专题6-2角及角的计算（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理角及角的计算12个核心考点，明确复习目标与考情规律，结合知识点结构化呈现角的概念、计算及余补角性质，构建清晰知识脉络与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础通关到综合拓展，题型涵盖动角问题等难点，通过代数表示与分类讨论培养运算能力和推理意识，方向角问题结合图形强化几何直观，助力分层教学与学生自主复习。

专题6-2 角及角的计算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 角的分类 1. 牢记各类角的定义及精准度数范围；2. 能准确判断给定角度对应的角的类型；3. 理解平角与周角、直角的数量关系 基础必考题，以选择、填空为主；常考查锐角、直角、钝角、平角、周角的定义辨析及范围判断，偶尔结合角的计算考查分类，难度较低 方向角问题 1. 掌握方向角定义（以正北/正南为基准）；2. 能准确识别并表述“北偏东/西、南偏东/西”；3. 能结合简单图形解决方向角相关问题 基础中档题，选择、填空为主；常考查根据方向角描述确定位置，或根据位置写出方向角，核心是“以观测点为中心建立方位坐标系” 角的单位及转化 1. 牢记度、分、秒换算关系；2. 能熟练完成正向（度→分→秒）和逆向（秒→分→度）换算；3. 能处理含小数度数的换算 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及；核心考查度、分、秒六十进制换算（1°=60′，1′=60″），是角度计算的基础前提 角度的四则运算 1. 掌握角度四则运算规则；2. 能准确完成含度分秒的运算；3. 熟练处理运算中的进位和借位问题 基础高频题，以计算题为主；考查含度分秒的加、减、乘、除运算，核心是遵循六十进制的进位（满60进1）和借位（借1当60）规则 钟面角问题 1. 掌握时针和分针的转速（分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°）；2. 能根据时刻计算时针与分针的夹角；3. 理解钟面角的取值范围（0°≤夹角≤180°） 中档题，选择、填空为主；常考查某一时刻时针与分针的夹角计算，核心是掌握时针和分针的转速规律 角度的大小比较 1. 掌握角度大小比较的两种核心方法（统一单位比较、和差关系比较）；2. 能熟练比较任意两个角的大小；3. 能将多个角按指定顺序排序 基础题，选择、填空为主；常考查两个或多个角度的大小比较，方法涉及度数直接比较、度分秒统一后比较，偶尔结合角的和差比较 角度的和差 1. 能根据图形准确写出角度的和差关系；2. 能结合已知角度度数计算未知角度；3. 会利用角度和差列简单方程求解 中档题，选择、填空、解答题为主；常考查已知角的度数求角的和或差，或结合图形列等式求未知角的度数，核心是图形与数量的结合 角平分线问题 1. 掌握角平分线的定义；2. 熟练运用角平分线性质（平分后的两角相等且为原角的一半）；3. 能结合性质列方程求解未知角 高频中档题，选择、填空、解答题为主；常考查角平分线的性质应用，或结合角度和差求未知角，是几何计算的核心考点 角的n等分线问题 1. 理解角的n等分线的定义；2. 掌握n等分线的性质（分成n个相等角）；3. 能结合性质计算角度度数 中档难点题，选择、填空为主；常考查三等分线、四等分线的性质应用，核心是n等分线将角分成n个相等角，浙江期末偶考但需掌握 余角补角有关的计算 1. 牢记余角、补角的定义；2. 能准确计算一个角的余角和补角；3. 理解余角、补角的存在条件 基础必考题，选择、填空为主；常考查余角、补角的定义应用，或已知一个角求它的余角、补角，核心是定义的灵活运用 同角的余（补）角相等 1. 掌握同角（等角）的余角、补角相等的性质；2. 能运用该性质证明两个角相等；3. 能结合其他几何性质综合应用 中档题，选择、填空、解答题为主；常考查该性质的应用（证明两个角相等），或结合角的和差、角平分线考查，核心是性质的理解与转化 动角问题 1. 能用含时间t的代数式表示旋转后的角度；2. 能结合角平分线、余补角等关系列方程求解；3. 能分类讨论射线旋转的不同位置情况 高频难点题，解答题为主；常考查射线绕顶点旋转形成的角的变化问题，核心是用含时间t的代数式表示旋转后的角度，结合等量关系列方程 知识点01角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点02 角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点03 余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一 角的分类 【典例1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 题型二 方向角问题 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，是三岛的平面图，则岛在岛的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏东 【变式2-1】（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．东偏北 【变式2-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 题型三 角的单位及转化 【典例3】（19-20七年级上·河北唐山·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（19-20七年级上·陕西西安·期末） ． 【变式3-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 角度的四则运算 【典例4】（2021七年级下·全国·专题练习）下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考） ．（结果用度、分、秒表示） 【变式4-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算： ． 【变式4-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算 度． 【变式4-5】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)． 题型五 钟面角问题 易｜错｜点｜拨 1. 记错时针或分针的转速（如将时针转速误算为1°/分钟）； 2. 代入公式时“时”“分”数值错误（如12点未记为0时）； 3. 未取最小夹角（结果大于180°时未减360°） 【典例5】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C．452 D． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）在4时到5时这一个小时内，钟表表面的时针和分针形成夹角的时间为 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 【变式5-4】（25-26七年级上·重庆·期中）当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为_ 度． 题型六 角度的大小比较 【典例6】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【变式6-1】（22-23七年级上·辽宁大连·期末）比较大小： ．（填或） 【变式6-2】（2025七年级上·河北沧州·专题练习）比较大小 【变式6-3】（20-21七年级上·湖南长沙·月考）已知，，则 ．（填“>”、“<”或“＝”） 题型七 角的和差 【典例7】（25-26七年级上·河南安阳·月考）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知，，则的度数为 ． 题型八 角平分线问题 【典例8】（18-19七年级上·河北邢台·期中）如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 【变式8-1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，为内部的一条射线，是的平分线，是的平分线，若，比的3倍少， (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式8-3】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【变式8-4】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 题型九 角的n等分线问题 【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【变式9-1】（2025八年级上·全国·专题练习）8条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为 ． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的三等分线之一，，则的最大度数为 ． 【变式9-3】（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则 ． 【变式9-4】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 题型十 余角补角有关计算 【典例10】（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式10-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 【变式10-3】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，则的余角为 ． 【变式10-4】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）已知，那么的补角的大小为 ． 题型十一 同角的余（补）角相等 【典例11】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【变式11-1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 题型十二 动角问题 【典例12】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【变式12-1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【变式12-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【变式12-3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，如果，那么吗?为什么? 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级上·浙江绍兴·期末） （用度、分、秒表示）． 4.（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 5.（24-25七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ． 6.（24-25七年级上·浙江·期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 7.（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 2.（19-20七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：5分钟） 1．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 4.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 5.（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6-2 角及角的计算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 角的分类 1. 牢记各类角的定义及精准度数范围；2. 能准确判断给定角度对应的角的类型；3. 理解平角与周角、直角的数量关系 基础必考题，以选择、填空为主；常考查锐角、直角、钝角、平角、周角的定义辨析及范围判断，偶尔结合角的计算考查分类，难度较低 方向角问题 1. 掌握方向角定义（以正北/正南为基准）；2. 能准确识别并表述“北偏东/西、南偏东/西”；3. 能结合简单图形解决方向角相关问题 基础中档题，选择、填空为主；常考查根据方向角描述确定位置，或根据位置写出方向角，核心是“以观测点为中心建立方位坐标系” 角的单位及转化 1. 牢记度、分、秒换算关系；2. 能熟练完成正向（度→分→秒）和逆向（秒→分→度）换算；3. 能处理含小数度数的换算 基础必考题，选择、填空、计算题均涉及；核心考查度、分、秒六十进制换算（1°=60′，1′=60″），是角度计算的基础前提 角度的四则运算 1. 掌握角度四则运算规则；2. 能准确完成含度分秒的运算；3. 熟练处理运算中的进位和借位问题 基础高频题，以计算题为主；考查含度分秒的加、减、乘、除运算，核心是遵循六十进制的进位（满60进1）和借位（借1当60）规则 钟面角问题 1. 掌握时针和分针的转速（分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°）；2. 能根据时刻计算时针与分针的夹角；3. 理解钟面角的取值范围（0°≤夹角≤180°） 中档题，选择、填空为主；常考查某一时刻时针与分针的夹角计算，核心是掌握时针和分针的转速规律 角度的大小比较 1. 掌握角度大小比较的两种核心方法（统一单位比较、和差关系比较）；2. 能熟练比较任意两个角的大小；3. 能将多个角按指定顺序排序 基础题，选择、填空为主；常考查两个或多个角度的大小比较，方法涉及度数直接比较、度分秒统一后比较，偶尔结合角的和差比较 角度的和差 1. 能根据图形准确写出角度的和差关系；2. 能结合已知角度度数计算未知角度；3. 会利用角度和差列简单方程求解 中档题，选择、填空、解答题为主；常考查已知角的度数求角的和或差，或结合图形列等式求未知角的度数，核心是图形与数量的结合 角平分线问题 1. 掌握角平分线的定义；2. 熟练运用角平分线性质（平分后的两角相等且为原角的一半）；3. 能结合性质列方程求解未知角 高频中档题，选择、填空、解答题为主；常考查角平分线的性质应用，或结合角度和差求未知角，是几何计算的核心考点 角的n等分线问题 1. 理解角的n等分线的定义；2. 掌握n等分线的性质（分成n个相等角）；3. 能结合性质计算角度度数 中档难点题，选择、填空为主；常考查三等分线、四等分线的性质应用，核心是n等分线将角分成n个相等角，浙江期末偶考但需掌握 余角补角有关的计算 1. 牢记余角、补角的定义；2. 能准确计算一个角的余角和补角；3. 理解余角、补角的存在条件 基础必考题，选择、填空为主；常考查余角、补角的定义应用，或已知一个角求它的余角、补角，核心是定义的灵活运用 同角的余（补）角相等 1. 掌握同角（等角）的余角、补角相等的性质；2. 能运用该性质证明两个角相等；3. 能结合其他几何性质综合应用 中档题，选择、填空、解答题为主；常考查该性质的应用（证明两个角相等），或结合角的和差、角平分线考查，核心是性质的理解与转化 动角问题 1. 能用含时间t的代数式表示旋转后的角度；2. 能结合角平分线、余补角等关系列方程求解；3. 能分类讨论射线旋转的不同位置情况 高频难点题，解答题为主；常考查射线绕顶点旋转形成的角的变化问题，核心是用含时间t的代数式表示旋转后的角度，结合等量关系列方程 知识点01角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″． （5）比较角的大小有两种方法： ①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大． ②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置． 知识点02 角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点03 余角与补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一 角的分类 【典例1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各角是锐角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】D 【分析】本题需要先明确周角、平角、直角的度数，然后分别计算每个选项所对应的角的度数，再根据锐角的定义来判断哪个选项是锐角． 【详解】周角的度数是，平角的度数是，直角的度数是； A、周角的度数为，是直角，不是锐角； B、平角的度数为，是钝角，不是锐角； C、平角的度数为，是直角，不是锐角； D、直角的度数为，大于且小于，是锐角． 故选：D． 【点睛】本题考查了角的分类以及周角、平角、直角的度数，掌握周角、平角、直角的度数，计算出各选项角的度数，再根据锐角定义判断是解题的关键． 题型二 方向角问题 【典例2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，是三岛的平面图，则岛在岛的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方位角的定义，正确理解方位角的定义是解题的关键． 根据方位角的概念，以B岛为观测点，先确定正北方向，再看A岛的位置，即可求解． 【详解】解：图中B岛的西方向与的夹角为23°， ∴与正北方向的夹角为 ， ∴A岛在B岛的北偏西方向． 故选：A． 【变式2-1】（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为（   ） A．东偏北 B．北偏东 C．北偏东 D．东偏北 【答案】B 【分析】本题考查方向角，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据，求出即可判断． 【详解】解：如图， ∵射线表示北偏西的方向， ∴， ∵， ∴， ∴射线表示的方向是北偏东， 故选：B． 【变式2-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 【答案】(1)学校在小明家北偏东方向；停车场在小明家南偏东方向 (2)公园和学校距离小明家距离相同；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了线段中点的定义，方位角，两点之间线段最短，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据所给的方位角和距离进行描述即可； （2）根据线段中点的定义得到，进而得到，由此即可得到答案； （3）根据两点之间线段最短找点即可． 【详解】（1）解：， 由图可知：学校在小明家北偏东方向； 停车场在小明家南偏东方向； （2）解：公园和学校距离小明家距离相同，理由如下： ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：公园和学校距离小明家距离相同； （3）解：根据两点之间线段最短， 连接交于点， 点即为所求， 题型三 角的单位及转化 【典例3】（19-20七年级上·河北唐山·期末）用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度单位的换算，将度的小数部分转换为分和秒，使用和进行转换． 【详解】解：的整数部分为，小数部分， 这其中整数部分，小数部分， 故． 故选：A． 【变式3-1】（19-20七年级上·陕西西安·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的转换．将角度单位中的分转换为度，利用的关系进行计算 【详解】解：因为， 所以， 因此． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握是解题关键．将角度统一转换为度后再比较即可． 【详解】解：由题意可知，，，， 则，，， 故选：C． 题型四 角度的四则运算 【典例4】（2021七年级下·全国·专题练习）下列式子中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角的度分秒的转换和计算，熟练掌握，是解题的关键． 根据角的度分秒的转换，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子正确，不符合题意； B、，故此选项式子正确，不符合题意； C、，故此选项式子正确，不符合题意； D、，故此选项式子错误，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（25-26七年级上·江苏连云港·月考） ．（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，角度制，角度加法运算，将度、分、秒分别对应相加，满60进位即可得出结果． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查度分秒的加法运算，需注意单位之间的换算关系，当分满60时需进位到度． 【详解】解：． 故答案为． 【变式4-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）计算 度． 【答案】30.25 【分析】本题考查角度的加法运算，需将度数和分数分别相加，再将分数部分转换为度，即可解题． 【详解】解：， ， 因此， 故答案为：30.25． 【变式4-5】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及单位之间的进率是正确计算的前提． （1）按照度分的加法计算方法进行计算即可； （2）先将变形为，再按照减法的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 钟面角问题 易｜错｜点｜拨 1. 记错时针或分针的转速（如将时针转速误算为1°/分钟）； 2. 代入公式时“时”“分”数值错误（如12点未记为0时）； 3. 未取最小夹角（结果大于180°时未减360°） 【典例5】（25-26七年级上·江苏泰州·月考）钟面上的时间为时，再经过，时针与分针第一次重合，则t的值为（    ） A． B． C．452 D． 【答案】A 【分析】本题考查钟面角问题，一元一次方程的应用，需根据时针和分针的速度计算重合时间；在时，时针与分针夹角为，分针每分钟转，时针每分钟转，相对速度为，通过追及问题公式求解，即可作答． 【详解】解：依题意，在时，时针位于，分针位于， 则时针与分针夹角为； 设经过t分钟重合，分针需追上时针， ∴， 即， ∴， 故选：A 【变式5-1】（25-26七年级上·河南驻马店·月考）在这一时刻，时钟上的分针与时针之间的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有关钟面角的计算． 计算钟面角，需考虑时针和分针的位置，时针每分移动，分针每分移动，在时，时针从8点位置移动30分钟，分针指向6点位置，即可求解． 【详解】解：∵时针在8点整为，又30分钟移动， ∴时针在， ∵分针在30分钟为， ∴夹角为， 故选：C． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）在4时到5时这一个小时内，钟表表面的时针和分针形成夹角的时间为 ． 【答案】4时8分和4时分 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设时间为4时x分，根据时针和分针的运动速度，列出方程即可求解． 【详解】解：设时间为4时x分， ∵时针每分钟移动，分针每分钟移动， ∴在4时整，时针指向．此时时针角度为，分针角度为， ∴两针夹角为 根据题意得：． 解得：或 ∴钟表表面的时针和分针形成夹角的时间为4时8分和4时分． 故答案为：4时8分和4时分 【变式5-3】（24-25七年级上·广东佛山·月考）如图，钟面上的时间是，则时针与分针的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，计算某一时刻时针和分针之间所成的角度，理解时针和分针运动规律是解题的关键．钟表一圈为，被分成12个大格，每个大格对应的圆心角为，分针走60分钟转一圈，时针转1个大格，以此规律计算即可． 【详解】解：时，分针正好指向6，即时针从12点方向到6点方向，分针转动了30分钟，此时时针转动了半个大格， 所以时针和分针的夹角为． 故答案为：． 【变式5-4】（25-26七年级上·重庆·期中）当时钟指向上午时，时针与分针的较小夹角为_ 度． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是是解题的关键． 根据时钟上一大格是，时针与分针之间有格，进行计算即可求解． 【详解】解：在时，分针指向6，对应6格， 时针在8点整位置基础上移动30分钟，每30分钟时针移动格，因此时针的位置在格位置， 时针与分针之间的格数差为格，每个大格对应30度，所以夹角为度． 故答案为：． 题型六 角度的大小比较 【典例6】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（22-23七年级上·辽宁大连·期末）比较大小： ．（填或） 【答案】 【分析】本题主要考查角的单位换算及大小比较，熟练掌握角的单位换算及大小比较是解题的关键；将转换为度分形式，再与比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 【变式6-2】（2025七年级上·河北沧州·专题练习）比较大小 【答案】< 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将转换为度分后，再与比较大小，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 即， 故答案为：< 【变式6-3】（20-21七年级上·湖南长沙·月考）已知，，则 ．（填“>”、“<”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】本题考查度分秒的换算以及角度大小比较，需先将角度统一单位后再比较． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为:． 题型七 角的和差 【典例7】（25-26七年级上·河南安阳·月考）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度计算问题． 根据三角板的性质得，可得，结合图形即可求解． 【详解】解：∵这是一副三角板， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，关键是掌握角的和差的运算．由，即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得，， ∴， 故选：A． 【变式7-2】（25-26七年级上·浙江杭州·月考）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算等知识．由题意得，根据，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得， 因为， 所以． 故选：B 【变式7-3】（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据射线的位置分情况讨论，利用角的和差关系求解即可． 本题考查角的和差计算，熟练掌握分类思想是解题的关键． 【详解】解：由，， 如图1，当射线在内部时，； 如图2，当射线在外部时，， 故答案为：或． 题型八 角平分线问题 【典例8】（18-19七年级上·河北邢台·期中）如图，点O是直线上一点，射线分别平分．若，则 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合射线分别平分，则，又因为，故，根据，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵射线分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知是直线上的点，，，分别是和的角平分线，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（填序号） ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查角平分线以及角的比较和运算： ①根据判断； ②结合和判断； ③结合和判断； ④根据判断． 【详解】∵，分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ①正确． ∵， ∴． 又∵， ∴． ②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ③错误． ∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． ④正确． 故答案为：①②④ 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·月考）如图，为内部的一条射线，是的平分线，是的平分线，若，比的3倍少， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，，再利用角的和差即可求解； （2）设，则，由（1）得，利用角的和差列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵是的平分线， ∴， 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级上·云南红河·期末）如图，含的直角三角板的顶点B在直线上． (1)如图1，当点A，C位于直线两侧时，若直线平分，平分，求的度数； (2)如图2，当点A，C位于直线同侧时，若分别平分和，，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角平分线的相关计算和角的和差等知识，熟练掌握角平分线的定义是关键． （1）根据直线平分求出再求出根据平分即可得到的度数； （2）根据角平分线定义得到得到，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ （2）∵分别平分和， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 【变式8-4】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：因为是的平分线，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 即； （2）解：因为，，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 题型九 角的n等分线问题 【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知射线是的三等分线之一，且，则不可能是（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线是的三等分线之一，，因此可能是或，但不可能是． 【详解】解：是的三等分线之一，且， 被分成三个相等的角，每个角为 的位置有两种可能：靠近时，；靠近时， 因为等于本身，作为三等分线应在角内部． 不可能为， 故选：C． 【变式9-1】（2025八年级上·全国·专题练习）8条射线是的九等分线，，则相邻两条等分射线的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等分线的有关计算．射线将角九等分，相邻射线夹角等于总角度除以等分数，即可求解． 【详解】解：∵，被九等分， 每个小角为﹒ 相邻两条等分射线的夹角即为﹒ 故答案为 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的三等分线之一，，则的最大度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为． 【详解】解：设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况： 若为靠近的三等分线，则，解得； 若为靠近的三等分线，则，解得． 因此的最大度数为． 故答案为： 【变式9-3】（2025八年级上·全国·专题练习），射线是它的四等分线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式9-4】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，当在的外部时，分别在内部和内部画射线，，使，，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角度间的关系，数形结合．设，结合已知可求 ，，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：设，则， ， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型十 余角补角有关计算 【典例10】（25-26七年级上·吉林长春·月考）如果一个角的余角是，那么这个角的补角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，根据余角定义求出这个角的度数，再根据补角定义求出补角． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角的度数是， ∴这个角的补角度数是． 故选：C． 【变式10-1】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）给出下列说法：①若，则互余；②若，则互补；③若，，则；④若的余角为，则它的补角为．其中，正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查余角和补角，根据两个角的度数和为90度，两个角互为余角，两个角的度数和为180度时，两个角互为补角，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则，即互余；故①说法正确； 两个角的度数和为180度时，两个角互为补角；故②说法错误； 若，，则；故③说法正确； 若的余角为，则，故它的补角为；故④说法正确； 故选D． 【变式10-2】（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的有（） A．与互余 B． C．与互补 D． 【答案】ABCD 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，余角、补角的定义逐个进行判断，最后得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 平分，平分，平分， ，，， ，， ，，， ， ∴与互余，故和符合题意， ，， ， 与互补，故符合题意， ， ∴， ，即，故符合题意， 故选：ABCD． 【变式10-3】（25-26七年级上·江苏连云港·月考）若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】根据余角的定义，两个角之和为90°，因此∠α的余角等于90°减去∠α的度数，解答即可． 本题考查了余角的计算，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故， 故答案为：． 【变式10-4】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）已知，那么的补角的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角的大小为， 故答案为：． 题型十一 同角的余（补）角相等 【典例11】（25-26七年级上·河南南阳·月考）如图，，都是以为顶点的直角，能解释的理由是（   ） A．同角的余角相等 B．角平分线的定义 C．等角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握“同角的余角相等”是解题的关键． 先根据直角的定义得出和、和的数量关系，再利用余角的性质判断与的关系． 【详解】解：∵，都是直角， ∴， ∴，， ∴和都是的余角， ∴（同角的余角相等）． 故选：A． 【变式11-1】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，两块直角三角板的直角顶点重合在一起，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等． 根据同角的余角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ，． ． 故选：B． 【变式11-2】（25-26七年级上·江苏常州·月考）若，，则与的关系是（   ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了同角的补角相等，根据同角的补角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 题型十二 动角问题 【典例12】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式12-1】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【变式12-2】（24-25七年级上·湖南株洲·期末）（1）如图1，点在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”．则线段上共有_____个“二倍点”． （2）类似的如图1，射线在内部，图中共有3个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“二倍线”．则内部共有_____条“二倍线”． （3）如图2，若线段，点． 从点的位置开始，以每秒的速度向点A运动，当点到达点A时停止运动，设运动的时间为秒．问为何值时，点是线段的“二倍点”． （4）如图3，若，射线从射线的位置开始，绕点按逆时针方向以每秒的速度向射线旋转，当射线到达射线的位置时停止旋转，设射线旋转的时间为秒，若射线是的“二倍线”，求的值． 【答案】（1）3；（2）3；（3）秒或5秒或10秒；（4）15秒或10秒或20秒 【分析】本题是几何变换综合题，考查了线段和角倍数关系，新定义的理解和运用等知识，并与方程相结合，运用分类讨论的思想解决问题． （1）根据C是线段的“二倍点”，即可解答； （2）根据射线是的“二倍线”，即可解答； （3）根据线段的“二倍点”的定义分三种情况即可解答； （4）根据的“二倍线”的定义分三种情况即可解答． 【详解】解：（1）当点C是的中点时，， 当点C为靠近B的三等分点时，， 当点C为靠近A的三等分点时，， ∴线段上共有3个“二倍点”； 故答案为∶3； （2）有三种情况∶ ①当为角平分线时，， ②当靠近的三等分线时，， ③当靠近的三等分线时，， ∴内部共有3条“二倍线”； 故答案为∶3； （3）分三种情况∶ ①当点M是的中点时，， ∴， ∴， ②当点M为靠近B的三等分点时，， ∴， ∴， ③当点M为靠近A的三等分点时，， ∴， ∴， 综上：t为秒或5秒或10秒时，点M是线段的“二倍点” （4）有三种情况∶ ①当为角平分线时∶， ∴， ∴， ②当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； ③当靠近的三等分线时，， ∴ ∴； 综上，t的值是15秒或10秒或20秒时射线是的“二倍线” 【变式12-3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，如果，那么吗?为什么? 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了同角的余角相等，由，，则有，掌握同角的余角相等的性质是解题的关键． 【详解】解：，理由， ∵，， ∴． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（21-22七年级上·浙江台州·期末）如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方位角，理解相关概念是解决问题的关键．根据表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，可知的度数，进而可求得题目所求的． 【详解】解：∵表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线， ∴， ， ． 故选：D． 2.（24-25七年级上·浙江丽水·期末）如图，已知，则的余角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，解题的关键是熟练掌握余角的定义，先根据，求出的度数，然后再求出的余角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角的度数为： ， 故选：B． 3.（23-24七年级上·浙江绍兴·期末） （用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒之间的进制即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 4.（24-25七年级上·浙江台州·期末）若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5.（24-25七年级上·浙江金华·期末）一副三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了余角的定义，正确认识图形，熟练掌握余角定义是解题的关键．根据图形，结合已知条件，余角的定义，即可得到的度数． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 6.（24-25七年级上·浙江·期末）（1）已知，，求，的值． （2）如果的补角是的余角的3倍，求的度数． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用补角和余角的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ． （2）由题意得， ∴， ， ． 7.（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部． (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级上·浙江·期末）【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）90；（2），见解析；（3）仍然成立，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角度的和与差等知识点，利用角平分线的定义得出与的关系是解题的关键． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合即可解答； （2）由题意得∠，结合角平分线得，结合即可解答； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可解答． 【详解】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）．理由如下： 由条件可知． ∵平分，平分， ∴ ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由如下： 由条件可知 ∵是内的一条射线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 2.（19-20七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 3.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 4.（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 期末综合拓展练（测试时间：5分钟） 1．（2025·江苏南通·中考真题）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表表盘的特征，即被分成个大格，每个大格对应角度固定，再看上午时整时针和分针的位置，计算间隔大格数，进而求出夹角．本题主要考查钟面角的计算，熟练掌握钟表表盘大格对应的角度（每大格 ）以及特定时刻时针和分针的位置关系是解题的关键． 【详解】解：每一个大格对应的角度是 ．上午时整，时针指向，分针指向，它们之间间隔个大格． 所以时针和分针构成的角的度数为 ． 故选：． 2.（2025·陕西·中考真题）如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 3.（2025·青海西宁·中考真题）如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东方向走到C处，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查方向角有关的计算，根据方向角的定义，结合角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴； 故答案为：． 4.（2024·江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 5.（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $