第十七章 特殊三角形（知识清单）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学单元知识清单系统梳理了“特殊三角形”核心内容，涵盖等腰（含等边）三角形、直角三角形的定义、性质、判定及勾股定理、HL全等判定、反证法等知识范畴，搭建了从概念理解到定理应用的递进式学习支架。 清单以“知识点解析-常见错误警示-典型例题应用”分层呈现知识，标注“三线合一”“30°角直角边性质”等重难点，提示“两圆一垂”确定等腰三角形顶点等实用技巧，培养几何直观与推理意识。通过例题分类帮助学生突破难点，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率。

第十七章 特殊三角形 知识点一、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 知识点二、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 逆定理 ； 知识点三、勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点四、直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点五、反证法 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 一、等腰三角形 1.等腰三角形的判定与性质 错误：不会证明等腰三角形，遇到等腰三角形不会添加辅助线； 注意：牢记等腰三角形的三线合一的性质 例1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质来求解角度和周长，准确利用性质计算是解题的关键． （1）根据两条垂直平分线得到，根据等腰三角形的性质得到，，再根据内角和定理求解即可； （2）根据已知周长得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1），， 垂直平分， 垂直平分， ， ，， ， ， ． （2）的周长为，， ， ， 的周长为． 2.等腰三角形的存在性问题 错误：在平面内找不到一点，使其与已知两点构成等腰三角形 注意：运用“两圆一垂”的方法可以找到符合要求的等腰三角形的点； 例2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 3.等边三角形的判定与性质 错误：不会证明等边三角形，不会添加等边三角形的辅助线； 注意：牢记等边三角形的性质，同时要注意辅助线的添加，尤其是手拉手模型； 例3．（2024·河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行线的性质，证明，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接，证明是线段的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，最后根据角平分线和平行证明是等腰三角形即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 二、直角三角形 1.斜边的中线定理 错误：遗忘斜边的中线定理，尤其是共斜边的两个直角三角形； 注意：牢记直角三角形的斜边中线定理，遇到中点问题要想到这一定理； 例4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【详解】（1）证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2.30度所对的直角边等于斜边的一半 错误：看到30度只想到了等边三角形或者60度角，忘记30度所对的直角边等于斜边的一半； 注意：要牢记30度角所对的直角边等于斜边的一半； 例5．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）通过设运动时间对应的线段长度，利用等边三角形的角度性质以及直角三角形中所对直角边是斜边一半的性质，建立方程求解运动时间． （2）通过作辅助线构造全等三角形，先证明构造出的三角形是等边三角形，得到线段相等关系，再结合已知条件，利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出线段相等的结论． 【详解】（1）解：设，则，． 当时， 是等边三角形， ， ， ， ， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得， 故． （2）解：成立，理由如下： 如图1，过点作交于点，则，，． 是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ． 又， ． 在与中， ，，， ， ． 三、勾股定理 1.用勾股定理解三角形 错误：遇到求边长的问题不会做辅助线，也不会构造直角三角形； 注意：在几何图形中求边长时，很多的时候都是运用勾股定理来求，所以要会根据题意造直角三角形，让三条边都可以用一个未知数表示出来； 例6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用， （1）连接，先证明，再证明，即可得出结论； （2）先证明，得到，再根据线段和差求出，进而得到，再用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 的平分线与的垂直平分线相交于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ∵是的角平分线， ∴ 在和中， ， ， ， 由（1）可知，， 设， ， ∴，， ， 解得：， ， ， 在中，， ． 2.勾股定理的实际应用 错误：不会实际题意构造符合要求的直角三角形； 注意：用题目所给的条件判断如何作直角三角形； 例7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 【答案】海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长；在上取点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响； 如图所示，在上取点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 小时， 答：海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 3.勾股定理中的最短路径问题 错误：对勾股定理中几种最短路径问题不熟悉，不掌握具体的做题方法； 注意：注意勾股定理中的最短路径问题，涉及到的有圆柱、长方体、阶梯、选址、最值等等问题，每个题型要多加练习； 例8．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)厘米 【分析】本题考查勾股定理的应用，长方体的体积以及侧面展开图． （1）根据长方体体积的计算方法求出长方体的长、宽、高，再根据勾股定理进行计算即可； （2）将4个侧面展开后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：能，理由如下 设这个长方体的长为，则宽为，高为，由题意得，， 解得， 即正方体的长为，宽为，高为， 如图1，连接，，此时，是能放进盒中最长长度， 因此一条长的铁丝可以不弯折完全放进去； （2）解：将图2的四个侧面展开后如图所示， 此时， 所需金线的最小长度为 四、直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定 错误：碰到两个直角三角形不会用HL来证明； 注意：记住除了常规的四种普通三角形的全等判定方法，在直角三角形里边还有一个HL的证明方法； 例9．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）分别为上的高线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理证明； （2）由，得，由“等角对等边”得． 【详解】（1）证明：∵分别为上的高线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：， ∴， ∴， ∴的长是5． 2.直角三角形全等的判定辅助线添加问题 错误：不会添加直角三角形全等的辅助线； 注意：要会作垂直，尤其是碰到两个直角三角形时时候； 例10．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知在四边形中，平分． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形，同时注意线段间的和差关系的运用． （1）根据角平分线的性质可得到；可得，则，所以； （2）已知，，可得，则得，最后证得即可． 【详解】（1）证明∶如图，过C作，交的延长线于F点， 平分， ． ，， ，． ， ． ． ， ． （2）证明∶已知， ． ，， ． ，， ． ． ，， ． 五、反证法 1.反证法的运用 错误：不知道如何用反证法证明 注意：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确 例11．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理及特殊三角形的判定．利用内角和为及比例关系、等腰三角形和等边三角形的判定逐一分析各选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，则：， ∴， ∴， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； B、，则：， ∴是直角三角形；结论正确，不符合题意； C、，，则是等边三角形；结论正确，不符合题意； D、，则，故是等腰三角形，无法得到是等边三角形，结论错误，符合题意； 故选D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，求一个数的算术平方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：小正方形的边长为1， 阴影部分的正方形的边长为： 故选：A． 3．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，…均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，根据相关判定和性质，推出，依次类推，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为1， 同理得：， ∴， ∴的边长为2， 同理可得：的边长为：， 的边长为：， ∴的边长为：， ∴的边长为； 故选：C． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选C． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．先利用角平分线的性质求得，利用证得，求得，，然后利用三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：B． 6．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，准确找出图中的全等三角形并证明是解题的关键．先证明，得到，，再证明，得到，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点D作交的延长线于点M，根据直角三角形的两锐角互余，可得，，所以，根据全等三角形的判定，可得，所以，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点M， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得． 故选：B． 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分于点，有下列结论，①；②；③DA平分；④；其中结论正确的个数为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，准确利用以上性质分析证明是解题的关键． 利用角平分线的性质可证，可知①符合题意，利用HL证明Rt，得，，可知②③符合题意，由，，可知④符合题意，证明即可得解． 【详解】在中，， 平分，， ，故①符合题意； 在与中， ， ， ，， 平分，故③符合题意； ， ，故②符合题意； ，， ，故④符合题意， 结论正确的个数为4． 故选：． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，两点之间线段最短，勾股定理． 作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小，由直角三角形的两个锐角互余，可得，从而可得，根据勾股定理计算，即可得的最小值． 【详解】解：如图（1），作关于直线对称的线段，作关于直线对称的线段，连接，，则．可知当，，，四点共线时，的值最小，即的值最小， 如图（2），此时． ∵，， ∴， ∴, 易知， ∵，M为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，为维修一块与地面垂直的广告牌，维修工人设置了两架梯子，经测量得到以下数据：，，，，，，三点在同一条直线上，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进进行求解． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是 ．    【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 14．（25-26八年级上·河北·期中）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由以上知识点推出．由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河北保定·月考）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 17．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到的距离=点D到的距离，即，是解答本题的关键． （1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到的距离=点D到的距离，即．再根据，得； （2）利用角平分线性质证明，，再将线段进行转化． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在Rt和Rt中， ， ． ； （2）证明：在与中， ， ， ． 18．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①150度；②2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； （2）解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 19．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，连接，使，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等基础知识． （1）证明，求得，据此可证明； （2）证明为等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形，是的中点， ，，，， ． 又∵， ． 又， ． 在和中，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ． 为等边三角形， ， 又， 20．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 21．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，在中，，D是直线上的动点，连接，过点A 作，且（始终在的右侧），连接． (1)如图1，当点 D在边上时，求证：； (2)如图2，． ①当的长度最小时，的度数为 ； ②小军通过观察发现，点D 在线段的延长线上时，总有．请你判断小军的发现是否正确，并说明理由； ③当点D 在直线上运动时，连接．若，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；②小军的发现正确，见解析；③2或32 【分析】（1）证明，即可解答； （2）①证明为等腰直角三角形，可得，根据题意可得当最小时，最小，当，时，取得最小值，此时点D与点K重合，即可解答；②证明，可得，即可解答；③分两种情况，结合全等三角形的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴； （2）解：①如图，过点A作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当最小时，最小， 当，时，取得最小值，此时点D与点K重合， ∴当的长度最小时，的度数为； 故答案为： ②小军的发现正确；理由： ∵， ， ∵， ，即． 在和中， ， ∴， ， ∴，∴， ∴小军的发现正确； ③如图，当点D在边上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积的面积为2或8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 22．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． (2)应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)， (2)①；②；③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可；②首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可；③设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：由等面积法知： ∴， ∴，得证． 故答案为：，； （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； ②连接， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：； ③∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得． 解得：． 答：绳索的长为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 特殊三角形 知识点一、等腰三角形 1．等腰三角形定义：有 两边 相等的三角形叫做等腰三角形。 2．等边三角形定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是特殊的 等腰三角形 ；等腰三角形的对称轴有 1条或3条 ． 3．等腰三角形的性质定理： 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等，简称 等边对等角 。 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形 三线合一 ． 4.等边三角形三个角都等于 60° ，三边均存在“三线合一”． 5.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简称 等角对等边 . 6.等腰三角形判定的其他方法： ①定义法：有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形； ②“三线合一”的逆应用： 当三角形一边上的高线和这边的 中线 重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 当三角形一内角的 平分线 与这个角对边的高线重合时，可通过全等证边相等得等腰三角形； 7.等边三角形的判定定理 ①定义法：三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 ③ 底边与腰 相等的等腰三角形是等边三角形 ④有两个角是 60° 的三角形是等边三角形 知识点二、直角三角形 1．直角三角形的定义：有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2．直角三角形的性质： （1）直角三角形两锐角 互余 （2）直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 （3）30°角所对的直角边等于 斜边的一半 3．直角三角形的判定定理： 有两个角 互余 的三角形是直角三角形 4.判定直角三角形的其他方法： （1）定义法； （2）一边上的中线等于这边长的 一半 的三角形可以证的是直角三角形； （3）勾股定理的 逆定理 ； 知识点三、勾股定理 1．勾股定理：直角三角形两条直角边的 平方和 等于斜边的 平方 ； 如图则有：在Rt△ABC中， a2+b2=c2 . 2．勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 如图：若 a2+b2=c2 ，则有△ABC为直角三角形，∠C=90° 3．在使用勾股定理的逆定理时，先确定数据符合a2+b2=c2，再得AC2+BC2=AB2，最后再写△ABC为直角三角形 知识点四、直角三角形全等的判定 1．直角三角形全等的判定方法——HL 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”） 2．使用HL证明两个直角三角形全等的一般格式： 例：如图，已知直角△ABC与直角△DEF中，∠C=∠E=90° AC=DE，AB=DF，求证：Rt△ABC≌Rt△DEF 证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中 AC=DF，AB=DE ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 知识点五、反证法 先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确，这种方法叫做反证法。 一、等腰三角形 1.等腰三角形的判定与性质 错误：不会证明等腰三角形，遇到等腰三角形不会添加辅助线； 注意：牢记等腰三角形的三线合一的性质 例1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 2.等腰三角形的存在性问题 错误：在平面内找不到一点，使其与已知两点构成等腰三角形 注意：运用“两圆一垂”的方法可以找到符合要求的等腰三角形的点； 例2．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 3.等边三角形的判定与性质 错误：不会证明等边三角形，不会添加等边三角形的辅助线； 注意：牢记等边三角形的性质，同时要注意辅助线的添加，尤其是手拉手模型； 例3．（2024·河北保定·三模）如图，点D在等边的外部，E为边上的一点，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 二、直角三角形 1.斜边的中线定理 错误：遗忘斜边的中线定理，尤其是共斜边的两个直角三角形； 注意：牢记直角三角形的斜边中线定理，遇到中点问题要想到这一定理； 例4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 2.30度所对的直角边等于斜边的一半 错误：看到30度只想到了等边三角形或者60度角，忘记30度所对的直角边等于斜边的一半； 注意：要牢记30度角所对的直角边等于斜边的一半； 例5．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在边长为的等边中，点从点开始在射线上运动，速度为个单位/秒，点同时从出发，以相同的速度沿射线方向运动，过点作，连接交射线于点． (1)当时，求运动时间的值； (2)当点在线段上运动时，是否始终有？若成立，请说明理由． 三、勾股定理 1.用勾股定理解三角形 错误：遇到求边长的问题不会做辅助线，也不会构造直角三角形； 注意：在几何图形中求边长时，很多的时候都是运用勾股定理来求，所以要会根据题意造直角三角形，让三条边都可以用一个未知数表示出来； 例6．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，过点作于点，的延长线于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 2.勾股定理的实际应用 错误：不会实际题意构造符合要求的直角三角形； 注意：用题目所给的条件判断如何作直角三角形； 例7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 3.勾股定理中的最短路径问题 错误：对勾股定理中几种最短路径问题不熟悉，不掌握具体的做题方法； 注意：注意勾股定理中的最短路径问题，涉及到的有圆柱、长方体、阶梯、选址、最值等等问题，每个题型要多加练习； 例8．（24-25八年级下·河北沧州·月考）如图1，长方体盒子的体积是立方厘米，它的长、宽、高的比是． (1)若有一条长的铁丝，不弯折能否完全放进去？说明理由； (2)如图2，若经过盒子个侧面从到缠一条金线，求所需金线的最小长度． 四、直角三角形全等的判定 1.直角三角形全等的判定 错误：碰到两个直角三角形不会用HL来证明； 注意：记住除了常规的四种普通三角形的全等判定方法，在直角三角形里边还有一个HL的证明方法； 例9．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 2.直角三角形全等的判定辅助线添加问题 错误：不会添加直角三角形全等的辅助线； 注意：要会作垂直，尤其是碰到两个直角三角形时时候； 例10．（24-25八年级上·河北秦皇岛·阶段练习）如图，已知在四边形中，平分． 求证： (1)； (2)． 五、反证法 1.反证法的运用 错误：不知道如何用反证法证明 注意：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论正确 例11．（24-25八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）在中，下列结论错误的是（    ） A．如果，那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，，那么是等边三角形 D．如果，那么是等边三角形 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为．求图中阴影部分的正方形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 3．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，…均为等边三角形．若，则的边长为（ ） A．6 B．12 C．32 D．64 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图中，，，，，是的角平分线．过点作于点，则的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，是的平分线，，，垂足分别是E，F．，且，，则的长度是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，平分于点，有下列结论，①；②；③DA平分；④；其中结论正确的个数为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在中，，，，M为的中点，D在边上，，P，Q分别为，边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，为维修一块与地面垂直的广告牌，维修工人设置了两架梯子，经测量得到以下数据：，，，，，，三点在同一条直线上，则的长度为 ． 11．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为 ． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·月考）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形． 13．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是 ．    14．（25-26八年级上·河北·期中）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 15．（25-26八年级上·河北保定·月考）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为 ． 16．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 17．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图：在中，，是的平分线，于，在上，，证明： (1)． (2)． 18．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 19．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，连接，使，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 21．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图1和图2，在中，，D是直线上的动点，连接，过点A 作，且（始终在的右侧），连接． (1)如图1，当点 D在边上时，求证：； (2)如图2，． ①当的长度最小时，的度数为 ； ②小军通过观察发现，点D 在线段的延长线上时，总有．请你判断小军的发现是否正确，并说明理由； ③当点D 在直线上运动时，连接．若，请直接写出的面积． 22．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． (2)应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $