江西省南康中学2025-2026学年高一上学期第三次大考数学试题

南康中学2025～2026学年度第一学期高一第三次大考 数 学 试 卷 命题人 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 3. 以下可能是函数的图像的为（ ） A. B. C D. 4. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 5. 已知，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 或 7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ） （结果取整数，参考数据：，） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若定义在上函数的值域为，则的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 已知，则 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______． 13. 函数的单调减区间是_________． 14. 设定义在上的函数在单调递减，且为偶函数，若，，且有，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. （13分）设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. （15分）已知点在幂函数的图象上， . (1)求的解析式； (2)若，且方程有解，求实数的取值范围； (3)当时，解关于的不等式. 17. （15分）高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③； （1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： （2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 18. （17分）已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； （3）任意，求实数的所有整数解. 19. （17分）已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康中学2025～2026学年度第一学期高一第三次大考 数学参考答案 1.【答案】C【详解】因为，所以.故选：C 2.【答案】C【详解】．故选：C. 3.【答案】A【详解】因为，故为奇函数，排除B,D； 又，排除C.故选：A 4.【答案】C【详解】因为，所以，所以. 所以，解得， 当且仅当时，即时等号成立，此时取最小值为.故选：C. 5.【答案】B【详解】由单调递增，可得， 由单调递减，可得，则.故选：B 6.【答案】A【详解】命题“”是假命题，此命题的否定为真命题， 即：命题“”是真命题. 当时，不等式转化为恒成立，则满足题意；当时，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围为.故选：A. 7.【答案】D【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减，所以， 故他至少经过7小时才能驾驶.故选：D. 8.【答案】C【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增，且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 9.【答案】AC【详解】对于A，，A正确，对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确，对于D，因为， ，所以，D错误，故选：AC 10.【答案】AC【详解】对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足①， 所以②，由①+②，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以， 故D错误. 故选：AC. 11.【答案】ABD【详解】令、，则有， 又，故，即，令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确；令，则有， 即，故函数是奇函数，有，即， 即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 12.【答案】 【详解】.故答案为： 13.【答案】【详解】，则，解得或， 所以函数的定义域为，令， 所以函数的单调递减区间为，又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 【答案】【详解】为偶函数，则，则的对称轴为， 函数在单调递减，则函数在单调递增， 若，，且有，则，即，， ∴ ， 当且仅当且，，即时，等号成立， 故的最小值为．故答案为：． 15.【答案】（1）或 （2）或 当时，或； ∵，∴或； 【小问2详解】∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得，需有或，∴或． 16.【答案】(1)(2)或(3)答案见解析 【详解】（1）设幂函数，由点在幂函数的图象上， 所以，解得，所以； （2）时，， 由方程有解，可得，解得或； （3）由得 ，即 ，所以 ， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为. 17.【小问1详解】由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知，，，代入， 得，解得，，，所以. 【小问2详解】因为第10天的观看电影的人数为612人，所以，解得. 易知， 当且时，， 所以，当且仅当时等号成立. 当且时， ， 因为为减函数，所以. 综上知，第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元. 18.【小问1详解】函数是奇函数，证明如下： ，所以，解得函数定义域, 因为任意，都有，又，所以函数是奇函数. 【小问2详解】在上单调递减，证明如下： 法一：任取满足， 因为 ＝， 因为，，且单调递增， 所以，， 依据同向不等式的可加性，所以， 即，所以在上单调递减． 法二：任取满足，因为， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，即，所以在上单调递减． 【小问3详解】由第（2）问知在上单调递减，所以， 因为，所以， 所以，即得，解得， 因为，所以或． 19.【小问1详解】是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，，则，满足为奇函数； ，，又且，；综上所述：，. 【小问2详解】由（1）得：， ， ，，定义域为，. ，，（当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】由题意知：，， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则，，解得：， 存在正整数或，使不等式有解. 学科网（北京）股份有限公司 $