专题02有理数的10大简便计算技巧题型（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02 有理数的简便计算 目录 题型一 拆项法（共2小题） 1 题型二 分组结合法（共2小题） 3 题型三 倒序相加法（难点）（共3小题） 4 题型四 凑整法（共2小题） 7 题型五 裂项相消法（重点）（共3小题） 8 题型六 巧用分配律（共2小题） 11 题型七 巧用倒数（常考点）（共3小题） 13 题型八 错位相减法（难点）（共3小题） 16 题型九 换元法（难点）（共2小题） 17 题型十 定义新运算（重点）（共2小题） 19 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 拆项法（共2小题） 1．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（17-18七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 【详解】解：原式， ， ． 题型二 分组结合法（共2小题） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】50 【分析】此题主要考查了加减法中的巧算问题，通过观察，发现两两搭配在一起，可以得出组相同的数，然后再相加即可． 【详解】解： ． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5050 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）把相邻两个数放一起做加法得到结果为，而一共可以分成50组，据此求和即可； （2）把第1个数和最后1个数相加得到101，第2个数和倒数第2个数相加得到101，第3个数和倒数第3个数相加得到101，据此可得一共有50个101求和，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型三 倒序相加法（难点）（共3小题） 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 6．（23-24七年级上·安徽淮南·月考）阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 【答案】(1)1275 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数的加法运算． （1）根据题干给出的结论，列式计算即可； （2）设①，则②，两式相加，除以2，即可得证； （3）同（2）法求出，进而得到，即可求出的值． 掌握题干中求连续的个数的和的计算方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：； 故答案为：1275； （2）设，① 则，② 由①+②，得 所以， 即 （3）设①，则：②， 由①+②，得， ∴， ∴ ∵，为正整数， ∴， ∴． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2500 (2)1000 【分析】本题主要考查了有理数加法运算律进行简便运算，掌握加法的交换律和结合律是解题的关键． （1）先观察发现第1个数与第50个数，第2个数与第49个数，第3个数与第48个数……相加和都为100，然后进行计算即可； （2）可以利用有理数的结合律每两个数结合，即为1000个1即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四 凑整法（共2小题） 8．（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握提取公因数以及拆分技巧是解题的关键． （1）通过乘法交换律和乘法结合律得出因数，进一步提取因数，进行运算即可； （2）利用拆分技巧将接近1的数转化为1减去一个微小量，进一步使用分组凑整进行运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握运算法则、运算技巧是解题关键．将各代分数进行变形，然后利用加法结合律，进行计算即可． 【详解】原式 ． 题型五 裂项相消法（重点）（共3小题） 10．（23-24七年级上·广东佛山·月考）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 【答案】(1)，，； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式即可求解； （）根据题中给出的等式，然后提出，即可求解． 【详解】（1）根据，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）原式， ， ， 故答案为：； （3）原式， ， ， ； （4）原式， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，寻找数字变化的规律，准确发现规律并能熟练应用是解题的关键．． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，按照例题将分数裂项为两个分数的差的形式是解答本题的关键． （1）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，进行计算即可求解； （2）仿照例题，将分数裂项为两个分数的差的形式，原式化为，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 12．（20-21七年级上·河南·月考）请先阅读下列一段内容，然后解答问题： 因为： ， ， ，…… ， ， 所以： 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）仿照阅读材料中提供的方法解答即可； （2）先把原式变形为，再仿照阅读材料中提供的方法解答． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式= = = = =． 【点睛】本题考查了有理数的运算，属于常见题型，正确变形、准确计算是解题的关键． 题型六 巧用分配律（共2小题） 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．根据乘法分配律展开，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 巧用倒数（常考点）（共3小题） 15．（22-23七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据题目中的例子，可以求出所求式子的值． 【详解】（1）解：； （2）解：原式的倒数是： ， 则原式． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算顺序解答即可； （2）利用思路2或3的计算方法解答即可． 【详解】（1）解：用分别除以，，，再把所得结果相加是错误的， 故答案为：1； （2）解：思路2： ； 思路3：原式的倒数为： ， 故． 17．（25-26七年级上·河南郑州·月考）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． (1)你觉得________的解法更具有简便性． (2)请你用你认为更简便的方法，计算：． 【答案】(1)小红 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的简便算法，熟练掌握简便算法的技巧是解题的关键． （1）小红的解法运用了运算律，更具有简便性． （2）先计算原式的倒数，利用乘法分配律可以更简便地计算，再取结果的倒数即可． 【详解】（1）解：小红的解法运用了运算律，这种方法避免了复杂的分数加减运算，直接得到结果，更具有简便性． 故答案为：小红． （2）原式的倒数为 ， 故原式 ． 题型八 错位相减法（难点）（共3小题） 18．（21-22七年级上·四川泸州·月考）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的减法运算等知识．熟练掌握有理数的乘方、有理数的减法运算法则是解题的关键． 仿照题中的方法解答即可． 【详解】解：令，则， 因此，解得：． 故选D． 19．（16-17七年级上·浙江丽水·月考）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，两边同乘以7，再作差，除以6即可； 【详解】解：①， 则②， ②-①得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是模仿题目中给出的计算方法进行计算． 20．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值． 【详解】解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 题型九 换元法（难点）（共2小题） 21．（19-20七年级上·陕西西安·月考）（+…+）（1++…+）﹣（1++…+）（+…+）． 【答案】． 【分析】设a＝，b＝，然后代入原式化简计算即可. 【详解】设a＝，b＝， 则原式＝a（1+b）﹣b（1+a）＝a+ab﹣b﹣ab＝a﹣b＝． 【点睛】本题考查了有理数混合计算，根据式子进行恰当的变形是解题的关键. 22．（23-24七年级上·江苏南京·月考）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 题型十 定义新运算（重点）（共2小题） 23．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】（1）观察运算及结果的符号和绝对值的规律可得结论； （2）根据（1）中的结论同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号即可； （3）根据（1）中的结论，分类讨论的取值范围，分别计算即可． 本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确新定义混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 24．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（）根据新定义运算计算即可求解； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算列出方程，求出与的关系，再代入代数式计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，绝对值的意义，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， ∴ ， ． 25．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 【答案】（1）（2）；（3）（4）25 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给的新定义运算； （1）根据题中所给新定义运算直接进行求解即可； （2）根据题中所给运算可进行求解； （3）由（1）（2）可求解； （4）根据（3）中结论及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：（1） ； 故答案为； （2）； ； 故答案为，； （3）； 故答案为； （4） ． 26．（22-23七年级上·河南南阳·月考）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】（1）直接代入公式计算即可； （2）直接代入公式计算即可； （3）分析为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可． 【详解】（1）原式= =6； （2）原式= = =3； （3）当为非负数时， ， ∴当时，的最小值为； 当为负数时， ， ∴当的值最小时，的值最小； ∵为负数， ∴， 由于最小取， ∴， 综上可得，的最小值为． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论． $专题02 有理数的简便计算 目录 题型一 拆项法（共2小题） 1 题型二 分组结合法（共2小题） 2 题型三 倒序相加法（难点）（共3小题） 2 题型四 凑整法（共2小题） 3 题型五 裂项相消法（重点）（共3小题） 3 题型六 巧用分配律（共2小题） 4 题型七 巧用倒数（常考点）（共3小题） 5 题型八 错位相减法（难点）（共3小题） 6 题型九 换元法（难点）（共2小题） 7 题型十 定义新运算（重点）（共2小题） 7 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 拆项法（共2小题） 1．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算：． 2．（17-18七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 题型二 分组结合法（共2小题） 3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型三 倒序相加法（难点）（共3小题） 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 6．（23-24七年级上·安徽淮南·月考）阅读下面材料，解答提出的问题． 德国著名数学家高斯（Gauss）在上小学时就已求出计算公式，其推导方法如下： 设，① 则．② 由①+②，得， 所以，． 即． (1)请利用上述公式计算_________． (2)类比上述方法并证明：． (3)若（其中为正整数），直接写出的值． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 题型四 凑整法（共2小题） 8．（25-26七年级上·湖北襄阳·开学考试）计算 (1) (2) 9．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题 题型五 裂项相消法（重点）（共3小题） 10．（23-24七年级上·广东佛山·月考）先阅读并填空，再解答问题． 我们知道， (1)仿写：__________，__________，__________． (2)直接写出结果：__________． 利用上述式子中的规律计算： (3)； (4)． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列各式： ，，，…，， ， ， ， ． 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 12．（20-21七年级上·河南·月考）请先阅读下列一段内容，然后解答问题： 因为： ， ， ，…… ， ， 所以： 计算： （1） ； （2）． 题型六 巧用分配律（共2小题） 13．（25-26七年级上·全国·单元测试）计算：． 14．（25-26七年级上·山东德州·期中） 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 题型七 巧用倒数（常考点）（共3小题） 15．（22-23七年级上·甘肃武威·期中）先计算，再阅读材料，解决问题： (1)简便计算：． (2)认真阅读材料，解决问题：计算： 分析：除法没有分配律，无法运用简便运算．但可以先交换除数与被除数的位置，求出原 式的倒数． 解：原式的倒数是： 故原式． 请你根据以上方法，计算：． 16．（25-26七年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料：在计算时，某班三位同学分别给出了如下思路： 思路1 思路2 思路3 用分别除以，，，再把所得结果相加． 先求出，，的和，再用除以这个和． 先算，再求所得结果的倒数． (1)上述三种思路中，不正确的是思路______； (2)请选择一种正确的思路计算：． 17．（25-26七年级上·河南郑州·月考）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明和小红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题． 小明的解法：原式． 小红的解法：原式的倒数为， 故原式=． (1)你觉得________的解法更具有简便性． (2)请你用你认为更简便的方法，计算：． 题型八 错位相减法（难点）（共3小题） 18．（21-22七年级上·四川泸州·月考）求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（   ） A． B． C． D． 19．（16-17七年级上·浙江丽水·月考）为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·山东济宁·期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 题型九 换元法（难点）（共2小题） 21．（19-20七年级上·陕西西安·月考）（+…+）（1++…+）﹣（1++…+）（+…+）． 22．（23-24七年级上·江苏南京·月考）简便计算： (1)； (2)． 题型十 定义新运算（重点）（共2小题） 23．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 24．（24-25七年级上·重庆·期中）用“”和“”定义一种新运算：对于任意有理数，规定：，如：． (1)计算：____________． (2)若，则____________． (3)若，，，，，当时，求的值（用含的式子表示）． 25．（23-24七年级上·山东济南·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数均不等的除法运算叫做除方，如，等类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”． 一般地，把记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那有理数的除方运算也可以转化为乘方运算． （2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ． （3）将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式： ． （4）利用（3）的结论计算： 26．（22-23七年级上·河南南阳·月考）在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“”：，例如． (1)计算：； (2)计算：； (3)已知 ，，，，，，，， 这十五个数中．从中任取三个数作为 ，， 的值，进行“”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ． $