专题05 特殊三角形（期末复习讲义，知识必备+20大重难题型+过关验收）八年级数学上学期新教材冀教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理特殊三角形的核心考点、复习目标及考情规律，明确基础、重要、核心考点的分布。按等腰三角形、直角三角形等知识点细化定义、性质与判定，构建“考点-目标-考情”三维知识脉络，突出三线合一、勾股定理等重难点的内在联系。 讲义亮点在于20个题型的分层设计，每个题型配解题技巧与易错点拨，如“三线合一”辅助线添加、勾股定理折叠问题计算等实例，培养推理意识与几何直观。基础通关、重难突破、综合拓展三级练习满足不同学生需求，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题05 特殊三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形的概念 掌握等腰三角形的基本概念 基础考点，一般出现在小题中 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定定理 重要考点，一般出现在解答题中 等腰三角形的性质 掌握等腰三角形的性质定理 重要考点，一般出现在解答题中 等边三角形的判定 掌握等边三角形的判定定理 重要考点，一般出现在解答题中 等边三角形的性质 掌握等边三角形的性质定理 重要考点，一般出现在解答题中 含30°角的直角三角形 掌握含30°角的直角三角形性质定理 核心考点，各类题型均会考查 斜边的中线定理 掌握直角三角形的斜边中线定理 核心考点，各类题型均会考查 勾股定理的证明 掌握勾股定理的证明方法 基础考点，一般出现在解答题的第1小问 勾股定理实际应用 熟练掌握勾股定理的实际应用问题 重要考点，一般在解答题中考查 勾股定理的逆定理 学会运用勾股定理的逆定理证明直角三角形 重要考点，一般和其他知识点综合考查 勾股定理折叠问题 掌握勾股定理折叠问题的计算 核心考点，一般在解答题中考查 直角三角形全等的判定 掌握直角三角形全等的判定方法 重要考点，一般出现在小题中 反证法 掌握反证法的相关概念 基础考点，一般出现在解答题中 知识点01 等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 知识点02 直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理 ； 知识点03 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点04 直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点05 反证法 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 题型一 等腰三角形的相关概念 易｜错｜点｜拨 掌握等腰三角形的基本概念，牢记两边相等或者两角相等均可以证明等腰三角形； 1．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 2．等腰三角形一边长为，另一边长为，则它第三边的长度为（    ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为 ． 4．已知：等腰三角形的周长为24． (1)若已知一边长为6，求其他两边长； (2)若设腰长为，求腰长的取值范围． 题型二 三线合一 解｜题｜技｜巧 掌握三线合一的性质，记住是角平分线、高线和中线三线合一； 5．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 6．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知，平分，且于点，则 ． 8．如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 题型三 找出图中的等腰三角形 解｜题｜技｜巧 可以采用“两圆一垂”的方法做出辅助线； 9．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 11．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 12．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．均在格点上，按下列要求画图： (1)在图①中，以格点为顶点，画以为底边的等腰； (2)在图②中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰； (3)在图③中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰，并且所画的与图②中所画的不全等． 题型四 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 13．如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 14．如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 15．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 16．如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 题型五 等腰三角形的性质 解｜题｜技｜巧 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 17．如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 18．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 19．如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 题型六 等边三角形的判定与性质 解｜题｜技｜巧 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 21．如图，在中，，，垂直平分线段． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 22．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 23．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 24．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接．       图1                      图2 你选择方法_______ 证明： 题型七 含30°角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 30°角所对的直角边等于斜边的一半 25．如图，在中，，F是上一点，过点F作于D，的延长线交延长线于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 26．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 27．如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 题型八 斜边的中线定理 解｜题｜技｜巧 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 29．如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 30．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 31．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 32．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 题型九 直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 33．如图，在中，，点D、E是边上两点，，，于点A．求、和的度数． 34．已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 35．如图，在中，，的垂直平分线交于E，交于D，且， (1)求证：； (2)求的度数． 36．综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动． 如图1，在中，，于点，平分交于点． 初步分析： （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论； （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）； 操作探究： （3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究． 如图2，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．连接，猜想此时线段与的位置关系，并证明． 题型十 勾股定理的证明方法与计算 37．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 38．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 39．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 40．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 题型十一 勾股数问题 解｜题｜技｜巧 牢记常见的勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41； 41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 42．在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 43．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 44．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 题型十二 勾股定理中的折叠问题 45．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 46．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 47．如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 48．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 题型十三 用勾股定理解三角形 49．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 50．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 51．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 52．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 题型十四 勾股定理的实际应用 53．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 54．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 55．2022年第3号台风“退芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 56．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 题型十五 判断是否受影响问题 57．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又已知，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为4千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 58．如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 59．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 60．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 题型十六 选址问题 61．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 62．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 63．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 64．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 题型十七 最短路径问题 65．如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？ 66．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 67．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 68．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型十八 勾股定理的逆定理 解｜题｜技｜巧 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 69．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 70．如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 71．已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 72．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 题型十九 直角三角形全等的判定 解｜题｜技｜巧 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 73．如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 74．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 75．如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则 ． 76．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二十 反证法 解｜题｜技｜巧 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 77．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 78．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 79．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 80．人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北·期末）以下面各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）用反证法证明“在中，，则”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 6．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 9．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 10．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是小明和小亮比较 与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（    ） 小明 分别将两式平方，得， ， ， 因为， 所以 小亮作一个直角三角形，两直角边长分别为， 利用勾股定理，得斜边长为 ， 由三角形中两边之和大于第三边，得． A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 14．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将绕点C逆时针旋转得到（点A，B的对应点分别为D，E），点E恰好落在边上．若，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 16．（25-26九年级上·河北唐山·期末）实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为 °． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 18．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 19．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知在中． (1)若，求的最大内角的度数； (2)若于点，是的平分线，，，求的度数． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级下·河北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 24．（24-25八年级上·河北唐山·期末）等边三角形的边长为6，点O是三个内角平分线的交点，，的两边与分别交于点D，E．在绕O点顺时针旋转过程中，有如下三个结论： 结论I：； 结论II：四边形的面积始终为； 结论III：周长的最小值为9． 对于结论I，Ⅱ和Ⅲ，下列判断正确的是（   ） A．只有I对 B．只有Ⅰ和Ⅱ对 C．只有Ⅰ和Ⅲ对 D．I，Ⅱ和Ⅲ都对 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则 ． 26．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 27．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 28．（24-25八年级上·河北邢台·期末）亮亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图所示的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点，连接，延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，若是的平分线，则池塘的宽为 ． 29．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 30．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图1，在中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 特例分析： （1）如图2，当时，连接，求的长． 探究规律： （2）如图3，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 特殊三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等腰三角形的概念 掌握等腰三角形的基本概念 基础考点，一般出现在小题中 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定定理 重要考点，一般出现在解答题中 等腰三角形的性质 掌握等腰三角形的性质定理 重要考点，一般出现在解答题中 等边三角形的判定 掌握等边三角形的判定定理 重要考点，一般出现在解答题中 等边三角形的性质 掌握等边三角形的性质定理 重要考点，一般出现在解答题中 含30°角的直角三角形 掌握含30°角的直角三角形性质定理 核心考点，各类题型均会考查 斜边的中线定理 掌握直角三角形的斜边中线定理 核心考点，各类题型均会考查 勾股定理的证明 掌握勾股定理的证明方法 基础考点，一般出现在解答题的第1小问 勾股定理实际应用 熟练掌握勾股定理的实际应用问题 重要考点，一般在解答题中考查 勾股定理的逆定理 学会运用勾股定理的逆定理证明直角三角形 重要考点，一般和其他知识点综合考查 勾股定理折叠问题 掌握勾股定理折叠问题的计算 核心考点，一般在解答题中考查 直角三角形全等的判定 掌握直角三角形全等的判定方法 重要考点，一般出现在小题中 反证法 掌握反证法的相关概念 基础考点，一般出现在解答题中 知识点01 等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 知识点02 直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的一半的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理 ； 知识点03 勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点04 直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点05 反证法 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 题型一 等腰三角形的相关概念 易｜错｜点｜拨 掌握等腰三角形的基本概念，牢记两边相等或者两角相等均可以证明等腰三角形； 1．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（    ） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分情况讨论边长为4的是腰或底边，并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）进行验证． 【详解】解：由题意，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为， 但，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为； 故另两边的长是6与6； 故选：B． 2．等腰三角形一边长为，另一边长为，则它第三边的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质，已知两边可能为腰或底，需结合三角形三边关系定理（任意两边之和大于第三边）进行验证，排除不满足条件的情况． 本题通过分类讨论等腰三角形的可能情况，并利用三角形三边关系进行验证，确保解的合理性． 【详解】解：∵ 等腰三角形有两边相等，已知一边为，另一边为， 设第三边为， 由三角形三边关系定理得到：， 故， 又∵三角形是等腰三角形， 故 故选：D． 3．若等腰三角形的一条边长为，另一条边长为，则此三角形第三条边长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当为底时，其它两边都为， 、、可以构成三角形； 当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，故舍去． 所以三角形三边长只能是、、，所以第三边是． 故答案为：8． 4．已知：等腰三角形的周长为24． (1)若已知一边长为6，求其他两边长； (2)若设腰长为，求腰长的取值范围． 【答案】(1)其他两边长均为9 (2)腰长x的取值范围为 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系以及一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确列出不等式． （1）分为两种情况，当腰长为6或者底边长为6时，分别求解； （2）根据三角形三边关系，“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，求解即可． 【详解】（1）解：当腰长为6时，另一腰长也为6，此时底边长为， 因为， 所以不符合三角形三边关系，不符合题意； 当底边长为6时，腰长为， 因为， 所以符合三角形三边关系，符合题意； 综上分析可知，另外两边长均为9； （2）解：腰长为，则底边长为， 由三角形三边关系可得：， 解得：． 题型二 三线合一 解｜题｜技｜巧 掌握三线合一的性质，记住是角平分线、高线和中线三线合一； 5．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线，她这样做的依据是（   ） A．垂线段最短 B．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C．等腰三角形“三线合一” D．角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）． 根据等腰三角形“三线合一”作答即可． 【详解】解：在中，，小珍将一把直尺按如图所示的方式摆放，取的中点．连接，则为的平分线， 她这样做的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：C． 6．如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，已知，平分，且于点，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由得到，是解题的关键． 延长交于点，则可知为等腰三角形，则，，可得出． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 故答案为： 8．如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键． （1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明． （2）连接，先证明，再证明，得出，结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴F为线段中点； （2）解：，理由如下： 连接， 在中，，D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 题型三 找出图中的等腰三角形 解｜题｜技｜巧 可以采用“两圆一垂”的方法做出辅助线； 9．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． 10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 共有6个． 故答案为：6． 11．如图，由36个完全相同的小正方形组成的网格中，点A，B在格点上，在网格的格点上找到点C，使为等腰三角形，这样的点C共有 个． 【答案】10 【分析】首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图所示： ①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，解题关键是分类的数学思想． 12．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．均在格点上，按下列要求画图： (1)在图①中，以格点为顶点，画以为底边的等腰； (2)在图②中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰； (3)在图③中，以格点为顶点，画出以为腰的等腰，并且所画的与图②中所画的不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （2）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （3）根据等腰三角形的定义以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求： （2）解：如图②中，即为所求： （3）解：如图③中，即为所求． 题型四 等腰三角形的判定 解｜题｜技｜巧 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 13．如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到为等腰三角形． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 14．如图，已知直线，的直角顶点在直线上，点在直线上，点在直线上，与交于点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，三角形内角和定理： （1）由平行线的性质可得，则，据此可证明结论； （2）由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 16．如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质： （1）根据等边三角形的性质得，，，进而可得，再利用可证得，进而可求证结论； （2）由（1）得：，，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）由（1）得：，， 是直角三角形，且， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 题型五 等腰三角形的性质 解｜题｜技｜巧 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 17．如图，已知点A，C分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识，结合图形分析是关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质得到，由等角对等边得到，结合等腰三角形的定义即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，平角的性质得到，由角平分线的定义得到，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18．如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线，分别交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等边对等角得，结合，故，，再运用对顶角相等得，结合有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可作答． （2）先设的长为，因为，得，由（1）得是等腰三角形，故，又因为，，即，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等腰三角形 （2）解：设的长为， 则， ∵， ∴， 由（1）得是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的长为． 19．如图，交于点，点在线段上，且，，连接． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴． 20．如图，在中，，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明是的垂直平分线，得，即可证得结论； （2）由三角形的内角和定理求出,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可求得，然后根据角的和差即可求出，由可得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ，， ， 是的垂直平分线， ， ； （2）解：∵，， ， ∵， ， ， ， ． 题型六 等边三角形的判定与性质 解｜题｜技｜巧 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 21．如图，在中，，，垂直平分线段． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及垂直平分线的性质； （1）根据垂直平分线的性质得，，即可得出答案． （2）由（1）可知，是等边三角形，求出即可求出的长． 【详解】（1）解：证明：∠， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1），得，是等边三角形， 在中， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 23．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接．       图1                      图2 你选择方法_______ 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质； 法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明； 法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明． 【详解】解：法一：在上取一点D，使得，连接，    ∵， ， 是等边三角形， ，， ， ， ; 法二：延长到D，使得，连接，    ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，，， ， 是等边三角形， ， 即． 题型七 含30°角的直角三角形 解｜题｜技｜巧 30°角所对的直角边等于斜边的一半 25．如图，在中，，F是上一点，过点F作于D，的延长线交延长线于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，进而可得，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明： ， 是等腰三角形； （2）解： 是等边三角形 ， 答：的长为． 26．如图，在中，和的角平分线相交于点P，且，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)10 【分析】本题考查的是角平分线的性质及判定、含30度角的直角三角形的性质． （1）过点P作于D，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论； （2）先证明平分，求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出结论． 【详解】（1）解：过点P作于D，如图所示． ∵和的角平分线相交于点P，且，， ∴，， ∴． （2）解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． 27．如图，中，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定以及用含直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质和角度关系进行推理计算。 （1）利用得到，结合直角三角形两锐角互余，通过角的等量代换证明角相等，进而得出线段相等； （2）根据已知，求出，再利用含直角三角形的性质求出线段长度，从而得出的长. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ， ， . 28．已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据为等边三角形，得，证明，即可作答． （2）易得，进行角的等量代换得，因为，则，，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 题型八 斜边的中线定理 解｜题｜技｜巧 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 29．如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 30．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 31．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为15 【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：是的斜边边上的中线，且， ， ， 是等边三角形， 的周长为15． 32．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质解题即可． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，，从而进行计算即可解答； （2）先利用直角三角形斜边上的中线性质得出，．从而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形外角的性质求出和的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵M为的中点，， ∴，， ∵， ∴的周长， ∴的周长为11； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，M为BC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型九 直角三角形的性质 解｜题｜技｜巧 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 33．如图，在中，，点D、E是边上两点，，，于点A．求、和的度数． 【答案】；； 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴，； ∵，且 ∴， ∴， ∴． 34．已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义．根据直角三角形的性质求得，根据角平分线的定义求出，再利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 35．如图，在中，，的垂直平分线交于E，交于D，且， (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质， 对于（1），根据角平分线的性质定理的逆定理说明平分，可得，再根据线段垂直平分线性质说明，进而得出，则答案可得； 对于（2），根据直角三角形的两个锐角互余得，再结合（1）中，可得，求出解即可. 【详解】（1）证明：∵， 即，且， ∴平分． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得． 36．综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动． 如图1，在中，，于点，平分交于点． 初步分析： （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论； （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形，添加的条件可以是_______（写出一种即可）； 操作探究： （3）创新小组的同学从图形轴对称的角度进行了如下的探究． 如图2，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在上．连接，猜想此时线段与的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3），证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定，折叠的性质， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据直角三角形的两个锐角互余得，再根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据角平分线的定义得，进而得出，再根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”得出答案； 对于（3），根据折叠的性质得，再结合（1），根据“内错角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）当或时， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形； 故答案为：或； （3）， 证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 题型十 勾股定理的证明方法与计算 37．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，，，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据他们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值 【详解】（1）解：∵ ∴ 整理得：； （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是 在中， 在中， ∴ ∵ 则 解得 即 在中，由勾股定理，得 38．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab； (2)． 【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式． （2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论． 【详解】（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ． ∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab， 故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab； （2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键． 39．如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边，点在上，，则中间正方形的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为，据此即可求解． 【详解】解：，，， ， 中间正方形的边长为， 中间正方形的面积为． 故答案为：． 40．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 题型十一 勾股数问题 解｜题｜技｜巧 牢记常见的勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41； 41．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B． C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、中，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、，故6，8，10是勾股数，符合题意， 故选：D． 42．在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据正方形的性质求出最大正方形的边长为，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰直角三角形的腰长为，即中等正方形的边长为，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为，即最小正方形的边长为，计算即可得到答案． 【详解】解：最大的正方形的面积为，设最大正方形的边长为， ， ， 所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为， ， ， 中等正方形的边长为， 同理可得中等等腰直角三角形的腰长为，最小正方形的边长为， 图③中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 43．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 44．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）知． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用． 题型十二 勾股定理中的折叠问题 45．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 46．如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理和翻折的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 47．如图，中，，，，点D为边的中点，连接，将沿直线翻折至所在平面内，得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、线段垂直平分线的判定和性质、勾股定理等知识．如图，连接交于O，作于H．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于O，作于H． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：． 48．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 题型十三 用勾股定理解三角形 49．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） (1)是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； (2)求原来的人行道的长． 【答案】(1)是，见解析 (2)原来的人行道的长为千米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； （2）解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 51．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ； （2）解：，， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ， ． 52．如图，在四边形中，．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）先求得，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）是直角三角形． 理由如下： 在中， 是直角三角形； （2）在四边形中， 由（1）得， ∴在中， 题型十四 勾股定理的实际应用 53．风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年．兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画出如图示意图，测得水平距离的长为8米，且线圈里的10米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为米． (1)根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； (2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短3米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？ 【答案】(1)米 (2)风筝上升了米 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解并掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理得到的值，由此即可求解； （2）由题意，米，米，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米，米， 由勾股定理，可得米， ∴（米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：如图，由题意，米，米， 在中，，由勾股定理，可得米， 则应该再放出（米）， 答：风筝上升了米． 54．如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 55．2022年第3号台风“退芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面米处被折断 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有；利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：，，则， 在中， ， ， ， 答：这棵树在离地面米处被折断． 56．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．    (1)求此时船离岸边的长；（结果保留根号） (2)若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理即可得出的长； （2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）开始时绳子的长度为的3倍． 米， （米； （2）如图，连接，    此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置． 船移动到点的位置时绳长（米， （米， 船向岸边移动的距离为（米， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 题型十五 判断是否受影响问题 57．如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又已知，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为4千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)7小时 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、勾股定理的实际应用等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由勾股定理逆定理可证明为直角三角形，且．过点作于点D，由等积法可求出，即说明海港受台风影响； （2）在直线上取点E和F，使，根据勾股定理可求出，，即得出，从而可求解． 【详解】（1）解：∵，，， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，且． 过点作于点D，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∴海港受台风影响； （2）解：如图，在直线上取点E和F，使， ∴线段内都受台风影响． 在中，， 在中，， ∴． 小时， 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 58．如图，某沿海开放城市接到台风警报，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度向移动，已知城市到的距离，那么台风中心经过多长时间从点移到点？如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】游人在小时内撤离才可脱离危险． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．首先根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算；再根据在范围内都要受到影响，先求出从点到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】解：，， 在中，根据勾股定理，得， 则台风中心经过小时从移动到点； 如图， 距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响， 人们要在台风中心到达点之前撤离， ， 游人在小时内撤离才可脱离危险． 59．某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一学校，学校A到公路的距离米，若宣讲车P周围100米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿由M到N的方向行驶． (1)请问学校A能否听到宣传？请说明理由． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是80米/分，求学校A总共能听到多长时间的宣传． 【答案】(1)学校能听到宣传，见解析 (2)学校A总共能听到2分钟的宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据题意进行判断即可； （2）根据题意画出图形，利用勾股定理求出米，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：学校能听到宣传． 理由：因为学校A到公路的距离为60米米， 所以学校能听到宣传； （2）解：如图， 假设宣讲车行驶到P点学校开始听到，离开Q点后不再听到，则 米，米． 所以（米）． 所以米， 所以影响学校的时间为（分钟）． 所以学校A总共能听到2分钟的宣传． 60．如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心正以的速度向方向移动，已知城市A到的距离，那么： (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为）最好选择什么方向？ 【答案】(1)6小时 (2)1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【分析】（1）有勾股定理求出，利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据题意判断出撤离方向，再根据台风到点D的时间是6小时和游人撤出危险区域的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理， 得， （小时）； 答：台风中心经过6小时从B点移到D点； （2）根据题意，得游人最好选择沿所在的方向撤离．撤离的时间（小时）． 又台风到点D的时间是6小时． 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离，撤离的方向最好是沿所在的方向． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，准确计算是解题的关键． 题型十六 选址问题 61．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 62．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 63．如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】图见解析，的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 点即为中转站的位置； 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 64．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 题型十七 最短路径问题 65．如图，棱长为的正方体的顶点A处有一只蜘蛛，顶点 B 处有一只苍蝇，为尽快将苍蝇吃掉，这只蜘蛛想沿着正方体的表面走一条最近的路线爬到苍蝇的落脚点，则蜘蛛所走的最短路程是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把此正方体的一面展开，然后在平面内根据两点之间，线段最短，再根据勾股定理即可得出最短的路径． 【详解】解：如图所示：即为最短路线， 则在中， 故蜘蛛所走的最短路程是． 66．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接； (2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________； (3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． 【答案】(1)图形见解析 (2)两点之间线段最短. (3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 67．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上． (1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值． (2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解； （2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ； （2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下， 将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图， ∵油罐底面圆直径约为， ∴， ∵， ∴， ∴旋梯的扶手长度 ． 68．如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 题型十八 勾股定理的逆定理 解｜题｜技｜巧 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 69．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 70．如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 71．已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角． （1）连接，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，根据可知，进而可知； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）知和是直角三角形， ∴． 72．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 题型十九 直角三角形全等的判定 解｜题｜技｜巧 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 73．如图，于点E，于点，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（    ）． A．     B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握运用“”证明直角三角形全等成为解题的关键. 题目中已经给出一对直角边相等，再添加斜边对应相等即可证明结论． 【详解】解：在和中， ， ∴． 所以需要添加的条件是． 故选：A． 74．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ，是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 75．如图，已知是直角三角形，垂直平分于点，则 ． 【答案】5 【分析】连接，过点D作于点G，证明,再证明，解答即可．本题考查了等腰直角三角形判定和性质，线段的垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点D作于点G， ∵，，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 76．如图，在△中，平分，于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为7 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由角平分线的性质得，而，即可根据“”证明，得； （2）由，，根据“”证明，得，而，，由，得，求得． 【详解】（1）证明：平分，于点，交的延长线于点， ，， 在和中， ， ， ． （2）解：在和中 ， ， ， ，且，， ， ， ， 的长为7． 题型二十 反证法 解｜题｜技｜巧 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 77．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（   ） A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于 C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于 【答案】D 【分析】本题考查反证法的应用，根据反证法的意义及步骤即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设三角形中每个内角都大于， 故选：D． 78．如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 【答案】假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，则有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【分析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长到N，使，连接，可证得，有和，根据角平分线的性质得，可得到得出矛盾，假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． 在和中， ∵是边上的中线． ∴， ∵，， ∴； ∴，； ∵（）是的平分线， ∴， ∴， 则， 即，与相矛盾． 因而M与点D重合是错误的． 所以点M与点D不重合． 79．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 80．人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：，，； （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·河北·期末）以下面各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系、勾股定理的逆定理，首先利用三角形三边之间的关系判断是否能构成三角形，再利用勾股定理的逆定理判断是否能构成直角三角形． 【详解】解：A选项：， 、、不能构成三角形， 故A选项不符合题意； B选项：， 、、能构成三角形， 又， 、、能构成直角三角形， 故B选项符合题意； C选项：， 、、能构成三角形， 又， 、、不能构成直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 、、能构成三角形， 又， 、、不能构成直角三角形， 故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河北邢台·期末）用反证法证明“在中，，则”时，应先假设（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反证法中的假设，明确方法是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论 所以先假设 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，是的中点， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，中，，，．分别以为边在的同侧作正方形，四块阴影部分的面积分别为，则等于（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键．设空白部分的面积分别为a、b、c，证明得出，即可推出结果． 【详解】解：如图，设空白部分的面积分别为a、b、c， 则，，， ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即等于12， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，有一架梯子斜靠在与地面垂直的墙上，在墙角（点处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（）正中间（点处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子的长度为4米，梯子端沿墙下滑，且梯子端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离 （填“变大”或“变小”或“不变”）． 【答案】不变 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据题意知，是直角斜边上的中线，则，长度不变． 【详解】解：如图，连接， 根据题意知，点P是直角斜边的中点， 则是直角斜边上的中线，则， 由于的长度不变，则的长度不变． 故答案为：不变． 6．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）若a，b为等腰的两边，且满足，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质求出a，b的值，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， 当为腰时，，不能构成三角形， 当为腰时，的周长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期末）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    【答案】4 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置； 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）已知是等腰三角形，且，．求的周长． 【答案】的周长为16 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义及三角形三边关系进行求解即可． 【详解】解：因为，， 所以，即， 因为是等腰三角形， 所以， 所以的周长． 9．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且． (1)若，求的度数； (2)若周长为，求长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键． 对于（1），根据垂直平分线的性质得，再求出，接下来说明，然后根据三角形外角的性质求出答案； 对于（2），根据周长可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的垂直平分线， ∴， ∴. ∵是的外角， ∴， 解得：； （2）解：∵的周长为，， ∴， 即， 解得. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是小明和小亮比较 与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（    ） 小明 分别将两式平方，得， ， ， 因为， 所以 小亮作一个直角三角形，两直角边长分别为， 利用勾股定理，得斜边长为 ， 由三角形中两边之和大于第三边，得． A．小明对，小亮错 B．小明错，小亮对 C．两人都错 D．两人都对 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小和勾股定理，先分析小明和小亮比较大小的思路是否正确，再根据分析结果判断即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， 小明的思路正确． 两直角边长分别为， 由勾股定理，得斜边长为， 三角形中两边之和大于第三边， ， 小亮的思路也正确． 故选：D． 12．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，四条线段的长度分别为：，它们首尾顺次相接围成四边形（阴影部分），连接，的长度随四边形的形状变化而变化．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．5或7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据为等腰三角形，求出的长为5或7，继而判断是否符合题意,即可解答． 【详解】解：如图，在中，根据三角形的三边关系，得 ， 即 ∵为等腰三角形， ∴当时，,且，符合题意； 当 时，不符合题意，舍去， ∴． 故选A． 13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由已知等式展开并整理，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 本题考查了平方差公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故一定是直角三角形， 故选：C． 14．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将绕点C逆时针旋转得到（点A，B的对应点分别为D，E），点E恰好落在边上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是旋转的性质及等腰三角形性质，熟练掌握旋转性质及等腰三角形性质是解题关键，由旋转得，得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转得：， ， ， 故选：C． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到连接，若点，B，A在同一条直线上，则的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出是解本题的关键．先根据含角的直角三角形的性质求出，再由旋转的性质得出，进而判断出，得出，求和即可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴， 由旋转知，， ∵点，B，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 16．（25-26九年级上·河北唐山·期末）实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为 °． 【答案】60 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，，，射线BC上有一点P．当是以BP为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理．分，两种情形分析，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求即可． 【详解】解：在中，，，， ， 当时， ∴； 当时， 设， 则， ∵， ， 解得，， 即， 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 18．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 19．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 20．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知在中． (1)若，求的最大内角的度数； (2)若于点，是的平分线，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意可设，，，根据三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求解； （2）根据垂直的性质得到，利用直角三角形的性质得出，利用角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1） 解：，设，，， ， ，解得：， ， 的最大内角的度数； （2） 解：， ，， ， 是的平分线， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，熟练掌握垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质是解题的关键；由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 22．（24-25八年级下·河北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用相关性质推断出．由的垂直平分线交于， 得到，根据三角形的内角和与对顶角的性质得到，求得，最后利用含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：的垂直平分线交于， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 23．（23-24八年级上·河北张家口·期末）在等腰三角形中，，是边上任意一点(点不与、两点重合)，过点作的垂线，与直线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质， 根据垂线的定义得到，从而求得，根据等腰三角形的性质计算即可，注意分两种情况进行讨论．掌握这些相关知识点是解题的关键． 【详解】解：依题意，①如图1， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴； ②如图2， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上所述：或 故选：C． 24．（24-25八年级上·河北唐山·期末）等边三角形的边长为6，点O是三个内角平分线的交点，，的两边与分别交于点D，E．在绕O点顺时针旋转过程中，有如下三个结论： 结论I：； 结论II：四边形的面积始终为； 结论III：周长的最小值为9． 对于结论I，Ⅱ和Ⅲ，下列判断正确的是（   ） A．只有I对 B．只有Ⅰ和Ⅱ对 C．只有Ⅰ和Ⅲ对 D．I，Ⅱ和Ⅲ都对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；连接，作于点H，作于点M，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，则可对I进行判断；利用得到四边形的面积，则可对Ⅱ进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对III进行判断． 【详解】解：连接，作于点H，作于点M，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵点O是等边的内心，同时也是外心， ∴分别平分和， ∴， ∴，即， 而，即， ∴， 在和中， ∴， ∴，故I正确； ∴， ， ， ， ， ∴四边形的面积，故Ⅱ错误； ， ， ， ， ， ∵， ∴的周长， 当时，最小，的周长最小，此时， ， ， ∴周长的最小值，故III正确． 故选：C． 25．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，，点E在边上，与相交于点G．，，则 ． 【答案】64 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形外角性质的应用，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质可得，再根据等边对等角可得，最后结合三角形外角的定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将周长转化，求出即可，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴周长为， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，若和分别垂直平分和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由和分别垂直平分和得到，，则可得出，，根据三角形内角和得到，则，再由角的和差关系可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（24-25八年级上·河北邢台·期末）亮亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图所示的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点，连接，延长至点，使，过点作的平行线，延长至点，连接，测得，若是的平分线，则池塘的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，含角的直角三角形的性质，等角对等边，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 分别延长、相交于点，先求出，然后证明，可得出结果． 【详解】解：如图，分别延长、相交于点， ∵，平分， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即池塘的宽为． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得； （2）①由，得，结合，求解即可；②过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，得到，即可得出结果； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图1，在中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 特例分析： （1）如图2，当时，连接，求的长． 探究规律： （2）如图3，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）可得是等腰直角三角形，进而得出结果； （2）可证得，从而得出； （3）可证得，分为：当时，可得出，当，此时，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即始终为等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ， 作，垂足为H， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴， 综上所述：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $