专题06 特殊三角形（5知识&15题型&10易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学专题知识清单聚焦“特殊三角形”，系统涵盖等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义、性质与判定，勾股定理及逆定理，直角三角形全等判定和反证法，搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“5知识清单+15题型分类+10易错警示+5方法总结”构建完整体系，如将“三线合一”性质与判定对比标注，结合动点形成等腰三角形等动态题型培养推理能力，设计“赵爽弦图证明勾股定理”等实例发展模型意识，助力学生自主梳理知识，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

专题06 特殊三角形（5知识&15题型&10易错&5方法清单） 【清单01 等腰三角形】 1．等腰三角形定义：有相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 ；等腰三角形的对称轴有 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 ． 4.等边三角形三个角都等于，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 ③ 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是的三角形是等边三角形 【清单02 直角三角形】 1．直角三角形的定义：有一个角是的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 （2）直角三角形斜边上的中线等于 （3）30°角所对的直角边等于 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的； 【清单03 勾股定理】 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的等于斜边的 ； 如图则有：在Rt△ABC中， 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 【清单04 直角三角形全等的判定】 1．直角三角形全等的判定方法——HL 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【清单05 反证法】 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 【题型一 等腰三角形的基本概念】 1．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 2．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是（   ） A．10 B．14 C．10或14 D．16 3．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发 秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【题型二 在图中找出等腰三角形】 4．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 5．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 6．在如图所示的方格中，以为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来． (1)钝角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰三角形． 【题型三 等腰三角形的判定】 7．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 8．如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 9．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【题型四 等腰三角形的性质】 10．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 11．如图，在中，．过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 12．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【题型五 等边三角形的判定与性质】 13．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 14．已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． (1)求证： (2)求证： 15．如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； (3)直接写出当是等腰三角形时，的度数． 【题型六 直角三角形的性质】 16．如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 18．如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【题型七 30度角的直角三角形性质】 19．如图，中，，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)连接，若，则的值为_____． 20．如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 21．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【题型八 斜边的中线定理】 22．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 23．如图，在中，，垂足分别为点D，点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 24．已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【题型九 勾股定理的证明】 25．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系． (1)观察图1和图2，请直接写出它们能解释的乘法公式． ①图1：________________________________________________； ②图2：________________________________________________． (2)利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其他的等量关系． 请你利用图3来证明勾股定理，即． (3)如图4，将图3中的两个三角形进行图形变换后，若，，求图4中阴影部分的面积． 26．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 27．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【题型十 以弦图为背景的计算题】 28．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 29．大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 30．如图①，将长为、宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大、小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图②中小正方形的边长． (2)当时，大正方形的面积是多少？ 【题型十一 用勾股定理解三角形】 31．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 32．如图，点C在线段上，平分． (1)证明：． (2)若，求的长． 33．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【题型十二 勾股定理的逆定理】 34．如图，点在梯形的边上，,,,,． (1)求的度数． (2)求梯形的面积． 35．如图，有一块三角形花圃，其中，现要沿搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，点D、E分别在上，，请求出隔断的长． 36．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【题型十三 勾股定理的实际应用】 37．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 38．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 39．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【题型十四 直角三角形全等的判定】 40．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，． (1)求证：； (2)点为的中点，，求证：是等边三角形． 41．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 42．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，证明： (1)； (2)． 【题型十五 反证法】 43．用反证法证明命题“若，则”时应先假设（   ） A． B． C． D． 44．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 45．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【题型一 等腰三角形存在性问题】 46．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)（ ）（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以为腰的等腰三角形？ 47．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 48．如图，是等边三角形，．动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动．当点不与点重合时，连接．设点的运动时间为． (1)的长为_________（用含的代数式表示）； (2)求证：为等边三角形； (3)在不添加字母和辅助线的前提下，当图中存在等腰钝角三角形时，直接写出的值． 【题型二 等腰三角形的分类讨论问题】 49．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 50．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 51．如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 【题型三 等腰三角形的手拉手模型】 52．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 53．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②③ 54．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型四 等腰三角形的折叠问题】 55．如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 56．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 57．【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． (1)【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； (2)【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 【题型五 含30度角的直角三角形】 58．如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 59．如图，在中，，将折叠，折痕与交于点，点的对应点为，过点作于点，连接．若平分，且，，则的长为 ． 60．如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【题型六 斜边中线定理】 61．如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 62．定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 63．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 【题型七 勾股定理的计算题】 64．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． 【初步感知】（1）勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】（2）如图2，已知，求的长度； 【拓展延伸】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，已知．测得，，求新路比原路短多少千米？ 65．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 66．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 【题型八 勾股定理与折叠问题】 67．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 68．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 69．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【题型九 勾股定理中的受影响问题】 70．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 71．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 72．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【题型十 直角三角形全等判定的辅助线添加问题】 73．【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 74．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 75．如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想，与之间的关系，并证明． 【题型一 等腰三角形的判定与性质】 76．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 77．已知，，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，的延长线相交于点F，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，，则________． 78．综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【题型二 斜边的中线定理】 79．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” (2)如图②，在 中，，，则 “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点 (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 80．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 81．（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 【题型三 用勾股定理解三角形】 82．如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． (1)求证：； (2)当时，求证：是等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 83．下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段 【尝试·思考】 如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．   【观察·思考】 在尝试中，发现： ；；；；… 【回顾·反思】 可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： (1)补全以上笔记：①______；②_______； (2)请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    (3)通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； (4)阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 84．如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【题型四 最短路径问题】 85．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 86．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 87．综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【题型五 勾股定理中求最值问题】 88．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 89．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 90．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 特殊三角形（5知识&15题型&10易错&5方法清单） 【清单01 等腰三角形】 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 【清单02 直角三角形】 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 逆定理 ； 【清单03 勾股定理】 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 【清单04 直角三角形全等的判定】 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【清单05 反证法】 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 【题型一 等腰三角形的基本概念】 1．已知等腰三角形的周长为21，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．11 B．8 C．5 D．11或5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系．根据等腰三角形的性质，设腰长为a，底边长为b，则周长为，已知一边长为5，需分情况讨论5是腰或底，结合三角形两边之和大于第三边的不等式，判断是否成立，即可作答． 【详解】解：依题意，设腰长为a，底边长为b， ∵等腰三角形的周长为21， ∴， ∵其中一边长为5， ∴当时，则，解得， 则，此时不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当时，则，解得， 则，此时符合三角形三边关系， 综上：该等腰三角形的底边长为5， 故选：C． 2．已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是（   ） A．10 B．14 C．10或14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性、等腰三角形的定义及完全平方公式，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性、等腰三角形的定义及完全平方公式是解题的关键；由非负数的性质求出a和b的值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系判断可能的情况，计算周长，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴， 当腰长为6，底边为2时，满足三角形三边关系，周长为； 当腰长为2，底边为6时，，不满足三角形三边关系，故舍去； ∴这个等腰三角形的周长为14； 故选：B． 3．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发 秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 【题型二 在图中找出等腰三角形】 4．如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】(1)、 (2)、 (3)等腰三角形有、；等边三角形有：． 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形和等边三角形定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据三角形的相关定义进行解答即可； （3）根据等腰三角形定义和等边三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：以点B为顶点的三角形有：、； （2）解：以为边的三角形有：、； （3）解：，， ∴等腰三角形有、； ， ∴等边三角形有：． 5．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 6．在如图所示的方格中，以为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来． (1)钝角三角形； (2)等腰直角三角形； (3)等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，钝角三角形的定义，等腰直角三角的定义，形正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，进行作图，即可作答． （2）根据有一个角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，进行作图，即可作答． （3）根据两边相等的三角形是等腰三角形，进行作图，即可作答． 【详解】（1）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） （2）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） （3）解：如图，就是所要求作的三角形．（答案不唯一） 【题型三 等腰三角形的判定】 7．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形得到，再由等角对等边即可证明． 【详解】（1）证明： ， ， 即 在和中， （2）证明：由（1）可知，≌， ， ， 是等腰三角形． 8．如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 9．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 【题型四 等腰三角形的性质】 10．如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：平分 ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，F是的中点， ． 11．如图，在中，．过点A作的平行线交的平分线于点D，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理； （1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可； （2）根据，同旁内角互补，求出，由，可得的度数． 【详解】（1）证明：， ， 为的平分线， ， ，即为等腰三角形； （2）解：， ， ， ， 12．如图，已知点D，E分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若 (1)求证：是等腰三角形； (2)点G是上一点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． (1)先利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用等角对等边可得：，即可解答； (2)利用(1)的结论可得：，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得：，再利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ， ． 【题型五 等边三角形的判定与性质】 13．如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 14．已知：如图，在等边三角形中，为的中点，，交于点G，E为延长线上一点，且，交于点F． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，是等边三角形，则可得，然后根据角的和差可得，最后根据三角形全等的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（1）已得：是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴． 15．如图，点是等边三角形内一点，是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断是否是直角三角形，并说明理由； (3)直接写出当是等腰三角形时，的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)是直角三角形，理由见解析； (3)当或或时，是等腰三角形． 【分析】（）由，则，，根据等边三角形性质可得，所以，则，从而可得，然后通过等边三角形的判定即可求证； （）由（）得是等边三角形，则，由全等三角形性质可得，则，然后通过直角三角形的判定即可求解； （）先求出，，，然后分为当时，当时，当时三种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下， 由（）得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时 ，， ∴， 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形定义，三角形内角和定理，直角三角形判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型六 直角三角形的性质】 16．如图，在Rt中，，是边上的中线，过点作于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．利用直角三角形斜边中线的性质，求得，利用三角形的外角性质求得，据此求解即可． 【详解】解：，是边上的中线， ， ， ， ， ， ， 故选： B． 17．等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用．分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数． 【详解】解：有两种情况； （1）如图，当是锐角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ； （2）如图，当是钝角三角形时，于， 则， 已知， ， ， ， ， 故答案为：或． 18．如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论； （3）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴． 【题型七 30度角的直角三角形性质】 19．如图，中，，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)连接，若，则的值为_____． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点， 熟练掌握其性质并灵活运用是解题的关键． （）利用尺规作图——作已知线段的垂直平分线即可； （）先利用线段垂直平分线的性质得到，则，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．如图，已知，分别是的高和角平分线，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，角的和差关系及解含的直角三角形． （1）先根据角平分线的定义，得出，再由是的高，依据直角三角形两锐角互余可得，最后根据角的和差关系求得结果； （2）先根据三角形内角和得出，再利用解含的直角三角形的性质求得的长． 【详解】（1）解：∵，是的角平分线， ∴， 又∵，是的高， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴在中，． 21．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，连接，若． (1)求证：． (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质是关键． （1）根据等腰三角形的两底角相等，可求得，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而，即可求得答案； （2）根据直角三角形的性质，可得，结合，，可得，解方程即得答案． 【详解】（1）证明：，， ， 的垂直平分线是， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 【题型八 斜边的中线定理】 22．如图，在中，，延长至点，过点作，使，连接BF交CE于点D． (1)求证：； (2)若是上一点，满足，连接，请你判断和的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角和边的关系构造全等三角形． (1) 利用垂直得直角，结合对顶角和已知边相等，证，得； (2) 由推出，证，得． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：，证明如下： 由（1）得 ， ， ， 在和中， ， ， ． 23．如图，在中，，垂足分别为点D，点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质解答即可． （2）根据题意，得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质得． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴，     ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴． 24．已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键： （1）根据斜边上的中线，得到，等边对等角得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，等角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）知：平分， ∴． 【题型九 勾股定理的证明】 25．图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系． (1)观察图1和图2，请直接写出它们能解释的乘法公式． ①图1：________________________________________________； ②图2：________________________________________________． (2)利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其他的等量关系． 请你利用图3来证明勾股定理，即． (3)如图4，将图3中的两个三角形进行图形变换后，若，，求图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)①，②； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、勾股定理的证明以及应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）在图4中，图3大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即，然后整理化简即可解答； （3）先用勾股定理求得，即，再根据求解即可． 【详解】（1）解：①，     ②． （2）证明：图3大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和， 所以，即， 整理得：． （3）解：，， ， ， ． 26．“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②23 【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证； （2）①将大正方形的面积代入得，将小正方形的面积代入得；②利用完全平方公式计算即可； 本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，一个直角三角形面积为，小正方形的面积为， ∴， 整理得， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①∵大正方形的面积为13， ∴， 又∵， ∴， ∵小正方形的面积为3， ∴， 即， 将代入得， 解得， ∴． ②由①知，， ∴． 27．综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 【题型十 以弦图为背景的计算题】 28．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 29．大正方形的面积为5，小正方形的面积为，若用、分别表示直角三角形的两直角边，下列三个结论：；；其中正确的是 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据题意可得小正方形的边长，大正方形的边长，再逐一判断，即可． 【详解】解：由题意可得小正方形的边长，大正方形的边长， 斜边大正方形的面积， 故正确； 小正方形的边长为， ， 故正确； 小正方形的面积四个直角三角形的面积=大正方形的面积， ， ， 故正确； 综上可得正确． 故答案为：． 30．如图①，将长为、宽为2a的长方形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大、小两个正方形． (1)用关于a的代数式表示图②中小正方形的边长． (2)当时，大正方形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的长和宽，确定分割成的全等直角三角形的直角边长度，进而得出小正方形的边长； （2）利用勾股定理求出直角三角形的斜边长（即大正方形的边长），或者通过四个直角三角形面积与小正方形面积之和计算大正方形的面积. 【详解】（1）解：因为直角三角形中较短的直角边，较长的直角边， 所以小正方形的边长． 故答案为：. （2）解：大正方形面积可通过“四个直角三角形面积小正方形面积”计算。先分别求出这两个部分的面积. ①计算四个直角三角形的面积： ②计算小正方形的面积： ③计算大正方形的面积： 当，代入得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及“赵爽弦图”的图形拼接，解题关键是正确确定直角三角形的直角边长度，利用勾股定理或面积和的方法求解正方形的边长与面积. 【题型十一 用勾股定理解三角形】 31．某中学为提升学生实践能力，在学校围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且． (1)请在图中连接，求的长； (2)请你求出这块菜地的面积． 【答案】(1)的长为； (2)这块菜地的面积是． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）连接，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）及题意易得，则有是直角三角形，，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）解：如图，连接； 在中，，，， 所以， 因此，的长为． （2）解：因为，， 所以，. 所以，是直角三角形，， ； 因此，这块菜地的面积是． 32．如图，点C在线段上，平分． (1)证明：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， 对于（1），根据平行线的性质得，再根据“边角边”可得答案； 对于（2），先根据全等三角形的对应边相等得，再根据等腰三角形的性质得，然后根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 33．如图，两村庄相距，为供气站，，，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村（即管道总长为）； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向、两村铺设管道（即管道总长为）． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)在这两种方案中，哪一种方案铺设的管道总长度较短？请通过计算说明理由． 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ，， ， 是直角三角形； （2）解：方案一所铺设的管道较短,理由如下： 的面积， ， ，， ∵ 方案一所铺设的管道较短． 【题型十二 勾股定理的逆定理】 34．如图，点在梯形的边上，,,,,． (1)求的度数． (2)求梯形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，得出是等腰直角三角形，进而可得，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可； （2）由（1）可得，从而证明是等腰直角三角形，进而求出、，再根据梯形的面积公式计算，得到答案． 本题考查的是等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理求出是解题的关键． 【详解】（1）解：∵,，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 是直角三角形， ， ． （2）由（1）得， ． ， ， ． 在中，， ， ， ． 35．如图，有一块三角形花圃，其中，现要沿搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，点D、E分别在上，，请求出隔断的长． 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理及其逆定理，理解题意，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键． 根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是直角三角形，且．     ∵， ∴， ∴． 36．2025年，洛阳市继续在创建全国文明城市的过程中，积极推动城市精细化管理，加强市容市貌提升和城市环境整治．工作人员在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地（如图）进行绿化．经测量，，，，，，求空地的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用，证明是直角三角形是关键．连接，用勾股定理求出．证明是直角三角形，．根据即可求出答案． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴在中，． ∵，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴ 【题型十三 勾股定理的实际应用】 37．在岛上有一个观测站，上午时观测站发现在岛正北方海里处有一艘船向正东方向航行，上午时，该船到达距岛海里的岛，且，求该船的航行速度． 【答案】该船的航行速度为海里时 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得海里，海里，然后根据勾股定理可得海里，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， 航行了小时， 船航行的速度海里时． 答：该船的航行速度为海里时． 38．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 39．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【题型十四 直角三角形全等的判定】 40．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，． (1)求证：； (2)点为的中点，，求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质， 对于（1），根据“斜边直角边”证明即可； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，结合已知条件可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 41．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 42．如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质； （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型十五 反证法】 43．用反证法证明命题“若，则”时应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原命题成立． 【详解】解：∵反证法需假设结论的否定， ∴假设， 故选：B． 44．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 45．阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； （2）证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 【题型一 等腰三角形存在性问题】 46．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)（ ）（用t的代数式表示）． (2)当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，再根据求解，即可解题； （2）根据点Q在边上，是等腰三角形，得到，据此建立方程求解，即可解题； （3）根据是以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时，当时，点在的垂直平分线上，结合等腰三角形性质和判定，垂直平分线性质进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， 故答案为：； （2）解：，点Q在边上，是等腰三角形， ， ，， 即， 又，， ， 解得， 故答案为：； （3）解：是以为腰的等腰三角形， 当时， ， ， ； 当时，点在的垂直平分线上，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，当点Q在边上运动时，出发秒或秒后，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了代数式表示，等腰三角形性质和判定，垂直平分线性质，一元一次方程的应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． 47．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M、N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M、N两点重合？ (2)当点M、N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M、N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M与点N重合 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及动点问题的分类讨论与时间范围分析． （1）先确定运动时间的范围，再分析“重合”时的路程关系，最后确定重合位置； （2）先明确“M，N在上”的时间范围，再分析“以为底边的等腰”的条件，最后用“路程”表示和，列出方程求解． 【详解】（1）解：点N运动到点B用时为， 当时，点M在上，点N在上，M与N不可能重合， 当时，点M，N均在上，令， 解得，此时M，N两点重合，且与点C重合， 当时，点M，N在上，且点N始终在点M的前面，不可能重合， 综上，当时，点M与点N重合． （2）解：如图，点M，N在上，连接，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当点M，N在边上运动时，，． ∵， ∴，解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰，此时M，N运动的时间为． 48．如图，是等边三角形，．动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动．当点不与点重合时，连接．设点的运动时间为． (1)的长为_________（用含的代数式表示）； (2)求证：为等边三角形； (3)在不添加字母和辅助线的前提下，当图中存在等腰钝角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了列代数式、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据题意表示的长即可； （2）由等边三角形的性质可得，再说明即可证明结论； （3）分为等腰钝角三角形和为等腰钝角三角形两种情况，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵．动点同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴． 故答案为：t． （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵动点、同时从点出发，分别沿射线方向均以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴， 在中，且， ∴为等边三角形． （3）解：①当为等腰钝角三角形， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 当时，为等腰钝角三角形， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当为等腰钝角三角形，此时点P在的延长线上，，， ∴，即． 综上，t的值为2或8． 【题型二 等腰三角形的分类讨论问题】 49．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴； 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴； 综上所述：为或． 故答案为：或． 50．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论是解决本题的关键． 分类当，时，，时，，时，，时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解． 【详解】解：当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或． 51．如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【题型三 等腰三角形的手拉手模型】 52．如图，在等腰和等腰中，大于，顶角与顶角均为，，交于点M，连接．有下列结论：①；②；③；④点O在的平分线上． 其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形定义与，可证明，得，可判定①正确；②正确；设与交于点G，结合，运用三角形外角性质推出，可判定③正确；过点O作于点E，于点F，由，，得，得，得平分．可判定④正确． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等腰三角形，是等腰三角形， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 设与交于点G， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 过点O作于点E，于点F，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴平分．点O在的平分线上． 故④正确，符合题意， ∴正确的结论有4个； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，是解题的关键． 53．如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③平分，④的度数为．其中正确的结论为（    ） A．①③④ B．①② C．①②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，②正确；根据与都是等腰直角三角形，得到得到①③正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，得出的度数为，故④不正确． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形 ∴ 故②正确， ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ， ∴ ∵，， 垂直平分， 故①正确， ∴ ， 平分， 故③正确， 为等腰三角形，顶角， ， 同理， ∴的度数为 故④不正确． 故选：D． 54．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 【题型四 等腰三角形的折叠问题】 55．如图，在中，，，点E、F分别是边上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数是（   ） A． B． C．或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时， ； ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时， ； ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立； 综上所述，的度数是或． 故选：C． 56．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，延长交于点G，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，可推出，是的垂直平分线，从而得到，然后根据是的垂直平分线，进而得到，由等边对等角可知，接着根据折叠的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵将沿（E在上，F在上）折叠，若点C与点O恰好重合， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解题的关键． 57．【课本再现】 折叠常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图1（2）），于是，由，，可得． (1)【类比探究】 如图2（1），在中，，能否证明呢？小军同学提供了一种方法：把翻折，使点B落在点C上，折痕分别交、于点D、E（如图2（2）），再运用三角形三边关系即可证明，请按照小军的方法完成证明； (2)【方法运用】 如图3，在中，，点D是边上一点，连接． ①如图3（1），若平分，则、、之间的数量关系是________； ②如图3（2），若，写出、、之间的数量关系并说明理由； (3)【拓展提升】 如图4，在四边形中，点C是的中点，，且，，，请直接写出长度的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②，理由见解析 (3) 【分析】本题考查图形的翻折，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由翻折可知：；根据即可求证； （2）①将沿翻折，由角平分线得到落在上，则，即可得到 ，代入即可得到； ②在上取点，使得，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可得到； （3）把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上，由翻折可得，，，，，，再求出，得到是等边三角形，则，最后根据，得到当，在线段上时，最大． 【详解】（1）证明：如图2（2）， 由翻折可知：； ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①将沿翻折， ∵平分， ∴落在上； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ②，理由如下： 在上取点，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：把沿向上翻折，使点B落在点上，把沿向上翻折，使点落在点上， ∵点C是的中点，， ∴， ∵，， ∴由翻折可得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当，在线段上时，最大， 故答案为：． 【题型五 含30度角的直角三角形】 58．如图，在中，，，，P是AC上的动点．连接，以为边作等边三角形，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．取中点E，连接．先证明，得到，即可得到当时，的值最小，在中，求出，即可得到线段长的最小值是2． 【详解】解：如图，取中点E，连接． ∵，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴线段长的最小值是2． 故选：A 59．如图，在中，，将折叠，折痕与交于点，点的对应点为，过点作于点，连接．若平分，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．根据等腰三角形的性质，角平分线的性质，含角的 直角三角形的性质，作出适当的辅助线即可求解． 【详解】解：如图， 过点作于点，延长与交于点，连接， 又，平分，， ，垂直平分， ． 由折叠得，，， ，， 为等边三角形， ． ，， ， ， ． ， ． 在中，， ， ． 故答案为：． 60．如图，在等边△中，射线、分别交线段于点、，，作于点，分别交、于点、． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，再求得，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得，，再证明，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明是等腰三角形，得，再证明，进而证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为等边三角形， ，， 由（1）可知，， 在与中， ， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ，，， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【题型六 斜边中线定理】 61．如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是关键． 62．定义：如图1，在和中，，当时，我们称与互为“顶补等腰三角形”，的边上的高线叫做的“顶心距”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图2，图3中，与互为“顶补等腰三角形”，是“顶心距”． ①如图2，当时，与之间的数量关系为________； ②如图3，当，时，的长为________． (2)猜想论证：在图1中，当为任意角时，猜想与之间的数量关系，并给予证明． (3)拓展应用：如图4，在四边形中，，，，，，在四边形的内部找到点，使得与互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题． ①请用尺规作图，在图中作出点的位置； ②直接写出的“顶心距”的长为________． 【答案】(1)①；② (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形性质可得BC=DE，即可求解； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由全等三角形的性质可得，则可得结论． （3）①如图4中，连接，作的中点，即可求解； ②连接，作于．先证明，都是等边三角形，进一步即可证明与互为“顶补等腰三角形”，再根据直角三角形的性质求出的“顶心距”即可． 【详解】（1）①，； ， 为等腰直角三角形 在与中， ， ． ② ，； 为等边三角形 即： ，， ． （2）猜想：结论． 理由如下：如图，过点作于 ， ， 同理可得：， ， ， ， 在与中， ， （3）①如图所示， ②如图4中，连接,作于． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴和是“顶补等腰三角形”， 在中，∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质,含度角的直角三角形的性质，理解题意，运用“顶补等腰三角形”的定义解决问题是本题的关键． 63．【问题背景】我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．在中，，，则． 【探究结论】小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图①，作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为______； (2)如图②，是的中线，D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接，试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由； (3)当D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，此时（2）的结论还成立吗？请画图并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，理由见解析 (3)成立，作图见解析，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，理解直角三角形斜边中线的性质是关键． （1）①先求出，再根据直角三角形斜边中线性质得，由此可得为等边三角形； ②根据直角三角形斜边中线性质即可得出与之间的数量关系； （2）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，据此可得出线段与之间的数量关系； （3）连接，根据和都是等边三角形得，，，，进而得，由此依据“”判定和全等得，进而得是边的垂直平分线，则，由此得，据此即可得出结论． 【详解】（1）①证明：在中，，， ， ∵是边上的中线， ， 为等边三角形； ②解：， 与之间的数量关系为：； 故答案为：； （2）解：线段与之间的数量关系是：，理由如下： 连接，如图2所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ； （3）解：成立，理由如下： 连接，如图3所示： 由可知：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又是边上的中线， ， 是边的垂直平分线， ， ． 【题型七 勾股定理的计算题】 64．【问题背景】勾股定理是数学中最重要的定理之一，它首次将代数与几何紧密联系，其证明过程培养了演绎推理能力，为后续几何学发展奠定基础． 【初步感知】（1）勾股定理的证明方法非常丰富．如图1，四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空白部分是一个小正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积，并由此推导出勾股定理； 【问题解决】（2）如图2，已知，求的长度； 【拓展延伸】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，已知．测得，，求新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）新路比原路短千米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能结合题意列出适当的方程求值是解本题的关键． （1）根据面积法求解即可； （2）在中，则 ，再根据勾股定理即可求解； （3）设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）方法一：； 方法二：；整理，得，所以； （2）因为， 在中，，即，所以 在中，，即，； （3）设，则． 在中，由勾股定理得，解得，即， ∴ ∴新路比原路短千米． 65．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 66．【问题情境】 小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①，已知直角三角形纸片较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，利用此图可以验证勾股定理吗？ (1)【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积个直角三角形的面积．用含字母a，b，c的式子可以表示为_______，化简可证得勾股定理；． (2)【初步运用】 如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，试求的值． (3)【实际应用】 如图②，若较短的直角边BC长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到一个“数学风车”．若以AB为边的正方形面积为61，求这个风车的外围周长． 【答案】(1) (2) (3)这个风车的外围周长为 【分析】（1）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题； （2）根据正方形的面积公式和（1）的结论代入可求值； （3）根据外延的部分全等，且，由勾股定理求得，根据风车的外围周长是，计算求解即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，小正方形的面积为：，一个直角三角形的面积为：， 根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，可得：； 故答案为：． （2）解：∵大正方形的面积是13．小正方形的面积是1， ∴， ∴． 由（1），得， ∴，即， ∴． （3）解：∵以为边的正方形面积为61， ∴． 在中，， ∴． 由题意知， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故这个风车的外围周长为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型八 勾股定理与折叠问题】 67．如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． (1)求折痕的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 68．如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 69．我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 【题型九 勾股定理中的受影响问题】 70．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 71．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 72．如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1)证明见解析，点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【题型十 直角三角形全等判定的辅助线添加问题】 73．【探究】（1）如图①，用三角尺可按下面方法画角平分线：在的两边上分别取，再分别过点M、N作、的垂线，交点为，画射线，则得到平分．请用你所学的知识说明其中的道理． 【应用】（2）已知：如图②，平分，，于E，于F，，且满足．求的度数． 【拓展】（3）如图③，在四边形中，是的角平分线，若，过D点作，求证：． 【答案】（1）见详解（2）（3）见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，解题的关键是掌握相应的判定定理； （1）利用证明，再利用全等的性质即可证明； （2）易证，，，即可证明；则，，再结合平行线的性质以及，进行列式计算，即可作答． （3）先证明，得，证明 ，得，结合，，得，，即． 【详解】解：由题意知：， 都为直角三角形， ， ， ， 平分； 证明：平分，于，于， ，，， 在和中， ， ； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， （3）过点作，交的延长线于点，如图所示： ∵在四边形中，是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 74．如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了线段垂直平分线及角平分线的性质，直角三角形全等的判定定理及性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得；依据角平分线的性质可得；依据定理可判断出，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）同理，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵D是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵D是平分线上的点，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在与中， ∵，， ， ， ， ， ． 75．如图，在中，D为的中点，交的平分线于E，于F，交延长线于G． (1)求证：． (2)猜想，与之间的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，证明即可； （2）证明，则，继而证明． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴，， 在和中， ， ∴. （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型一 等腰三角形的判定与性质】 76．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 又， ； （2）解：和均为等边三角形， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 77．已知，，． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，的延长线相交于点F，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角 和定理，三角形外角的性质，灵活运用知识，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键． （1）由平分，得到，再根据，得到，进而推出，即可证明结论； （2）根据，推出，，由，得到，进而推出，利用邻补角的定义得到，由三角形外角的性质求出，最后利用，即可得出结论； （3）在上取点，使得，证明，推出，进而得到，利用三角形内角和定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的延长线相交于点F， ∴，即， ∵， ∴， 即； （3）解：在上取点，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 78．综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)线段的长为5或11 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， 故答案为：，； （2）成立．理由如下： ∵， ． ． 在和中， ． ∴，． ∵在中，， ∴． ∴，即． ∴． （3）①当点在上时，如图， 由（1）可知 ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，或11． 【题型二 斜边的中线定理】 79．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． (1)如图①，在中，，，平分交于点．求证：是“钻石三角形” (2)如图②，在 中，，，则 “钻石三角形”(填“是”或“不是”)．若是，则其“钻石分割线”必过顶点 (填“”“”或“”)；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是； 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，． （1）根据等腰三角形的性质与判定，进行角度的推导即可； （2）过点B作的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断可得两个等腰三角形，进而可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵, ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”． （2）解：过点B作的中线，    则， ∴与是等腰三角形， ∴是“钻石三角形”， ∴其钻石分割线必过顶点． 80．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，在中，，，以为斜边作直角三角形，点，在边的同侧，与交于点，连接，过点作于点．求证：（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】 （1）如图2，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路，写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）的度数为________． （3）若是的中点，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）96 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，通过做辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据和等量代换即可得； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再求出，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，最后根据四边形的面积等于求解即可得． 【详解】解：（1）如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵以为斜边作直角三角形， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）已证：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 81．（1）如图1，点是的内部任意一点，．垂足分别是是的中点． ①若，则__________． ②求证：． （2）如图2，若是的外部任意一点，，垂足分别是、是的中点．问与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②证明见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到； ②根据等腰三角形的性质得到，同理得到，结合图形计算，证明结论； （2）仿照（1）的证明方法解答即可． 【详解】解：（1）①是的中点，，， ， 故答案为：． ②， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ； （2）解：． 理由如下：如图，， ， 在中，是的中点， ， ， ， 同理可知，， ． 【题型三 用勾股定理解三角形】 82．如图，在中，、分别是边、上的高线，取的中点为点，连结，，取的中点为点． (1)求证：； (2)当时，求证：是等腰直角三角形； (3)在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握三角形的各类性质是解题的关键． （1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再根据等腰三角形三线合一，可证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得到，再结合等腰三角形的性质可推出，即可证明是等腰直角三角形； （3）根据（2）中的结论及的长度可求出的长度，根据勾股定理可求出的长度，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【详解】（1）证明：、分别是边、上的高线， ． 的中点为点， ，． ． 的中点为点， ． （2）证明：由（1）知， 的中点为点， ． ，． ， ． ． ． 是等腰直角三角形． （3）， ． ． 的中点为点， ． 83．下面是小颖同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如何画长为（，且n为整数）的线段 【尝试·思考】 如图1，方格纸中每个小方格的边长均为1．点A，B，C为格点，以点A为圆心，AC长为半径画弧交网格线于点D，则线段BD的长为①_____．   【观察·思考】 在尝试中，发现： ；；；；… 【回顾·反思】 可能为有理数，也可能为无理数．当为无理数时，以一条直角边长为n（，且n为整数），斜边长为②_____构建直角三角形，则另一条直角边长为． 任务： (1)补全以上笔记：①______；②_______； (2)请在图2的方格纸中画出一条长为的线段；（不写画法，保留画图痕迹）    (3)通过以上【回顾·反思】发现：如果三条线段长分别为n，，②____（，且n为整数），那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．请说明理由； (4)阅读以上笔记并完成相应任务后，你有什么反思？（写出一条即可） 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)理由见解析； (4)见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，网格中画三角形，运用数形结合思想； （1）根据勾股定理计算即可； （2）由，，结合网格的特点即可画出； （3）根据勾股定理逆定理解答； （4）当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方． 【详解】（1）解：， ∵直角三角形的直角边分别为n，， ∴斜边， 故答案为；； （2）解：画图如下：， ∴线段即为所求； （3）解：三条线段分别为n，，， ∵，， ∴ ∴这三条线段组成的三角形是直角三角形； （4）解：当直角三角形的斜边的平方为奇数时，两条直角边为两个连续的整数，且这两个整数的和为斜边的平方 84．如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 【题型四 最短路径问题】 85．如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 86．如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点是圆柱下底面外壁的一点，点是上底面外壁与点相对的一点，在点正下方的水面紧贴内壁处有一食物． (1)若圆柱高为，底面半径为，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度． (2)若圆柱高为，底面周长为，水深，一只蚂蚁在点处． ①蚂蚁从点处沿圆柱侧面外壁爬行到点处，则爬行的最短路程________． ②蚂蚁从点处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程________． 【答案】(1) (2)①15 ②蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题、勾股定理及圆柱的体积，熟知勾股定理及能根据题意画出示意图是解题的关键． （1）利用勾股定理进行计算即可； （2）①在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可； ②在展开图中，利用两点之间，线段最短进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为底面直径为，圆柱的高为， 所以容器内能放入木棒的最大长度为：； （2）解：①如图所示， ． 因为， 所以． 故答案为：15； ②如图所示， ， 所以， 所以． 在△中， ， 所以蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为． 故答案为：20． 87．综合与实践 如图1，已知圆柱底面的周长为，高为，是圆柱底面的直径，，是圆柱的高，为的中点，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈路径最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ． (2)求该金属丝的长． (3)其他条件不变，如图2，若在圆柱(空心且上面无盖)的内壁点处有面包屑，一只蚂蚁从圆柱的外壁点处出发，去吃面包屑，求蚂蚁爬行的最短路程． 【答案】(1)D (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，轴对称最短路程问题，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）该金属丝的长即为线段的长加上线段的长，据此利用勾股定理求解即可； （3）作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接，可推出当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，且两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是D； （2）解：在图D中，由题意得，， ∴， 同理可得， ∴该金属丝的长为； （3）解：如图所示，作点E关于的对称点F，设点P为上任意一点，连接， ∴蚂蚁爬行的路程为的值， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当B、P、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为． 【题型五 勾股定理中求最值问题】 88．如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 89．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）证明见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 90．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $