江西省南康中学2025-2026学年高二上学期第三次大考数学试题

南康中学2025-2026学年度第一学期高二年级第三次大考

数 学 试 卷

命题人

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线，，若，则（    ）

A．       B．      C．     D．

2．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

4． 已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ）

A． B． C． D．

5． 2023年中国新能源汽车备受消费者关注，已知甲、乙、丙3人准备每人购买一辆新能源汽车，若有A，B，C，D，E共5个新能源汽车品牌可选择，其中甲、乙都不选A品牌，乙、丙不选同一个品牌，则不同的选择方法种数有（    ）

A． B． C．  D．

6．如图，在斜三棱柱中，分别为BC、的中点，设，则用表示为（    ）

A． B． 

C． D．

7．某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有名即将毕业的定向师范生拟分配到所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗所学校，每所学校至少分配名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（    ）

A．种 B．种       C．种       D．种

8． 已知圆：，点在椭圆：运动，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是（    ）

A．  B．  C.  D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知m，且，则下列等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为、，则下列说法正确的是（   ）

A． B．

C．平面 D．点到平面的距离为

11． 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，曲线交于点，，若，则（    ）

A．  B．

C. 面积的最小值为1 D．

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．圆与圆的位置关系为______．

13．甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有______．

14． 已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：

①曲线关于直线成轴对称图形；

②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；

③直线与曲线所围成的图形的面积为；

④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是______．

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.

15．（13分）用这六个数字组数，求符合下列条件的无重复数字的数的个数：

（1）比大的正整数；

（2）个位数字不是的六位数．

 

 

 

16．（15分）如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．

（1）证明：平面．

（2）若，求二面角的大小．

 

 

 

 

 

 

17．（15分）已知为原点，直线与圆交于，两点.

（1）若，求的值；

（2）若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值.

 

 

 

 

 

18． （17分）如图，平面五边形ABCDE中，，设AB的中点为F，将四边形AEDF沿DF折起至四边形PQDF，使得二面角为．

（1）求五面体BCDFPQ的体积；

（2）判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形ABCDE经折叠得到五面体BCDFPQ的变化，证明你的判断；

（3）求PC与平面CDQ所成角的正弦值．

 

 

 

 

 

 

19．（17分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，且坐标原点O到直线l的距离为，则的大小是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，试求三角形的面积S的取值范围．

 

 

 

 

南康中学2025-2026学年度第一学期高二年级第三次大考

数学参考答案

1. 【答案】A【解析】由直线，，满足可得，

，可得，

2. 【答案】C【详解】由题知双曲线中，

所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选：C.

3.C【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；

在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；

在中，令，解得，即直线过两点，

，所以直线的一个方向向量为，故C正确；

画出直线的图象如图所示，

所以直线不经过第二象限，故D错误.

4. 【答案】B【解析】由.故选：B

5. 【答案】C【详解】依题意，甲有种选择，若丙选品牌，则乙有种选择；

若丙不选品牌，则乙、丙共有种选择；综上可得，不同的选择方法种数为.

6．【答案】A【解析】由分别为，的中点，

可得

故选：A

7．【答案】B【解析】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列，所以不同的跟岗分配方案有种；

若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生，

所以不同的跟岗分配方案有种；

综上所述：不同的跟岗分配方案共有种.故选：B

8.【答案】A

【详解】设，，，设切线上任意一点为，则，

所以，即，即切线的方程为，

同理可得切线的方程为，

所以且，

所以直线的方程为，

取的中点，连接，则，，

又，即，

所以，

因为，所以，则，

所以.故选：A

9．【答案】BC【解析】A错，，．

B对，．

C对，，，所以．

D错，．故选：BC.

10．【答案】ABD

【解析】如图所示，以为坐标原点，  

以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，A：，，则，即，正确；

B：，正确；

C：若平面，平面，平面平面，则，根据图形及已知显然不成立，错误；

D：，，，

设平面的一个法向量为，则，取，，

则点到平面的距离为，正确.故选：ABD

11. 【答案】ACD

【详解】如图：

选项A：由题意知，曲线过点，延长交抛物线于点，

由对称性可知点与点关于轴对称，则，

不妨设直线，则，