专题03 实数（期末复习讲义，必备知识+16大题型+过关检测）七年级数学上学期新教材浙教版

专题3 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根的定义 1. 牢记平方根定义：若x²=a（a≥0），则x是a的平方根；2. 明确正数、0、负数的平方根存在性及特征；3. 区分平方根与平方的互逆关系 必考基础题，题型以选择、填空为主，常与算术平方根概念辨析结合考查，极少单独命题，重点考查被开方数的非负性前提 平方根的计算 1. 熟练计算常见完全平方数的平方根；2. 掌握分数、小数平方根的计算方法； 高频基础题，选择、填空为主，重点考查1-20²对应数的平方根，偶尔涉及分数、小数的平方根化简，难度较低 平方根的应用 1. 能利用平方根定义解简单平方方程；2. 能将几何边长问题转化为平方根计算；3. 学会根据题意取舍平方根的正负值 中档题，填空、解答题为主，常结合平方方程（如x²=25）考查，偶尔关联几何图形边长计算（正方形、正方体底面） 平方根的实际应用 1. 能将实际问题转化为平方根计算问题；2. 掌握“面积→边长”的核心逻辑；3. 能结合单位换算完成计算，结果符合实际精度要求 中档题，解答题为主，高频考点：正方形面积求边长、正方体底面积求棱长，偶尔考查实际测量中的距离估算（需结合单位换算） 算术平方根的非负性 1. 牢记算术平方根的非负性：；2. 掌握非负性的核心性质：几个非负数的和为0，则每个非负数均为0；3. 能利用非负性求解字母参数值 高频难点题，选择、填空、解答题均可能出现，常与绝对值、偶次幂非负性结合考查（即“几个非负数和为0”题型），是期末必考点 立方根的概念 1. 牢记立方根定义：若x³=a，则x是a的立方根；2. 明确任意实数都有唯一立方根，且符号与被开方数一致；3. 区分立方根与平方根的核心差异 基础题，选择、填空为主，常与平方根概念对比考查，重点考查立方根的被开方数范围（任意实数）和结果唯一性特征 立方根的计算 1. 熟练计算常见完全立方数的立方根；2. 掌握负数、分数立方根的计算方法； 基础题，选择、填空为主，考查常见完全立方数（1-10³）的立方根，偶尔涉及负数、分数的立方根计算，难度较低 立方根的应用 1. 能利用立方根定义解简单立方方程；2. 能将几何体积问题转化为立方根计算；3. 能结合实际场景理解立方根的意义 中档题，填空、解答题为主，常结合立方方程（如x³=8）或几何图形体积计算（正方体体积求棱长）考查，偶尔涉及实际物体体积估算 无理数与实数的概念 1. 牢记无理数定义：无限不循环小数；2. 明确实数的分类标准（按定义：有理数+无理数；按符号：正实数+0+负实数）；3. 能准确识别常见无理数（如π、开方开不尽的数） 基础题，选择、填空为主，常考查无理数的识别、实数的分类，重点区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”“有限小数”的差异 无理数的分类 1. 掌握无理数的具体分类（开方开不尽型、含π型、特定结构型）；2. 能根据分类标准准确划分无理数；3. 理解“无理数与有理数的和差积商不一定是无理数” 基础题，填空、选择题为主，考查形式多为“从给定数中筛选无理数”“将实数按要求分类”，难度较低，但需注意分类完整性 实数与数轴 1. 理解实数与数轴的一一对应关系；2. 能根据数轴上点的位置判断实数的大小和符号；3. 会利用数轴表示无理数的大致范围 中档题，选择、填空为主，常考查“实数与数轴上的点一一对应”关系，结合数轴比较实数大小、求实数的绝对值，偶尔涉及无理数在数轴上的表示 实数的大小估算与比较 1. 掌握无理数估算的“夹逼法”；2. 熟练运用平方法、估算法、数轴法比较实数大小；3. 能估算无理数的近似值（精确到指定精度） 高频中档题，选择、填空为主，重点考查无理数的估算，比较方法多涉及平方法、估算法、数形结合法 实数的整数部分与小数部分 1. 能通过估算确定无理数的整数部分；2. 掌握“小数部分=原数-整数部分”的计算方法；3. 能利用整数部分和小数部分求解相关代数式的值 中档题，填空为主，常考查无理数的整数部分和小数部分求解，需结合估算能力 实数的混合运算 1. 掌握实数混合运算的顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；2. 熟练运用运算律简化计算；3. 能准确计算含平方根、立方根的混合算式 必考重点题，解答题为主，考查内容包括：开方、乘方、乘除、加减，结合绝对值、负指数幂（若涉及），运算顺序是考查核心 实数的定义新运算 1. 能快速提炼新运算的规则（明确运算符号、参与运算的量、运算步骤）；2. 能将新运算转化为熟悉的实数运算；3. 会结合新运算规则求解代数式的值或字母参数 创新题型，选择、填空、解答题均可能出现，考查核心是“提炼新运算规则并转化为常规运算”，难度中等，需仔细审题 实数的程序性计算 1. 能准确理解程序框图或步骤描述的逻辑顺序；2. 能按程序逐步完成实数运算；3. 会根据程序结果反推输入的实数 创新基础题，选择、填空为主，常以“程序框图”“步骤描述”形式考查，核心是按指定程序逐步计算，难度较低，但需细心 知识点01算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点02平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点03开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点04立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点05实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点06 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型一 平方根的定义 易｜错｜点｜拨 1. 误认为负数有平方根； 2. 混淆“平方根”与“平方”的概念（如颠倒二者逻辑关系） 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各数在实数范围内不存在平方根的是（   ） A． B．0 C． D．0.9 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 题型二 平方根的计算 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 题型三 平方根的应用 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果和是正数的两个不同的平方根，那么 ， ． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一个正数的两个平方根是和，则 ． 题型四 平方根的实际应用 【典例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 题型五 算术平方根的非负性 解｜题｜技｜巧 1. 遇“非负数和为0”题型，直接列方程：每个非负项均等于0； 2. 求解后代入验证 易｜错｜点｜拨 1. 忽略算术平方根的被开方数a≥0的前提； 2. 遗漏“非负数和为0”中某个非负项； 3. 求解后未验证结果是否满足所有隐含条件 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为实数，且，则的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则 ． 题型六 立方根的定义 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 题型七 立方根的计算 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的立方根是 ． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的立方根： (1) ； (2)； (3)； (4)． 题型八 立方根的应用 【典例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为 ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 题型九 无理数与实数的概念 易｜错｜点｜拨 1. 将开方开尽的数误判为无理数（如√9）； 2. 将有限小数或无限循环小数误判为无理数； 3. 认为“带根号的数都是无理数” 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【变式1】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式2】（22-23七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【变式3】（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 题型十 实数的分类 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数，，，0中，无理数是（　　） A． B． C． D．0 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数写到相对应的括号里． ，， ，． 整数：｛                    ｝； 分数：｛                    ｝； 无理数：｛                    ｝； 实数：｛                       ｝． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每两个2之间多一个1） (1)整数集合：{_________}； (2)负有理数集合：{_________}； (3)无理数集合：{_________}． 题型十一 实数与数轴 易｜错｜点｜拨 1. 误认为“数轴上的点都表示有理数”； 2. 求数轴上两点间距离时符号错误； 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（18-19七年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 题型十二 实数的大小估算与比较 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是两个连续的整数，（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）估计的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）比较大小： ．（填“”或者“”） 题型十三 实数的整数部分与小数部分 【典例1】（25-26八年级上·甘肃·期末）的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 题型十四 实数的混合运算 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）计算：． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 题型十五 实数的定义新运算 【典例1】（2025七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·月考）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 题型十六 实数的程序性计算 【典例1】（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 5．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）比较大小： ． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．4的算术平方根是 C．的倒数是3 D．8的立方根是2 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 4．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 实数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根的定义 1. 牢记平方根定义：若x²=a（a≥0），则x是a的平方根；2. 明确正数、0、负数的平方根存在性及特征；3. 区分平方根与平方的互逆关系 必考基础题，题型以选择、填空为主，常与算术平方根概念辨析结合考查，极少单独命题，重点考查被开方数的非负性前提 平方根的计算 1. 熟练计算常见完全平方数的平方根；2. 掌握分数、小数平方根的计算方法； 高频基础题，选择、填空为主，重点考查1-20²对应数的平方根，偶尔涉及分数、小数的平方根化简，难度较低 平方根的应用 1. 能利用平方根定义解简单平方方程；2. 能将几何边长问题转化为平方根计算；3. 学会根据题意取舍平方根的正负值 中档题，填空、解答题为主，常结合平方方程（如x²=25）考查，偶尔关联几何图形边长计算（正方形、正方体底面） 平方根的实际应用 1. 能将实际问题转化为平方根计算问题；2. 掌握“面积→边长”的核心逻辑；3. 能结合单位换算完成计算，结果符合实际精度要求 中档题，解答题为主，高频考点：正方形面积求边长、正方体底面积求棱长，偶尔考查实际测量中的距离估算（需结合单位换算） 算术平方根的非负性 1. 牢记算术平方根的非负性：；2. 掌握非负性的核心性质：几个非负数的和为0，则每个非负数均为0；3. 能利用非负性求解字母参数值 高频难点题，选择、填空、解答题均可能出现，常与绝对值、偶次幂非负性结合考查（即“几个非负数和为0”题型），是期末必考点 立方根的概念 1. 牢记立方根定义：若x³=a，则x是a的立方根；2. 明确任意实数都有唯一立方根，且符号与被开方数一致；3. 区分立方根与平方根的核心差异 基础题，选择、填空为主，常与平方根概念对比考查，重点考查立方根的被开方数范围（任意实数）和结果唯一性特征 立方根的计算 1. 熟练计算常见完全立方数的立方根；2. 掌握负数、分数立方根的计算方法； 基础题，选择、填空为主，考查常见完全立方数（1-10³）的立方根，偶尔涉及负数、分数的立方根计算，难度较低 立方根的应用 1. 能利用立方根定义解简单立方方程；2. 能将几何体积问题转化为立方根计算；3. 能结合实际场景理解立方根的意义 中档题，填空、解答题为主，常结合立方方程（如x³=8）或几何图形体积计算（正方体体积求棱长）考查，偶尔涉及实际物体体积估算 无理数与实数的概念 1. 牢记无理数定义：无限不循环小数；2. 明确实数的分类标准（按定义：有理数+无理数；按符号：正实数+0+负实数）；3. 能准确识别常见无理数（如π、开方开不尽的数） 基础题，选择、填空为主，常考查无理数的识别、实数的分类，重点区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”“有限小数”的差异 无理数的分类 1. 掌握无理数的具体分类（开方开不尽型、含π型、特定结构型）；2. 能根据分类标准准确划分无理数；3. 理解“无理数与有理数的和差积商不一定是无理数” 基础题，填空、选择题为主，考查形式多为“从给定数中筛选无理数”“将实数按要求分类”，难度较低，但需注意分类完整性 实数与数轴 1. 理解实数与数轴的一一对应关系；2. 能根据数轴上点的位置判断实数的大小和符号；3. 会利用数轴表示无理数的大致范围 中档题，选择、填空为主，常考查“实数与数轴上的点一一对应”关系，结合数轴比较实数大小、求实数的绝对值，偶尔涉及无理数在数轴上的表示 实数的大小估算与比较 1. 掌握无理数估算的“夹逼法”；2. 熟练运用平方法、估算法、数轴法比较实数大小；3. 能估算无理数的近似值（精确到指定精度） 高频中档题，选择、填空为主，重点考查无理数的估算，比较方法多涉及平方法、估算法、数形结合法 实数的整数部分与小数部分 1. 能通过估算确定无理数的整数部分；2. 掌握“小数部分=原数-整数部分”的计算方法；3. 能利用整数部分和小数部分求解相关代数式的值 中档题，填空为主，常考查无理数的整数部分和小数部分求解，需结合估算能力 实数的混合运算 1. 掌握实数混合运算的顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；2. 熟练运用运算律简化计算；3. 能准确计算含平方根、立方根的混合算式 必考重点题，解答题为主，考查内容包括：开方、乘方、乘除、加减，结合绝对值、负指数幂（若涉及），运算顺序是考查核心 实数的定义新运算 1. 能快速提炼新运算的规则（明确运算符号、参与运算的量、运算步骤）；2. 能将新运算转化为熟悉的实数运算；3. 会结合新运算规则求解代数式的值或字母参数 创新题型，选择、填空、解答题均可能出现，考查核心是“提炼新运算规则并转化为常规运算”，难度中等，需仔细审题 实数的程序性计算 1. 能准确理解程序框图或步骤描述的逻辑顺序；2. 能按程序逐步完成实数运算；3. 会根据程序结果反推输入的实数 创新基础题，选择、填空为主，常以“程序框图”“步骤描述”形式考查，核心是按指定程序逐步计算，难度较低，但需细心 知识点01算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点02平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点03开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点04立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点05实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点06 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 题型一 平方根的定义 易｜错｜点｜拨 1. 误认为负数有平方根； 2. 混淆“平方根”与“平方”的概念（如颠倒二者逻辑关系） 【典例1】（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）下列哪个数没有平方根（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的性质，理解并掌握“负数没有平方根”是解决问题的关键．根据平方根定义进行求解即可． 【详解】解：，， ∵负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各数在实数范围内不存在平方根的是（   ） A． B．0 C． D．0.9 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可． 【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是． 故选C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 题型二 平方根的计算 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求算术平方根．根据算术平方根的定义，解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的计算；先计算乘方运算，再计算算术平方根． 【详解】解：， 故答案为3． 【变式2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）64的平方根是 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念，需注意正数有两个平方根． 根据平方根的定义，一个数的平方根是另一个数，其平方等于原数． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 根据算术平方根的定义、平方根的定义计算即可． 【详解】解：的算术平方根是，的平方根是 故答案为：，． 题型三 平方根的应用 【典例1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是 【答案】25 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数、平方根的性质，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得 ∴ ∴ ∴这一个正数为25． 【变式1】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如果和是正数的两个不同的平方根，那么 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据一个正数有两个平方根，且互为相反数，求出的值，进而确定出的值，由此得到答案． 【详解】解：由题意得： 和是正数的两个不同的平方根， ， 解得：， ， ，． 故答案为：，． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）一个正数的两个平方根是和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的计算及性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，和为零即可求解，掌握平方根的计算方法即性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型四 平方根的实际应用 【典例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为， 由题意得：，即， ∵， ∴，即这个长方形的宽为，长为， 则这个长方形的周长． 故答案为：24． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）求如图方格中阴影正方形的面积和边长（小正方格的边长为个单位长度）． 【答案】图中阴影正方形面积为， 边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握算术平方根的概念是解题的关键．先计算出阴影部分的面积，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：图中阴影正方形面积为：， 阴影正方形边长为． 【变式3】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中记载的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布的面积为． (1)求绣布的周长； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整的圆形绣布，用于绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)； (2)不能够裁出来，见解析． 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键． （1）设绣布的长为，宽为，根据长方形的面积公式列式得，解得，即可求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆的面积公式列式得，解得，得直径，即可求解． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即，解得：， ， ， 绣布的长为，宽为， 绣布的周长为． （2）解：不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为， 根据题意，得：，即， ，解得：（负值舍去）． ，即圆形绣布的直径大于长方形绣布的宽， 不能够裁出来． 题型五 算术平方根的非负性 解｜题｜技｜巧 1. 遇“非负数和为0”题型，直接列方程：每个非负项均等于0； 2. 求解后代入验证 易｜错｜点｜拨 1. 忽略算术平方根的被开方数a≥0的前提； 2. 遗漏“非负数和为0”中某个非负项； 3. 求解后未验证结果是否满足所有隐含条件 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、有理数的加法运算． 由于平方、绝对值和算术平方根都具有非负性，且它们的和为零，因此每个部分都必须为零，从而可求出，，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为实数，且，则的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零是解题的关键． 根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出 x 和 y 的值． 【详解】∵ 且 ，且， ∴ 且 ， ∴且， ∴， ∴， ∴ 的平方根为． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，有理数乘方，根据，得，求得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． 【变式4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴且， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 题型六 立方根的定义 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．125的立方根是 C．算术平方根是它本身的数是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． 根据定义逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 64的平方根是，而不是8， ∴ A错误； ∵ 125的立方根是5，而不是， ∴ B错误； ∵ 算术平方根是它本身的数有0和1，而不是只有0， ∴ C错误； ∵， ∴的立方根是， ∴D正确； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列语句：①最大的负数是；②的平方根是；③两个负数的差一定是负数；④如果两个数互为相反数，那么这两个数的立方根也互为相反数．正确的序号是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】逐一判断每个语句的正确性：①负数没有最大值；②，其平方根为；③两个负数的差可能为正数；④互为相反数的数的立方根也互为相反数．本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键． 【详解】∵ ①中，负数没有最大值，例如，故①错误； ∵ ②中，，3的平方根是，而非，故②错误； ∵ ③中，两个负数的差可能为正，如，故③错误； ∵ ④中，设两数为和，则与互为相反数，故④正确． ∴ 正确的序号是④． 故答案为：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海·月考）下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 题型七 立方根的计算 【典例1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值与平方数的非负性、立方根的定义，熟练掌握“几个非负数的和为0时，每一个非负数都为0”是解题的关键． 利用绝对值和平方数的非负性，得出每一项为0，求出、的值，计算后求其立方根． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 的立方根是， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知3是的平方根，是的立方根，是的整数部分， (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；；； (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根及无理数的估算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义和无理数的估算方法解答即可； （2）把（1）所得x，y，z的值代入代数式，求出代数式的值，再根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）解：因为3是的平方根， 所以， 解得； 因为是的立方根， 所以； 因为，是的整数部分， 所以； （2）解：因为， 所以的平方根为． 【变式2】（2025七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的立方根： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)100 【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）的立方根为； （2）的立方根为； （3）的立方根为； （4）的立方根为100． 题型八 立方根的应用 【典例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，二阶魔方可看作由8个小立方块构成的正方体结构，已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个小方块的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长，读懂题意，掌握正方体体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：几何体由个形状大小完全相同的小正方体组成，且该几何体的体积约为， 每一个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期中）小雨做了一个棱长为的正方体盒子，小雪说：“我做的正方体盒子体积比你的大．”则小雪做的盒子的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，先计算小雨盒子的体积，再求出小雪盒子的体积，然后利用立方根定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，小雨盒子的体积为， ∴小雪盒子的体积为， ∴小雪盒子的棱长为 ， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江温州·期中）把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块．锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】锻造成的立方体铁块的棱长是厘米 【分析】本题考查了立方根的应用，把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，这个过程体积不发生变化，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设锻造成的立方体铁块的棱长是厘米， ∵把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， ∴， 即， 解得， ∴锻造成的立方体铁块的棱长是厘米． 题型九 无理数与实数的概念 易｜错｜点｜拨 1. 将开方开尽的数误判为无理数（如√9）； 2. 将有限小数或无限循环小数误判为无理数； 3. 认为“带根号的数都是无理数” 【典例1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 【变式1】（22-23七年级下·上海杨浦·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式2】（22-23七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．无限小数都是无理数 B．无理数都是带有根号的数 C．、都是分数 D．实数分为正实数，负实数和零 【答案】D 【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，本选项不符合题意； B、无理数不一定是带有根号的数，原说法错误，本选项不符合题意； C、、都是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； D、实数分为正实数．负实数和零，正确，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了实数的性质，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可． 【变式3】（20-21七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的有 ． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 题型十 实数的分类 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）在数，，，0中，无理数是（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，掌握无理数是无限不循环小数，有理数包含整数和分数是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故选项A不符合题目要求， B、是整数，属于有理数，故选项B不符合题目要求， C、开方开不尽，属于无理数，故选项C符合题目要求， D、0是整数，属于有理数，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将下列各数写到相对应的括号里． ，， ，． 整数：｛                    ｝； 分数：｛                    ｝； 无理数：｛                    ｝； 实数：｛                       ｝． 【答案】整数：，；分数：，；无理数：，；实数：，，，，， 【分析】本题考查的是实数的分类，掌握实数中的分数，整数与无理数的含义是解题的关键．由分数，整数，无理数的含义逐一判断各数，再填入各自的集合中即可得到答案． 【详解】解：整数：； 分数：； 无理数：； 实数：｛，， ，｝． 故答案为：整数：，；分数：，；无理数：，；实数：，，，，，． 【变式2】（25-26七年级上·浙江衢州·期中）将下列各实数按照分类将序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④，⑤0，⑥ 整数：____________； 负分数：____________； 无理数：____________． 【答案】③⑤；②④；①⑥ 【分析】本题考查实数的分类（整数、负分数、无理数），解题的关键是明确各类数的定义，逐一分析每个数的类型． 先分别判断每个实数的类型，再按整数、负分数、无理数的类别归类． 【详解】解：先分析每个实数： ①：是无限不循环小数，属于无理数；②：是负分数； ③：是整数；④：可化为负分数，属于负分数； ⑤0：是整数；⑥是无理数，故是无限不循环小数，属于无理数． 因此：整数：③⑤；负分数：②④；无理数：①⑥． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中． ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每两个2之间多一个1） (1)整数集合：{_________}； (2)负有理数集合：{_________}； (3)无理数集合：{_________}． 【答案】(1)②③⑤ (2)②⑥ (3)①④⑦ 【分析】本题考查实数的定义及分类． （1） 根据整数的定义分类即可； （2）根据负有理数的定义分类即可； （3）根据无理数的定义分类即可． 【详解】（1）解：，， 整数集合：{②③⑤}； （2）解：负有理数集合：{②⑥}； （3）解：大于0，且是无理数， 无理数集合：{①④⑦}． 题型十一 实数与数轴 易｜错｜点｜拨 1. 误认为“数轴上的点都表示有理数”； 2. 求数轴上两点间距离时符号错误； 【典例1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据图中阴影部分可知，这个无理数在1到3之间，结合选项进行判断即可． 【详解】解： ∵ ∴A不符合要求 ∵ ∴，故B符合要求 ∵ ∴C和D不符合要求 ∴被阴影覆盖的可能是． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，将直径为的圆形纸片上的点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点到达了点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，先求出圆周长，再确定点的位置表示的实数即可． 【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长， 点的位置表示的实数为， 故选：A． 【变式2】（18-19七年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知数轴上的点分别表示数、、1、2，则表示的点应落在线段（   ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴上点的关系．关键是根据的取值范围来确定的取值范围．估算出的取值范围，即可确定点P在数轴上应落在的线段． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即表示的点P落在线段上． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，A，B，C在数轴上对应的点分别为a，，，其中，且，则 ． 【答案】/ 【分析】知识点：数轴两点间距离公式．方法：根据点的位置确定距离表达式，列等式求解．关键：正确判断距离的符号（大数减小数）．易错点：距离表达式符号错误（忽略的条件）． 首先用数轴距离公式表示和；再由列等式，解出a． 【详解】由数轴上两点间距离公式，（因），． 已知，故： 解得： ． 故答案为：． 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 题型十二 实数的大小估算与比较 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知是两个连续的整数，（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键． 估算出，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是两个连续的整数， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）估计的值是（    ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定被开方数所在的平方数范围． 先找出13介于两个相邻平方数之间，确定的取值范围，再减去1得到的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， 两边减1得：． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 【详解】解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 【变式3】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）比较大小： ．（填“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据两个负数比较大小的法则，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解：，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 题型十三 实数的整数部分与小数部分 【典例1】（25-26八年级上·甘肃·期末）的整数部分为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了估算，通过估算的范围，确定 的整数部分. 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ； ∴ ，因此整数部分为6， 故选：D. 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，为． (1)的整数部分是______，小数部分是_______． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4； (2)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解题的关键． （1）先估算的大小，即可得出答案； （2）估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴的小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为3， 即， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 题型十四 实数的混合运算 【典例1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1； (2)35； (3)． 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先开方，再进行加减运算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先乘方，再计算除法，最后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·吉林白山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先乘方，求算术平方根、立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算、立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先去绝对值，然后再根据实数的运算可进行求解； （2）根据立方根、算术平方根可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型十五 实数的定义新运算 【典例1】（2025七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)＝ (3)满足，理由见解析 【分析】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． （1）即可计算； （2）根据题意的运算规则，即可进行判断； （3）对于实数，则交换，位置有． 【详解】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，熟练掌握新定义，有理数混合运算，平方根，是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义进行运算即可； （2）根据题目所给的新定义建立方程，求平方根即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， 且， ∴， 解得或． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·月考）概念学习：规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方。类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方” ． (1)初步探究：直接写出计算结果：______；______； (2)深入思考：我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算． 例如： 类比上面的计算，将下列运算结果直接写成幂的形式：______；______； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 题型十六 实数的程序性计算 【典例1】（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的运算与数值转换器的逻辑，解题的关键是从输出结果反向推导输入值． 从输出的反向推导，先求出第二次取算术平方根前的数，再根据“是有理数则再次输入”的规则，求出第一次取算术平方根前的数． 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的值为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解． 【详解】解：由题意得，的算术平方根是6，6不是无理数， 6的算术平方根是，是无理数， 则输出． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得：64的算术平方根为8，8的立方根为2，2的算术平方根是，是无理数，输出； 则输出的的值为． 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a，b，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上点的特征． 观察图形可知：，，再根据实数的加法、减法和乘法法则判断各个选项中的式子即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴，，， ∴A选项正确，B，C，D选项不正确， 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．设含角的三角板直角边为，由面积法即可求解三角板直角边为，即可表示数轴上点所表示的数． 【详解】解：设含角的三角板直角边为， 则， 则， ∵直角顶点与数轴上表示的点重合， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：C． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，绝对值，理解框图中的运算法则是解题的关键． 当输入的值为时，根据数值转换机示意图运算法则计算，如果结果为无理数，则输出，否则再求其算术平方根，直至结果为无理数为止． 【详解】解：当输入的值为时，，，是有理数， 的算术平方根是，为无理数， ∴输出的值为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于负数，正数大于零，零大于负数；数轴上的点所对应的实数，越往右越大．据此解即可． 【详解】解：根据数轴的特点找出在右边的负有理数及负无理数， 例如：比大的负有理数可以是，比大的负无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 5．（21-22七年级上·浙江杭州·期末）比较大小： ． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用两个负数比较大小的方法即可得解． 【详解】解：∵， ∴，即 又∵，， ∴ 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先根据算术平方根的性质，乘方，立方根的性质化简，再计算即可求解． 【详解】解： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．4的算术平方根是 C．的倒数是3 D．8的立方根是2 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、倒数、立方根，根据平方根、算术平方根、倒数、立方根的定义逐项计算即可．熟练掌握这几个定义是解题的关键． 【详解】解：A、9的平方根是，故此选项不符合题意； B、4的算术平方根是2，故此选项不符合题意； C、的倒数是，故此选项不符合题意； D、8的立方根是2，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了算术平方根、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，再计算加减法即可得； （2）先利用乘法分配律计算、计算乘方，再计算减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)的平方根为 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， （2）解：由数轴可知：， ∴，， ∴； （3）解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·天津·中考真题）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 3．（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 . 【答案】2 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 4．（2025·浙江·中考真题）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 分别计算绝对值和立方根，再进行加法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $