专题02 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质（期末复习讲义，知识必备+10大题型精讲+分层过关）高二数学上学期北师大版

该高中数学复习讲义通过表格系统梳理圆锥曲线的核心考点、复习目标与考情规律，以椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质为框架，用对比表格呈现标准方程、范围、焦点等关键要素，归纳焦点三角形、渐近线等常用结论，构建清晰知识脉络。 讲义按定义应用、离心率、直线与圆锥曲线关系等九类题型分类，每类配备解题技巧如离心率与渐近线斜率关系推导，典例与变式题结合。分层设计基础、重难、综合练习，培养运算能力与推理意识，助力教师精准教学，学生分层提升。

专题02 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆锥曲线的定义 理解a，b，c参数含义，能根据定义求解方程。 常考题型，小题考查。 圆锥曲线性质 掌握离心率、渐近线等性质及其运用。 常考题型，小题或多选题考查。 直线与圆锥曲线的位置关系 掌握直线和圆锥曲线位置关系及弦长、焦点三角形、参数范围和定点、定值问题。 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 知识点02 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 知识点03 抛物线 1．抛物线的概念 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 常用结论 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 知识点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝ 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 题型一 圆锥曲线的定义 解｜题｜技｜巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【典例1】(25-26高二上·江西鹰潭余江区第一中学·月考)已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】(23-24高二上·广东河源·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高二上·河南南阳·期中)已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 题型二 焦点、焦距问题 解｜题｜技｜巧 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式． 【典例1】(24-25高二上·贵州黔西南州·期末)已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【变式1】(24-25高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·)已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型三 离心率问题 解｜题｜技｜巧 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 【典例1】(25-26高二上·江苏常州金坛区第一中学·月考)已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例2】(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 题型四 椭圆和双曲线的对称性 【典例1】(23-24高二下·甘肃靖远县第一中学·期末)已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【典例2】为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(21-22高二上·山东潍坊·期末)过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（    ） A． B．2 C． D．4 题型五 与圆锥曲线相关的范围和最值问题 【典例1】(24-25高二上·广东湛江·期末)类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【典例2】(21-22高二上·湖南郴州嘉禾县第一中学·月考)过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】(24-25高二上·广东梅州·期末)在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六 直线与圆锥曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求． (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率． 【典例1】直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·宁夏银川第二中学·月考)已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 题型七 圆锥曲线中的定点定值问题 解｜题｜技｜巧 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 【典例1】(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【典例2】(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·)在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. D．13 题型八 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【典例2】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【变式1】(24-25高二下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·月考)已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 题型九 圆锥曲线中的最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【典例1】(25-26高二上·河北大数据应用调研阶段性测评·调研)已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 【典例2】(25-26高二上·河南新乡·)已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【变式1】(25-26高二上·江西部分校·)已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 题型十 圆锥曲线中的求值、证明和探索性问题 解｜题｜技｜巧 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 【典例1】(25-26高二上·重庆南坪中学校·月考)已知点，，动点P满足． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)过点作直线l与曲线E交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【典例2】已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H． (1)求证：在x轴上存在点C使得为定值； (2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由． 【变式1】(25-26高二上·浙江G5联盟·期中)已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 二、多选题 3．已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线不可能表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 4．关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 三、填空题 5．抛物线 的准线方程为 . 四、解答题 6．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知为曲线上的动点，，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 二、多选题 4．设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 5．若抛物线的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则 . 四、解答题 7．如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 二、多选题 4．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，点A，B在准线l上的射影分别为，，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则点M到x轴的距离为8 C．以AB为直径的圆与准线l相切 D． 三、填空题 5．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 四、解答题 6．已知椭圆的上顶点为且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)点的坐标为，试判断椭圆上是否存在一点使得的面积为9，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 7．已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆锥曲线的定义 理解a，b，c参数含义，能根据定义求解方程。 常考题型，小题考查。 圆锥曲线性质 掌握离心率、渐近线等性质及其运用。 常考题型，小题或多选题考查。 直线与圆锥曲线的位置关系 掌握直线和圆锥曲线位置关系及弦长、焦点三角形、参数范围和定点、定值问题。 重点考查题型，综合性强，考查思维能力和综合运用能力。 知识点01 椭圆 1．椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (6)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 知识点02 双曲线 1．双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 常用结论 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. 4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. 5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 知识点03 抛物线 1．抛物线的概念 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 常用结论 1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 知识点04 直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 2．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝ 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 题型一 圆锥曲线的定义 解｜题｜技｜巧 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 【典例1】(25-26高二上·江西鹰潭余江区第一中学·月考)已知椭圆的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件结合椭圆的定义求出，设出点坐标，由给定弦长求出即可得解. 【详解】因为椭圆上任意一点到，的距离之和为，由椭圆的定义得，即， 令椭圆：的半焦距为， 则，则直线， 由，解得， 于是得，则， 所以椭圆的方程为. 故选：C 【变式1】(23-24高二上·广东河源·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【详解】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B 【变式2】(24-25高二上·河南南阳·期中)已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 题型二 焦点、焦距问题 解｜题｜技｜巧 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式． 【典例1】(24-25高二上·贵州黔西南州·期末)已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的焦点在轴上，其坐标为， 选项AC的双曲线焦点在轴上，AC不是； 对于B，焦点在轴上，半焦距，即该双曲线焦点与椭圆C焦点不同，B不是； 对于D，焦点在轴上，半焦距，其焦点与椭圆C焦点相同，D是. 故选：D 【典例2】(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期末)双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 【变式1】(24-25高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·)已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 题型三 离心率问题 解｜题｜技｜巧 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0. (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 【典例1】(25-26高二上·江苏常州金坛区第一中学·月考)已知椭圆的左右焦点分别为，点为坐标原点，点为椭圆上一点，点为中点，若的周长为6，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中位线性质得出焦点的周长，从而求得半焦距，再由离心率的定义式计算可得． 【详解】因为为的中点，而是中点，所以， 所以的周长是周长的一半， 又的周长为6，所以周长是12， 即，得， 又，所以，． 故选：B． 【典例2】(24-25高二下·甘肃定西临洮县·期末)若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得，再由离心率的计算公式，即可求解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 则，所以的离心率为， 故选：D. 【变式1】双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得、，进而求得，直接法求离心率即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，即双曲线的一个焦点为，. 令，代入双曲线得，则， 过点且垂直于实轴的弦长为， ，即，则， . 故选：C 题型四 椭圆和双曲线的对称性 【典例1】(23-24高二下·甘肃靖远县第一中学·期末)已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 【典例2】为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左､右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线的方程为，根据已知求得，点纵坐标代入计算即可求得横坐标得出结果. 【详解】以双曲线的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 因为双曲线的离心率为2，所以可设双曲线的方程为， 依题意可得，则，即双曲线的方程为. 因为，所以的纵坐标为18.由，得，故. 故选：D. 【变式1】(21-22高二上·山东潍坊·期末)过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】求出过右焦点F与垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M的坐标，根据对称性得点N的坐标，则可得表示出的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为，右焦点， 由已知双曲线的一条渐近线方程为， 则过右焦点F与垂直的直线为， 联立，解得 不妨取，则根据对称性得， 解得 故选：B. 题型五 与圆锥曲线相关的范围和最值问题 【典例1】(24-25高二上·广东湛江·期末)类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程，曲线上的点到原点的距离平方最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合辅助角公式运算求解即可. 【详解】设曲线上的点为，且， 可得， 其中， 所以曲线上的点到原点的距离平方最大值为. 故选：D. 【典例2】(21-22高二上·湖南郴州嘉禾县第一中学·月考)过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由切线，展开根据双曲线的定义以及双曲线的性质即可求解. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为， ． 故选：B 【变式1】(24-25高二上·广东梅州·期末)在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 题型六 直线与圆锥曲线的位置关系 解｜题｜技｜巧 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求． (2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p. (3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率． 【典例1】直线与椭圆的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先确定直线所过的定点，再结合点与椭圆的位置关系判定选项. 【详解】由直线的方程，得， 因为，所以，即直线过定点. 又因为，所以此定点在椭圆上，所以直线与椭圆有1个或2个交点. 故选：C. 【典例2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法结合直线平行求解即可. 【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C， 设，，由图形的对称性知． 由A，B两点在双曲线上知，， 作差得到， 其中，故直线的斜率， 此时直线的方程为， 与双曲线的方程联立得， 化简得，即或， 那么或． 又直线AB的斜率为， 所以或， 解得， 【变式1】(25-26高二上·宁夏银川第二中学·月考)已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，则下列选项中结论正确的是（   ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的最大值为16 D．为钝角 【答案】D 【分析】由抛物线方程和定义可直接验证A，B选项；设出直线方程将其与抛物线方程联立，由韦达定理、焦半径公式即可判断C；由向量的数量积公式结合韦达定理结果计算，即可判断D． 【详解】对于A：由题意抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B：因为抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，所以，故B错误； 对于C：由题意直线斜率不为0且过点， 所以不妨设，将其与抛物线方程联立消去，得， 而，，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以最小值为16，故C错误； 对于D：由C选项分析可知 ， 由于不共线，所以是钝角，即为钝角，故D正确． 故选：D． 题型七 圆锥曲线中的定点定值问题 解｜题｜技｜巧 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 【典例1】(24-25高二上·贵州遵义第四中学·期末)设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 【典例2】(25-26高三上·陕西西安高新第一中学·)在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 【变式1】已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M. (1)当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程； (2)对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值. 【详解】（1）由题意知，设直线的方程为 由 得：，所以 所以，所以， 故抛物线的方程为 （2）由（1）抛物线的方程为， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率不为0，故可设的方程为 消去得：，设， 则： 所以： ，即 所以： . D．13 题型八 圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； （2） ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 【典例2】已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 【变式1】(24-25高二下·江苏南京鼓楼区南京第二十九中学·月考)已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 （2）设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 题型九 圆锥曲线中的最值、范围问题 解｜题｜技｜巧 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 【典例1】(25-26高二上·河北大数据应用调研阶段性测评·调研)已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得： ，解得， 所以椭圆的方程为； （2）如图，作出符合题意的图形， （i）直线与椭圆 ，联立方程组消去得： ， 设交点，则， 且， 由，则， 即， 所以有， 得到， 代入， 可得恒成立，故； （ii）由弦长公式得：， 由原点到直线的距离公式得：， 所以 再令，则上式可化为： ， 因为，所以，即， 即当时，即时，面积取到最大值， 当时，即时，面积取到最小值，由于，此情况排除， 故面积. 【典例2】(25-26高二上·河南新乡·)已知双曲线过点，且离心率． (1)求双曲线C的方程； (2)设，分别为双曲线C的左、右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），M，N分别为，的内心． ①证明：M，E，N三点共线； ②设直线AB的倾斜角为，用表示，并求出的取值范围． 【详解】（1）由双曲线过点，得， 又因为离心率，所以，结合，解得，， 所以方程为． （2）①证明：如图，设的内切圆与，，分别切于，，， 所以，，， 所以， 又，所以，， 又，，所以与重合，所以的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，所以，，三点共线. ②设直线的倾斜角为，则，， 则 ， 当时，， 当时，由题知，，，，则， 所以渐近线的斜率为，则渐近线的倾斜角为和， 因为，两点在双曲线的右支上，所以，且， 所以或，所以，且， 则， 综上所述，． 【变式1】(25-26高二上·江西部分校·)已知点到点的距离比点到直线的距离小3，记点的轨迹为曲线． (1)求的标准方程； (2)若为上的一个动点，，点到轴的距离为，求的最小值； (3)若过点的直线与交于，两点，求的取值范围． 【详解】（1）（1）由题意得点到的距离等于点到直线的距离， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线． 故的标准方程为． （2）设点到的准线的距离为，得． ． 当，，三点共线时，取得最小值，且最小值为． （3）易得的斜率不为0，设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得， 则， 所以的取值范围为．    题型十 圆锥曲线中的求值、证明和探索性问题 解｜题｜技｜巧 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 【典例1】(25-26高二上·重庆南坪中学校·月考)已知点，，动点P满足． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)过点作直线l与曲线E交于C，D两点，问是否存在直线l使得成立，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设点坐标为，，，， 又，所以， 整理得轨迹的方程为． （2）不存在，理由如下： 当直线斜率不存在时，直线的方程为，与双曲线的两交点为， 所以，所以不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线的方程为：， 联立，消去得， 直线与曲线交于，两点，所以． 若成立，则为的中点， 设，，则，解得， 当时，，不满足题意， 故不存在直线l使得成立． 【典例2】已知椭圆，过右焦点F作不与x轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，AB的中垂线交x轴于点M，交直线于点N，直线与x轴交于点H． (1)求证：在x轴上存在点C使得为定值； (2)试探究A，M，B，N四点是否共圆，请说明理由． 【详解】（1）证明：依题意有，直线l过点F，且斜率存在，则设直线l方程为， 设，，联立， 消去y并整理得， 因为l过椭圆右焦点F，所以l一定与椭圆相交，即恒成立， 所以，， ， 设，则，， ， 要使为定值，则，解得，此时， 所以在x轴上存在点，使为定值，定值为． （2）设AB中点，则， 所以，即， 所以AB中垂线方程为， 令，则，即， 所以， ， ， 所以， 由相交弦定理得，A，M，B，N四点共圆． 【变式1】(25-26高二上·浙江G5联盟·期中)已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 【详解】（1）到的距离等于到准线的距离， 故， 故； （2）（i）设直线， 联立方程，得， 由韦达定理知，， 而， . 因为，所以，有， 即，解得或（舍去）， 所以直线，即直线过定点， 结合，所以在以为直径的圆上， 所以到定点的距离为定值1； （ii）因为，所以. 设切线方程为， 联立方程组得 令，得， 所以切线方程为， 斜率的倾斜角. 由（i）可知，直线， 联立方程，消得， 则，故. 不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，. ， ，即 ，即 化简得， 即 代入得，即， 解得. 当时，直线过点，舍去. 所以直线. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又椭圆的焦点为，所以且， 又，所以，解得. 故选：D 2．已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为（   ） A．5 B．-5 C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程及参数关系计算即可. 【详解】由题意知，双曲线焦点在轴上，且，因此原方程中，即，， 根据得，，所以. 故选：B. 二、多选题 3．已知曲线的方程为，则下列说法正确的有（   ） A．曲线可以是圆 B．若，则曲线为椭圆 C．曲线不可能表示抛物线 D．若曲线为双曲线，则或 【答案】ACD 【分析】利用圆及圆锥曲线方程的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当时，方程为是圆，A正确， 对于B，当，即或时，曲线是椭圆，B错误； 对于D，当曲线为双曲线时，，则或，D正确. 对于C，任意且，曲线只能是圆、椭圆、双曲线之一， 因此曲线不可能表示抛物线，C正确； 故选：ACD 4．关于椭圆，下列选项正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为 【答案】BD 【分析】根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误. 【详解】由椭圆的方程可得，所以， 所以椭圆的长轴长为，故A错误； 短轴端点为，则一个顶点为，故B正确； 因为，所以椭圆的焦距为，故C错误； 离心率为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 5．抛物线 的准线方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线的方程，即可求得准线. 【详解】抛物线的标准方程为，且 解得，所以准线方程为. 故答案为： 四、解答题 6．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 【详解】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的渐近线方程求出，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以双曲线的离心率为. 故选：B 2．已知为曲线上的动点，，且，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得. 【详解】因为，且， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 所以. 故选：C. 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且周长为16，则的取值范围为（　　） A．（8，12） B．（8，16） C．（4，6） D．（4，8） 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，然后结合结合椭圆的性质，代入计算可得. 【详解】已知的周长为16，而的周长， 其中，因此： 椭圆中满足，将代入可得： ，解得。 因此a的取值范围是(4,8). 故选：D. 二、多选题 4．设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 【答案】AB 【分析】求出、、的值，可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；求得，可判断C选项；利用椭圆的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， 所以，A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，，弦的长不可能等于，C错； 对于D选项，的周长为，D错. 故选：AB. 5．若抛物线的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则的标准方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求得圆与坐标轴的交点坐标，可得抛物线的焦点，进而可求抛物线的方程. 【详解】设抛物线焦点到准线的距离为， 令，可得，可得抛物线的焦点为，所以， 所以，所以抛物线的方程为； 令，可得或，可得抛物线的焦点为或， 所以或，所以或，所以抛物线的方程为或. 故选：BCD. 三、填空题 6．如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则 . 【答案】35 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故答案为： 四、解答题 7．如图，已知椭圆，记分别是的左､右焦点，是的上顶点，连接并延长交椭圆于点，过作轴的垂线交椭圆于另一点，连接. (1)若，求； (2)若点的坐标为，且，求直线的斜率. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 因为，所以, 由对称性可知，； （2）设，，， 由，可知， 所以，得， 因为点，则， 所以，所以，则， 所以， 所以直线的斜率为； 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知直线与椭圆在第一象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令的中点为，因为，所以， 设，则， 所以，即 所以，即， 设直线， 令得，令得，即， 所以，即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即. 故选：C 2．已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 3．已知点为抛物线的焦点，为的准线，为上一点，过作的垂线，垂足为M．若，则（   ） A． B．3 C．2 D．6 【答案】D 【详解】由抛物线的定义知：，又 为等边三角形，， 因为抛物线方程为：，则. 故，故 故选：D. 二、多选题 4．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，点A，B在准线l上的射影分别为，，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线C的准线方程为 B．若，则点M到x轴的距离为8 C．以AB为直径的圆与准线l相切 D． 【答案】ACD 【详解】因为焦点到准线的距离为4，所以， 所以抛物线，准线方程为，故A正确； 设，，则， 又即，所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 为直径，则为圆心，又， 所以到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切，故C正确； 由抛物线焦点弦的性质得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 5．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 6．已知椭圆的上顶点为且的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)点的坐标为，试判断椭圆上是否存在一点使得的面积为9，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】（1）依题意，，解得， 故椭圆C的方程为， （2） 在椭圆上， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知此时 点到直线的距离为3，则，与已知矛盾； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 设， 联立，消去整理可得， 则， 由弦长公式可得，， 整理得：， 点A到直线的距离为， 则， 化简可得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线方程为； ,故， 当时，，,则, 当时，，,则, 综上可得或 7．已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【详解】（1）由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为,与双曲线联立， 消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 直线的斜率，直线的方程为， 再与双曲线联立，消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则 因为，所以， 整理得：， ， 当时，可得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 .    线交于点Q，求Q的轨迹方程. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $