专题01 直线与圆的方程及其应用（期末复习讲义，知识必备+10大题型+分层验收）高二数学上学期北师大版

该高中数学期末复习讲义以“直线与圆的方程及其应用”为核心，通过表格系统梳理直线方程五种形式、两直线位置关系条件等知识点，结合定义公式与考情规律，构建“核心考点-复习目标-知识脉络”的体系，突出基础必考点与高频易错点的内在联系。 讲义亮点在于“题型+技巧+变式”的分层设计，如圆的轨迹方程题型强调用几何定义转化条件，培养推理意识与模型意识。典例与变式结合基础通关、重难突破等分层练习，帮助学生掌握方法，教师可实施精准教学，提升复习效率。

专题01 直线与圆的方程及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的方程 掌握直线方程的五种形式 基础必考点，常出现在小题 圆的方程 掌握圆的标准方程和一般方程 高频易错点，常以选择或解答题第1小问考查对圆的方程求解掌握情况。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆位置关系的判定以及求弦长的方法和步骤 高频易错点，一般综合性较强，常出现在解答题中。 圆与圆的位置关系 掌握判定两圆位置关系的方法及公切线和公共弦长问题 考查综合应用能力，与直线或切线方程结合，求参数范围或轨迹方程等。 知识点01 直线的方程 1．直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 2．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点02 两直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点03 圆的方程 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 题型一 直线的倾斜角、斜率及其关系 解｜题｜技｜巧 求直线的倾斜角的方法 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 【典例1】设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系可得所求． 【详解】直线的斜率为， 由斜率和倾斜角的关系可得， 又∵，∴， 故选：B. 【变式1】已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，表示出斜率并求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，则， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：D. 题型二 直线的方程 解｜题｜技｜巧 求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 【典例1】过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 【典例2】已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得直线的斜率，再利用斜截式方程求解，化为一般式方程即可. 【详解】由直线的方向向量为得直线的斜率为， 又在轴上的截距为，所以直线的方程为，即. 故选：C 【变式1】直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 题型三 两直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 【典例1】已知直线，互相平行，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】：根据两直线平行的条件，先由求出的值，再检验该值是否满足两直线不重合的条件即可. 【详解】两直线平行，所以，解得， 此时，即，两直线平行，符合题意. 故选：D 【典例2】已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 【变式1】已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用垂直可得相等关系，再用代换1法来求最小值即可. 【详解】由可得：，即 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为4. 故选：B 题型四 圆的方程 解｜题｜技｜巧 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】圆心是，且过点的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆心和过点求出半径，利用圆的标准方程得到答案. 【详解】因为该圆的圆心是，且过点，所以半径为； 所以圆的标准方程是. 故选：A 【典例2】圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径 【详解】将圆的一般方程化成标准方程为：，所以圆的圆心坐标为，半径为， 故选：B 【变式1】若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【分析】根据圆的判别式计算直接得出结果. 【详解】因为该方程表示圆， 所以， 所以. 故选：D 题型五 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1.紧扣定义，翻译条件：始终抓住圆的几何定义（到定点的距离等于定长），将题目给出的所有几何关系（距离、垂直、比例等）用距离公式、斜率、中点坐标等工具转化为关于动点坐标（x，y）的等式。 2.掌握两个核心模型： 到两定点距离之比为常数（阿氏圆）：列距离比等式，两边平方化简。 对定直径所张角为直角（直径圆）：利用直径所对圆周角为90∘，转化为向量的数量积为零（向量垂直）或斜率乘积为-1。 3.化简验证：将等式整理成圆的标准形式或一般式。最后务必检查轨迹的纯粹性与完备性，特别是关键点（如分母为零、三点共线等情况）是否满足题意。 【典例1】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 【典例2】已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 【答案】B 【详解】设点，由可得， 整理可得，故曲线的方程为， 所以，曲线是圆心为原点，半径为的圆，故点的轨迹所围成的面积为， B对，ACD错. 故选：B. 【变式1】方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【详解】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D 题型六 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 【典例1】直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 【典例2】已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 【变式1】若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 题型七 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【典例1】圆与圆的公切线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】将圆方程化为标准式，确定圆心与半径，计算圆心距，通过圆心距与半径和、差的关系判断两圆位置，进而确定公切线数量. 【详解】将圆的方程化为标准式：配方得， 故圆心，半径； 圆的圆心，半径. 圆心距. 因，两圆相交，相交两圆的公切线有2条. 故选：C. 【典例2】圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简圆的方程为一般式方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为. 故选：A. 【变式1】已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先由标准方程求出圆心和半径，再利用两圆外切圆心距等于半径之和可解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得. 故选：D. 题型八 与圆有关的范围问题 【典例1】已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 【典例2】若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，圆，可得圆心，半径为1， 因为的几何意义是点与两点连线的斜率，设，即， 当直线与圆相切时， 则满足圆心到切线的距离等于半径，即，解得， 又由点在圆上， 所以. 故选：B. 【变式1】已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 题型九 与圆有关的最值问题 【典例1】已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】方程，即表示以点为圆心，以1为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 则圆心到的距离小于或等于半径，由，解得， 所以的最小值为． 故选：A 【典例2】设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】将圆化简为. 所以圆心坐标为. 因为直线经过该圆的圆心，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时的最小值为4. 故选：B. 【变式1】圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 题型十 直线和圆的综合 【典例1】已知圆，直线：. (1)求证：直线与圆O有两个不同的交点； (2)记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【详解】（1）原方程可化为，令, 解得：定点P，， 所以定点P在圆内，所以直线与圆相交; （2）①由圆心原点到直线的距离， 结合弦长公式：，可得，解得， 所以，解得， 即可得直线方程为：， ②由题意知，，    当直线斜率不存在时，，， 不妨取， 则，此时 直线斜率存在时，设方程为， 代入圆的方程可得， 设，则， 又， 所以 综上，为定值. 【典例2】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 【变式1】已知圆C经过三点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为2的直线l的方程. (3)过直线l：上任意一点P向圆C引切线，切点为Q，求的最小值. 【详解】（1）设圆C的方程为， 因为圆C经过三点，所以有 （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 把，代入中，得，或， 因为，所以符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 由可得，圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， 当弦长为2时，则有， 所以直线l的方程或； （3）连接，根据圆的切线性质可知， 所以由勾股定理可得：， 要想最小，只需最小，当时，最小， 根据点到直线距离公式可得：的最小值为， 所以的最小值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【详解】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 2．两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据距离公式可求距离，从而可得正确的选项. 【详解】由距离公式可得两条平行线之间的距离为， 故选：C. 3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】依题意直线经过圆的圆心，列出等式即得. 【详解】由题意知圆心在直线上， ∴，整理得， 故选：D 5．直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 二、多选题 6．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 【答案】BC 【分析】通过直线截距定义分析A；依据平行、垂直的斜率关系分析B、C；求解两直线交点并代入第三条直线分析D. 【详解】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC 7．已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BD 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：BD. 8．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．过两点的直线在轴上的截距为 ． 【答案】 【分析】先求直线斜率，再根据点斜式得到直线方程求出截距即可． 【详解】， 则直线的方程为，即， 当时，， 则直线在轴上的截距为． 故答案为：． 10．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 12．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 13．已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析; (2)或; (3). 【分析】（1）利用直线方程找定点，提取参数确定的取值即可； （2）利用几何法，把三等分点问题转化为圆心到直线的距离问题，从而得解； （3）利用公共弦方程原理，来研究动点Q的轨迹方程. 【详解】（1）证明：l：，即， 当，即，时，等式恒成立，故直线l过定点， （2） 由（1）知，圆C：，则圆心，半径， 因为，所以， 设，，则， 所以，， 所以，即，且， 解得，即圆C到直线l的距离为， 所以，解得，符合题意， 此时直线l的方程为或. （3）由题意得，，， 所以四点共圆，且以线段为直径， 设，则的中点， 则Q在圆D：上， 联立圆C：， 得直线MN的方程为：， 因为直线l过定点， 所以，解得， 所以点Q的轨迹方程为. 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与圆的方程及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线的方程 掌握直线方程的五种形式 基础必考点，常出现在小题 圆的方程 掌握圆的标准方程和一般方程 高频易错点，常以选择或解答题第1小问考查对圆的方程求解掌握情况。 直线与圆的位置关系 掌握直线与圆位置关系的判定以及求弦长的方法和步骤 高频易错点，一般综合性较强，常出现在解答题中。 圆与圆的位置关系 掌握判定两圆位置关系的方法及公切线和公共弦长问题 考查综合应用能力，与直线或切线方程结合，求参数范围或轨迹方程等。 知识点01 直线的方程 1．直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 2．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率 (1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝. 4．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 知识点02 两直线的位置关系 1.两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点03 圆的方程 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内． 知识点04 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 题型一 直线的倾斜角、斜率及其关系 解｜题｜技｜巧 求直线的倾斜角的方法 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α. (2)利用斜率公式：k＝(x1≠x2)． 【典例1】设直线的倾斜角为，则（　　） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式1】已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 题型二 直线的方程 解｜题｜技｜巧 求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数． 【典例1】过、两点的直线方程是 （    ） A． B． C． D． 【典例2】已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 题型三 两直线的位置关系 解｜题｜技｜巧 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 【典例1】已知直线，互相平行，则(    ) A． B． C． D． 【典例2】已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【变式1】已知，，两直线：，：，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型四 圆的方程 解｜题｜技｜巧 求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【典例1】圆心是，且过点的圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【典例2】圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】若方程表示圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．R 题型五 圆的轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1.紧扣定义，翻译条件：始终抓住圆的几何定义（到定点的距离等于定长），将题目给出的所有几何关系（距离、垂直、比例等）用距离公式、斜率、中点坐标等工具转化为关于动点坐标（x，y）的等式。 2.掌握两个核心模型： 到两定点距离之比为常数（阿氏圆）：列距离比等式，两边平方化简。 对定直径所张角为直角（直径圆）：利用直径所对圆周角为90∘，转化为向量的数量积为零（向量垂直）或斜率乘积为-1。 3.化简验证：将等式整理成圆的标准形式或一般式。最后务必检查轨迹的纯粹性与完备性，特别是关键点（如分母为零、三点共线等情况）是否满足题意。 【典例1】已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【典例2】已知点、，点满足，记的轨迹为，下列说法正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．曲线的方程为 C．点的轨迹所围成的面积为 D．点的轨迹所围成的面积为 【变式1】方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 题型六 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 1.判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 2.弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 【典例1】直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【典例2】已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1】若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【典例1】圆与圆的公切线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【典例2】圆和的公共弦所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 题型八 与圆有关的范围问题 【典例1】已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】若点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九 与圆有关的最值问题 【典例1】已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【典例2】设，直线经过圆的圆心，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 题型十 直线和圆的综合 【典例1】已知圆，直线：. (1)求证：直线与圆O有两个不同的交点； (2)记直线与圆交于两点， ①当时，求直线的方程； ②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【典例2】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【变式1】已知圆C经过三点. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点且被圆C截得的弦长为2的直线l的方程. (3)过直线l：上任意一点P向圆C引切线，切点为Q，求的最小值. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．两条平行直线：与：之间的距离为（    ） A．1 B． C． D．3 3．已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．若直线始终平分圆的周长，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 二、多选题 6．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 7．已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 8．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 三、填空题 9．过两点的直线在轴上的截距为 ． 10．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 12．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 13．已知直线l：与圆C：相交于两点. (1)求证：直线l过定点P； (2)过圆C的圆心作直线l的垂线，垂足为H，若，求此时直线l的方程； (3)设圆C在点处的切线交于点Q，求Q的轨迹方程. 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $