专题04 轴对称和中心对称全章20大常考易错压轴题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题04 轴对称和中心对称全章20大常考易错压轴题型 题型1 轴对称图形 题型13 根据中心对称的性质求解 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型14 图形的平移、旋转和轴对称设计图案 题型3 根据轴对称图形的性质进行求解 题型15 利用轴对称求最值（难点） 题型4 画轴对称图形 题型16 根据轴对称的性质求解（难点） 题型5 线段垂直平分线的性质（重点） 题型17 线段垂直平分线的判定与性质（难点） 题型6 线段垂直平分线的判定 题型18 角平分线的判定与性质（难点） 题型7 尺规作垂直平分线（常考点） 题型19 中心对称压轴问题（难点） 题型8 折叠问题 题型20 设计轴对称图案（难点） 题型9 角平分线的性质（重点） 题型10 角平分线的判定 题型11 尺规作角平分线（常考点） 题型12 中心对称图形 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形（共3小题） 1．中华优秀传统文化“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图所示的四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 2．某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是 ． 3．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断（共3小题） 4．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是 （填字母序号） A．   B．  C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD      D．AC与BD互相平分 6．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出， 使它与关于直线对称； (2)在直线上找出一点D， 使得，并说明理由． 题型三 根据轴对称图形的性质进行求解（共3小题） 7．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 8．如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为 ． 9．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 题型四 画轴对称图形（共3小题） 10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的，的面积为______； (2)在直线l上找一点Q，使的值最小． 11．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 12．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 题型五 线段垂直平分线的性质（共3小题） 13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 14．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 15．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 题型六 线段垂直平分线的判定（共3小题） 16．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 17．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 18．如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型七 尺规作垂直平分线（共3小题） 19．如图，． (1)作边的垂直平分线交于点D，交于点E．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结，若的周长为15，且，求的周长． 20．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 21．如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 题型八 折叠问题（共3小题） 22．如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，点，的对应点分别是点、，若，则的度数为 ． 24．如图，纸片中，，将折叠，使边与边叠在一起，点落在的延长线上的点处． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 题型九 角平分线的性质（共3小题） 25．如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 26．在中，是边上的点（不与重合），连接．    (1)如图1，当点是边的中点时，______________； (2)如图2，是的垂直平分线，的周长为15，求的周长； (3)如图3，是的角平分线，，求的值． 27．如图，在中，．    (1)作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 题型十 角平分线的判定（共3小题） 28．如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 29．如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 30．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 题型十一 尺规作角平分线（共3小题） 31．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F． 32．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 33．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 题型十二 中心对称图形（共3小题） 34．2025年九三阅兵上大批无人与反无人装备首次集中亮相，彰显了我国建设世界一流强军的能力与信心．下列无人装备缩影图示中，是轴对称但不是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 35．如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种． 36．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 题型十三 根据中心对称的性质求解（共3小题） 37．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 38．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 39．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 题型十四 图形的平移、旋转和轴对称设计图案（共3小题） 40．如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． (1)在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 41．如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 42．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 题型十五 利用轴对称求最值（共3小题） 43．如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是 ． 题型十六 根据轴对称的性质求解（共3小题） 46．如图，在长方形中，，为边上一点，连接，作关于对称的，点与点关于对称，设，若点在内（不包括边界），则的取值范围是 ． 47．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 48．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形．    【操作发现】 在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：_____； 【探究理由】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，设、分别与交于点、，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_____°； ②线段的长是_____． 题型十七 线段垂直平分线的判定与性质（共3小题） 49．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 50．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 51．【教材呈现】 活动用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点，，是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明：________________________． （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半． 你认为正确的结论有________；（只需填序号） 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 题型十八 角平分线的判定与性质（共3小题） 52．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 53．如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 54．【教材原题】 （1）如图①，是的角平分线，点 是 延长线上一点，．求证：． 【原题再探】 （2）若，，则，； 【迁移应用】 （3）如图②，已知点 是 的边 延长线上一点，仅用无刻度直尺和圆规，在边 上找出一点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法） （4）规定：若某个三角形的两个内角和，满足，则称该三角形为“半角余量三角形”． 如图③，点 是直线 上一点，点 在直线 外，在直线上是否存在一点 ，使为“半角余量三角形”？如果存在请直接写出的度数，如果不存在请说明理由． 题型十九 中心对称压轴问题（共3小题） 55．如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 56．如图Z字形图形的顶点，在小方格顶点上，小方格的边长为一个单位长度。按下列要求画出图形。    （1）画出Z字形图形，关于对角线MN对称的图形； （2）画出Z字形图形关于点O对称的图形，所画出的图形还可以用原Z字形图形通过怎样的运动得到？请你完整地描述其具体的运动过程. 57．作图题 (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点，，，都是格点，作关于点的中心对称图形． 题型二十 设计轴对称图案（共3小题） 58．为了迎接国庆，小区准备将已有的正方形花坛进行改造．请在下面4×4的棋盘网格中画出你的设计图．要求：沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．（请用阴影将全等的两部分区分开；经旋转、对称操作后能够重合的情况，视为同一种作图方式．）（备注：如图1与图2视为一种作图方式） 59．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 60．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 轴对称和中心对称全章20大常考易错压轴题型 题型1 轴对称图形 题型13 根据中心对称的性质求解 题型2 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型14 图形的平移、旋转和轴对称设计图案 题型3 根据轴对称图形的性质进行求解 题型15 利用轴对称求最值（难点） 题型4 画轴对称图形 题型16 根据轴对称的性质求解（难点） 题型5 线段垂直平分线的性质（重点） 题型17 线段垂直平分线的判定与性质（难点） 题型6 线段垂直平分线的判定 题型18 角平分线的判定与性质（难点） 题型7 尺规作垂直平分线（常考点） 题型19 中心对称压轴问题（难点） 题型8 折叠问题 题型20 设计轴对称图案（难点） 题型9 角平分线的性质（重点） 题型10 角平分线的判定 题型11 尺规作角平分线（常考点） 题型12 中心对称图形 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形（共3小题） 1．中华优秀传统文化“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等方面变化规律所形成的知识体系和社会实践，是中国传统历法体系及其相关实践活动的重要组成部分，被誉为“中国的第五大发明”．如图所示的四幅作品分别代表“立春”“小满”“惊蛰”“芒种”四个节气，其中是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键，如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义对各选项图形逐个分析判断即可得解． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合； A选项中的图形能找到这样一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2．某校开展“衣加衣”温暖活动，同学们积极响应号召，踊跃捐衣，校团支部为本次活动设计了一个“众志成城，奉献爱心”的图标．如图，图标中两圆的大小关系是 ． 【答案】相等 【分析】本题主要考查圆的大小关系，根据两个圆的半径长度及轴对称图形判断即可． 【详解】解：∵从图中可以看出，构成心形图标的两个圆，它们的半径长度是一样的，且图标是轴对称图形，根据圆的大小由半径决定，半径相等的圆，其大小相等． ∴图标中两圆的大小关系是相等； 故答案为：相等． 3．如图所示，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与轴对称的概念；根据轴对称图形的概念与轴对称的概念可作答．轴对称的概念：把其中的一个图形沿着某条直线折叠，能够与另一个图形重合．轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）是轴对称图形； 图（2）（5）（7）（9）成轴对称． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断（共3小题） 4．已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 5．如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是 （填字母序号） A．   B．  C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD      D．AC与BD互相平分 【答案】D 【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论． 【详解】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确； ∵四边形ABCD不一定是平行四边形， ∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键． 6．如图，已知的三个顶点在格点上． (1)画出， 使它与关于直线对称； (2)在直线上找出一点D， 使得，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的关键． （1）先画出点A、B、C关于直线对称点，再依次连接即可； （2）连接交直线与点D，点D即为所求． 【详解】（1）解：如图所示：如图所示： （2）解：如图所示，点D即为所求， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴． 题型三 根据轴对称图形的性质进行求解（共3小题） 7．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 8．如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称可得，再由三角形的外角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 9．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型四 画轴对称图形（共3小题） 10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的，的面积为______； (2)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析；4 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，再利用割补法求面积即可； （2）连接，交直线于点Q，根据轴对称的性质解答即可． 【详解】（1）解： 如图，即为所求， 的面积为: ， 故答案为：4； （2）解：如图，连接，交直线于点Q，点Q即为所求． ∵和关于直线l对称， ∴， ∴， 即的值最小，点Q即为所求． 11．按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）解：作图如下：    12．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)的面积为__________． (3)在直线l上找一点P（在答题纸上图中标出），使的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）先作出点B、C关于直线l对称的点、，然后再顺次连接即可； （2）利用割补法求值三角形的面积即可； （3）连接，交l于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：． 故答案为：． （3）解：连接，交l于P，点P即为所求． 连接，根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、在同一直线上时，最小，即最小． 题型五 线段垂直平分线的性质（共3小题） 13．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用线段垂直平分线的性质求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点D，E，的垂直平分线分别交，于点F，G， ∴，， ∴的周长等于． 14．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据求出结论即可． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 题型六 线段垂直平分线的判定（共3小题） 16．如图，在四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，当时，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题关键是根据证明和全等． （1）根据证明和全等即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴． 答：的长为5． 17．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 18．如图，四边形的对角线相交于点E，，，点F在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证出所在直线为的垂直平分线，即可证出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：连接． ∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上．    ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴． 题型七 尺规作垂直平分线（共3小题） 19．如图，． (1)作边的垂直平分线交于点D，交于点E．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结，若的周长为15，且，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，并利用该性质进行周长计算． （1）用尺规作图法作出边的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质将的周长转化为，再结合的周长求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：连接， ∵由（1）知垂直平分， ， 的周长为15，且， 即， ， 的周长， ， ， 答：的周长是10． 20．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 21．如图，在中，是钝角． (1)画出边上的中线； (2)画出边上的高； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）利用垂线的作法作图即可； （3）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． （2）解：如图，过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． ； （3）解：，高， ． 是的中线， ． 题型八 折叠问题（共3小题） 22．如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据折叠的性质，得到，即可解答． 【详解】解：由折叠，得． 故选：B． 23．如图，将一张长方形纸片沿着折叠，点，的对应点分别是点、，若，则的度数为 ． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．首先根据折叠可得，再求出的度数，然后根据平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 24．如图，纸片中，，将折叠，使边与边叠在一起，点落在的延长线上的点处． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查翻折的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，线段的和差，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． （1）由翻折得，再结合，即可求解； （2）先利用三角形内角和定理求出，由翻折得，再利用三角形外角的性质求出，再利用补角即可求解． 【详解】（1）解：由翻折得， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴． 题型九 角平分线的性质（共3小题） 25．如图，中，D、E分别是边、延长线上的点，平分，平分，求证：平分． 证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴______（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且______， ∴， ∴______（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，根据角平分线的性质和判定方法，进行作答即可． 【详解】证明：过点P分别作，，． ∵平分（已知）， 且，， ∴（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∵平分， 且， ∴， ∴（等量代换）． 又∵，， ∴平分．（角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上） 26．在中，是边上的点（不与重合），连接．    (1)如图1，当点是边的中点时，______________； (2)如图2，是的垂直平分线，的周长为15，求的周长； (3)如图3，是的角平分线，，求的值． 【答案】(1) (2)的周长为23 (3) 【分析】（1）根据三角形的中线计算三角形的面积即可； （2）根据垂直平分线的性质得出，，根据的周长为15，得出，最后求出结果即可； （3）过点D作于点E，过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，根据，，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为： ， ∴的周长为： ． （3）解：过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形面积的计算，根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的性质． 27．如图，在中，．    (1)作的平分线，交于点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下： ①若．求的度数； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②5 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）①根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再次利用三角形内角和定理求解即可；②根据角平分线的性质，得到的高，从而计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）①∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵平分，， ∴点D到的距离为， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的作法和性质，三角形内角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，得到三角形的高． 题型十 角平分线的判定（共3小题） 28．如图，交于点H，连． (1)求证：； (2)求；（用含α的式子表示） (3)求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，三角形内角和定理， 对于（1），根据“边角边”即可证明； 对于（2），由，可得，进而求得答案； 对于（3），作，，根据，可得，进而得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在中， ， ∴； （2）解：设交于点O， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：过点C作于M，于N， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 29．如图，在中，，于点，，点在上，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，同角的补角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 证明，可得，再由角平分线的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 30．如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点． (1)延长至点，求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）过点P作于点F，于点N，于点M，根据角平分线的性质得出，，根据角平分线的判定得出平分； （2）设，根据角平分线定义得出，即可得出，求出，即可求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点F，于点N，于点M，如图所示： 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：设，由（1）知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十一 尺规作角平分线（共3小题） 31．如图，已知． (1)请用尺规作图法作出的垂直平分线，垂足为D，交于点E； (2)请用尺规作图法作出的平分线，交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法． （1）利用线段垂直平分线的作法得出的垂直平分线即可； （2）利用角平分线的作法得出即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求． 32．要在两个城镇A、B的附近修建一个加油站．如图，按设计要求，加油站到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，加油站应修建在什么位置？（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质与作图步骤是解题关键． 分别作出线段的中垂线，作角平分线，进而得出其交点P即为所求，为加油站位置． 【详解】解：如图所示，P点即为所求，为加油站位置． 33．如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 题型十二 中心对称图形（共3小题） 34．2025年九三阅兵上大批无人与反无人装备首次集中亮相，彰显了我国建设世界一流强军的能力与信心．下列无人装备缩影图示中，是轴对称但不是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据，轴对称图形，中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 35．如图，是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形，如果去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有 种． 【答案】2 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，去掉一个小正方形后能组成中心对称图形的情况如下， ∴去掉其中一个正方形，使得剩下的图形是一个中心对称图形，那么不同的去法有2种， 故答案为：2． 36．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析，6 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，中心对称的性质，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，运用割补法进行列式计算得线段扫过的面积，即可作答． （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答． （3）观察与，得出与是成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 连接 ∴线段扫过的面积， 则 在平移的过程中，线段扫过的面积为， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，对称中心如图． 题型十三 根据中心对称的性质求解（共3小题） 37．如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 38．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)若与关于格点成中心对称，请在网格中画出； (2)在网格中画出绕格点按顺时针方向旋转后，得到的； (3)由旋转可知，_____________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)= 【分析】本题考查了画中心对称图形、画旋转图形、中心对称与旋转的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称和旋转的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：由中心对称的性质得，， 由旋转的性质得，， ∴， 故答案为：=． 39．如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心． (2)若，则的度数为______． (3)若，，，的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)20 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，确定对称中心等知识，掌握中心对称图形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点O，此点即为对称中心； （2）解：∵和关于点成中心对称， ∴； 故答案为：； （3）解：∵和关于点成中心对称， ∴和的周长相等， ∵的周长为， ∴的周长为20； 故答案为：20． 题型十四 图形的平移、旋转和轴对称设计图案（共3小题） 40．如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． (1)在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； (2)在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图——利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案； （1）如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，设计轴对称图形之前要确定对称轴，根据对称轴来画图即可，对称轴不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一； （2）在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，设计中心对称图形之前要确定对称中心，对称中心不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一. 【详解】（1）解：图形如图①所示（答案不唯一） （2）解：图形如图②所示（答案不唯一） 41．如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是图案设计问题，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．再展开丰富的想象力画图即可． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （3）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； 【详解】（1）解：如图，所画图形如下： （2）解：如图，所画图形如下： （3）解：如图，所画图形如下： 42．阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照轴对称的意义得出答案即可； （2）按照轴对称的定义和中心对称的定义设计，所设计的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【详解】（1）解：（1）参考图案，如图所示： （2）（2）参考图案，如图所示： 【点睛】本题考查利用轴对称或中心对称设计图案，关键是理解轴对称和中心对称的定义． 题型十五 利用轴对称求最值（共3小题） 43．如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义. 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：C． 44．如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 45．如图，在中，，，的面积为6，D、E、F分别是、、边上的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-路径最短问题，垂线段最短，两点之间，线段最短，如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，    ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ∵， ∴， ∵，的面积为6， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型十六 根据轴对称的性质求解（共3小题） 46．如图，在长方形中，，为边上一点，连接，作关于对称的，点与点关于对称，设，若点在内（不包括边界），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由点在内（不包括边界），需分别讨论点在、上时的两种临界情况即可：（1）当点在上时，点与点重合，再大一点就能满足条件，由与关于对称得，可求出此时的角度；（2）当点在上时，再小一点就能满足条件，由与关于对称得，由点与点关于对称得，则的度数可用表示，解方程即可． 本题主要考查了轴对称的性质，理解题意找到两个临界情况是解题的关键． 【详解】解：（1）当点在上时，点与点重合， ∵与关于对称，， ∴，； （2）当点在上时， ∵与关于对称， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， 解得， 综上； 故答案为：． 47．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 48．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形．    【操作发现】 在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：_____； 【探究理由】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，设、分别与交于点、，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_____°； ②线段的长是_____． 【答案】[操作发现]见详解，，；[探究理由]，，理由见解析；[问题解决]①80；②6 【分析】本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题． [操作发现]根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； [探究理由]由旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； [问题解决]①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：[操作发现]如图，即为所求，，，    证明：设、分别与交于点、， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：，； [探究理由]，； 理由：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：，； [问题解决]①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十七 线段垂直平分线的判定与性质（共3小题） 49．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．此方法在解决几何问题中有着广泛的应用． 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，连接，可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，再利用三角形的三边关系，即可求出中线的取值范围． 请你直接写出的取值范围：______； (2)如图2，，点D为的中点，，，求； (3)如图3，在和中，，，．连接，，点F是的中点，连接并延长，与相交于点G．请猜想和的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图2，延长交的延长线于H，根据中点得，证得，求得，证得为线段的垂直平分线，然后即可求解； （3）延长至点H，使，连接，先证得，得，，再根据平行线的性质证得，再证，然后即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长交的延长线于H， ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴； （3）解：； 理由如下：延长至点H，使，连接，如图： ， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 50．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答； （2）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （3）延长，交于点F，证明得出，，证明得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故答案为：； ，， ， 在中，， ， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）， 理由如下：延长到，使，连接，， 在和中， ， ， ， ，， ∴垂直平分， ， 在中， ， ； （3）延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ． 51．【教材呈现】 活动用全等三角形研究“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角，对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点，，是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）文文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明：________________________． （3）如图3，连接筝形的对角线，交于点，欢欢认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤筝形的面积等于对角线乘积的一半． 你认为正确的结论有________；（只需填序号） 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点，分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）②③⑤；（4）的度数为或 【分析】（1）取格点B关于对称的格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，对每个结论进行分析判断即可得出结论； （4）分两种情况：①在筝形中，当时，②在筝形中，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，筝形即为所求： （2）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ； （3）解：在与中，，， ，， 不一定等于，无法证明对角线一定平分一组对角和，故①错误； 由（2）得， ，，即平分一组对角和，故②正确； 在与中，，， ，在线段的垂直平分线上， 垂直平分，故③正确； 在与中，不一定等于， 无法证明一定垂直平分，故④错误； 由③知，垂直平分， 筝形的面积为， 筝形的面积等于对角线乘积的一半，故⑤正确． 综上，正确的结论有②③⑤． 故答案为：②③⑤； （4）①在筝形中，当时， ， ； ②在筝形中，当时， ， ， ． 综上所述，当四边形为筝形时，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了网格作图、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形和垂直平分线的判定是解题的关键． 题型十八 角平分线的判定与性质（共3小题） 52．在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 53．如图，在四边形中，平分，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可； （3）由（2）知：，，则可求出，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴． 54．【教材原题】 （1）如图①，是的角平分线，点 是 延长线上一点，．求证：． 【原题再探】 （2）若，，则，； 【迁移应用】 （3）如图②，已知点 是 的边 延长线上一点，仅用无刻度直尺和圆规，在边 上找出一点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法） （4）规定：若某个三角形的两个内角和，满足，则称该三角形为“半角余量三角形”． 如图③，点 是直线 上一点，点 在直线 外，在直线上是否存在一点 ，使为“半角余量三角形”？如果存在请直接写出的度数，如果不存在请说明理由． 【答案】（1）见解析   （2）108；72   （3）见解析 （4）或或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，外角性质，角平分线的定义，新定义“半角余量三角形”，尺规作图-作一个角的平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义可得：，再由三角形外角的性质和等量代换可得结论； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解答； （3）作平分，交于D，则点D即为所求； （4）分两种情况讨论，点P在左侧和右侧，设，则，再根据为半角余量三角形列方程求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：108，72； （3）如图，点D即为所求； 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）存在，理由如下: 当点P在右侧时，是“半角余量三角形”，， 设，则 ①，即，解得； ②，即，解得； ③，即，解得； ④，即，解得； ⑤，即，解得； ⑥，即，解得； 当点P在左侧时，是“半角余量三角形”，， ∴， 设，则 ①，，解得； ②，，解得（舍）； ③，，解得； ④，，解得（舍）； ⑤，，解得（舍）； ⑥，，解得（舍） 综上所述，的度数分别是或或或． 题型十九 中心对称压轴问题（共3小题） 55．如图是由小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．图中，，，均为格点，是线段与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在下列给定网格中完成画图，每个画图任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画出线段绕点逆时针旋转后得到的线段； (2)在图（1）中，画出点绕点逆时针旋转后得到的点； (3)在图（2）中，画出点，使点是四边形的对称中心，并连接； (4)在图（2）中，令，画出点绕点逆时针旋转得到的点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，旋转的性质，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）取格点F，，使，根据与格线的交点确定点 （3）连接对角线的交点为点，则即为所求； （4）取格点J，连接，取格点K，连接，使，，则与的交点即为点 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如上图，点即为所求； （3）如图，点O即为所求； （4）如图,点即为所求． 由作图可知， ∵， ∴点D与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 56．如图Z字形图形的顶点，在小方格顶点上，小方格的边长为一个单位长度。按下列要求画出图形。    （1）画出Z字形图形，关于对角线MN对称的图形； （2）画出Z字形图形关于点O对称的图形，所画出的图形还可以用原Z字形图形通过怎样的运动得到？请你完整地描述其具体的运动过程. 【答案】（1）图形见详解；（2）图形见详解，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到. 【分析】（1）根据轴对称画出图形即可. （2）根据中心对称画出图形，由图形可知所画出的图形是由原图形向由平移得到的. 【详解】如图：    如图，所画出的图形还可以用原Z字形图形向右平移6个单位长度得到.    【点睛】此题考查轴对称、中心对称图形的画法，掌握两个对称的性质即可解答. 57．作图题 (1)如图1是的正方形网格，请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影，使阴影部分为中心对称图形； (2)如图2是边长为1个单位长度的正方形网格，以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，画出旋转后的； (3)如图3是边长为1个单位长度的正方形网格，点，，，都是格点，作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形，画旋转图形，画已知图形关于某点对称的图形． （1）根据中心对称图形的含义，作图即可； （2）根据旋转的性质，作出图形即可； （3）根据中心对称图形的含义，作出图形即可． 【详解】（1）解：如图，阴影部分为中心对称图形． （2）解：如图，以点为旋转中心，将，按逆时针方向旋转，得到，，连接，即为所求． （3）解：如图，分别作点，，，关于点的对称点，，，连接，，，即为所求． 题型二十 设计轴对称图案（共3小题） 58．为了迎接国庆，小区准备将已有的正方形花坛进行改造．请在下面4×4的棋盘网格中画出你的设计图．要求：沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．（请用阴影将全等的两部分区分开；经旋转、对称操作后能够重合的情况，视为同一种作图方式．）（备注：如图1与图2视为一种作图方式） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义； 能够完全重合的两个图形叫做全等形，可以利用图形的轴对称性和中心对称性来分割成两个全等的图形． 【详解】解：图形如图所示： 59．图是两个8×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)请在图1中确定点D（点D在小正方形的顶点上），使四边形为轴对称图形， (2)请在图2中确定点E（点E在小正方形的顶点上），使以点A、B、C、E为顶点的四边形为面积为10的轴对称图形． (3)请直接写出（1）中四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】（1）取点D，使得，构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形解答即可； （2）取点E，使得，，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形，矩形的面积为，符合题意． （3）根据梯形的面积公式计算即可． 本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握网格作图是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，取点D，使得， 构成一个等腰梯形，是一个轴对称图形， 则点D即为所求． （2）解：如图所示，取点E，使得， ，构成一个平行四边形，根据，判定四边形是矩形，是一个轴对称图形， 矩形的面积为，符合题意， 则点E即为所求． （3）解：根据题意，得． 60．在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【答案】见解析. 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得． 【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $