第七章 概率全章复习（高效培优讲义)高一数学北师大版2019必修第一册

该高中数学概率复习讲义以“概念-模型-应用”逻辑主线构建知识体系，通过表格对比互斥、对立、独立事件的定义与符号，结合图形直观呈现事件关系，用分层框架整合古典概型判定、概率公式及性质，清晰标注重难点分布。 讲义亮点是“即学即练+分层题型”设计，如古典概型“书架放书概率”题培养数学思维，独立事件“猜灯谜概率”强化运算能力，综合题融入频率分布直方图引导用数学语言分析现实问题，助力分层教学与自主复习。

第七章 概率复习讲义 教学目标 1．能区分事件关系，掌握古典概型概率计算方法。 2．会运用独立事件公式，解决简单概率实际问题。 教学重难点 重点：事件的互斥、对立、独立关系；古典概型判定与概率计算；独立事件概率公式应用. 难点：互斥与对立、独立事件的概念区分；古典概型样本点准确计数. 知识点01 随机现象与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 【即学即练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 2．（2025高一·全国·专题练习）给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 知识点02 事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 【即学即练】 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东·月考）将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 知识点04 相互独立事件的概率 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 【即学即练】 1．（多选）不透明的袋中装有个大小质地完全相同的小球，其中个红球、个白球，从袋中一次性取出个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球"，则（    ） A． B． C．事件与事件是对立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 2．（25-26高二上·山东淄博·月考）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则 ；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率 . 题型01 随机事件、必然事件与不可能事件 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【变式1-2】（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 题型02 用频率估计概率 【典例2-1】（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】(2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【变式2-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 题型03 古典概型 【典例3-1】（25-26高二上·湖北武汉·月考）集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26高二上·广东·月考）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·月考）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 题型04 互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨别 【典例4】（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【变式4-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．若为两个事件，则 B．若为两个事件，则 C．若事件满足，则是必然事件 D．若为相互对立事件，则与一定互斥 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 题型05 互斥事件、对立事件的概率 【典例5】（25-26高二上·山东潍坊·月考）某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】)24-251高一下·广东深圳·期中）某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 题型06 相互独立事件的概率 【典例6-1】（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·陕西·月考）春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·北京·期中）抽奖箱里有10张形状、材质相同的奖券，其中1张有奖，9张没有奖.某人依次抽取三张奖券，则他中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 题型07 游戏的公平性 【典例7-1】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【典例7-2】（25-26高二上·浙江湖州·月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【变式7】（2025高一·全国·专题练习）近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 题型08 概率与统计的综合 【典例8】（25-26高二上·四川·月考）12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江·期中）假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值． (2)从和这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生来自不同组的概率． 【变式8-2】（25-26高一上·辽宁锦州·月考）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川成都·月考）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 5．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．（2025高一·全国·专题练习）河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 8．（24-25高二下·北京·期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（   ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B．至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C．恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D．至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 10．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 三、填空题 12．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知随机事件满足，则 13．（25-26高二上·海南儋州·月考）天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为 . 14．（25-26高三上·重庆·月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走 步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）在试验E“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件表示“第一次掷出1点”，事件表示“第二次掷出1点” (1)试写出试验的样本空间，并分别计算事件、事件发生的概率； (2)事件的发生与否对事件发生的概率是否有影响？为什么？ (3)事件的含义是什么？试探究的关系. 16．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 17．（25-26高二上·四川南充·期中）基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 18．（2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 19．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 概率复习讲义 教学目标 1．能区分事件关系，掌握古典概型概率计算方法。 2．会运用独立事件公式，解决简单概率实际问题。 教学重难点 重点：事件的互斥、对立、独立关系；古典概型判定与概率计算；独立事件概率公式应用. 难点：互斥与对立、独立事件的概念区分；古典概型样本点准确计数. 知识点01 随机现象与随机事件 1.随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母表示. 随机试验具有以下特点: （1）试验可以在相同条件下重复进行; （2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果. 2.试验的样本点和样本空间 项目 定义 字母表示 样本点 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点 用表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验的样本空间 用表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有个可能结果 则称样本空间为有限样本空间 3.三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母表示.在每次试验中,当且仅当中某个样本点出现时,称为事件发生 必然事件 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件 不可能事件 空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件 【即学即练】 1．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【分析】根据必然现象和随机现象的定义依次判断即可. 【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）给出关于满足的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】利用子集的含义和必然事件、不确定事件和不可能事件的定义逐一分析选项，即可得解. 【详解】对于A，由知是的子集，集合中的元素全在集合中，但集合中的元素不一定在集合中，故A正确； 对于B，若，则是有可能的，所以是可能事件，故B错误； 对于C，任取，则x不一定是A中的元素，所以是随机事件，故C正确； 对于D，若，则x一定不是A中的元素，所以是必然事件，故D正确； 故选：ACD 知识点02 事件的关系和运算 1.事件的包含关系 定义 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件(或事件包含于事件) 含义 发生导致发生 符号表示 (或) 图形表示 特殊情况 如果事件包含事件,事件也包含事件,即且,则称事件与事件相等,记作 2.并事件(或和事件) 定义 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中,我们称这个事件为事件与事件的并事件(或和事件) 含义 与至少有一个发生 符号表示 (或) 图形表示 3.交事件(或积事件) 定义 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件中,也在事件中,我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件(或积事件) 含义 与同时发生 符号表示 (或) 图形表示 4.互斥事件(或互不相容事件) 定义 一般地,如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即,则称事件与事件互斥(或互不相容) 含义 与不能同时发生 符号表示 图形表示 5.对立事件 定义 一般地,如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件与事件互为对立.事件的对立事件记为 含义 与有且仅有一个发生 符号表示 , 图形表示 【即学即练】 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 知识点03 古典概型 1.概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件的概率用表示. 2.古典概型 一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型概率公式 一般地,设试验是古典概型,样本空间包含个样本点,事件包含其中的个样本点,则定义事件的概率，其中,和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 4.概率的基本性质 一般地,概率具有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即. 性质3:如果事件与事件互斥,那么 如果事件两两互斥,那么事件发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 性质4:如果事件和事件互为对立事件,那么 性质5:如果,那么. 性质6:设是一个随机试验中的两个事件,我们有 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东·月考）将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】若书放在上层用“上”表示，放在中层用“中”表示，放在下层用“下”表示， 则样本空间上上，上中，上下，中上，中中，中下，下上，下中，下下，共9种情况. 放在同一层书架的情况为上上，中中，下下，共3种情况， 故所求概率为. 故选：B. 2．（（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）设A，B为两个随机事件，以下命题正确的有（   ） A．若A，B是对立事件，则 B．若A，B是对立事件，则 C．若A，B是互斥事件，，，则 D．若A，B是互斥事件，，，则 【答案】BD 【分析】由对立事件的性质及概率的性质判断A、B；根据互斥事件的加法公式求判断C、D. 【详解】对于A，若A，B是对立事件，则， 则，， 于是，故A错，B对； 对于C，若A，B是互斥事件，，，则，C错； 对于D，若A，B是互斥事件，，，则，D对. 故选：BD 知识点04 相互独立事件的概率 对任意两个事件与,如果成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. （1）如果与相互独立,则与，与，与也相互独立. （2）与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 【即学即练】 1．（多选）不透明的袋中装有个大小质地完全相同的小球，其中个红球、个白球，从袋中一次性取出个球，记事件“两球同色”，事件“两球异色”，事件“至少有一红球"，则（    ） A． B． C．事件与事件是对立事件 D．事件与事件不是相互独立事件 【答案】BCD 【详解】对于A，随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含10个样本点， 随机事件包含的样本点的个数为4，所以，A错误； 对于B，随机事件包含的样本点的个数为9，所以，B正确； 对于C，事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件为互斥事件， 又，即事件为必然事件，所以事件与事件是对立事件，C正确； 对于D，随机事件包含的样本点的个数为6，所以， 随机事件为不可能事件，所以，所以， 所以事件与事件不是相互独立事件，D正确．    故选：BCD． 2．（25-26高二上·山东淄博·月考）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则 ；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率 . 【答案】 【分析】利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质列式求解. 【详解】设事件：甲猜对灯谜；事件：乙猜对灯谜. 由题意，与相互独立，且，，，. 因为甲、乙都猜不对的概率为，所以. 甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为： . 题型01 随机事件、必然事件与不可能事件 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．如果一事件发生的概率为0，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D．如果一事件发生的概率为99.999%，说明此事件必然发生 【答案】ABD 【详解】对于A当样本空间是区间时，质点落在处的概率为0，但不意味着这个事件是不可能发生的，因为随机变量取值是连续的，所以几乎任何地方都有极小的可能发生，故A错误；对于B，C，如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件或随机事件，所以B错误，C正确；对于D，如果一事件发生的概率为99.999%，不能说明此事件必然发生，因为它不是必然事件，所以D错误． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列事件是随机事件的是（    ） A．明天是阴天 B．方程有两个不相等的实数根 C．明年长江武汉段的最高水位是 D．一个三角形的大边对小角，小边对大角 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义分别判断即可． 【详解】对于A，明天的天气不一定阴天，不一定发生的是随机事件，故A合题意； 对于B，方程的判别式，所以方程有两个不相等的实根是不可能事件，故B不合题意； 对于C，明年长江武汉段的最高水位目前不能预测，所以是随机事件，故C合题意； 对于D，根据三角形中，大边对大角可知一个三角形中大边对小角，小边对大角是不可能事件，故D不合题意； 故选：AC． 【变式1-2】（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 题型02 用频率估计概率 【典例2-1】（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 【变式2-1】(2025高三·全国·专题练习）在滑翔伞定点比赛中，飞行员在降落时一般会踩中半径为16cm的电子靶，以距靶心距离的远近作为打分依据．若某次比赛中规定：降落时距靶心的距离小于8cm，会获得“优秀飞行员”称号．现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离（单位：cm）的数据如下表： 降落时距靶心距离（单位：cm） 人数 18 21 39 22 用频率估计概率，若随机抽取1人，则此人为“优秀飞行员”的概率为（    ） A．0.18 B．0.21 C．0.39 D．0.40 【答案】C 【分析】根据题意利用频率估计概率进行计算. 【详解】由题可知，样本容量为100人，获得“优秀飞行员”称号的人数为人， 所以随机抽取1人，此人为“优秀飞行员”的概率． 故选：C 【变式2-2】（24-25高一下·广东潮州·期末）某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，误差较小的可能性的估计是（    ） 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 66 126 183 375 命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625 A．0.61 B．0.63 C．0.625 D．0.66 【答案】C 【分析】根据频率和概率的关系即可判断. 【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小，可能性越大， 所以合计列对应的频率最为合适. 故选：C. 题型03 古典概型 【典例3-1】（25-26高二上·湖北武汉·月考）集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算． 【详解】组成两位数的样本空间，有11个； 样本点这个两位数是奇数的两位数为，有5个. 故所求概率为. 故选：C 【典例3-2】（25-26高二上·广东·月考）如图是易书中的八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），传说莱布尼兹据此发明了二进制计数法.从八卦中任取两卦，这两卦中阳线数量之和为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得. 【详解】由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦， 记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为， 从八卦中任取两卦，一共有种， 其中满足阳线之和为的有，，，，，共种， 故两卦中阳线之和为的概率. 故选：B 【变式3-1】（25-26高二上·江苏南京·月考）某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案. 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 【变式3-2】（25-26高二上·福建宁德·月考）不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 题型04 互斥事件、对立事件、相互独立事件的辨别 【典例4】（25-26高一上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 【变式4-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（    ） A．若为两个事件，则 B．若为两个事件，则 C．若事件满足，则是必然事件 D．若为相互对立事件，则与一定互斥 【答案】D 【分析】根据对立事件和互斥事件、独立事件的定义，结合对立事件和互斥事件、独立事件的概率公式进行逐一判断即可. 【详解】对A：只有事件互斥时，才有，故A错误； 对B：只有事件为独立事件时，才有，所以B错误； 对C：若且事件互斥时，才有是必然事件，所以C错误； 对D：对立事件一定互斥，所以D成立. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二上·福建宁德·期中）某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 【答案】D 【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可. 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 题型05 互斥事件、对立事件的概率 【典例5】（25-26高二上·山东潍坊·月考）某社团书法组有3人，，，绘画组有3人，，，乐器组有2人，.现从三个组中各随机选1人参加文艺汇演，则和不全被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用“分步乘法原理”计算基本事件总数，运用“对立事件概率”简化计算，“不全被选中”的对立事件是“全被选中”，先求对立事件概率，再用概率减法公式得到结果. 【详解】从三个组中各随机选1人参加文艺汇演,则共有种可能， 设事件:和不全被选中,则事件的对立事件共有三种可能, 所以，所以， 故选：D 【变式5-1】（25-26高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率之和为1求解. 【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件， 因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为， 则“抽到丙级品”的概率为. 故选：A 【变式5-2】)24-251高一下·广东深圳·期中）某地区居民血型的分布为型型型型.已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血.现有一血型为型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则能为该病人输血的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意能为型的病人输血的有型和型，根据互斥事件概率的加法公式即可求解. 【详解】该地区居民血型的分布为型型型型.， 能为型的病人输血的有型和型， 所以能为该病人输血的概率为， 故选：C. 题型06 相互独立事件的概率 【典例6-1】（2025·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【详解】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 【典例6-2】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先计算这两项测试中都不优秀的概率，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】根据题意，碰撞测试不优秀的概率， 续航测试不优秀的概率， 因为两项测试结果相互独立， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中都不优秀的概率为， 所以该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为. 故选：C 【变式6-1】（25-26高二上·陕西·月考）春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意知，甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人互不影响， 则甲乙同时预约不成功的概率为， 所以甲乙两人至少有一人预约成功的概率是. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·北京·期中）抽奖箱里有10张形状、材质相同的奖券，其中1张有奖，9张没有奖.某人依次抽取三张奖券，则他中奖的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接计算中奖情况，分为三种情况，进行讨论计算即可. 【详解】第一次抽中：， 第一次没抽中，第二次抽中：， 前两次没抽中，第三次抽中：， 所以中奖概率为：. 故选：B. 题型07 游戏的公平性 【典例7-1】（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 【典例7-2】（25-26高二上·浙江湖州·月考）某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（   ） A．规则一，规则二 B．规则一，规则三 C．规则二，规则三 D．规则一，规则二，规则三 【答案】B 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 【变式7】（2025高一·全国·专题练习）近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)均为 (2)淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为，；人们“对强者不公平”的质疑是不对的 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）记拿到冠军分别为事件．淘汰赛赛制下，A只需要连胜两场即可拿到冠军： 对于：需战胜A后战胜C或D中胜者 同理， （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为 则 而双败赛制下，A获得冠军的可能性有三种： 1．直接连赢三局（未用“复活甲”） 2．从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛 3．直接掉入败者组拿到冠军 首先，A直接连赢三局的概率为：， A从胜者组掉入败者组再夺冠：， A直接掉入败者组再夺冠：， 所以：， 比较两种赛制： ， 当时，，即双败赛制下，强者拿到冠军的概率更大； 当时，，即双败赛制下，弱者拿到冠军的概率更小． 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 题型08 概率与统计的综合 【典例8】（25-26高二上·四川·月考）12月5日，四川省人工智能产业应用场景发布对接大会在南充市举办，大会发布了人工智能应用场景需求清单和产品供给清单共项.某小组围绕人工智能产业的发展前景，向名群众开展了问卷调查，将名群众的分数按分为组，画出如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)估计这名群众的分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (3)从分数在内的群众中用分层抽样的方法随机抽取了名群众，再从这名群众中选取名群众，求这名群众的分数均在内的概率. 【答案】(1)(2)分(3). 【分析】（1）由频率和为可求的值； （2）将每组数据的组中值乘以频率，再将所得结果相加即为平均数； （3）分别计算出在内抽取的人数并编号，然后根据古典概型的概率计算公式可求结果. 【详解】（1）由图可得，得. （2）估计这名群众的分数的平均数为分. （3）由题意得抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 抽取的分数在内的群众人数为人，编号为， 则该试验的样本空间为，共个样本点， 事件“这名群众的分数均在内”包含的样本点为， 所以这名群众的分数均在内的概率为. 【变式8-1】（25-26高二上·浙江·期中）假日留校自修是某中学的优良传统，学校调查统计了高二年级学生一个学期自修时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值． (2)从和这两组用按比例分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生来自不同组的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征列出方程，解之即可； （2）根据列举法，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得． （2）一个学期自修时间落在的抽取人数为， 这3人分别记为，，， 一个学期自修时间落在的抽取人数为， 这4人分别记为，，，． 再从这7名学生中随机抽取2名学生的样本空间为： ，共有21个样本点， 其中来自于不同组的样本点有： ，，共12个， 所以抽到这2名学生来自不同组的概率． 【变式8-2】（25-26高一上·辽宁锦州·月考）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 【答案】(1)，84分;(2);(3)78，9.4 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和等于1，求出的值，根据题意，由百分位数确定获奖学生的最低分数线即可； （2）依题意，根据抽样比确定在和这两组内所抽取的人数，分别记为和，列出试验和所求事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得； （3）根据混合样本后的平均数与方差公式计算即可. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，，解得， 由图知，的频率为．的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以估计获奖学生的最低分数线为84分． （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，在内抽取1人，记为， 从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为： 则， 记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则， 由古典概型概率公式，可得． （3）样本数据在内的人数为，在内的人数为， 所以， ． 一、单选题 1．（24-25高一下·天津·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可分别求出事件所包含的点数，即可得出结果. 【详解】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 2．（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据必然事件，不可能事件和随机事件的定义逐个分析判断 【详解】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 3．（25-26高二上·海南·月考）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 4．（25-26高二上·四川成都·月考）下面说法正确的是（    ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 5．（24-25高一下·天津河西·期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 6．（2025高一·全国·专题练习）河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定河图确定阳数、阴数，再利用古典概率公式求解即得. 【详解】由题图知，阳数为，阴数为， 因此从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有（种）， 满足差的绝对值大于5的有，共4个， 所以所求概率. 故选：A 7．（24-25高一上·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 8．（24-25高二下·北京·期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（   ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 【答案】C 【分析】利用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各项中对应事件的概率，即可得. 【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错； B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为， 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、， 对应概率依次为、、、，故所求概率为，错； C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以， 又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对； D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为， 所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B．至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C．恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D．至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 【答案】AC 【分析】根据互斥、对立事件的定义判断即可. 【详解】2双一次性筷子分别记为,2双正常筷子分别记为， 从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双， 则样本空间， 对于：恰有1双一次性筷子的情况为：， 恰有2双一次性筷子的情况为：， 所以恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双正常筷子的情况为：， 都是一次性筷子的情况为：， 所以至少有1双正常筷子与都是一次性筷子是对立事件，故错误； 对于：恰有2双一次性筷子的情况为：， 恰有2双正常筷子的情况为：， 所以恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双一次性筷子的情况为：， 至少有1双正常筷子的情况为：， 所以至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子不互斥，故错误. 故选：. 10．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）某次数学月考的一道多选题，共4个选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，若标准答案为两个选项，则选对一个选项得3分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2分，选错得0分，已知某小题的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（   ） A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2分的概率为 B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为 C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高 D．丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同 【答案】BD 【分析】A选项，列举得到共有4种情况，有3种情况满足要求，故能得2分的概率为；B选项，列举得到共有6种情况，有3种情况满足要求，能得4分的概率为；C选项，列举得到共有11种情况，有4种情况满足要求，故得分的概率为，由于，C错误；D选项，列举得到共有15种情况，能得2分的情况为A，B，D，能得4分的情况为AB，AD，BD，故得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 【详解】A选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4种情况，分别为A，B，C，D， 其中有3种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2分的概率为，A错误； B选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4分的情况有3种，为AB，AD，BD， 故乙同学仅随机选择两个选项，能得4分的概率为，B正确； C选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11种情况， 分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 其中得分的情况有4种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为， 由B可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为， ，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C错误； D选项，丁同学选择至少一个选项，共有15种情况， 分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD， 能得2分的情况为A，B，D，故能得2分的概率为， 能得4分的情况为AB，AD，BD，故能得4分的概率为， 丁同学选择至少一个选项，能得2分的概率与得4分的概率相同，D正确. 故选：BD 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【分析】由样本空间的定义判断A，根据古典概型概率计算公式，互斥事件的加法及独立事件的乘法公式判断BCD． 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确； 对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误； 对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”， 可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确； 对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1， 可能情况有：，共有6种情况， 启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确； 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知随机事件满足，则 【答案】 B． C． D． 【详解】由题意可得，. 13．（25-26高二上·海南儋州·月考）天气预报中，在元旦假期，甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地区降雨的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用相互独立事件概率公式计算即可得. 【详解】至少有一个地区降雨的概率为. 14．（25-26高三上·重庆·月考）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，其棋盘为方格状，棋子的摆放与活动均在交叉点上. 如图，若马位于 处，其移动规则为循着日字的对角线走两格，即下一步可到达的地方是 中的一处; 同理， 若马位于 处，下一步可到达的地方是 中的一处. 假设马从某位置到达下一个位置是随机的， 且马的初始位置是在 处，则马到达 处至少要走 步；已知马第一步没有到达 处，则 3 步后马到达 处的概率是 . 【答案】 4 【分析】通过马移动规则为循着日字的对角线走，分析每种情况，结合对立事件乘法公式即可求解. 【详解】由图可知：马走2步后的所有情况如下图： 从 处，到达 处，第一步应该走或, 又从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 从处到处至少要走2步， 而从处，到，或，或，或如图至少2步， 又从处到处至少要走3步， 综上从处，到达处至少走4步； 马走2步后的所有情况可以用下列树状图表示： 第二步落在处，则第三步可以到达处， 则有如下情况， 由马移动规则为循着日字的对角线走，又第一步没走到，可得： 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 又概率为，概率为，概率为， 所以3步后马到达处的概率是： 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）在试验E“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，设事件表示“第一次掷出1点”，事件表示“第二次掷出1点” (1)试写出试验的样本空间，并分别计算事件、事件发生的概率； (2)事件的发生与否对事件发生的概率是否有影响？为什么？ (3)事件的含义是什么？试探究的关系. 【答案】(1)， (2)不影响 (3)事件表示两次均掷出1点， 【分析】（1）列举法表示试验的所有可能结果即可，然后由古典概型计算事件、事件发生的概率； （2）由事件的独立性即可判断； （3）由独立事件同时发生的含义，以及概率之间的关系即可写出结果. 【详解】（1）试验的样本空间为， ， ， . （2）事件表示“第一次掷出1点”，事件表示“第二次掷出1点”， 因为第一次抛掷的结果不会影响第二次抛掷的结果，所以事件与事件相互独立， 所以事件的发生与否对事件发生的概率无影响. （3）事件是指事件与事件同时发生，事件表示两次均掷出1点，即 ，， 所以. 16．（25-26高一上·河南南阳·月考）某次茶话会上，共安排4个节目，其中有2个歌唱节目、1个舞蹈节目、1个小品节目，按任意次序排出一个节目单，试求下列事件的概率： (1)两个歌唱节目相邻； (2)舞蹈和小品至少有1个在最前或最后． 【答案】(1);(2). 【分析】（1）根据古典概型列举样本空间的基本事件总数，从而设事件A：两个歌唱节目相邻，确定事件A发生的样本总数，从而得概率； （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，结合对立事件关系确定，从而得所求概率. 【详解】（1）记2个歌唱节目为，记1个舞蹈节目为，1个小品节目为， 则按任意次序排出一个节目单的样本空间是： bamn，banm，bman，bmna，bnam，bnma，mabn，manb，mban，mbna，mnab，mnba， nabm，namb，nbam，nbma，nmab，nmba，共24件， 设事件A：两个歌唱节目相邻，事件A包含的样本点有 abmn，abnm，bamn，banm，mabn，mban，mnab，mnba，nabm，nbam，nmab，nmba，共12个， 则；即两个歌唱节目相邻的概率是. （2）设事件B：舞蹈和小品至少有1个在最前或最后，则事件B的对立事件：舞蹈和小品排在中间， 而事件包含的样本点有，共4件， 所以 17．（25-26高二上·四川南充·期中）基孔肯雅热（chikungunya fever）是由基孔肯雅病毒引起，主要通过伊蚊叮咬而传播，以发热、皮疹及关节疼痛为主要特征的急性传染病.为更好地预防基孔肯雅热，某校举办了相关知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分.现从中随机抽取了50名学生的成绩，按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自不同的组的概率. 【答案】(1)，平均数（分），中位数（分） (2) 【分析】（1）根据频率之和为1求，根据平均数和中位数的估算方法求解可得； （2）求出各层人数，使用列举法，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由图可得：，解得， 估计所抽取50名学生成绩平均数为： （分）， 由于前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数，由题意可得，解得（分）， 所以估计所抽取的50名学生成绩的中位数为（分）； （2）由题意可知，后三组中的人数分别为15，10，5， 故这三组中所抽取的人数分别为3，2，1， 记成绩在这组的3名学生分别为，，，成绩在这组的2名学生分别为，，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取2人的所有可能结果为 、、、、、、、、、、、 、、、，共15种. 其中来自相同组的有、、、共4种，于是来自不同组的有11种. 故这2人来自不同组的概率为. 18．（2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)应在第一局选择保守策略，理由见解析 【分析】（1）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （2）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （3）比较（1）（2）问两个概率的大小即可得到答案. 【详解】（1）第一局采取保守策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率） 若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：A第一局败（概率），此时比分 若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率）， 若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选激进策略，胜率为， 综上，第一局保守策略的总胜率. （2）第一局采取激进策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 第二局选保守：胜率；败率，则进入第三局选择激进策略（胜率）， 第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：第一局败（概率），此时比分， 因第一局使用激进策略失败，第二局胜率降为 若第三局选保守：胜率，若第三局选激进：胜率，所以第三局选择激进策略， 综上，第一局激进策略的总胜率： （3）因为，即第一局选择保守策略最终获胜的概率大于第一局选择激进策略最终获胜的概率，所以应在第一局选择保守策略. 19．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【答案】(1)甲，理由见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析. 【分析】（1）利用频率分布直方图，结合中位数的意义判断甲乙中位数的大小即得. （2）（ⅰ）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得；（ⅱ）按游戏使用次数，求出值及对应的概率，再用列表法表示出函数关系即可. 【详解】（1）甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80， 所以甲运动员参加第二阶段游戏. （2）（ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率， 所以甲能参加游戏的概率为. （ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用了4次，则或50； ②游戏使用了3次，则或150； ③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150； ④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350； ⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150； ⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350； ⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况， 因此，当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，， 所以用列表法表示关于的函数为： 0 50 150 350 550 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $