数量关系，并给出详细证明过程． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称和中心对称（5知识&14题型&4易错&4方法清单） 【清单01 轴对称图形】 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 2．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3．轴对称和轴对称图形的性质 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 4．轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 （1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． （2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 5．画轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 【清单02 线段垂直平分线】 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 【清单03 角平分线】 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上。 【清单04 中心对称】 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 【清单05 图形的旋转】 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 【题型一 轴对称图形】 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．下面是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 2．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 3．如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．，是筝形的对角线．请你通过探究判断下列结论正确的是 （填序号）． ①；②；③平分；④筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线． 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，筝形的对称性，解决本题的关键是判断出．用直接判断出，逐个分析选项，即可得出结论． 【详解】解：在和中，， ， ，，， 平分． 筝形是轴对称图形，其对称轴为对角线所在直线， 与不一定相等， ①③正确， 故答案为：①③． 【题型二 画对称轴】 4．如图，和关于直线对称，和关于直线对称． (1)画出直线； (2)直线与相交于点O，试探究与直线所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质，是解题的关键： （1）连接，画出线段的垂直平分线即可； （2）根据角的和差关系和轴对称图形的性质，进行推导即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：连接， 则， ∵和关于直线对称，和关于直线对称， ∴， ∴， ∴． 5．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）解：作图如下：    6．两个全等的三角形，可以拼出不同的轴对称图形．已知，，请在图①②③④中分别画出与全等的另一个三角形，使它与组成一个轴对称图形，并画出它的对称轴． 【答案】画图见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答． 【详解】解：答案不唯一，如： 如图， 对称轴为直线； 对称轴为直线， 对称轴为直线， 对称轴为直线. 【题型三 求对称轴条数】 7．下面图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是它的对称轴． 先根据对称轴的定义确定各图形对称轴的条数，进而完成解答． 【详解】 解：有4条对称轴； 有3条对称轴； 有2条对称轴； 有2条对称轴； 所以对称轴数量最多的是． 故选：A． 8．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．利用轴对称的性质进行判断，全等三角形不一定轴对称，但轴对称的三角形一定全等；对应点可能在对称轴上；对称轴通常唯一． 【详解】解： A、 全等三角形不一定关于某直线对称，例如通过平移得到的全等三角形，故该选项不符合题意； B、 如果两个三角形关于某直线轴对称，则它们全等，这是轴对称的基本性质，故该选项符合题意； C、 成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴的两侧，有些点（如对称轴上的点）对应自身，故该选项不符合题意； D、 成轴对称的两个三角形对于给定的对称关系只有一条对称轴，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是 ． 有一条对称轴的图形是 ． 有两条对称轴的图形是 ． 有三条对称轴的图形是 ． 有三条以上对称轴的图形是 ． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 【题型四 根据成轴对称图形的特征进行判断】 10．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有 个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 11．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 12．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点_______，点的对称点是点______； (2)若，则_______． (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2)45° (3)，．（答案不唯一） 【分析】本题考查了图形成轴对称的定义及性质，根据轴对称的性质即可判断，掌握图形成轴对称的定义及性质是解题的关键． （1）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （2）观察图形，根据轴对称的性质即可求解； （3）根据轴对称的性质即可求解； 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 故答案为：，． （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则45° （3）解：，．（答案不唯一） 【题型五 根据成轴对称图形的特征进行求解】 13．如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．由对称的性质可得，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵与关于直线对称，，， ∴，， ∴， 故选：B． 14．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于，的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；由轴对称的性质可知，然后根据及三角形的周长公式可进行求解． 【详解】解：由轴对称的性质可知， ∵，的周长， ∴的周长， 故答案为：9． 15．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型六 线段垂直平分线的判定与性质】 16．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)请说明与的大小关系； (2)若的周长为42cm，，求的长． 【答案】(1)； (2)13cm． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【详解】（1）（1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）（2）解：的周长，， ， ， ． 17．如图，在中，． (1)在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，过点作直线，交于点，点即为所求作的点； （2）根据等边对等角，得到，再根据外角的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点； （2）如图， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 【题型七 作已知线段的垂直平分线】 19．如图，已知，利用尺规作图法求作的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了用尺规作线段的垂直平分线，掌握作图步骤是关键；根据用尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点P、M，连接，交于点，交于点，则直线为所求． 20．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 21．如图，已知． (1)画出的高； (2)画出的中线（要求保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及线段垂直平分线的尺规作图． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得； （2）作线段的垂直平行线交与点F，连接，即即为所求． 【详解】（1）解：如下图：即为所求： （2）解：如下图：即为所求： 【题型八 折叠问题】 22．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若，，则重叠部分的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：根据题意知：，， 根据折叠可知：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积． 故答案为：21． 23．如图，将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处，且 ． （1）若，，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /48度 /80度 【分析】本题考查旋转的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，求出，根据平行线的性质证得，根据翻转的性质证得； （2）设交于F，由证得，设为，则由翻折可知，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 故答案为：； （2）解：设交于F，如图： 将三角形的纸片沿折叠，点A落在外的点处， 设为，则 由翻折可知， 解得 故答案为：． 24．在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或或 【分析】本题考查了平行线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据翻折可得，再利用外角即可求出的度数； （2）根据翻折可得，再由，，可得，则，可得； （3）设，可表示出，则．根据翻折可得，则．从而得出，可得．即； （4）点E在右上方时，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形，则有或或三种情况，点E在 右下方时，是轴对称图形，，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形．分别求出不同情况下的度数． 【详解】（1）解：，， ． 沿翻折后得到， ． ． （2）解：沿翻折后得到， ． ， ． ， ． ． ． ． （3）解：设， ，平分， ， ． 点是边上一点，将沿翻折后得到， ． ， ． ， ． ． 即． （4）解：当点E在右上方，如图 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，． 是轴对称图形，， 则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形，则有或或三种情况∶ 当，则． ． ， ． ． 当，则． ， ． 则A、D、Q、E四点重合，不符合题意(舍去)． 当，则． ， ． ． 当点E在 右下方，如图所示 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，． ． 是轴对称图形，，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形． ， ． ． ， ． ． 综上所述∶ 的度数可能为或或． 【题型九 角平分线的性质与判定】 25．如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． (1)求证：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 26．如图，在中，平分，平分，于点，于点． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，角平分线的意义，解题关键是掌握上述性质求解． （1）先利用角平分线的意义分别求出与，再利用三角形的内角和定理求得的度数； （2）先利用角平分线的性质求得，再利用三角形的面积公式求的面积． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）∵平分，于点，于点，， ∴， 又， ∴的面积为． 27．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 【题型十 作角平分线】 28．如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； 如图，即为所求． （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 29．我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，如果两边不相等，它们所对的角之间的大小关系如何呢？小明同学在学习了三角形的相关知识后，他发现，可以通过证明三角形全等，结合三角形外角定理探究该问题．根据他的想法和思路，完成以下问题： (1)如图，在中，作的平分线交于点D，在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：在中，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图，掌握相关结论即可； （1）根据题意即可完成作图； （2）证得即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ． 30．作图题：（要求：保留作图痕迹，不写作法） 如图所示，在平面内找一点P，使得点P到线段两个端点的距离相等，同时点P到两边的距离也相等． 【答案】见详解 【分析】本题考查尺规作图（作角平分线和作线段垂直平分线），熟练掌握基本作图方法是解题关键． 作的角平分线和线段的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求： 【题型十一 中心对称】 31．下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 32．若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 33．已知，如图，在中，． (1)作边上的中线（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)画，使和关于点成中心对称． (3)直接写出的中线的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系： （1）作边的垂直平分线，即可求解； （2）延长至点E，使，连接，即可求解； （3）由作法得：，，可证明，可得，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】（1）解：如图，中线即为所求； （2）解：如图，延长至点E，使，连接，则即为所求； （3）解：由作法得：，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 【题型十二 根据中心对称的性质求面积、长度和角度】 34．如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 35．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 36．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 【题型十三 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 37．如图1，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形．请在如图2所示的网格中用这四个直角三角形按要求拼出对应的四边形（注：网格中每个小正方形的边长均为1；所拼四边形不得与原正方形相同；四边形的各顶点都在格点上．） ①是轴对称图形，但不是中心对称图形； ②既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】①见解析，②见解析 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义拼出符合条件的图形即可． 【详解】解：①拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 ②拼出对应的四边形如图所示答案不唯一 38．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在给定的网格中，已有三个小正方形涂黑，按下列要求画图： (1)在图①中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中，涂黑一个空白小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； (3)图见解析． 【分析】本题考查的知识点是轴对称图形的定义、中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形的定义及中心对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）解：如下图，该图既是轴对称图形又是中心对称图形： （2）解：如下图，答案不唯一，符合题意即可： （3）解：如下图： 39．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点均在小正方形顶点上． (1)在图1中画出，使四边形是中心对称图形，点在小正方形格点上．连接，并直接写出线段的长； (2)在图2中画出，使四边形是轴对称图形，点在小正方形格点上． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形和中心对称图形，勾股定理，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1），取格点D，连接，则四边形即为所求，再利用勾股定理求出线段的长即可； （2）取格点E，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，取格点D，连接，则四边形即为所求；则 （2）解：如图2所示，取格点E，连接，则四边形即为所求． 【题型十四 图形的平移、旋转和轴对称设计图案】 40．如图，请你以直线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形；利用轴对称的性质，先描出关键点的对应点，再顺次连接即可得到所求图形． 【详解】解：如图所示，即为所求， 41．如图是的正方形网格，其中的4个正方形已被涂黑．请你再将1个空白的小正方形涂黑，使图中涂黑部分组成的图形为轴对称图形，画出三种不同的方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，作图即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 42．综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地．          【问题解决】 (1)试用含，的代数式表示图中空地的面积； (2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 【答案】(1)图中空地的面积表示为； (2)示意图见解析． 【分析】本题考查的知识点是列代数式、设计轴对称图案，解题关键是熟练掌握列代数式． （1）根据空地面积等于长方形面积减去三个圆的面积进行求解即可； （2）根据题意设计出方案，符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得，空地面积为：， ； （2）解：（答案不唯一）如下图： 【题型一 根据轴对称图形的特征特征进行求解问题】 43．如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，， 点关于和的对称点分别为和， ，， 故选：D． 44．如图，是锐角，M，N分别是上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则 （用含、的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形内角和定理和外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当四点共线时，最小， ，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 45．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______， ∴______． ∵在中，， ∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 任务三 如图（5），在、两村之间有一条河，且这条河的宽度处处相等，从村前往村，要经过这条河，现要在这条河上造一座垂直于河岸的桥，则这座桥造在何处可使由村到村的路程最短？（保留画图痕迹，在图上画出道路和桥的位置） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 任务三：见详解． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：任务一 ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 任务三 如图，即为最短路径． 【题型二 线段垂直平分线的性质应用】 46．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)24 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分； （3）首先确定，结合易得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的面积为24． 47．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，若的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 48．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，交于F，证明，则，，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】解：（1）如图1，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图2，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，延长，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 【题型三 角平分线的性质应用】 49．已知：如图，E是的平分线上的一点，，，垂足分别为C，D，连接，交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的判定． （1）根据角平分线的性质得到，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由“”可证，则可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，，可证是线段的垂直平分线． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，，， 又∵， ∴（）， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （3）证明：∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线． 50．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 51．如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ． （2）过点作于，如图所示： ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． （3）在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 【题型四 尺规作图的步骤】 52．已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示． 甲： ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙： ①利用圆规截取，； ②连接，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙： ①在上取点，利用圆规截取； ②过点，作； ③作射线，即为所求． (1)甲、乙、丙三种方案中，可以得出是平分线是 ．（填：甲，乙，丙） (2)证明其中一种是角平分线的作法． 【答案】(1)甲乙 (2)选甲，证明见解析或选乙，证明见解析 【分析】本题主要考查了作图复杂作图，平行线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． （1）甲同学的运用平行线的性质进行判断即可；乙同学的运用三次全等即可判定；丙同学的无法证明是角平分线； （2）选择（1）中甲乙的任何一种证明即可． 【详解】（1）解：甲同学方法的证明过程如下： ， ， ， ， ， 是平分线； 乙同学方法的证明过程如下： 在和中， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是平分线； 丙同学方法的说明如下： ， ， ， ， 无法证明， 无法证明是平分线； 故答案为：甲乙； （2）证明：选甲同学：， ， ， ， ， 是平分线； 选乙同学：，，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， 是平分线． 53．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 【答案】（1）三角形全等；对应角的平分线相等；（2）图见解析；（3），，证明见解析 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 54．如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并解决问题： (1)在图1中，作的平分线，与边交于点D；此时若的面积是24，，求的长； (2)在图2中，把折叠，使得点B与点A重合，折痕分别交，于点E，F． ①请作出折痕； ②连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析；3 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查尺规作图：作角的平分线、作垂线，垂直平分线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图，过作交于，根据角平分线定理及即可求解； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 过作交于， 平分，且， （角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又 ， 解得， 所以； （2）解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 所以的周长为10． 【题型一 轴对称中的最值问题】 55．如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 56．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接， ， ， 的周长 ，即此时的周长有最小值， 由轴对称的性质可得，， ， ， ， ， 故答案为：． 57．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 【题型二 线段垂直平分线的判定与性质】 58．在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则 ． 【答案】7或13 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和差，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13， 故答案为：7或13． 59．如图，在中，为边的中点，直线交于点，为直线上一动点，为直线上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，垂线段最短，求三角形的高；连接，，过点作于点，根据已知可得垂直平分，则，根据垂线段最短可得的最小值为的长，进而根据三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵为边的中点，直线交于点， ∴， ∴ ∴的最小值为的长， 又∵， ∴． 故答案为：． 60．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； (2)如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)垂直平分 (2)四边形是筝形，此时，理由见解析 (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，此时，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 【题型三 角平分线的判定与性质】 61．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 62．在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，直接写出的长度______． (3)如图3，过点的直线．若，，点到三边所在直线的距离相等，则这样的点有______个，点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)4；3或6或9或18． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ∴，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：∵点到三边所在直线的距离相等， ∴点是内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点； 当点在内部时，记点到各边所在的直线距离为，如图3： ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图4： 设点到三边的距离为， 则由得， ∴， 同理， ， ， 点到直线的距离是； 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：，则， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，这样的点有4个，点D到直线l的距离是3或6或9或18． 故答案为：4；3或6或9或18． 63．已知是的角平分线，点是上一点，，分别是，上的动点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，、、在同一直线上，平分，交于点，作于点．若，，，请直接写出的值_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． （1）过点作于于，利用角平分线性质得到相等线段，再结合角的关系证明三角形全等，从而得出； （2）过点作于于，利用角平分线性质和角的关系证明三角形全等，进而得到； （3）利用角平分线的性质，通过线段的转化求出的值． 【详解】（1）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ． ， ． 在和中： ， ； （2）证明：过点作于于，如图 是的角平分线，， ， ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 是的角平分线，， ， 又平分， ， ， 平分， 在和中， ， 同理可证，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【题型四 折叠问题】 64．折角的思考 已知，射线在的内部（与不重合），设，．将射线沿直线翻折，得到射线，将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）． 【初步尝试】 （1）如图①，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （2）若，则___________，___________； （3）若，，请画出不同情形的示意图，并分别求出度数． 【探索归纳】 （4）设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）示意图见解析；或；（4）当时，；当时，；当时，． 【分析】本题是几何变换的综合题，考查的是角平分线的定义及图形翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． （1）以O为圆心，适当长为半径画弧交于E，交于F，以F为圆心，的长为半径画弧交于G，连接并延长即射线，再以O为圆心，适当长为半径画弧交于H，交于J，以J为圆心，的长为半径画弧交于K，连接并延长即射线，即为所求作的角． （2）利用角的和差，图形翻折变换的性质即可求得答案； （3）分两种情况：当时，当时，分别利用角的和差，图形翻折变换的性质即可求得答案； （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别利用角的和差，图形翻折变换的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）如图①，即为所求， （2）∵， ∴， ∵， ∴，， 故答案为：，； （3）当时，如图②， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 当时，如图③， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 综上，度数为或． （4）当时， 则， ∴， 即； 当时， 则， ∴， 即； 当时， 则， ∴， 即； 综上，当时，；当时，；当时，． 65．综合与实践 在数学实验课上，老师让同学们以“长方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作测量 操作一：对折长方形纸片，使较长的一组对边与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿将三角形折叠，点在平面内的对应点为点，把纸片展平． 如图，当点在折痕上时，连接，．测量的度数，得度，则______度； (2)迁移探究 在操作二中，若使点限制在长方形纸片内，设，，请判断，的数量关系并说明理由； (3)拓展应用 在（）的探究中，若点的位置不受限制，并且长方形纸片较长的一边足够长，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（）根据折叠的性质可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据折叠的性质和角的和差关系即可求解； （）分两种情况：①当点在长方形纸片内；当点在长方形纸片外时；根据折叠的性质解答即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 由折叠可得，， ∴， ∵点限制在长方形纸片内， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①当点在长方形纸片内时，由（）可知， ∵， ∴， 解得； ②当点在长方形纸片外时，如图， 由折叠可得，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的度数为或． 66．中，，，点D从点B以的度沿着射线方平移，到点C停止平移，同时，点E也以的速度从点C沿着射线平移，到点B停止平移．（不考虑D、E重合的情况） (1)如图1，求证：； (2)在直线上一定存在一个点F，使和的面积始终相等，则 ； (3)将沿着翻折至． ①若，，则 （2）中的点F（填“经过”或“不经过”），此时，的度数为 ； ②猜想、、之间的数量关系，并给出详细证明过程． 【答案】(1)见详解 (2) (3)①经过； 45 ；②或，理由见解答过程 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据判定和全等． （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）①先求出，由翻折的性质得，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； ②依题意有以下两种情况：（I）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（II）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ． （2）解：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， ②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， ③作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ， 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点， 故答案为：； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：， ， ， ， ， 由翻折的性质得：， ， ∴经过点； 在中，， ， ， ∵是的外角， ， ， 故答案为：经过； 45 ； ②、、之间的数量关系是：或， 理由如下： 依题意有以下两种情况： （I）当点在上时，点在的下方，如图3①所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， 即； （II）当点在上时，点在的上方，如图3②所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $