专题05 条件概率与离散型随机变量及其分布列（期末复习讲义，知识必备+10大题型精讲+过关测）高二数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义通过核心考点表与分层知识点模块构建知识体系，用表格呈现复习目标与考情规律，分条件概率、离散型随机变量等模块梳理概念公式及内在联系，突出二项分布等重点。 讲义以“题型+解题技巧”模式设计练习，如全概率公式题型结合超市鸡蛋购买实例，培养数学思维与模型观念。典例与变式题覆盖基础到综合，辅助教师实施分层教学，助力学生提升问题解决能力。

专题05 条件概率与离散型随机变量及其分布列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 离散型随机变量及其分布列 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 离散型随机变量的均值与方差 理解并会求离散型随机变量的数字特征. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 二项分布、超几何分布与正态分布 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 条件概率 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 3.全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). 知识点02 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)方差 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. (3)标准差 称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点03 二项分布、超几何分布与正态分布 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 4.正态分布 (1)正态曲线 φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x). (2)正态曲线的一些性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. [常用结论与微点提醒] 1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形. 2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 题型一 事件的独立性 解｜题｜技｜巧 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【典例1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【变式1】（24-25高二下·四川雅安·期末）袋中装有2个红球和3个白球，从袋中每次随机不放回地取出1个球后，同时再放入1个另一种颜色的球到袋中，则第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·河南焦作·月考）甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 题型二 条件概率 解｜题｜技｜巧 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 全概率公式 解｜题｜技｜巧 利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·山东淄博·期末）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（    ） A．0.078 B．0.077 C．0.076 D．0.075 题型四 分布列的性质 解｜题｜技｜巧 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【变式1】（24-25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 题型五 离散型随机变量的数字特征 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 【典例1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 题型六 均值与方差中的决策问题 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【典例1】（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【典例2】（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 【变式1】（21-22高二下·江苏南通·期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表： 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 题型七 二项分布 解｜题｜技｜巧 判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【典例1】（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知随机变量，且，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 题型八 超几何分布 解｜题｜技｜巧 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【典例1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 题型九 正态分布 解｜题｜技｜巧 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 【典例1】（25-26高三·全国·假期作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 题型十 随机变量及其分布列的综合应用 【典例1】（24-25高二下·广东江门·期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 0 1 2 3 P 0 1 2 3 P 【典例2】（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 0 1 【变式1】（23-24高二下·青海海东·月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ X 0 1 2 3 P 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 2．如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 3．一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 三、填空题 5．一般地，若随机变量 ，则 四、解答题 6．值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某工厂生产的产品质量指标服从正态分布，从该工厂生产的产品中随机抽取1000件，质量指标在内的产品有680件，则质量指标大于110的产品件数大约为（    ）件 A．160 B．180 C．320 D．340 3．已知与是相互独立的随机事件，且，，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知事件与事件相互独立，且，则下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 四、解答题 6．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. X 0 1 2 3 4 5 P 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 3．语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 二、多选题 4．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已知随机变量的分布列为，则 三、填空题 6．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 7．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望 . 四、解答题 8．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 0 1 2 9．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 300 500 700 900 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 条件概率与离散型随机变量及其分布列（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率 1.了解两个事件相互独立的含义. 2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 离散型随机变量及其分布列 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 离散型随机变量的均值与方差 理解并会求离散型随机变量的数字特征. 常考题型，单选、多选或解答题中进行考查。 二项分布、超几何分布与正态分布 1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用. 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 条件概率 1.相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__，与B，与也都相互独立. 2.条件概率 (1)概念：当事件B发生的概率大于0(即P(B)>0)时，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝； ②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A). 3.全概率公式 一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)，当P(A)>0且P()>0时，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|). 知识点02 离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.离散型随机变量 一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X的取值范围是{x1，x2，…，xn}，如果对任意k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pk≥0，k＝1，2，…，n； (2)pk＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示 X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望). (2)方差 D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差. (3)标准差 称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小). 5.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 知识点03 二项分布、超几何分布与正态分布 1.n次独立试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n， 因此X的分布列如下表所示 X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 2.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 3.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 4.正态分布 (1)正态曲线 φ(x)＝e－，φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝，即X的标准差.φ(x)也常常记为φμ，σ(x). (2)正态曲线的一些性质 ①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； ②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1； ③σ决定正态曲线的“胖瘦”；σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. [常用结论与微点提醒] 1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形. 2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题. 4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 题型一 事件的独立性 解｜题｜技｜巧 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积. (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【典例1】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】D 【分析】由互斥事件、独立事件定义和性质以及互斥概率加法公式、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·四川雅安·期末）袋中装有2个红球和3个白球，从袋中每次随机不放回地取出1个球后，同时再放入1个另一种颜色的球到袋中，则第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分为第一次取到红球和第二次取到红球，两种情况讨论，分别求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意，若第一次取到红球，则第二次取到红球的概率为， 若第一次取到白球，则第二次取到红球的概率为， 所以第二次取出红球的概率是. 故选：A. 【变式2】（24-25高一下·河南焦作·月考）甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，，，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率公式结合独立事件概率公式计算求解. 【详解】记甲、乙、丙获得一等奖分别为事件，，，则，，， 则， ，， 则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 . 故选:C. 题型二 条件概率 解｜题｜技｜巧 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝. 【典例1】（24-25高二上·贵州遵义·期末）掷两枚质地均匀的骰子各一次，在已知两枚骰子出现的点数不一样的条件下，则两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出满足两枚骰子出现的点数不一样的基本事件个数，再求出两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件个数，利用古典概型求解. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子各一次，共有个基本事件， 去掉点数一样的基本事件， 得到两枚骰子出现的点数不一样的基本事件还有个， 其中两枚骰子的点数之差的绝对值大于3的基本事件有，共6个， 由古典概型可得. 故选：A 【典例2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式结合排列组合知识求解. 【详解】用事件表示“第1次抽到女运动员”，事件表示“第2次抽到男运动员”， 第1次抽到女运动员包括第1次女第2次男：种，两次均为女种， 共种， 从所有运动员中依次取2名共有种， 则，，则， 则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为. 故选：C 【变式1】（24-25高二下·重庆·期末）记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 题型三 全概率公式 解｜题｜技｜巧 利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）某超市鸡蛋成板出售，每板10个．若各板鸡蛋含0，1，2个破损鸡蛋的概率分别为，，．甲计划在该超市购买一板鸡蛋，先由超市服务员随意取一板，再由甲任意抽取该板鸡蛋中的3个鸡蛋，若没有破损鸡蛋，则买下该板鸡蛋，否则退回，则甲买下该板鸡蛋的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出事件，直接利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“该板鸡蛋中有i个破损鸡蛋”，其中i＝0，1，2， 事件B为“甲买下该板鸡蛋”，则， ， 则． 故选：D 【典例2】（24-25高二下·辽宁·期末）志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【详解】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·山东淄博·期末）有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（    ） A．0.078 B．0.077 C．0.076 D．0.075 【答案】D 【分析】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D，根据全概率公式求解. 【详解】根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A、B、C，该零件为次品为事件D， 则，，，，， 任取一个零件是次品的概率:. 故选：D 题型四 分布列的性质 解｜题｜技｜巧 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值. (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. 【典例1】（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·广东清远·期末）某活动室有足球和篮球，从中随机挑选2个球，若这2个球中足球个数为，且的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列概率之和为1，建立方程求解. 【详解】由题意可知，，解得. 故选：A. 题型五 离散型随机变量的数字特征 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 【典例1】（24-25高二下·四川绵阳·期末）一批产品根据质量指标分为正品和次品，且次品率为，随机抽取1件，定义则随机变量的方差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两点分布求出随机变量的均值，然后求出方差即可. 【详解】由题意，所以. 故选：D 【典例2】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量服从两点分布，若， 根据分布列的性质，可得，所以A错误； 又由，，所以B错误； 由，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·山东菏泽·期末）离散型随机变量的取值为0，1，2，若，，，，则（   ） A． B．0.6 C．0.8 D．1.6 【答案】D 【分析】 由题意得到，从而得到，计算方差得到，再计算即可. 【详解】由题知： . 所以， 所以. 故选：D 题型六 均值与方差中的决策问题 解｜题｜技｜巧 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【典例1】（24-25高二下·山东青岛·期中）投资A，B两种股票，每股收益的分布列如下表： 股票A收益分布列 收益X 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 股票B收益分布列 收益Y 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 下列说法正确的是（   ） A．投资股票A的期望收益较小 B．投资股票B的期望收益较小 C．投资股票A的风险比投资股票B的风险小 D．投资股票B的风险比投资股票A的风险小 【答案】D 【分析】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案. 【详解】股票A收益X的期望为， 方差为， 股票B收益Y的期望为， 方差为， 所以, 投资股票A的期望收益等于投资股票B的期望收益， 投资股票B的风险比投资股票A的风险小. 故选：D. 【典例2】（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．甲产业收益的期望大，风险高 B．甲产业收益的期望小，风险小 C．乙产业收益的期望大，风险小 D．乙产业收益的期望小，风险高 【答案】A 【分析】分别计算出甲、乙产业的期望和方差，比较大小，即可判断答案. 【详解】由题意可得， ； ， ， 故, 即甲产业收益的期望大，风险高， 故选：A 【变式1】（21-22高二下·江苏南通·期末）投资甲、乙两种股票，每股收益单位：元分别如下表： 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是（    ） A．投资甲种股票期望收益大 B．投资乙种股票期望收益大 C．投资甲种股票的风险更高 D．投资乙种股票的风险更高 【答案】C 【分析】先计算两个分布列的均值与方差，均值越大，收益越大，方差越大，风险越高，即可求解. 【详解】解：甲收益的期望， 方差， 乙收益的期望， 方差， 所以，，则投资股票甲乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高． 故选：C. 题型七 二项分布 解｜题｜技｜巧 判断某随机变量服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. 【典例1】（24-25高二下·天津·期末）某次期末数学考试共9道单项选择题（每个题有4个选项），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差性质计算可判断AB选项，再由期望值性质可判断C选项，由二项分布定义可求出对应概率可判断D选项. 【详解】对于A，因为服从二项分布，所以，即A正确； 对于B，由二项分布可得，因此B正确； 对于C，易知，即C正确； 对于D，显然，可知D错误. 故选：D 【典例2】（24-25高二下·广东肇庆·期末）某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，，再利用二项分布求概率即可. 【详解】设答对的题目数量为，则， . 故选：A. 【变式1】（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知随机变量，且，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的期望公式求出的值，可判断A选项；利用二项分布的方差公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，且，解得，A对； 因为，故，B对； ，C对； ，D错. 故选：D. 题型八 超几何分布 解｜题｜技｜巧 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【典例1】（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 【典例2】（24-25高二下·广西百色·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·浙江台州·期末）一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数，结合古典概型的概率公式即可得出结果. 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. 题型九 正态分布 解｜题｜技｜巧 解决正态分布问题的三个关键点 (1)对称轴为x＝μ. (2)标准差为σ. (3)分布区间. 由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. 【典例1】（25-26高三·全国·假期作业）某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性及原则直接求解即可. 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·湖南娄底·期末）某市高二年级有20000名学生，在一次检测考试中，数学成绩，若从所有学生中随机抽取10名学生了解教学情况（总体数相对抽取样本数较大，用独立重复试验估算），则10名学生的成绩均在65分以上的概率为（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性可得，，再结合二项分布运算求解． 【详解】由知， 则， ， 可知10名学生的成绩在65分以上的人数， 所以， 故选：C． 题型十 随机变量及其分布列的综合应用 【典例1】（24-25高二下·广东江门·期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人. (1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差. 【详解】（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P . 【典例2】（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 【详解】（1）设事件为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”， 则． （2）由题意知，的可能取值为0，1， 的分布列如下表所示： 0 1 的均值为． 【变式1】（23-24高二下·青海海东·月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如下的频数分布表： 分组 频数 5 15 40 40 15 5 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率． (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在中的个数，求X的分布列和数学期望； (2)若变量S满足，且，则称变量S满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？ 【详解】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在的概率’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以； （2）由题意知，， ， ， 因为，， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布， 所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 故选：A. 2．如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 3．一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 二、多选题 4．下列命题中正确的是（    ） A．已知随机变量，则 B．数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C．若事件A与B互斥，且，，则 D．样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【分析】根据二项分布的方差计算公式，求二项分布方差；根据第百分位数的概念求几个数的第60百分位数；根据互斥事件的概率关系，求出互斥事件的和事件概率；根据平均数和方差的性质，求出新的平均数和方差；逐一判断各选项正误. 【详解】由题意可知，则，所以A错误； 数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和4个数的平均数，是，所以B错误； 事件A与B互斥，则，所以C正确； 根据平均数和方差的性质，样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为，所以D正确； 故选：CD. 三、填空题 5．一般地，若随机变量 ，则 【答案】 【分析】略 【详解】略 四、解答题 6．值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】(1)派甲参赛赢得比赛的概率更大 (2) 【分析】（1）分别求解两位选手胜出的概率，比较大小可得结论； （2）先求两人均输掉比赛的概率，结合对立事件可得答案. 【详解】（1）甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大； （2）甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码被破译的概率为：，据此可得答案. 【详解】设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码不被任何人破译概率为： ， 从而密码被破译概率为：. 故选：B 2．某工厂生产的产品质量指标服从正态分布，从该工厂生产的产品中随机抽取1000件，质量指标在内的产品有680件，则质量指标大于110的产品件数大约为（    ）件 A．160 B．180 C．320 D．340 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出指定区间的概率，进而估计产品件数. 【详解】由产品质量指标，且， ∵，∴， ∴质量指标大于110的产品件数大约为(件). 故选：A 3．已知与是相互独立的随机事件，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据和事件、相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【分析】依题意，与是相互独立的随机事件， . 故选：D 二、多选题 4．已知事件与事件相互独立，且，则下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据独立事件的乘法公式，结合并事件、积事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：因为事件与事件相互独立， 所以，所以本选项正确； B：因为, 所以本选项不正确; C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立， 所以事件与事件相互独立， 于是，所以本选项正确； D： 因为， 所以本选项正确， 故选：ACD 三、填空题 5．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 四、解答题 6．现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中可能情况有6种， 故． 其中可能情况有10种，， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 2．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的性质建立方程求得的值，然后代入二项式，并写出其展开式的通项，令通项中的指数与条件提到的项的指数相同，求得，代入中，求得该项的系数. 【详解】由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 3．语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 二、多选题 4．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别由对立事件、条件概率定义结合古典概型和全概率公式逐项进行分析计算即可得解. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 5．下列说法正确的是（    ） A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 B．若随机变量，则方差 C．若随机变量，，则 D．已知随机变量的分布列为，则 【答案】BCD 【分析】由古典概型概率公式计算概率判断A；由二项分布的方差公式及方差的性质计算后判断B；根据正态分布的对称性计算即可判断C；由随机变量分布列的性质求解判断D. 【详解】对于A，设至少有一名女生为事件，则，则，A错误； 对于B，因为随机变量，所以，，B正确； 对于C，根据正态分布的性质，，所以，，C正确； 对于D，，得， 可得，解得，所以，D正确； 故选：BCD 三、填空题 6．已知随机变量，，则将个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有 种． 【答案】150 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有150种． 故答案为：150 7．某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是 ；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望 . 【答案】 【分析】①利用条件概率公式及全概率公式即可求解第一次也摸到红球的概率； ②由题意可得，根据二项分布的特征即可求解数学期望. 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 四、解答题 8．袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 9．南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程中会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【分析】（1）利用全概率公式可得答案； （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为，易知服从二项分布，利用二项分布概率计算公式可得的分布列与期望. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为， 由题意，，， 所以， ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $